高三导数经典例题

导数经典例题

1导数的概念， 2导数的几何意义， 3物理意义,

4几种常见函数的导数

5两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，

6利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值

例1．⎩⎨

⎧>+≤==1

1

)(2

x b

ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b

例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：

（1）0(3)()

lim 2h f a h f a h h

→+--； （2）20()()lim h f a h f a h →+-

例3．（1）求曲线122

+=x x

y 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2

221t t

t S +-=，求t=3时的速度。

例4． 求下列函数单调区间 （1）522

1)(2

3

+--

==x x x x f y （2）x x y 1

2-=

（3）x x

k y +=2

)0(>k （4）22ln y x x =-

例5．求证下列不等式

（1）)

1(2)1ln(22

2x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x （2）π

x

x 2sin >

)2

,

0(π

∈x

例6．求满足条件的a

（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数 （2）使a ax x y ++=3

为R 上增函数 （3）使5)(2

3

-+-=x x ax x f 为R 上增函数

例7．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，理工农医类19）） 设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.

例8．已知抛物线42

-=x y 与直线y=x+2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为1l 和2l 。

（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求直线1l 与2l 的夹角。

例9．（2001年天津卷）设0>a ，x

x e a a e x f +=)(是R 上的偶函数。 （I ）求a 的值；

（II ）证明)(x f 在),0(+∞上是增函数

例10．（2000年全国、天津卷）设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a 。

（I ）解不等式1)(≤x f ；

（II ）证明：当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数。

练习题

1．设函数f(x)在0x 处可导，则x

x f x x f x ∆-∆-→∆)

()(lim

000

等于 （ ）

A ．)('0x f

B ．)('0x f -

C ．0'()f x -

D ．)(0x f -- 2．若13)

()2(lim

000

=∆-∆+→∆x

x f x x f x ，则)('0x f 等于 （ ）

A ．

32 B ．2

3

C ．3

D ．2 3．曲线x x y 33

-=上切线平行于x 轴的点的坐标是 （ ）

A ．（-1，2）

B ．（1，-2）

C ．（1，2）

D ．（-1，2）或（1，-2）

4．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为（ ） A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角

5．函数512322

3

+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ）

A ．5，－15

B ．5，－4

C ．－4，－15

D ．5，－16

6．一直线运动的物体，从时间t 到t+△t 时，物体的位移为△s ，那么t

s

t ∆∆→∆0lim 为（ ）

A ．从时间t 到t+△t 时，物体的平均速度

B ．时间t 时该物体的瞬时速度

C ．当时间为△t 时该物体的速度

D ．从时间t 到t+△t 时位移的平均变化率

7．关于函数762)(2

3+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数

D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内，)(x f 为增函数

8．对任意x ，有3

4)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 （ ）

A ．4

)(x x f = B ．2)(4

-=x x f C ．1)(4

+=x x f D ．2)(4

+=x x f

9．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （ ） （1）x x x f x f x ∆∆--→∆2)2()(lim

000

； （2）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)

()(lim 000；

（3）x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()2(lim

000

（4）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)2()(lim 000。

A ．（1）（2）

B ．（1）（3）

C ．（2）（3）

D ．（1）（2）（3）（4）

10．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷理工农医类16））

f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令

g （x ）=af （x ）+b ，则下 列关于函数g （x ）的叙述正确的是（ ）

A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.

B ．若a =－1，－2

C ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根.

D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.

11．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程是_____________。 12．设x

x x f 1

)(-

=，则它与x 轴交点处的切线的方程为______________。 13．设3)('0-=x f ，则=---→h

h x f h x f h )

3()(lim

000

_____________。

14．垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线532

3

-+=x x y 相切的直线的方程是________． 15．已知曲线x

x y 1+

=，则==1|'x y _____________。

16．y=x 2e x 的单调递增区间是

17．曲线3213+=x y 在点)4,1(3处的切线方程为____________。 18．P 是抛物线2

x y =上的点，若过点P 的切线方程与直线12

1

+-=x y 垂直，则过P 点处的切线方程是____________。

19．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物线上过点P 的切线与过这两点的割线平行，则P 点的坐标为_____________。