导数及其应用PPT课件

解:
__
s 1 v 2 g g ( t ) t 2
O s(2) s(2+t)
(1)将 Δ t=0.1代入上式，得: __
v 2.05g 20.5m / s.
s
(2)__ 将 Δ t=0.01代入上式，得:
( 3)当t 0,2 t 2,
__
v 2.005g 20.05m / s.
小结：
• 1.函数的平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
练习：
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1 时割线的斜率. K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。
应用：
• 例3．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的 规律做直线运动， （１）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；
1 0 0.62(dm / L)
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16(dm 显然 气球的平均膨胀率为 r (2) r (1)
2 1 0.16(dm / L)0.62>0.16
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
从而平均速度 v 的极限为： __ s v lim v lim 2 g 20m / s. s t 0 t 0 t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔Δ t 逐渐变小时,平均速度就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
作业：
• 第二教材P67 A 1、2、4，B 5
3.1.2 导数的概念
• 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如，
当Δt趋近于0时,平均 t=2时的）瞬时速度？ 速度有什么变化趋势?
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
应用：
1 2 s gt 其 例1 物体作自由落体运动,运动方程为： 2 2
中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s .求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
3.1.1变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可 以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增 加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
我们来分析一下:
• 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) r
3 3V 3 • 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) 4 • 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) r (0)
应用：
• 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
关键是求出：
f x3 x f 再求出lim x x 0
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
通过列表看出平均速度的变化趋势
：
瞬时速度?
• 我们用
t 0
lim h(2 t ) h(2) 13.1
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”. • 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t
这里Δx看作是对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代 替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f • 观察函数f(x)的图象
f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 y x2 x1 f(x )
2
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1)
请计 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v : 算
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，
需要用瞬时速度描述运动状态。
平均变化率定义:
f(x ) f ( x ) 2 1 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
B
表示什么?
f(x1)
A x x1 x2
直线AB的斜 率
O
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( )D A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
第三章 导数及其应用
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。