弹性力学-第三章-应变状态教案资料

x
x
• 所以
• 同理可得
• 这些正应变表示了任意一点微分线段的相对 伸长度。微分线段伸长，则正应变大于零， 反之则小于零。
§3.1 变形9
以下讨论切应变表达关系。
因为
上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数 是高阶小量的结论。同理可得
yx和xy可为正或为负，其正负号的几何意义为： yx大
于零，表示位移v随坐标x而增加，即x方向的微分线段
U =x' （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y'（x，y，z）-y = v（x，y，z） W =z'（x，y，z）-z = w（x，y，z）
位移分量u，v，w也是x，y，z
的单值连续函数。
以后的分析将进一步假定位移
函数具有三阶连续导数。
§3.1 变形4
变形与应变分量
为进一步研究弹性体的变形情 况，假设从弹性体中分割出一个微 分六面体单元，其六个面分别与三 个坐标轴垂。
正应变 §3.1 变形7
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
– 首先讨论Oxy面上投影 的变形。
设ma，mb分别为MA，MB的投影，m'a'，m'b'分别为M'A'， M'B'，即变形后的MA，MB的投影
弹性力学-第三章-应变状态
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素——载荷或温度变化 • 位移——物体内部各点空间位置发生来自百度文库化 • 位移形式_位置的改变与弹性体形状的变化
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始
状态相对位置不变。
• 形状改变（变形）位移：位移不仅使得位置改变，
而且改变了物体内部各个点的相对位置。
– A点的位移：u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z）
– B点的位移：u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z）
– 将A，B两点的位移按泰勒级数展开，略去二阶以上的小 量，则有
A点的位移为 uudx, vvdx
x
x
B点的位移为 uudy, vvdy
y
y
§3.1 变形8
• 因为
M A m a d x u u d x u d x u d x
Cauchy于1828年提出） 。
柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已
知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几使何用方张程量给符出号的，应几变何通方常程称可为以表工达程为应：变。ij
§3.1 变形2
位移与位移分量
根据连续性假设，弹性体在 变形前和变形后仍保持为连 续体。
那么弹性体中某点在变形过
程中由M（x，y，z）移动至M '
（ x'，y'，z' ），这一过程也将
是连续的。
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y， z的单值连续函数。
§3.1 变形3
设MM‘=S为位移矢量， 位移矢量的三个分量 u，v，w为位移分量，则
对于小变形问题，为了简化分析， 将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz， Ozx平面来讨论。
显然，单元体变形前各棱边是与坐标 面平行的，变形后棱边将有相应的转动； 但我们讨论的是小变形问题，这种转动所 带来的影响较小。
特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
正向向y轴旋转。将上述两式代入切应变表达式，
同理
切应变分量大于零，表示微分 线段的夹角缩小，反之则增大。
§3.1 变形10
综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为
x
u x
y
v y
z
w z
xy
vu x y
yz
wv y z
zx
uw z x
上述公式称为几何方程，又称柯西方程（Augustin-Louis
设M点的坐标为（x，y，z）
与M点邻近的
位移（u，v，w）
N点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）
位移（u+du，v+dv，w+dw）
则MN两点的相对位移为（du，dv，dw） 因为位移为坐标的函数，所以
du u dx u dy u dz x y z
dv v dx u dy v dz x y z
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。一是微分单元体 棱边的伸长和缩短；二是棱边之间 夹角的变化。弹性力学分别使用正 应变和切应变表示这两种变形的。
§3.1 变形5
对于微分平行六面体单 元，设其变形前与x，y，z 坐标轴平行的棱边分别为 MA，MB，MC， 变形后分别变为 M'A'，M'B'，M'C'。
1 2
ui, j
uj,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
x
ij
1 2
xy
1 2
xy
y
1 2 1 2
xz yz
11 21
12 22
13
23
1 2
xz
1 2
yz
31 32 33
z
§3.1 变形12
dw w dx w dy w dz x y z
§3.1 变形13
du u dx u dy u dz x y z
dv v dx u dy v dz x y z
dw w dx w dy w dz x y z
duu xdxu ydyu zdz u xdx1 2vxu ydy1 2w xu zdz1 2vxu ydy1 2u zw xdz xdx1 2xydy1 2zxdz zdyydz
• 几何方程——位移导数表示的应变 • 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形 • 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
§3.1 变形13
通过分析弹性体内无限邻近两点的位 置变化，则可得出刚体的转动位移与 纯变形位移之间的关系。
正应变_εx, εy, εz表示x，y，
z轴方向棱边的相对伸长
MA MA
度；
x MA
, yz 2 CMB ,
切应变_xy, yz, zx 表示x
和y，y和z，z和x轴之间 的夹角变化。
MB MB
y MB
, xz 2 CMA ,
MC MC
z
MC
, xy 2 AMB .
§3.1 变形6