电动力学知识点归纳

《电动力学》知识点归纳
一、试题结构 总共四个大题：
1．单选题（'210⨯）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式，
及对它们的理解。

2．填空题（'210⨯）：主要考察基本概念和基本公式。

3．简答题 ('35⨯)：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意
义的理解。

4. 证明题 （''78+）和计算题（''''7689+++）：考察能进行简单
的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。

例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。

二、知识点归纳
知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=∙∇=∙∇+∂∂=⨯∇∂∂-
=⨯∇.0;;B D J t D H t B
E
ρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==J
ρ）的自由空间（或均匀
介质）的电磁场方程为：⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎨
⎧=∙∇=∙∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0;0;B D t D H t B E
（齐次的麦克斯韦方程组）
知识点2：位移电流及与传导电流的区别。

答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=⋅∇J
在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。

一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有
.0≠∂∂-=⋅∇t J ρ
现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=⨯∇ 取两边散度，由于
0≡⨯∇⋅∇B ，因此上式只有当0=⋅∇J 时才能成立。

在非恒定情形下，一般有
0≠⋅∇J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。

由于电荷守恒定律是精确的普
遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。

把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流
J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+⋅∇D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产
生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=⨯∇0μ。

此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。

由电荷守恒定律 .0=∂∂+
⋅∇t J ρ电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0
ερ
=⋅∇E 两式合起来得：.00=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂+⋅∇t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式
.0
t
E
J D ∂∂=ε 位移电流与传导电流有何区别：
位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。

它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。

而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。

知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。

答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：0
=∂∂+∙∇∂∂-=∙⎰⎰t J dV t ds J S V
ρρ
恒定电流的连续性方程为：0=∙∇J
知识点4：在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p 和磁化强度矢量M 各的定义方法；P 与P ρ；M 与j ；E 、D 与p 以及B 、H 与M 的关系。

答：极化强度矢量p ：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。

另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。

在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。

而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P 描述，它等于物理小体积V ∆内的
总电偶极矩与V ∆之比，.V
p
P i
∆=
∑
i p 为第i 个分子的电偶极矩，求和符号表示
对V ∆内所有分子求和。

磁化强度矢量M ：
介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。

在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度M J 。

分子电流可以用磁偶极矩描述。

把分子电流看作载有电流i 的小线圈，线圈面积为a ，则与分子电流相应的磁矩为： .ia m =
介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M 表示，它定义为物理小体积V ∆内的总磁偶极矩与V ∆之比，
.V
m M i
∆=
∑
M B
H P E D M j P M P -=+=⨯∇=∙∇=0
0,,,μερ
知识点5：导体表面的边界条件。

答：理想导体表面的边界条件为：
.,0α=⨯=⨯H n E n ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=∙=∙.0,B n D n σ。

它们可以形象地表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。

知识点6：在球坐标系中，若电势ϕ不依赖于方位角φ，这种情形下拉氏方程的通解。

答：拉氏方程在球坐标中的一般解为：
()()()φθφθφθϕm P R d R c m P R b R a R m n m n n nm n
nm m n m
n n nm n nm sin cos cos cos ,,,1
,1∑∑⎪⎭⎫ ⎝
⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+
=++ 式中nm nm nm nm d c b a 和,,为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。

()θcos m n P 为缔合勒让德函数。

若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势ϕ不依赖于
方位角φ，这球形下通解为：
()()θθϕc o s ,c o s 1n n n n n n n P P R b R a ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛
++＝为勒让德函数，n n b a 和是任意常数，由
边界条件确定。

知识点7：研究磁场时引入矢势A 的根据；矢势A 的意义。

答：引入矢势A 的根据是：磁场的无源性。

矢势A 的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。

只有A 的环量才有物理意义，而每点上的A （x ）值没有直接的物理意义。

知识点8：平面时谐电磁波的定义及其性质；一般坐标系下平面电磁波的表达式。

答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。

它是传播方向一定的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面，也就是说在垂直于波的传播方向的平面上，相位等于常数。

平面时谐电磁波的性质：
（1）电磁波为横波，E 和B 都与传播方向垂直； （2）E 和B 同相，振幅比为v ；
（3 E 和B 互相垂直，E ×B 沿波矢k 方向。

知识点9：电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区别；电磁波在导体中的透射深度依赖的因素。

答：区别:（1）在真空和理想绝缘介质内部没有能量的损耗，电磁波可以无衰减地传播（在真空和理想绝缘介质内部）；（2）电磁波在导体中传播，由于导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。

因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波（在导体中）。

在传播的过程中，电磁能量转化为热量。

电磁波在导体中的透射深度依赖于：电导率和频率。

知识点10：电磁场用矢势和标势表示的关系式。

答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：⎪⎩
⎪⎨
⎧∂∂--∇=⨯∇=t A E A B ϕ
知识点11：推迟势及达朗贝尔方程。

答：推迟势为：
()()'
'0'
0',4,4,,dv
r
c r t x J t x A dv r
c r t x t x ⎰⎰
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=πμπερϕ
达朗贝尔方程为：⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧⎪⎭⎫
⎝
⎛=∂∂+∙∇-=∂∂-∇-=∂∂-∇0111202222
02222t c A t c J
t A
c A ϕερϕϕμ
知识点12：爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理（或基本假设）是及其内容。

答：（1）相对性原理：所有的惯性参考系都是等价的。

物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。

也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。

相对性原理是被大量实验事实所精确检验过的物理学基本原理。

（2）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c ，并与光源运动无关。

知识点13：相对论时空坐标变换公式（洛伦兹变换式）和速度变换公式。

答：坐标变换公式（洛伦兹变换式）：2
22
'''2
2
'
11c
v x c v
t t z
z y
y c
v vt x x --
=
==--=
洛伦兹反变换式：2
2'
2''
'
2
2''11c
v x c v t t z z y y c
v vt x x -+=
==-+=
速度变换公式：⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=
--=--=22
2'222'2'11111c vu c v u u c vu c
v u u c vu v u u x
z z x
y y x
x x
知识点14：导出洛仑兹变换时，应用的基本原理及其附加假设；洛仑兹变换同
伽利略变换二者的关系。

答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性。

基本假设为：光速不变原理（狭义相对论把一切惯性系中的光速都是c 作为基本假设，这就是光速不变原理）、空间是均匀的并各向同性，时间是均匀的、运动的相对性。

洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系，所涉及的速率都远小于光速。

洛仑兹变换是存在于相对论力学中的一种变换关系，并假定涉及的速率等于光速。

当惯性系'S （即物体）运动的速度c V <<时，洛伦兹变换就转化为伽利略变换，也就是说，若两个惯性系间的相对速率远小于光速，则它以伽利略变换为近似。

知识点15：四维力学矢量及其形式。

答：四维力学矢量为：（1）能量－动量四维矢量（或简称四维动量）：
⎪⎭
⎫
⎝⎛=W c i p p ,μ（2）速度矢量：dt dx d dx U μμμγτ==（3）动量矢量：μμU m p 0=（4）四维电流密度矢量：()ρρμμμic J J U J ,,0==（5）四维空间矢量：()ict x x ,=μ（6）
四维势矢量：⎪⎭⎫
⎝⎛=ϕμc i A A ,（7）反对称电磁场四维张量：ν
μμνμνx A x A F ∂∂-
∂∂=（8）四维波矢量：⎪⎭⎫
⎝
⎛=c w i k k ,μ
知识点16：事件的间隔：
答：以第一事件P 为空时原点（0，0，0，0）;第二事件Q 的空时坐标为：（x,y,z,t ），这两事件的间隔为：
为两事件的空间距离。

＝式中的2
2
2
2
22222222r z y x r t c z y x t c s ++-=---= 两事件的间隔可以取任何数值。

在此区别三种情况：
（1）若两事件可以用光波联系，有r ＝ct ，因而02=s （类光间隔）； （2）若两事件可用低于光速的作用来联系，有ct r <，因而有02>s （类时间隔）；（a ）绝对未来；（b ）绝对过去。

（3）若两事件的空间距离超过光波在时间t 所能传播的距离，有ct r >，因而有02<s （类空间隔）。

知识点17：导体的静电平衡条件及导体静电平衡时导体表面的边界条件。

答：导体的静电平衡条件：
（1）导体内部不带电，电荷只能分布在于导体表面上；
（2）导体内部电场为零；
（3）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。

整个导体的电势相等。

导体静电平衡时导体表面的边界条件： ⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂.σαεαn
＝常量；
知识点18：势方程的简化。

答：采用两种应用最广的规范条件： （1） 库仑规范：
辅助条件为.0=∙∇A
（2） 洛伦兹规范：
辅助条件为：.012
=∂∂+∙∇t
c A α
例如：对于方程组：0
2022222
)1(1ερφμφ-
=∙∇∂∂
+∇-=∂∂+∙∇∇-∂∂-∇A t J
t
c A t A c A （适用于一
般规范的方程组）。

若采用库仑规范，可得：⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧=∙∇-
=∇-=∇∂∂-∂∂-∇)0(110
3022
222A J t c t A c A ερφμφ； 若采用洛伦兹规范，可得：⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧⎪⎭⎫
⎝
⎛=∂∂+∙∇-=∂∂-∇-=∂∂-∇0111202222
02222t c A t c J
t A
c A ϕερϕϕμ（此为达朗贝尔方程）。

知识点19：引入磁标势的条件。

答：条件为：该区域内的任何回路都不被电流所环绕，或者说，该区域是没
有传导电流分布的单连通区域，用数学式表示为：⎪⎩⎪⎨⎧=∙=⎰L L d H j 00 知识点20：动钟变慢：
'S 系中同地异时的两事件的时间间隔，即'S 系中同一地点'
1'2x x =，先后
（'1'2t t ≠）发生的两事件的时间间隔'
1'2t t -在S 系的观测：
∆()
2
2'
1'22
'
1'
2121)(c
v x x c v t t t t --+
-=
-
)(11'
1'22
222'
1
'212'
1
'2t t c
v c v t t t t x x -=∆-∆=
--=
-∴=ττ
τ∆称为固有时，它是最短的时间间隔，.τ∆>∆t
知识点21：长度收缩（动尺缩短）
尺相对于'S 系静止，在'S 系中观测'
1'
2'
'x x l -=在S 系中观测12t t =即两端位置同时测定 2
2
12'
1'
21c v x x x x --=
- ),(1120'
1'2220
l x x l x x c
v l l =-=--=
0l 称为固有长度，固有长度最长，即l l >0。

知识点22： 电磁场边值关系（也称边界上的场方程）
.
0)(,
)(,
)(,
0)(12121212=-∙=-∙=-⨯=-⨯B B n D D n H H n E E n
σα 知识点23：A －B 效应
1959年Aharonov 和Bohm 提出一种后来被试验所证实的新效应（这简称A －
B 效应），同时A －B 效应的存在说明磁场的物理效应不能完全用B
描述。

知识点24：电磁波的能量和能流 平面电磁波的能量为：221
B E w μ
ε=
=
平面电磁波的能流密度为：.)(2n E E n E H E S μ
εμε=⨯⨯=⨯=
能量密度和能流密度的平均值为：
.
21)Re(21,
212120*2
020n E H E S B E w
μεμ
ε=⨯===
知识点25：波导中传播的波的特点：
电场E 和磁场H 不同时为横波。

通常选一种波模为o E z =的波，称为横电波（TE ）； 另一种波模为0=z H 的波，称为横磁波（TM ）。

知识点26：截止频率
①定义:能够在波导内传播的波的最低频率c w 称为该波模的截止频率。

②计算公式: (m,n)型的截止频率为：2
2,⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
b n a m w mn
c με
π；
若a>b ，则10TE 波有最低截止频率
.21
2110,με
πa w c =若管内为真空，此最低截止频率为a c 2，相应的截止波长为：.210,a c =λ（在波导中能够通过的最大波长为2a ）
知识点27：相对论的实验基础:
①横向多普勒（Doppler ）效应实验（证实相对论的运动时钟延缓效应）； ②高速运动粒子寿命的测定（证实时钟延缓效应）； ③携带原子钟的环球飞行实验（证实狭义相对论和广义相对论的时钟延缓总效应）；
④相对论质能关系和运动学的实验检验（对狭义相对论的实验验证）．
知识点28：静电场是有源无旋场：
.0;
0=⨯∇=∙∇E q P E （此为微分表达式） 稳恒磁场是无源有旋场：.
;
00j B B μ=⨯∇=∙∇（此为微分表达式）
知识点29：相对论速度变换式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨⎧--==--==--==.111;11222''
'2'''
222
'''c vu c v u dt dz u c vu v u dt dx u c vu c v u dt dy u x z z x
x x x y y
其反变换式根据此式
求⎪⎩⎪
⎨⎧z
y x
u u u 。

知识点30：麦克斯韦方程组积分式和微分式，及建立此方程组依据的试验定律。

答：麦克斯韦方程组积分式为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∙=∙∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=∙∙∂∂-=∙S
V
S
L S L S
s d B dV
s d E s d t E j l d B s d t B l d E 0
1
00
ρεεμ 麦克斯韦方程组微分式为：0
00=∙∇=
∙∇∂∂+=⨯∇∂∂-
=⨯∇B E t E j B t
B E
ερεμμ
依据的试验定律为：静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理。