第六章IIR滤波器的设计方法

H (e ) K
e
m 1 N k 1
M
j
cm
j e dk
各零矢量模的连乘积 各极矢量模的连乘积

相角：
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1
N H (e j ) M j j arg arg[e cm ] arg[e d k ] ( N M ) k 1 K m1
令： 单位圆内零点数为mi
单位圆外的零点数为mo
单位圆内的极点数为pi
mi mo M
单位圆外的极点数为po
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M
arg[] 2 ( N M ) 为最小相位超前系统
最小相位延时系统的性质
1）在
H (e )
j
相同的系统中，具有最小的相位滞后
2）最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总 能量相同 m m 2 2 h(n ) hmin (n ) m N 1
H (e ) H (e ) e
*
j
j
j (e
j
)
H (e j ) 2 j ( e j ) e * j H (e )
j 1 H (e ) 1 H ( z ) j (e ) ln * j ln 1 2 j H (e ) 2 j H ( z ) z e j H (e j )
6.3 全通系统
对所有，满足： H ap (e j ) 1
称该系统为全通系统

一阶全通系统：
z 1 a H ap ( z ) 1 az 1 a为实数
0 a 1
极点：z
a
z 1/ a 零点：
a为复数
z 1 a* H ap ( z ) 1 1 az
第六章 IIR滤波器的设计
主要内容


理解数字滤波器的基本概念
了解最小相位延时系统
理解全通系统的特点及应用
掌握冲激响应不变法 掌握双线性变换法 掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程

了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法

N 阶数字全通滤波器
N 1 *
1 ( N 1) N d d z ... d z z z ak N N 1 1 H ( z ) 1 ( N 1) N 1 1 d z ... d z d z 1 a z k 1 1 N 1 N k
0 a 1 * 极点：z a 零点： z 1/ a
零极点以单位圆为镜像对称

实系数二阶全通系统
z a z a H ap ( z ) 1 1 1 az 1 a * z
*
1
1
a 1
极点： z a，a*
* z 1/ a ，1/a 零点：
两个零点（极点）共轭对称 零点与极点以单位圆为镜像对称
相位延时系统
1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
arg[] 0 为最小相位延时系统
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M arg[] 2 M 为最大相位延时系统

逆因果稳定系统 z r , r 1 n > 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0

滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡 带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。

阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量

带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度
4、数字滤波器的设计步骤
数字滤波器的设计三个步骤:
(1) 按要求确定滤波器的性能参数； (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系 统函数去逼近去逼近这一性能要求；
6.1 引言
数字滤波器： 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。
优点：
高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要 求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能
1、滤波器的基本概念
（1） 滤波器的功能
滤波器的功能是对输入信号进行滤波 以增强所需信号部分，抑制不要的部分。
器后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近

通带：
c
st
1 1 H (e ) 1
j
阻带：
过渡带：
H (e j ) 2
c st
1 ：通带容限
2 ：阻带容限
c ：通带截止频率 st ：阻带截止频率
N H (e j ) M j j arg arg[e cm ] arg[e d k ] ( N M ) k 1 K m1
当 0 2 , 2
j Im[ z ]
0
Re[ z ]
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
H ( e j )
π
2π ω
带阻
2π π π 2π ω
2、LP到其他滤波器的变换
由LP实现的HP
LP实现的BP
LP实现的BRF
3、 滤波器的性能指标

带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为
滤波器的带宽（3dB带宽）

通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带 为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通 带与阻带之间为过渡带。
可以证明，一阶全通节在任何频率上，其频率响应的模 都为1：
z a 1 az 1
1
* z e j
e re 1 re j e j j 1 re e 1 re j ( )
j
j
j ( )
1 r cos( ) jr sin( ) 1 1 r cos( ) jr sin( )
6、表征滤波器频率响应的特征参量

幅度平方响应
H (e ) H (e ) H (e )
*
j
2
j
j
H (e ) H (e
1
j
j
) H ( z) H ( z )
j Im[ z ]
1
z e j
H ( z ) H ( z ) 的极点既是共轭的，又是以单
位圆成镜像对称的
1/ a*

群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
d (e ) (e ) d
j
j
dH ( z ) 1 Re z j dz H ( z ) z e
若滤波器通带内 (e ) = 常数，
j
则为线性相位滤波器
7、IIR数字滤波器的设计方法
用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：
(3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用 计算机，也可以采用DSP。
5、数字滤波器的技术要求

选频滤波器的频率响应：
H (e ) H (e ) e
j
j
j
j ( j )
H (e ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器
后各频率成分的衰减情况
( j ) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波
Kz ( N M )
(z c
m 1 N k 1
M
m
)
(z d )
k
j j arg[ H ( e j )]
频率响应：
H (e ) Ke
j
j ( N M ) m 1 N k 1
j ( e cm ) j
(e
H (e ) e
dk )

模：
j
H (e j ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 ( N M ) 0
相位超前系统 1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
arg[] 2 N
为最大相位超前系统

n 0 N 1
n 0

h(n )
2
hmin (n )
n 0
n 0 N 1
2
3）最小相位序列的 4）在
j
hmin (0) 最大：hmin (0) h(0)
hmin (n) 唯一 H (e ) 相同的系统中，
5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一 相同幅度响应的非最小相位延时系统
a） 时域说明
b） 频域说明
（2） 四种基本的滤波器
四种基本滤波器为低通（LP）、高通 （HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）：
（3） 四种基本滤波器的数字表示
H ( e j )
低通
2π π
H ( e j )
π
2πBiblioteka ω高通 2π π
H ( e j )
π
2π ω
带通
2π π
则：
pi po N
H ( e j ) arg 2 ( N M ) 2 mi 2 pi K 2

因果稳定系统
j
z r , r 1 n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
H (e ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 M 2 mo 0
二、一般转换方法
1、 DLF ALF 2、 DHF AHF ALF 3、 DBF ABF ALF 4、 DBSF ABSF ALF