初中数学《最短路径问题》典型题型复习
八年级数学最短路径题型归纳
八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。
以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：1.两点之间的最短距离：题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。
解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。
2.点到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。
解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。
3.直线到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。
解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短4.点到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。
解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。
5.圆到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。
解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。
6.多边形内的最短路径：题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。
7.立体几何中的最短路径：题型描述：在立体图形中给定两点A和B，求A到B的最短路径。
解题方法：通常需要将立体图形展开为平面图形，然后利用平面几何中的最短路径原理来求解。
在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：准确理解题目要求，确定需要求的是哪两点之间的最短距离。
（完整）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
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（完整）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利⽤平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作⽤。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“⽴体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“⽴体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有⾓、三⾓形、菱形、矩形、正⽅形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
⼀、两点在⼀条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求⼀点P，使得PA+PB最⼩。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）⼆、两点在⼀条直线同侧例：图所⽰，要在街道旁修建⼀个奶站，向居民区A、B提供⽜奶，奶站应建在什么地⽅，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在⼀直线上时，才能使AC+BC最⼩．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、⼀点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐⾓∠MON内部任意⼀点，在∠MON的两边OM，ON上各取⼀点B，C，组成三⾓形，使三⾓形周长最⼩.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在⼀条直线上时，三⾓形的周长最⼩例：如图，A.B两地在⼀条河的两岸，现要在河上建⼀座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平⾏的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的⽅向平移⼀个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
最短路径问题8大典型题
最短路径问题8大典型题1、在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.2、如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是 ( C )A.7 cmB.5 cmC.8 cmD.10 cm3、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是坐标轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C的坐标是 ( D )A.(0，0)B.(0，1)C.(0，2)D.(0，3)4、如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E位置.作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB的交点为E点.图略.5、已知，如图,在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP.点P即为所求.图略.(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长.连接AB并延长,交直线l于点P.图略.6、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B 交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置.图略.7、如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠CAB,N点是AB上的一定点,M 是AD上一动点,要使MB+MN最小,请找点M的位置.连接NC与AD的交点为M点.点M即为所求.图略.8、如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M，N,使△AMN周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数.作A关于BC和CD的对称点A′，A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.∵∠DAB=120°,∴∠HAA′=60°.∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°.∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°.。
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初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图， A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。
解：连接 AB, 线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短 .）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短．解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使AC+ BC 最小．作点 A关于直线“街道”的对称点 A ′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则点 C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角∠ MON内部任意一点，在∠ MON的两边OM，ON上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小 .解：分别作点 A 关于 OM ，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A ′， A ″，分别交 OM ，ON 于点B 、点 C，则点 B、点C 即为所求分析：当 AB 、 BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂A·直）解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接 AE 交河对岸与点M,则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得BN ∥ EM且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,MNEB所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ ACE 中，∵ AC+CE ＞AE, ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN, 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN所以桥的位置建在CD 处， AB 两地的路程最短。
初中数学《最短路径问题》典型题型复习
初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点卞P，使得最小。
二解：连接,线段与直线L的交点P，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.KRI?< 4解：只有A C B在一直线上时，才能使最小.作点A关于直线“街道”的对称点A,然后连接A B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点.三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角/内部任意一点，在/的两边，上各取一点B, C,组成三角形，使三角形周长最小.o解：分别作点A关于，的对称点A , A〃；连接A , A〃，分别交，于点B、点C,则点B、点C即为所求分析：当、和三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1•将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2. 连接交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 //且，，// ,, 所以两地的距，若桥的位置建在处，连接则两地的距离为：在△中，•••> , •••> ,即 >所以桥的位置建在处，两地的路程最短例：如图，A B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，？要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，？可使所修的渠道最短，试在图中确定该点作法：作点B 关于直线a 的对称点点C,连接交直线a 于点D,则点D 为建 抽水站的位置。
初中数学《最短路径问题》典型题型复习
初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。
解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短．解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
A· BMNE证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
八年级最短路径问题30题
八年级最短路径问题30题一．选择题（共10小题）1．如图，等腰ABC ∆的底边BC 长为4cm ，面积为216cm ，腰AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上的动点．则CDM ∆周长的最小值为( )A ．6cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm2．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线EF 分别交AB 、AC 边于点E 、F ，点K 为EF 上一动点，则BK CK +的最小值是以下哪条线段的长度( )A ．EFB ．ABC ．ACD ．BC第1题 第2题 第3题3．如图，20AOB ∠=︒，点M 、N 分别是边OA 、OB 上的定点，点P 、Q 分别是OB 、OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++最小时，则βα-的值为( )A ．10oB ．20oC ．40oD ．50o4．如图，在ABC ∆中，8AC BC ==，120ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段BD ，BC 上的动点，则CE EF +的最小值是( )A ．2B ．4C ．5D ．65．如图，正ABC ∆的边长为1，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC ∆与△A BC ''关于直线l 对称，D 为线段BC '上的一个动点，则AD CD +的最小值为( )A ．2B ．22C ．3D ．13+第4题 第5题 第6题6．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，30A ∠=︒，点D 为AB 的中点，点E 为AC 边上一动点，则BDE ∆的周长的最小值为( )A ．37+B ．235+C ．333+D ．432+7．如图，在平面直角坐标系中，点(2,5)A ，(5,1)B ，(,)C m m -，(3,4)D m m --+，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为( )A ．3B ．2C ．2D ．32第7题 第8题 第9题8．如图，在五边形ABCDE 中，152BAE ∠=︒，90B E ∠=∠=︒，AB BC =，AE DE =．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN ∆的周长最小时，则AMN ANM ∠+∠的度数为( )A ．55︒B ．56︒C ．57︒D ．58︒9．如图，在等腰Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点D 在边BC 上且1CD =，点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，DF 得到DEF ∆，则DEF ∆周长的最小值为( )A ．52B ．213C ．37D ．622+10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，若D ，E 是边AB 上的两个动点，F 是边AC 上的一个动点，3DE =，则CD EF +的最小值为( )A ．3312-B ．33-C ．13+D ．3二．填空题（共10小题）11．如图，在ABC ∆中，10AB AC ==，8AD =，AD 、BE 分别是ABC ∆边BC 、AC 上的高，P 是AD 上的动点，则CPE ∆周长的最小值是 ．第10题 第11题 第12题12．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，已知1BD =，2AD CD ==，BC 上方有一动点P ，且点P 到A ，D 两点的距离相等，则BCP ∆周长的最小值为 ． 13．如图，在ABC ∆中，6AB =，7BC =，4AC =，直线m 是ABC ∆中BC 边的垂直平分线，P 是直线m 上的一动点，则APC ∆的周长的最小值为 ．第13题 第14题 第15题 第16题14．如图，等腰三角形ABC 中，3AB AC ==，30B ∠=︒，点M ，N 为BC 上两个动点，且2MN =，连接AM ，AN ，则AMN ∆周长的最小值为 ．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，10AB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为 ．16．如图，在平面直角坐标系中，点(0,2)A ，(4,1)B ，P 是x 轴上任意一点，当PA PB +取得最小值时，点P 的坐标为 ．17．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的边OA 在x 轴上，且6OA =，点B 的坐标为(2,4)点D 为OA 的中点，AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点E ，点P 为线段CE 上的一动点，当APD ∆的周长最小时，点P 的坐标为 ．第17题 第18题 第19题 第20题18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,6)，点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为 ．19．如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，45ABC ∠=︒，2AB =BD AC ⊥，E 为BD 上一动点，则12CE BE +的最小值为 ．20．如图，CD 是直线1x =上长度固定为1的一条动线段．已知(1,0)A -，(0,4)B ，则四边形ABCD 周长的最小值为 ．三．解答题（共10小题）21．如图，已知ABC ∆是等边三角形，CD AB ⊥于点D ，点E 是AC 的中点．（1）在直线CD 上作一点P ，使PA PE +最小；（2）在（1）的条件下，若12CD =，求线段DP 的长．22．如图，ABC ∆中，26AC AB ==，33BC =．AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．（1）求BE 的长；（2）延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．若M 是DF 上一动点，N 是CF 上一动点，请直接写出CM MN +的最小值为 ．23．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，BD AC ⊥于D ，E 为BC 边上一点，AE 、BD 交于点F ，//EG BD ．（1）求证：AB AG =；（2）当30BAE ∠=︒，2BE =时，在EG 上有一动点P ，求AP BP +的最小值．24．如图，在Rt AOC ∆中，30A ∠=︒，点(0,0)O ，(1,0)C ，点A 在y 轴正半轴上，以AC 为一边作等腰直角ACP ∆，使得点P 在第一象限．（1）求出所有符合题意的点P 的坐标；（2）在AOC ∆内部存在一点Q ，使得AQ 、OQ 、CQ 之和最小，请求出这个和的最小值．25．如图，在直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，30OBA ∠=︒，43OB =，OC 平分AOB ∠．（1）求点A ，C 的坐标；（2）若点P 是y 轴上一动点，连接PA ，PB ，求PA PB +的最小值．26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边BDE ∆，连接AD ，CD ．（1）求证：ADE CDB ∆≅∆；（2）若3BC =，在AC 边上找一点H ，使得BH EH +最小，并求出这个最小值．27．如图①所示，在ABC ∆中，30CAB ∠=︒，45B ∠=︒，AD 是CAB ∠的角平分线，AD 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，F ，G ，连接ED ．（1）求证：ED AG =；（2）已知图②与图①相同，请在图②的线段AD 上找一点P ，使得PG PB +取得最小值，并说明理由；如果10ED =，则PG PB +的最小值是多少？28．已知点P 在MON ∠内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP ． ①若50MON ∠=︒，则GOH ∠= ；②若5PO =，连接GH ，请说明当MON ∠为多少度时，10GH =；（2）如图2，若60MON ∠=︒，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当PAB ∆的周长最小时，求APB ∠的度数．29．如图，C 为线段BD 上的一个动点，分别过点B ，D 作AB BD ⊥，ED BD ⊥，连接AC ，EC ．已知5AB =，1DE =，8BD =，设CD x =．（1）用含x 的代数式表示AC CE +的长；（2）请问：点C 满足什么条件时，AC CE +的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式224(12)9x x ++-+的最小值．30．如图，已知：在坐标平面内，等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为(0,4)，点A 的坐标为(5,1)-，AB 交x 轴于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）求点D 的坐标；（3）如图，点P 在x 轴上，当ACP ∆的周长最小时，求出点P 的坐标；（4）在直线AC 上有点M ，在x 轴上有点N ，求出BM MN +的最小值．八年级最短路径问题30题一．选择题（共10小题）1．如图，等腰ABC∆的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM∆周长的最小值为()A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【解答】解：连接AM，AC的垂直平分线EF交AC于点E，AM CM∴=，CM DM DM AM∴+=+，即A、M、D三点共线时，CM DM+最小值为AD的长，AB AC=，点D为BC的中点，AD BC ∴⊥，122CD BC cm==，等腰ABC∆的底边BC长为4cm，面积为216cm，8AD cm∴=，CDM∴∆周长的最小值为10AD CD cm+=，故选：D．2．如图，在ABC∆中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK CK+的最小值是以下哪条线段的长度()A ．EFB ．ABC ．ACD ．BC【解答】解：连接AK ， EF 是线段AB 的垂直平分线，AK BK ∴=，BK CK AK CK ∴+=+，AK CK ∴+的最小值BK CK =+的最小值，AK CK AC +，∴当AK CK AC +=时，AK CK +的值最小，即BK CK +的值最小，BK CK ∴+的最小值是线段AC 的长度，故选：C ．3．如图，20AOB ∠=︒，点M 、N 分别是边OA 、OB 上的定点，点P 、Q 分别是OB 、OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++最小时，则βα-的值为( )A ．10oB ．20oC ．40oD ．50o【解答】解：如图，作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP PQ QN ++最小，OPM OPM NPQ ∴∠=∠'=∠，OQP AQN AQN ∠=∠'=∠， 11(180)20(180)22QPN AOB MQP αβ∴∠=︒-=∠+∠=︒+︒-， 18040(180)αβ∴︒-=︒+︒-，40βα∴-=︒，故选：C ．4．如图，在ABC ∆中，8AC BC ==，120ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段BD ，BC 上的动点，则CE EF +的最小值是( )A ．2B ．4C ．5D ．6【解答】解：作C 点关于BD 的对称点C '，过C '作C F BC '⊥交BD 于点E ，交BC 于点F ， CE EF C E EF C F ''∴+=+，CE EF ∴+的最小值C F '的长，CC BD '∴⊥，BD 平分ABC ∠，C BG GBC '∴∠=∠，在△C BG '和CBG ∆中，C BG GBC BG BGBGC BGC '∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩， ∴△()C BG CBG ASA '≅∆，BC BC '∴=，8AC BC ==，120ACB ∠=︒，30ABC ∴∠=︒，8BC '=，在Rt BFC '∆中，1sin30842C F BC ''=⋅︒=⨯=， CE EF ∴+的最小值为4， 故选：B ．5．如图，正ABC ∆的边长为1，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC ∆与△A BC ''关于直线l 对称，D 为线段BC '上的一个动点，则AD CD +的最小值为( )A ．2B ．22C ．3D ．13+【解答】解：连接A D '．由图分析可知A D CD '=CD AD AD A D '+=+则当点D 在A A '线段上时，AD A D '+有最小值，最小值2AA ='=．故选：A ．6．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，30A ∠=︒，点D 为AB 的中点，点E 为AC 边上一动点，则BDE ∆的周长的最小值为( )A ．37+B ．235+C ．333+D ．432+【解答】解：如图，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接DB '交AC 于点E '，连接BE '，此时DE BE '+'的值最小．过点D 作DH BB ⊥'于H ，设BB '交AC 于点O ．6BA BC ==，BO AC ⊥， AO OC ∴=，30A BCA ∠=∠=︒，132OB AB ∴==，333AO OC OB ==， AD DB =，//DH AO ，BH OH ∴=，1332DH OA ∴==， 39322HB OH OB '=+'=+=， 2222339()()3322DB DH HB ∴'=+'=+= DE BE ∴+的最小值为33BDE ∴∆的周长的最小值为333+故选：C ．7．如图，在平面直角坐标系中，点(2,5)A ，(5,1)B ，(,)C m m -，(3,4)D m m --+，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为( )A ．3B ．2C ．2D ．32 【解答】解：(2,5)A ，(5,1)B ，(,)C m m -，(3,4)D m m --+，2222(52)(15)345AB ∴=-+-=+=，2222(3)(4)345CD m m m m =--+-++=+=， 5AB CD ∴==，点B 向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A ，点C 向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D ，由平移的性质得：//BC AD ，BC AD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴当BC CD ⊥时，BC 的值最小，(,)C m m -∴点C 在直线y x =-上运动，BC ⊥直线y x =-，∴直线BC 平行直线y x =,∴直线BC 的解析式为y x b =+，把(5,1)B 代入y x b =+得：15b =+，解得：4b =-，4y x ∴=-,联立方程组得：4y x y x =-⎧⎨=-⎩, 解得2:2x y =⎧⎨=-⎩ (2,2)C ∴-，2m ∴=，故选：C ．8．如图，在五边形ABCDE 中，152BAE ∠=︒，90B E ∠=∠=︒，AB BC =，AE DE =．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN ∆的周长最小时，则AMN ANM ∠+∠的度数为( )A ．55︒B ．56︒C ．57︒D ．58︒【解答】解：如图，延长AB 至A '，使A B AB '=，延长AE 至A ''，使A E AE ''=，则BC 垂直平分AA '，DE 垂直平分AA ''，AM A M ∴='，AN A N =''，根据两点之间，线段最短，当A '，M ，N ，A ''四点在一条直线时，A M MN NA '++''最小，则AM MN AN ++的值最小，即AMN ∆的周长最小，AM A M ='，AN A N =''，∴可设MAA MA A x ∠'=∠'=，NAA NA A y ∠''=∠''=，在△AA A '''中，180********x y BAE +=︒-∠=︒-︒=︒，2AMN MAA MA A x ∠=∠'+∠'=，2ANM y ∠=，2256AMN ANM x y ∴∠+∠=+=︒，故选：B ．9．如图，在等腰Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点D 在边BC 上且1CD =，点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，DF 得到DEF ∆，则DEF ∆周长的最小值为( )A ．52B ．213C ．37D ．622+【解答】解：如图，作D 关于AB 的对称点G ，作D 关于AC 的对称点H ，连接BG ，CH ，FH ，GH ，90ABC ∠=︒，90GBE ABC ∴∠=∠=︒，G ∴，B ，D ，C 在同一条直线上， 由对称性可知，3GB DB ==，1CH CD ==，45FCH FCD ∠=∠=︒，FH FD =，EG ED =，90HCG ∴∠=︒，3317GC GB BD DC =++=++=，22227152GH GC CH ∴+=+=，52DE EF FD GE EF FH GH ∴++=++=DEF ∴∆的周长的最小值52． 故选：A ．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，若D ，E 是边AB 上的两个动点，F 是边AC 上的一个动点，3DE =，则CD EF +的最小值为( )A ．3312-B ．33-C ．13+D ．3【解答】解：如图，过C 作AB 的对称点1C ，连接1CC ，交AB 于N ；过1C 作12//C C AB ，且123C C =，过2C 作2C F AC ⊥于F ，交AB 于E ，2C F 的长度即为所求最小值，12//C C DE ，12C C DE =，∴四边形12C DEC 是平行四边形，12C D C E ∴=，又C 、1C 关于AB 对称，1CD C D ∴=，2CD EF C F ∴+=，30A ∠=︒，90ACB ∠=︒，323AC BC ∴==，3CN ∴=，3AN =， 过2C 作2C M AB ⊥，则213C M C N CN ===，21//C M C N ∴，12//C C MN ，123MN C C ∴==， 2MEC AEF ∠=∠，290AFE C ME ∠=∠=︒，230MC E A ∴∠=∠=︒，在Rt △2C ME 中，1ME =，23C M =，22C E =，33123AE AN MN ME ∴=--=--=-，31EF ∴=-， 233213C F ∴=+-=-． 故选：B ．二．填空题（共10小题）11．如图，在ABC ∆中，10AB AC ==，8AD =，AD 、BE 分别是ABC ∆边BC 、AC 上的高，P 是AD 上的动点，则CPE ∆周长的最小值是 16.8 ．【解答】解：过点B 作BE AC ⊥于点E ，BE 交AD 于点P ，则此时PC PE +取最小值，最小值为BE 的长，如图所示．AB AC =，AD 、BE 分别是ABC ∆边BC 、AC 上的高，BP CP ∴=，90ADB ∠=︒，10AB AC ==，8AD =，6BD ∴=，212BC BD ∴==，1122ABC S BC AD AC BE ∆=⋅=⋅， 1289.610BC AD BE AC ⋅⨯∴===． PC PE ∴+的最小值是9.6，90BEC ∠=︒，22365CE BC BE ∴=-=， CPE ∴∆周长的最小值是16.8，故答案为：16.8．12．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，已知1BD =，2AD CD ==，BC 上方有一动点P ，且点P 到A ，D 两点的距离相等，则BCP ∆周长的最小值为 133+ ．【解答】解：点P 到A ，D 两点的距离相等，P ∴点在AD 的垂线平分线l 上，作B 点关于l 的对称点B '，连结B C '交l 于点P ，BP B P '∴=，BP CP B P CP B C ''∴+=+=，此时BCP ∆的周长最小，AD BC ⊥，1BD =，2AD CD ==，2BB '∴=，3BC =，在Rt BCB '∆中，229413B C BC B B ''++，BCP ∴∆133，133．13．如图，在ABCAC=，直线m是ABC∆中BC边的垂直平分线，P是直线mBC=，4∆中，6AB=，7上的一动点，则APC∆的周长的最小值为10．【解答】解：直线m是ABC∆中BC边的垂直平分线，∴=，BP CP=++=+++，∴∆的周长AP PC AC BP AP AC AB ACACP∆的周长最小，∴当A、B、P三点共线时，ACPAC=，BC=，46AB=，7∴∆的周长6410+=，ACP∴∆的周长最小值为10，ACP故答案为10．14．如图，等腰三角形ABC中，3MN=，连接AB AC∠=︒，点M，N为BC上两个动点，且2==，30BAM，AN，则AMN+．∆周长的最小值为213【解答】解：过点A 作//AD BC ，且AD MN =，连接MD ，则四边形ADMN 是平行四边形，MD AN ∴=，作点A 关于BC 的对称点A '，连接AA '交BC 于点O ，连接A M '，则AM A M '=，AM AN A M DM '∴+=+，∴三点D 、M 、A '共线时，A M DM '+最小为A D '的长，//AD BC ，AO BC ⊥，90DAA '∴∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，1322AO AB ∴==， 3AA '∴=，在Rt ADA '∆中，由勾股定理得：22222313A D AD AA ''=++，AMN ∴∆周长的最小值132A D MN '=+． 132．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，10AB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为 245．【解答】解：如图所示：在AB 上取点F '，使AF AF '=，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ． AD 平分CAB ∠，∴根据对称知，EF EF ='，1122ABC S AB CH AC BC ∆==， ∴245AC BC CH AB ==， EF CE EF EC +='+，∴当C 、E 、F '共线，且点F '与H 重合时，FE EC +的值最小，最小值为245， 故答案为245． 16．如图，在平面直角坐标系中，点(0,2)A ，(4,1)B ，P 是x 轴上任意一点，当PA PB +取得最小值时，点P 的坐标为 8(,0)3．【解答】解：在y 轴负半轴上取点A '，使2OA OA ='=，OP ∴垂直平分AA '，(0,2)A '-，PA PA ∴='两点之间，线段最短，∴当A '，P ，B 三点在一条直线上时，PA PB '+的值最小，此时PA PB +取得最小值，设直线A B '的解析式为2y kx =-，代入点B 的坐标(4,1)得，421k -=， 34k ∴=， ∴直线A B '的解析式为324y x =-， 令0y =，则83x =， ∴点P 的坐标为8(3，0)， 故答案为：8(3，0)．17．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的边OA 在x 轴上，且6OA =，点B 的坐标为(2,4)点D 为OA 的中点，AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点E ，点P 为线段CE 上的一动点，当APD ∆的周长最小时，点P 的坐标为 14(5，4)5．【解答】解：如图，连接BC ，PB ，BD ．6OA =，(2,4)B ，45BAO ∴∠=︒， CE 垂直平分线段AB ，CB CA ∴=，PA PB =，45CBA CAB ∴∠=∠=︒，90BCA ∴∠=︒，2OC ∴=，4AC BC ==，3OD DA ==，1CD OD CD ∴=-=，PAD ∆的周长3PD PA AD PB PA =++=++，又BP PD BD +，B ∴，P ，D 共线时BP PD +的值最小，直线CE 的解析式为2y x =-，直线BD 的解析式为412y x =-+，由2412y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得14545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴满足条件的点14(5P ，4)5． 故答案为：14(5，4)5． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,6)，点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为 92．【解答】解：如图，以AP 为边作等边三角形APE ，连接BE ，过点E 作EF AP ⊥于F ，点A 的坐标为(0,6)，6OA ∴=，点P 为OA 的中点，3AP ∴=，AEP ∆是等边三角形，EF AP ⊥，32AF PF ∴==，AE AP =，60EAP BAC ∠=∠=︒， BAE CAP ∴∠=∠，在ABE ∆和ACP ∆中，AE AP BAE CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACP SAS ∴∆≅∆，BE PC ∴=，∴当BE 有最小值时，PC 有最小值，即BE x ⊥轴时，BE 有最小值，BE ∴的最小值为39322OF OP PF =+=+=， PC ∴的最小值为92，故答案为92． 19．如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，45ABC ∠=︒，2AB =，BD AC ⊥，E 为BD 上一动点，则12CE BE +的最小值为 3262- ．【解答】解：作CF AB ⊥于F ，交BD 于E ，此时12CE BE CE EF CF +=+=最小， 60A ∠=︒，45ABC ∠=︒，BD AC ⊥，30ABD ∴∠=︒，12EF BE ∴=，CF BF =，3AF CF =， 2AB BF AF =+=，32CF CF ∴+=， 326CF -∴=， 12CE BE ∴+的最小值为：326-．20．如图，CD 是直线1x =上长度固定为1的一条动线段．已知(1,0)A -，(0,4)B ，则四边形ABCD 周长的最小值为 17132+ ．【解答】解：如图，在y 轴上取点E ，使1BE CD ==，则四边形BCDE 为平行四边形，(0,4)B ，(1,0)A -，4OB ∴=，1OA =，3OE ∴=，221417AB +作点A 关于直线1x =的对称点A '，(3,0)A '∴，AD A D '=，AD DE A D DE '∴+=+，即A '、E 、D 三点共线时，AD DE +最小值为A E '的长， 在Rt △A OE '中，由勾股定理得223332A E '=+，ABCD C ∴四边形最小值17132AB CD BC AD AB CD A E '=+++=+++ 17132+三．解答题（共10小题）21．如图，已知ABC ∆是等边三角形，CD AB ⊥于点D ，点E 是AC 的中点．（1）在直线CD 上作一点P ，使PA PE +最小；（2）在（1）的条件下，若12CD =，求线段DP 的长．【解答】解：（1）如图，ABC ∆是等边三角形，CD AB ⊥，∴点E 关于直线CD 的对称点F 在线段CB 上，连接AF 交CD 于点P ，连接PE ，此时PA PE +的值最小．即点P 即为所求作．（2）12CD =，90CDA ∠=︒，60CAD ∠=︒，30ACD ∴∠=︒，2AC AD ∴=，222412AD AD ∴=+ 43AD ∴=，AE EC =，E ，F 关于CD 对称，CF BF ∴=，AC AB =，30BAF CAF ACD ∴∠=∠=∠=︒，2PA PC PD ∴==143PD CD ∴==．22．如图，ABC ∆中，26AC AB ==，33BC =AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．（1）求BE 的长；（2）延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．若M 是DF 上一动点，N 是CF 上一动点，请直接写出CM MN +的最小值为 33 ．【解答】解：（1）3AB =，6AC =，33BC =222AB BC AC ∴+=，90ABC ∴∠=︒，1sin 2AB ACB AC ∠==，30ACB ∴∠=︒，ED 垂直平分线段AC ，3AD CD ∴==， 23cos30CDCE ∴==︒，3BE BC CE ∴=-=（2）连接AE ，延长AE 交CF 于H ，CB ，FD 是ACF ∆的高，AH ∴也是高，FD 垂直平分线段AC ，CM AM ∴=， CM MN AM MN ∴+=+，AM MN AH +，sin 6033AH AC =⋅︒=，33CM MN ∴+，CM MN ∴+的最小值为33故答案为：3323．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，BD AC ⊥于D ，E 为BC 边上一点，AE 、BD 交于点F ，//EG BD ．（1）求证：AB AG =；（2）当30BAE ∠=︒，2BE =时，在EG 上有一动点P ，求AP BP +的最小值．【解答】解：（1）BD AC ⊥于D ，//EG BD ，EG AC ∴⊥， AE 平分BAC ∠，90ABC ∠=︒，BE EG ∴=，在Rt ABE ∆和Rt AGE ∆中，BE GE AE AE =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt AGE(HL)∴∆≅∆，AB AG ∴=；（2）30BAE ∠=︒，AE 平分BAC ∠，60BAC ∴∠=︒，30CAE ∠=︒，90ABC ∠=︒，30C ∴∠=︒，AE EC ∴=，EG AC ⊥，AG CG ∴=，A ∴与C 关于EG 对称，连接BC 与EG 的交点即为P 点，此时P 点与E 重合，PA PB BC +=，值最小， 2BE =，30BAE ∠=︒， 323AB BE ∴==，在Rt ABC ∆中，30C ∠=︒，33236BC AB ∴==⨯=，AP BP ∴+的最小值为6．24．如图，在Rt AOC ∆中，30A ∠=︒，点(0,0)O ，(1,0)C ，点A 在y 轴正半轴上，以AC 为一边作等腰直角ACP ∆，使得点P 在第一象限．（1）求出所有符合题意的点P 的坐标；（2）在AOC ∆内部存在一点Q ，使得AQ 、OQ 、CQ 之和最小，请求出这个和的最小值．【解答】解：（1）(1,0)C ，1OC ∴=，在Rt AOC ∆中，30A ∠=︒，2AC ∴=，3OA如图1，①当AC AP =，90CAP ∠=︒，过1P 作1PB y ⊥轴于B ， 则1ABP COA ∆≅∆，1AB OC ∴==，13BP AO ==13OB ∴=，1(3P ∴13)；②当AC CP =，90ACP ∠=︒，过2P 作2P D x ⊥轴于D ，同理可得：CD OA ==，21P D =，2(1P ∴1)；③当CP AP =，90APC ∠=︒，过3P 作3P E x ⊥轴于E ，则3P 是2AP 的中点，12OE OD ∴==321()2P E OA P D =+，3P ∴；综上所述，P ，1，(1+1)，；（2）如图2，任取AOC ∆内一点Q ，连接AQ 、OQ 、CQ ，将ACQ ∆绕点C 顺时针旋转60︒得到△A CQ '’，2AC AC ∴'==，CQ CQ ='，AQ A Q =''，60ACA QCQ ∠'=∠'=︒，QCQ ∴∆'是等边三角形，CQ QQ ∴='，AQ OQ CQ A Q OQ QQ ∴++=''++’， ∴当A Q ''，OQ ，QQ '这三条线段在同一直线时最短，即AQ OQ CQ ++的最小值OA ='， 60ACO ACA ∠=∠'=︒，60ACB ∴∠'=︒，过A '作A B x '⊥轴于B ，12BC A ∴=’ 1C =，A B ' 2OB ∴=，A O ∴'AQ ∴、OQ 、CQ25．如图，在直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，30OBA ∠=︒，43OB =，OC 平分AOB ∠．（1）求点A ，C 的坐标；（2）若点P 是y 轴上一动点，连接PA ，PB ，求PA PB +的最小值．【解答】解：（1）如图1，作AH OB ⊥于H ，CE OB ⊥于E ．在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，43OB =60AOB ∴∠=︒，1232OA OB == 30OAH ∴∠=︒，132OH OA ∴==， 2222(23)(3)3AH OA OH ∴--=，(3A ∴，3)， OC 平分AOB ∠，30COB CBO ∴∠=∠=︒，CO CB ∴=，CE OB ⊥，23OE EB ∴==2OC CE =，222OC CE OE -=，222(2)(23)CE CE ∴-=，2EC ∴=，(23C ∴2)；（2）如图2中，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于P ，连接PA ，此时PA PB +的值最小．A，3)，A，A'关于y轴对称，(3∴'-，3)，(3AB，0)，(4322∴+='+='=+=，PA PB PA PB BA(53)3221∴+的最小值为221．PA PB26．如图，在Rt ABC∆，连BAC∠=︒，E为AB边的中点，以BE为边作等边BDE ∆中，90ACB∠=︒，30接AD，CD．（1）求证：ADE CDB∆≅∆；（2）若3+最小，并求出这个最小值．BC=，在AC边上找一点H，使得BH EH【解答】（1）证明：在Rt ABC∠=︒，E为AB边的中点，BAC∆中，30∠=︒．ABCBC EA∴=，60∆为等边三角形，DEB∴=，60DB DE∠=∠=︒，DEB DBE∠=︒，∴∠=︒，120DBC120DEA∴∠=∠DEA DBC∴∆≅∆．ADE CDB（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H 即为符合条件的点．由作图可知：EH HE '=，AE AE '=，30E AC BAC '∠=∠=︒．60EAE '∴∠=︒，EAE '∴∆为等边三角形， ∴12EE EA AB '==， 90AE B '∴∠=︒，在Rt ABC ∆中，30BAC ∠=︒，3BC =，∴23AB =，3AE AE '==，∴2222(23)(3)3BE AB AE ''=-=-=，BH EH ∴+的最小值为3．27．如图①所示，在ABC ∆中，30CAB ∠=︒，45B ∠=︒，AD 是CAB ∠的角平分线，AD 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，F ，G ，连接ED ．（1）求证：ED AG =；（2）已知图②与图①相同，请在图②的线段AD 上找一点P ，使得PG PB +取得最小值，并说明理由；如果10ED =，则PG PB +的最小值是多少？【解答】（1）证明：如图1，连接DG ，EG 垂直平分AD ，AF DF ∴=，EG AD ⊥， AD 平分CAB ∠，EAF GAF ∴∠=∠，90AFE AFG ∠=∠=︒，AEF AGE ∴∠=∠，AE AG ∴=，EF FG ∴=，AF DF =，AD EG ⊥，∴四边形DEAG 是菱形，DE AG ∴=；（2）解：如图2，连接EB 交AD 于P ，连接PG ，此时PG PB +最小，理由如下：在AD 上任取一点P '（不与P 重合），连接EP '、BP '、GP '，由（1）知：AD 是EG 的垂直平分线，EP PG ∴=，EP GP ''=，EB EP PB PG PB ∴=+=+，△EP B '中，EP BP P G BP EB ''''+=+>，即P G P B PG PB ''+>+，此时PG PB +的值最小，如图3，过E 作EH AB ⊥于H ，过D 作DM AB ⊥于M ，则EH DM =，Rt AEH ∆中，10AE ED ==，30CAB ∠=︒，5EH ∴=，5DM ∴=，Rt DMB ∆中，45ABC ∠=︒，5DM BM ∴==，10ED HM ==，10515BH HM BM ∴=+=+=，Rt EHB ∆中，2222515250510BE EH HB =+=+==，即PG PB +的最小值是510．28．已知点P 在MON ∠内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP ． ①若50MON ∠=︒，则GOH ∠= 100︒ ；②若5PO =，连接GH ，请说明当MON ∠为多少度时，10GH =；（2）如图2，若60MON ∠=︒，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当PAB ∆的周长最小时，求APB ∠的度数．【解答】解：（1）①点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ， OG OP ∴=，OM GP ⊥，OM ∴平分POG ∠，同理可得ON 平分POH ∠，2250100GOH MON ∴∠=∠=⨯︒=︒，故答案为：100︒；②5PO =，5GO HO ∴==，当90MON ∠=︒时，180GOH ∠=︒，∴点G ，O ，H 在同一直线上，10GH GO HO ∴=+=；（2）如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，P P '''交OM 、ON 于点A 、B ，连接PA 、PB ，则AP AP '=，BP BP = “，此时PAB ∆周长的最小值等于P P '''的长． 由轴对称性质可得，OP OP OP '=''=，P OA POA ∠'=∠，P OB POB ∠''=∠，2260120P OP MON ∴∠'''=∠=⨯︒=︒，(180120)230OP P OP P ∴∠'''=∠'''=︒-︒÷=︒，30OPA OP A '∴∠=∠=︒，同理可得30BPO OP B ∠=∠''=︒，303060APB ∴∠=︒+︒=︒．29．如图，C 为线段BD 上的一个动点，分别过点B ，D 作AB BD ⊥，ED BD ⊥，连接AC ，EC ．已知5AB =，1DE =，8BD =，设CD x =．（1）用含x 的代数式表示AC CE +的长；（2）请问：点C 满足什么条件时，AC CE +的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2224(12)9x x +-+【解答】解：（1）22225(8)AC AB BC x =+=+-， 2221CE CD DE x =+=+，22125(8)AC CE x x ∴+=+++-；（2）当A 、C 、E 三点共线时，AC CE +的值最小， 过A 作AF DE ⊥交ED 的延长线于F ，5DF AB ∴==，226810AE ∴=+=，AC CE ∴+的最小值是10；（3）如图2所示，作12BD =，过点B 作AB BD ⊥，过点D 作ED BD ⊥，使2AB =，3ED =，连接AE 交BD 于点C ，设BC x =，则AE 的长即为代数式224(12)9x x ++-+的最小值． 过点A 作//AF BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ， 则2AB DF ==，12AF BD ==，325EF ED DF =+=+=， 所以2213AE AF EF =+=，即224(12)9x x ++-+的最小值为13．30．如图，已知：在坐标平面内，等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为(0,4)，点A 的坐标为(5,1)-，AB 交x 轴于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）求点D 的坐标；（3）如图，点P 在x 轴上，当ACP ∆的周长最小时，求出点P 的坐标；（4）在直线AC 上有点M ，在x 轴上有点N ，求出BM MN +的最小值．【解答】解：（1）如图，过A 点作AM y ⊥轴于M ，过B 点作BN y ⊥轴于N ，点C 的坐标为(0,4)，点A 的坐标为(5,1)-，C 的坐标为(0,4)， 5AM ∴=，3CM =，90ACB ∠=︒，90ACM CAM ACM BCN ∴∠+∠=︒=∠+∠， CAM BCN ∴∠=∠，在ACM ∆和CBN ∆中，CAM BCN AMC CNB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACM CBN AAS ∴∆≅∆，5CN AM ∴==，3BN CM ==， 541ON CN OC ∴=-=-=，（2）设直线AB的解析式为y kx b=+，把(5,1)A-，(3,1)B-代入得5131k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得1414kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AB的解析式为1144y x=--，令0y=，则1144x=--，解得1x=-，(1,0)D∴-；（3）如图，作C点关于x轴的对称点C'，连接AC'交x轴于点P，此时PA PC+最小，即ACP∆的周长最小，C的坐标为(0,4)，C∴'的坐标为(0,4)-，设直线AC'的解析式为y mx n=+，∴514m nn-+=⎧⎨=-⎩，解得14mn=-⎧⎨=-⎩，∴直线AC'的解析式为4y x=--，令0y=，则4x=-，(4,0)P∴-；（4）如图，延长BC至B'，使B C BC'=，过B'作B N x'⊥轴，交AC于M，根据垂线段最短可知BM MN+的最小值为B N'，(3,1)B-，(0,4)C，9∴'=，BN∴+的最小值为9．BM MN。
(完整版)初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形 原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。
初中数学八年级上册最短路径基本问题整理汇总(共12个-考试必考)
八年级数学上册最短路径基本问题汇总
经典例子解析
例一、在解决最短路径问题时, 我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择。
例二、已知，如图,在直线l的同侧有两点A、 B
例三图例四图
(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长
例三、如上图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB 的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( )
A.7 cm
B.5 cm
C.8 cm
D.10 cm
例四、如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置例五、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？
参考答案
例一：轴对称平移
例二：(1)作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP；点P即为所求(2)连接AB并延长,交直线l于点P
例三：C
例四：作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB的交点为E点
例五：①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D 作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置。
初中数学八年级上册最短路径基本问题整理汇总(共12个-考试必考)
八年级数学上册最短路径基本问题汇总
经典例子解析
例一、在解决最短路径问题时, 我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择。
例二、已知，如图,在直线l的同侧有两点A、 B
例三图例四图
(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长
例三、如上图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB 的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( )
A.7 cm
B.5 cm
C.8 cm
D.10 cm
例四、如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置例五、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？
参考答案
例一：轴对称平移
例二：(1)作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP；点P即为所求(2)连接AB并延长,交直线l于点P
例三：C
例四：作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB的交点为E点
例五：①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D 作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置。
初二最短路径问题归纳
最短路径问题专题学习【基本问题】【问题 1】作法图形AlB连 AB，与 l 交点即为P．在直线l 上求一点P，使PA+PB值最小．【问题 2】“将军饮马”作法图形ABl作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为 P．在直线 l 上求一点 P，使PA+PB值最小．【问题 3】作法图形l 1P分别作点P 关于两直线的l2对称点 P＇和 P＇，连 P＇ P＇，在直线 l1、 l 2上分别求点与两直线交点即为M， N．M、 N，使△ PMN的周长最小．【问题 4】作法图形l 1分别作点Q 、P 关于直线QP、 l 2的对称点Q＇和 P＇l 1l2连 Q＇P＇，与两直线交点即在直线 l1、 l 2上分别求点为 M，N．M、N，使四边形 PQMN的周可编写可更正原理两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB．原理两点之间线段最短．PA+PB最小值为 A B＇．原理两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段 P＇P＇＇的长．原理两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇的长．1-1-可编写可更正长最小．【问题 5】“造桥选址”作法图形原理AMmNn将点 A向下平移 MN的长度两点之间线段最短．B直线 m ∥ n ，在 m 、 n ，单位得 A＇，连 A＇B，交n于AM+MN+BN的最小值为上分别求点M、 N，使 MN 点 N，过 N作 NM⊥m于 M．A＇B+MN．⊥m ，且AM+MN+BN的值最小．【问题 6】作法图形原理ABlM a N在直线 l 上求两点M、N（ M 在左），使 MN a ，并使AM+MN+NB的值最小．【问题 7】l1Pl 2在 l 1上求点 A，在 l 2上求点 B，使 PA+AB值最小．【问题 8】l 1NAl2M BA 为 l1上必然点，B 为 l 2上将点 A 向右平移a个长度单位得 A＇，作 A＇关于 l 的两点之间线段最短．对称点＇，连＇，交直线+ +的最小值为A AB AM MNBNl 于点 N，将 N点向左平移＇+．ABMNa 个单位得M．作法图形原理作点P 关于 l 1的对称点点到直线，垂线段最短．P＇，作 P＇B⊥l 2于B+ 的最小值为线段＇，交 l 2PA AB P B 于 A．的长．作法图形原理作点 A 关于 l 2的对称点A＇，作点 B 关于 l1的对称两点之间线段最短．点 B＇，连 A＇B＇交l 2于 M，AM+MN+NB的最小值为线段于 N．A＇B＇的长．交 l 12-2-可编写可更正必然点，在l 2上求点M，在l 1上求点N ，使AM+MN+NB的值最小．【问题 9】作法图形原理AB垂直均分上的点到线段两l连，作的中垂线与AB AB端点的距离相等．l P直线的交点即为．在直线上求一点l P，使PA PB 的值最小．PA PB ＝0．【问题 10】作法图形原理Al作 B 关于 l 的对称点 B＇三角形任意两边之差小于B作直线 A B＇，与 l 交点即第三边． PA PB ≤＇．AB在直线 l上求一点P，使为 P．PA PB 最大值＝AB＇．PA PB 的值最大．【优选练习】1．以下列图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形 ABCD内，在对角线AC上有一点，使+ 的和最小，则这个最小值为（）A DPPDPEA．2 3B．26C． 3D． 6PEB C2．如图，在边长为 2 的菱形中，∠＝ 60°，若将△绕点A 旋转，当′、′分别与、ABCD ABC ACD AC AD BC 交于点、，则△的周长的最小值为（）CD E F CEFA． 2B．2 3 C ．2 3 D．4CA D3-3-AD ENBM可编写可更正第2题第3题第4题第5题3．四边形ABCD中，∠ B＝∠ D＝90°，∠ C＝70°，在 BC、 CD上分别找一点M、 N，使△ AMN的周长最小时，∠ AMN+∠ ANM的度数为（）A． 120°B．130°C．110°D．140°4．如图，在锐角△ABC中， AB＝4 2 ，∠BAC＝45°，∠BAC的均分线交BC于点 D，M、 N分别是 AD和 AB上的动点，则BM+MN的最小值是．5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝ 6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），且 ED＝ AE，则线段 AE的取值范围是．6．如图，∠AOB＝ 30°，点M、N分别在边O A、OB上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q分别在边 OB、OA上，则MP＋ PQ＋ QN的最小值是_________．第6题第7题7．如图，三角形△ABC中，∠ OAB＝∠ AOB＝15°，点 B在 x 轴的正半轴，坐标为B(6 3，0)．OC均分∠ AOB，点 M在 OC的延长线上，点N为边 OA上的点，则MA＋ MN的最小值是______．8．已知A（ 2， 4）、B（ 4， 2）．C在 y 轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为，此时 C、 D两点的坐标分别为y．AB9．已知A（ 1， 1）、B（ 4， 2）．（ 1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；O x yBAO x 4- 4 -可编写可更正（ 2）P为x轴上一动点，求PA PB 的值最大时P点的坐标；yBAO x（ 3）CD为x轴上一条动线段，D在 C点右边且 CD＝1，求当 AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；yBAO C D x10．点C为∠AOB内一点．（ 1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△ CDE的周长最小，请画出图形；（ 2）在（ 1）的条件下，若∠AOB＝30°， OC＝10，求△ CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．ACO B5-5-。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：最短路径问题
专题13.4最短路径问题1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点.⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB<AC f +C* 3 如下：证明：由作图可知，点万和万‘关于直线/对称，所以直线/是线段宓’的垂直平分线.因为点Q与C'在直线上，所以BC=B' G BC =B f r C f・在G 中,AB' <AC r +B f C ,所以AC+B' C<AC r +B f C ,所以AC+BC<AC f+C‘ B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越个核心，所有作法都相同.利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问.3.利用平移确左最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.4.生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.Cy __-7 B5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.对点例题解析【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小.A【例题2】如图，小河边有两个村庄出B.要在河边建一自来水厂向川村与万村供水.(1)若要使厂部到心万村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到川，万两村的水管最短，应建在什么地方？【例题3】如图，从川地到万地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到万地的路程最短？【例题4】如图所示，A, 3两点在直线2的两侧，在/上找一点G使点C到点月、万的距离之差最大.如JII练题1 •直线』左侧有两点只Q，试在直线上确左一点Q使得防％最短.2•如图，△月氏与△处关于某条直线对称，请画岀对称轴.A DC F3•如图，A.万为重庆市内两个较大的商圈，现需要在主要交通干道』上修建一个轻轨站只问如何修建,4•如图，四边形ABCD 中，ZBAD=120° , ZB=ZD=90°,在BC、CD ±分别找一点M、N,使Z\AMN 周长最小时，则ZAMN+ZANM的度数为（）C. 110°D. 100°5•如图，两条公路0A. 0B相交，在两条公路的中间有一个汕库，设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运汕车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加汕站，最后回到汕库所走的路程最短.专题13.4最短路径问题1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点.⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB<AC f +C* 3 如下：证明：由作图可知，点万和万‘关于直线/对称，所以直线/是线段宓’的垂直平分线.因为点Q与C'在直线上，所以BC=B' G BC =B f r C f・在G 中,AB' <AC r +B f C ,所以AC+B' C<AC r +B f C ,所以AC+BC<AC f+C‘ B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越个核心，所有作法都相同.利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问.3.利用平移确左最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.4.生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.Cy __-7 B5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.对点例题解析【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小.A【答案】见解析。
初中奥数辅导《最短路径问题》典型例题
初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。
解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短．解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
A· BMNE证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
初中数学中考复习专题 最短路径问题 24张
●
A' ●
P
B ● l
最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算 法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两 结点之间的最短路径算法形式包括：
一、确定起点的最短路径问题
二、确定终点的最短路径问题
三、确定起点、终点的最短路径问题
四、全局最短路径问题
问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”
作B关于l 的对称点B ＇,作直线 A B＇与l 交点即为P
．
图形
原理
三角形任意两边 之差小于第三边 ︱PA-PB︱≤AB＇． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB＇
问题12 “费马点”
作法
图形
原理
所求点为“费马点”，
既满足
△ABC中每一 内角都小于
∠APB=∠BPC=∠ APC=1200.以AB、
1200，在 △ABC内求一
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
长
问题9
作法
A
B l
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB， 作AB的 中垂线与 直线l的交 点即为P
AC为边向外作等边 △ABD、△ACE,连
点P，使
CD、BE相交于P，
PA+PB+PC最 点P即为所求点.
小．
两点之间 线段最
短.PA+PB+ PC最小值
=CD.
随堂练习一
如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，
初中最短路径问题例题
初中最短路径问题例题一、初中最短路径问题例题1. 例题1如图，A、B两个村庄位于一条小河的两侧，现要在小河上建一座桥，使得从A村到B村的路程最短，桥应建在何处？（假设小河两岸平行）解题思路：我们可以把小河的宽度平移，将A点沿垂直于河岸的方向平移小河的宽度到A'点，然后连接A'B，A'B与靠近B村的河岸交点为建桥的位置。
因为两点之间线段最短，我们通过平移把折线转化为直线，就找到了最短路径。
2. 例题2在一个正方形ABCD中，E为AB中点，F为AD上一点，且AF = 1/4AD，P为对角线BD上一动点，求PE+PF的最小值。
解题思路：利用正方形的对称性。
因为正方形关于对角线BD对称，所以点F关于BD的对称点F'在CD上，且CF'=AF。
连接EF'，则EF'的长度就是PE + PF的最小值。
根据勾股定理可求出EF'的长度。
3. 例题3已知平面直角坐标系中有A(1,3)、B(5, - 1)两点，在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求P点坐标。
解题思路：作A点关于x轴的对称点A'(1, - 3)，连接A'B，设A'B所在直线的解析式为y = kx + b，把A'(1, - 3)和B(5, - 1)代入可求出解析式，令y = 0，即可求出P点坐标。
因为A'和A 关于x轴对称，所以PA = PA'，那么PA+PB = PA'+PB，当A'、P、B三点共线时，值最小。
4. 答案与解析例题1答案：按上述方法确定建桥位置。
解析：平移是关键，把实际的折线路程转化为直线的两点间距离问题，利用两点之间线段最短的原理。
例题2答案：先求出EF'的长度。
根据E为AB中点，AB = AD，AF = 1/4AD，可得AE = 1/2AD，CF'=1/4AD，DF'=3/4AD。
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初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。
解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短．解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
A· BMNE证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB所以抽水站应建在河边的点D 处，例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C 关于直线 OA 的对称点点D, 2. 作点C 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE 分别交直线OA.OB 于点M.N ，则CM+MN+CN 最短例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
作法：1.作点C 关于直线 OA 的 对称点点F, 2. 作点D 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接EF 分别交直线OA.OB 于点G .H ，则CG+GH+DH 最短四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？ （5或4）··CDA B Ea四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C．D．5分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将圆柱体展开，连接A、C，∵==•π•=4，BC=3，根据两点之间线段最短，AC==5．故选D．五、在长方体（正方体）中，求最短路程1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了然后进行比较大小，即可得到最短路程.例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；所以最短路径长为cm．例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A．4.8 B． C．5 D．分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．解：有两种展开方法：①将长方体展开成如图所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==；②将长方体展开成如图所示，连接A 、B ，则AB==5＜；所以最短距离 5例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的．分析：根据题意构建直角三角形ABC ，利用勾股定理解答．解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则BC=4﹣1=3m ，AB=9﹣4=5m ， 在Rt △ABC 中，AC===4．例：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且＞AD ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米． 于是最短路径为：=2.60米．例：如图，AB 为⊙O 直径，AB=2，OC 为半径，OC ⊥AB,D 为AC 三等分点，点P 为OC 上的动点，求AP+PD 的最小值。
分折：作D 关于OC 的对称点D ’，于是有PA+PD ’≥AD ’,（当且仅当P 运动到P o 处，等号成立，易求AD ’六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 （结果保留根式）小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长， 根据题意可得出：2πr=n.π.OA,/180则， 则2×π×2=， 解得：n=90°，由勾股定理求得它的弦长AAn ×π×8 180一、题中出现一个动点。
当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例：如图，在正方形ABCD 中，点E 为AB 上一定点， 且BE=10,CE=14,P 为BD 上一动点，求PE+PC 最小值。
分析：作E 关于BD 对称点E ’，E ’在AB 上， 有PE+PC=PE ’+PC ≥E ’C 易求E ’C=26。
二、题中出现两个动点。
当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。
例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD 周长最短时,求 m n。
分折:因AB 长为定值,四边形周长最短时有BC+CD+DA 最短,作B 关于y 轴对称点B ’, A 关于x 轴对称点A ’,DA+DC+BC=DA ’+DC+B ’C ≥B ’A ’(当D,C 运动到AB 和x 轴y 轴的交点时等号成立),易求直线A ’B ’解折式y= 23x+73,C0(0,73),D0(-72,0),此时m n =- 23三、题中出现三个动点时。
在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点,(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.例：如图，在菱形ABCD 中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P 分别为AB,BC,AC 上动点,求PE+PF 最小值分折:作E关于AC所直线的对称点E’,于是有,PE+PF=PF+PE’≥E’F,又因为E在AB上运动,故当EF和AD,BC垂直时，E0F最短,易求E0F=例：如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值。
分折：作P关于OA，OB对称点P1，P2 。
于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2≥P1P2，由对称性易知△P1OP2为等腰RT△,OP=OP1=OP2=10,P1P2=总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
1、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．2、利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．。