-2009年九年级数学奥数题
九年级数学奥数题
九年级数学奥数题一、代数部分。
题1：若x + (1)/(x)=3，求x^2+(1)/(x^2)的值。
解析：我们对x + (1)/(x)=3两边平方，得到(x+(1)/(x))^2=x^2+ 2×x×(1)/(x)+(1)/(x^2)=x^2+2+(1)/(x^2)。
因为(x + (1)/(x))^2=3^2 = 9，所以x^2+(1)/(x^2)=(x+(1)/(x))^2-2=9 - 2=7。
题2：解方程(1)/(x - 1)+(1)/(x-2)=(2)/(x)解析：首先给方程(1)/(x - 1)+(1)/(x-2)=(2)/(x)两边同时乘以x(x - 1)(x-2)得：x(x - 2)+x(x - 1)=2(x - 1)(x - 2)展开得x^2-2x+x^2-x = 2(x^2-3x + 2)2x^2-3x=2x^2-6x + 4移项得2x^2-3x-2x^2+6x=43x=4，解得x=(4)/(3)经检验，当x = (4)/(3)时，x(x - 1)(x-2)≠0，所以x=(4)/(3)是原方程的解。
题3：已知a、b是方程x^2-3x - 4=0的两个根，求a^2+b^2的值。
解析：对于一元二次方程Ax^2+Bx + C=0（这里A = 1，B=-3，C = - 4），根据韦达定理，两根之和a + b=-(B)/(A)=3，两根之积ab=(C)/(A)=-4。
a^2+b^2=(a + b)^2-2ab将a + b = 3，ab=-4代入得a^2+b^2=3^2-2×(-4)=9 + 8 = 17题4：化简frac{x^2-1}{x^2+2x + 1}÷(x - 1)/(x+1)解析：先将分子分母因式分解，x^2-1=(x + 1)(x - 1)，x^2+2x + 1=(x + 1)^2。
则原式=((x + 1)(x - 1))/((x + 1)^2)÷(x - 1)/(x+1)=((x + 1)(x - 1))/((x + 1)^2)×(x + 1)/(x - 1)=1题5：若y=(1)/(3)x^2-2x + 3，求当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？解析：对于二次函数y = ax^2+bx + c（这里a=(1)/(3)，b=-2，c = 3），其对称轴为x=-(b)/(2a)。
-2009年全国初中数学联赛试题(含参考答案)
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。
奥数-2009-2010学年第一学期九年级数学合科竞赛试题(含答案)-试题卷
2009学年第一学期九年级数学合科竞赛试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分。
满分120分，考试时间100分钟。
2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
3．考试结束后，上交试题卷和答题卷。
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。
1、甲型H1N1流感病毒变异后的直径为0.00000013米，将这个数写成科学计数法是（ ▲ ）A 、1.3×10-5B 、0.13×10-6C 、1.3×10-7D 、13×10-8 2、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ▲ ）A 、正六边形B 、平行四边形C 、正三角形D 、等腰梯形3、如图a b ∥，M ，N 分别在a b ，上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠=（▲ ）A 、︒180B 、︒270C 、︒360D 、︒5404、下列名人中：①比尔•盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ）A ．①④⑦B ．②④⑧C ．②⑥⑧D ．②⑤⑥ 5、下列调查方式合适的是（ ▲ ）A ．了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式B ．了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式C ．了解一批罐头产品的质量，采用抽样调查的方式D ．对载人航天器“神舟七号”零部件的检查，采用抽样调查的方式6、已知关于x 的一元二次方程x 2－kx －4＝0的一个根为2，则另一个根是（ ▲ ） A 、4 B 、1 C 、2 D 、－27、如果一个圆锥的主视图是边长为2的正三角形，那么这个圆锥的面积是（ ▲ ）A ．πB ．21πC ．3π D. 2π8、如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有( ▲ ) A 、2个B 、3个C 、4个D 、5 个9、在甲组图形的4个图中，每个图示由4种简单图形A 、B 、C 、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A 、B 组成的图形记为A ·B ，在乙组图形中的(a)(b)(c)(d)4个图中表示“A ·D ”和“A ·C ”的是 ( ▲ )BE DACOy xO AB （第14题）A65甲组 乙组A ·B B ·C C ·D B ·D (a) (b) (c) (d) A 、(a)(b)B 、(b)(c)C 、(c)(d)D 、(b)(d)10如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =1，AB =23，BC =2，P 是射线BC 的一个动点(点P 与点B 不重合)，DE ⊥AP 于点E 。
2009年数学九年级奥林匹克初中训练(含答案)
一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1、设a，b是实数，且，则等于（）A、B、C、D、2、适合于（y﹣2）x2+yx+2=0的非负整数对（x，y）的个数是（）A、1B、2C、3D、43、如图，凸五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O，ABCD是矩形，AE=ED，且BE和CE把AD三等分．则此五边形ABCDE的面积是（）A、B、C、D、4、若关于x的不等式|x+a|≥|x﹣3|的解中包含了”x≥a”，则实数a的取值范围是（）A、a≥﹣3B、a≥﹣1或a=﹣3C、a≥1或a=﹣3D、a≥2或a=﹣35、如图所示，在△ABC中，M是边AB的中点，N是边AC上的点，且，CM与BN相交于点K，若△BCK 的面积等于1，则△ABC的面积等于（）A、3B、C、4D、6、设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=﹣1上．若△ABC是直角三角形，则Rt△ABC面积的最大值是（）A、1B、C、2D、3二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）7、设x是实数，则函数y=|x﹣1|+|x﹣2|﹣|x﹣3|的最小值是_________．8、设a、b为实数，方程x2+ax+b=0的两根为x1，x2，且x13+x23=x12+x22=x1+x2，则有序的二元数组（a，b）共有_________个．9、若，则a：b：c=_________．10、如图，正△EFG内接于正方形ABCD，其中E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若，则=_________．三、解答题（共3小题，满分70分）11、如图，在锐角△ABC内有一点P，直线AP，BP，CP分别交对边于Q1，Q2，Q3，且∠PQ1C=∠PQ2A=∠PQ3B．试问：点P是否必为△ABC的垂心？如果是，请证明；如果不是，请举反例说明．12、是否存在这样的正整数n，使得3n2+7n﹣1能整除n3+n2+n+1？请说明理由．13、设p为素数，k是正整数．求证：方程x2+px+kp﹣1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．答案与评分标准一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1、设a，b是实数，且，则等于（）A、B、C、D、考点：换元法解一元二次方程。
九年级奥数题及答案解析
【导语】数学奥林匹克活动的蓬勃发展,极⼤地激发了⼴⼤少年⼉童学习数学的兴趣,成为引导少年积极向上,主动探索,健康成长的⼀项有益活动。
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排列组合问题： 1.有五对夫妇围成⼀圈，使每⼀对夫妇的夫妻⼆⼈动相邻的排法有() A768种B32种C24种D2的10次⽅中 解： 根据乘法原理，分两步： 第⼀步是把5对夫妻看作5个整体，进⾏排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法，但是因为是围成⼀个⾸尾相接的圈，就会产⽣5个5个重复，因此实际排法只有120÷5=24种。
第⼆步每⼀对夫妻之间⼜可以相互换位置，也就是说每⼀对夫妻均有2种排法，总共⼜2×2×2×2×2=32种 综合两步，就有24×32=768种。
2若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有() A119种B36种C59种D48种 解： 5全排列5*4*3*2*1=120 有两个l所以120/2=60 原来有⼀种正确的所以60-1=59 容斥原理问题： 1.有100种⾚贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的⾷品种类的值和最⼩值分别是() A43,25B32,25C32,15D43,11 解：根据容斥原理最⼩值68+43-100=11 值就是含铁的有43种 2.在多元智能⼤赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学⽣参加竞赛,每个学⽣⾄少解出⼀道题;(2)在所有没有解出第⼀题的学⽣中,解出第⼆题的⼈数是解出第三题的⼈数的2倍:(3)只解出第⼀题的学⽣⽐余下的学⽣中解出第⼀题的⼈数多1⼈;(4)只解出⼀道题的学⽣中,有⼀半没有解出第⼀题,那么只解出第⼆题的学⽣⼈数是() A，5B，6C，7D，8 解：根据“每个⼈⾄少答出三题中的⼀道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
2009年中国数学奥林匹克试题及解答
2009中国数学奥林匹克解答一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O.过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ⋅=⋅；（2）若EM FN EN FM ⋅=⋅，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接EQ ，MQ ，FR ，MR ，则11,22EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形，所以OQM ORM ∠=∠，由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以ABD ACD ∠=∠，于是图122EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，所以EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故EQM MRF Δ≅Δ，所以EM ＝FM ，同理可得EN ＝FN ，所以EM FN EN FM ⋅=⋅．（2）答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有EM FN EN FM ⋅=⋅，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则11,22NS OD EQ OB ==，所以NS OD EQ OB=．①CB又11,22ES OA MQ OC==，所以ES OAMQ OC=．②而AD∥BC，所以OA ODOC OB=，③由①，②，③得NS ES EQ MQ=．因为2NSE NSA ASE AOD AOE∠=∠+∠=∠+∠，()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB∠=∠+∠=∠+∠+°−∠(180)2AOE EOB AOD AOE=∠+°−∠=∠+∠，即NSE EQM∠=∠，所以NSEΔ～EQMΔ，故EN SE OAEM QM OC==（由②）．同理可得，FN OAFM OC=，所以EN FN EM FM=，从而EM FN EN FM⋅=⋅．CB二、求所有的素数对（p ，q ），使得q p pq 55+．解：若pq |2，不妨设2=p ，则q q 55|22+，故255|+q q ．由Fermat 小定理，55|−q q ，得30|q ，即5,3,2=q ．易验证素数对)2,2(不合要求，)3,2(，)5,2(合乎要求．若pq 为奇数且pq |5，不妨设5=p ，则q q 55|55+，故6255|1+−q q ．当5=q 时素数对)5,5(合乎要求，当5≠q 时，由Fermat 小定理有15|1−−q q ，故626|q ．由于q 为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以313=q ．经检验素数对)313,5(合乎要求．若q p ,都不等于2和5，则有1155|−−+q p pq ，故)(mod 05511p q p ≡+−−．①由Fermat 小定理，得)(mod 151p p ≡−，②故由①，②得)(mod 151p q −≡−．③设)12(21−=−r p k ，)12(21−=−s q l ，其中s r l k ,,,为正整数．若l k ≤，则由②，③易知)(mod 1)1()5(5)5(1112121)12)(12(2)12(21)12(2p r r q s r s p s lkl kl −≡−≡==≡=−−−−−−−−−−，这与2≠p 矛盾！所以l k >．同理有l k <，矛盾！即此时不存在合乎要求的),(q p ．综上所述，所有满足题目要求的素数对),(q p 为)3,2(，)2,3(，)5,2(，)2,5(，)5,5(，)313,5(及)5,313(．三、设m ，n 是给定的整数，n m <<4，1221+n A A A "是一个正2n +1边形，{}1221,,,+=n A A A P "．求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数．解先证一个引理：顶点在P 中的凸m 边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．事实上，设这个凸m 边形为m P P P "21，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设221π<∠P P P m ，则)13(2122−≤≤>∠−=∠m j P P P P P P m m j ππ，更有)13(211−≤≤>∠+−m j P P P j j j π．而321P P P ∠+11P P P m m −∠>π，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理．由引理知，若凸m 边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．在凸m 边形中，设顶点i A 与j A 为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设i A 与j A 的劣弧上包含了P 的r 条边（n r ≤≤1），这样的),(j i 在r 固定时恰有12+n 对．（1）若凸m 边形的其余2−m 个顶点全在劣弧j i A A 上，而j i A A 劣弧上有1−r 个P 中的点，此时这2−m 个顶点的取法数为21−−m r C ．（2）若凸m 边形的其余2−m 个顶点全在优弧j i A A 上，取i A ，j A 的对径点i B ，j B ，由于凸m 边形在顶点i A ，j A 处的内角为锐角，所以，其余的2−m 个顶点全在劣弧j i B B 上，而劣弧j i B B 上恰有r 个P 中的点，此时这2−m 个顶点的取法数为2−m r C ．所以，满足题设的凸m 边形的个数为))()()(12()12()()12(11111111121211221∑∑∑∑∑==−−+−−−=−=−−=−−−−+−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=++nr nr m rm r m r m rn r m r n r m r nr m rm r C C CCn C C n CCn ))(12(111−−+++=m nm n C C n ．四、给定整数3≥n ，实数n a a a ,,,21"满足1min 1=−≤<≤j i nj i a a ．求∑=nk k a 13的最小值．解不妨设n a a a <<<"21，则对n k ≤≤1，有k n a a a a k k n k n k 2111−+≥−≥++−+−，所以()∑∑=−+=+=n k kn k nk ka a a13131321()()()∑=−+−+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+=n k k n k kn k k n k a a a a a a 121211414321()∑∑==−+−+≥+≥n k nk k n k k n a a 13131218181．当n 为奇数时，222113313)1(412221−=⋅⋅=−+∑∑−==n i k n n i nk ．当n 为偶数时，32113)12(221∑∑==−=−+n i nk i kn ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=∑∑==21313)2(2ni nj i j )2(4122−=n n ．所以，当n 为奇数时，2213)1(321−≥∑=n a nk k，当n 为偶数时，)2(3212213−≥∑=n n a nk k ，等号均在n i n i a i ,,2,1,21"=+−=时成立．因此，∑=nk k a 13的最小值为22)1(321−n （n 为奇数），或者)2(32122−n n （n 为偶数）．五、凸n 边形P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n ，存在一种染色方式，使得对于这n 种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形P 的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？解当n 3≥为奇数时，存在合乎要求的染法；当n 4≥为偶数时，不存在所述的染法。
奥数-2009-2010学年第一学期九年级数学合科竞赛试题(含答案)-参考答卷
2312222)31()2(24810-=-+-=--+--π22211211)1(1322)1)(1(3)1)(1(1213122==+=-=-++--=-+---+-=---+时，原式当）（）（x x x x x x x x x x x x x x x 参考答案一、选择题：(每小题3分, 共30分)题 号 1234 56 789 10答 案CACDCDCDDD二、填空题：(每小题4分, 共24分)11、 a(x-4)(x+4) ； 12、 3 ； 13、 0.5 ；14、 3 ； 15、 -1＜x ＜2 ； 16、 2， 2.5 ， 324- 。
三、解答题：(本题有8小题, 共66分) 17、(本题满分 8分，每题4分)18、(本题满分6分)解：（1）集合{}2,1不是好的集合，{}7,4,1是好的集合。
（每个判断正确得1分，） （2）集合{}4、{}5,4,3、{}6,2、{}7,6,4,2,1等都可以举。
（每举出一个得2分） 19、(本题满分6分)（1）请把条形统计图补充完整；（2）样本中D 级的学生人数占全班学生人数的百分比是 10% ； （3）扇形统计图中A 级所在的扇形的圆心角度数是 720； （4）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中 A 级和B 级的学生人数共约为 330 人． 20、(本题满分 6分) 解：1204π21、(本题 满分8分) 解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个。
根据题意，得 x+2y=500 ①4x+3y=1001 ② （4分）将①代入②，得2000-5y=10015y=999 （6分）y 不是自然数，不合题意。
所以不可能做成若干只纸盒，恰好把库存的纸板用完。
（8分） 22、(本题 8分)解：（1）反比例函数的解析式为 3y x=-………1分 一次函数的解析式为 4y x =-………3分 （2）∵34x x-=- ，∴2430x x -+= 解得123,1x x ==(不合题意，舍去) 分 ∴点B 的坐标为（3,1-）………4分当0＜x ＜1 或x ＞3时，总有一次函数值大于反比例函数值。
2009年全国初中数学竞赛江西赛区预赛试题及答案
2009年全国初中数学江西赛区预赛试题（九年级）（2009年3月22日上午9：30~11：30）喻老师整理一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）以下每道小题均给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填，多填或错填都的0分）1、已知非零实数a 、b 满足|2a －4|+|b+2|+(a-3)b 2 +4=2a ，则a+b 等于（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、22、如图所示，菱形ABCD 边长为a ，点O 在对角线AC 上一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1,则a 等于（ ）A 、5+12B 、5-12C 、1D 、2 3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+2y 2x 3by ax 只有正数解的概率为（ ） A 、112 B 、29 C 、518 D 、13364、如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）A 、10B 、16C 、18D 、325、关于x 、y 的方程x 2+xy+y 2=29的整数解（x 、y ）的组数为（ ）A 、2组B 、3组C 、4组D 、无穷多组二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。
如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶 ；7、已知线段AB 的中点为C ，以点C 为圆心，AB 长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD=AC ；再以点D 为圆心，DA 的长位半径作圆，与⊙A分别相交于点F 、G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为 ；8、已知a 1，a 2、a 3、a 4、a 5满足条件a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程（x －a 1）（x －a 2）（x －a 3）（x －a 4）（x －a 5）=2009的整数根，则b 的值为 ；9、如图所示，在△ABC 中，CD 是高，CE 为∠ACB 的平分线，若AC=14,BC=20，CD=12，则CE 的长等于10、10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ；三、解答题（共4小题，每题20分，共80分）11、函数y=x 2+（2k －1）x+k 2的图像与x 轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k 的取值范围？12、在平面直角坐标系xoy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完成平方数的点称为“好点”，求二次函数y=（x－90）2－4907的图像上的所有“好点”的坐标.13、如图，给定锐角△ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过电D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G，试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论？14、n个正整数a1，a2，……a n满足如下条件：1=a1＜a2＜a3＜……＜a n=2009，且a1，a2，……a n中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数，求n的最大值。
2009年数学奥林匹克九年级数学竞赛题六.doc18
2009年数学奥林匹克九年级数学竞赛题六第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.设,a b 是实数,且11111a b b a -=++-,则11b a++等于:(A)12± (B)12+± (C)32± (D)32( )2.适合于2(2)20y x yx -++=的非负整数对(,)x y 的个数是:(A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )3.如图1,凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙O,ABCD 是矩形,AE=ED,且BE 和CE 把AD 三等分.则此五边形ABCDE 的面积是:( )4.若关于x 的不等式3x a x +≥-的解中包含了”x a ≥”,则实数a 的取值范围是:(A)3a ≥- (B)1a ≥-或3a =- (C)1a ≥或3a =- (D)2a ≥或3a =-( )5.如图2,在ΔABC 中,M 是边AB 的中点,N 是边AC 上的点,且2AN NC=,CM 与BN 相交于点K.若ΔBCK 的面积等于1,则ΔABC 的面积等于: (A)3 (B)103 (C)4 (D)133 ( )6.设,,a b c 为实数,且0a ≠,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,且抛物线的顶点在直线1y =-上.若ΔABC 是直角三角形,则Rt ΔABC 面积的最大值是:(A)1 (C)2 (D)3二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.设x 是实数,则函数123y x x x =-+---的最小值是 .2.方程20x a x b ++=的两根为12,x x ,且3322121212,x x x x x x +=+=+,则有序实数组(,)a b 共有 个.3.若2a b a c b c c a a b c+==++++,则::a b c = . 4.如图3,正ΔEFG 内接于正方形ABCD,其中E,F,G 分别在边AB,AD,BC 上,若2,AE EB =则BG BC= . 第 二 试一.(20分)如图4,在锐角ΔABC 内有一点P,直线AP,BP,CP 分别交对边于Q 1,Q 2,Q 3,且∠PQ 1C=∠PQ 2A=∠PQ 3B.试问:点P 是否必为ΔABC 的垂心?如果是,请证明;如果不是,请举反例说明.二.(25分)设p 为素数,k 是正整数.求证:方程210x px kp ++-=至少有一个整数根的充分必要条件是1k =。
九年级奥数题五篇
九年级奥数题五篇1.九年级奥数题篇一1.甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而上。
相遇时，甲乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进。
甲到达B，乙到达A 后，都按照原路返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000米。
如果从第一次相遇到第二次相遇时间间隔1小时20分，则河水的流速是多少？2.甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
3.某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？4.一只小船静水中速度为每小时30千米，在176千米长河中逆水而行用了11个小时，求返回原外需要几个小时？5.一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米，已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等，求船速和水速。
2.九年级奥数题篇二1、在一块底边长8m，高6.5m的平行四边形菜地里种萝卜。
如果每平方米收萝卜7.5kg，这块地可收萝卜多少kg？2、一块三角形钢板，底边长3.6dm，高1.5dm。
这种钢板每平方分米重1.8kg，这块钢板重多少kg？3、有一块梯形的麦田，上底136米，下底158米高62米，共收小麦19.8吨。
这块麦田有多少公顷？平均每公顷收小麦多少千克？4、一种微风吊扇的叶片是由三块梯形的塑料片组成的，已知每块塑料片上底3厘米，下底4厘米，高10厘米，做这个吊扇的三块叶片共需塑料片多少平方厘米？5、一个三角形和一个平行四边形面积相等。
已知三角形底是6厘米，高是5厘米，平行四边形底是15厘米，高是多少厘米？6、一个三角形的面积是4.5平方分米，底是5分米，高是多少平方分米？7、一个等边三角形的周长是18厘米，高是3.6厘米，它的面积是多少平方厘米？3.九年级奥数题篇三1、甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。
初三数学奥数题及答案
初三数学奥数题及答案题目一：数列问题题目描述：已知数列 {a_n} 的前几项为 a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 6, a_4 = 10, ... 求 a_5 的值以及数列的通项公式。
解题思路：观察数列的前几项，可以发现每一项与前一项的差值依次为 2, 3, 4, ... 这是一个等差数列的差值，差值为 1, 2, 3, ...。
因此，可以推断出数列 {a_n} 的通项公式为 a_n = 1 + n * (n - 1) / 2。
答案：根据通项公式，a_5 = 1 + 5 * (5 - 1) / 2 = 1 + 20 / 2 = 11。
题目二：几何问题题目描述：在三角形 ABC 中，已知 AB = 5, AC = 7, BC = 6。
求三角形 ABC 的面积。
解题思路：利用海伦公式，首先计算半周长 s = (AB + AC + BC) / 2 = (5 + 7 + 6) / 2 = 9。
然后根据海伦公式S = √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)) 计算面积。
答案：S = √(9 * (9 - 5) * (9 - 7) * (9 - 6)) = √(9 * 4 * 2* 3) = 6√6。
题目三：组合问题题目描述：有 10 个不同的球，要将它们放入 3 个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球。
求不同的放法总数。
解题思路：首先，将 10 个球分成 3 组，其中两组有 3 个球，另一组有 4 个球。
使用组合公式 C(n, k) 计算分组的方法数，然后将分组的结果分配到 3 个盒子中。
答案：首先计算分组的方法数，C(10, 3) = 120。
然后将 3 组分配到3 个盒子中，有 3! = 6 种方法。
因此，总的放法数为 120 * 6 = 720。
题目四：函数问题题目描述：已知函数 f(x) = x^2 - 6x + 8，求 f(x) 的最小值。
解题思路：观察函数 f(x)，可以看出它是一个开口向上的二次函数。
2009年中国数学奥林匹克CMO试题和详细解答word版
2009中国数学奥林匹克解答、给定锐角三角形PBC, PB = PC •设A, D分别是边PB,PC上的点，连接AC, BD，相交于点O.过点O分别作0E丄AB, OF丄CD，垂足分别为E, F,线段BC, AD的中点分别为M, N.(1)若A, B, C, D 四点共圆，求证：EM FN =EN FM ;(2)若EM FN =EN FM ,是否一定有A, B, C, D四点共圆？证明你的结论.解(1)设Q, R分别是OB, OC的中点,EQ, MQ, FR, MR」1 1EQ 0B 二RM, MQ OC 二RF , 2 2又OQMR是平行四边形，所以.OQM —ORM ,由题设A, B, C, D四点共圆，所以ABD "ACD ,于是EQO =2 ABD =2 ACD = FRO ,所以EQM = /EQO. OQM/ FRO. O RM ,故.E Q M 二.：M R,F所以EM = FM ,同理可得EN = FN,所以EM F N E N F.M(2) 答案是否定的.当AD // BC时，由于.B = C，所以A, B, C, D四点不共圆，但此时仍然有EM FN二EN FM，证明如下：如图2所示，设S, Q分别是OA, OB的中点，连接ES, EQ, MQ, NS,贝UNS 二丄OD, E^-OB ,2 2 所以EQ O B1 1又ES^OA MQ^OC,所以ES OAMQ - OC而AD// BC,所以OA ODOC~~OBNS ESEQ 一MQ因为NSE 二NSA • ASE 二AOD 2 AOE , .EQM - MQO . OQE 二.AOE • EOB (180 -2 EOB)= /AOE (180 -. EOB)=/AOD 2 AOE ,即所以故同理可得,所以从而NSE 二EQM ,. NSE 〜. EQM ,EN SE OAEM -QM - OC（由②）.FN OAFM - OC ,EN FNEM 一FM ,EM FN =EN FM .A NDE S 'FO由①，②，③得二、求所有的素数对(p, q),使得pq 5p+5q.解：若 2 | pq，不妨设p = 2，则2q|52- 5q，故q |5q• 25 .由Fermat小定理，q|5q—5，得q | 30，即q = 2, 3, 5 .易验证素数对(2,2)不合要求，(2,3)，(2, 5)合乎要求.若pq为奇数且5| pq，不妨设p = 5，则5q |555q，故q |5q」625 .当q =5时素数对(5,5)合乎要求，当q=5时，由Fermat小定理有q | 5q」_ 1，故q|626 .由于q为奇素数，而626的奇素因子只有313,所以q=313 .经检验素数对(5,313)合乎要求.若p,q都不等于2和5,则有pq|5p「5q」，故5pJ 5q_* = 0(mod p). ①由Fermat小定理，得5pJ 1 (mod p)，②故由①，②得5qJ= 1 (mod p). ③设p—1=2k(2r—1)，q-1=2l2s-1)，其中k,l,r,s 为正整数.若k空I，则由②，③易知1 彳上(Z =(5心)廿(Z =52l(2r4)(2s4) =(52)2r' =(-1)心=-1(modp)，这与p = 2矛盾！所以k l .同理有k ：l，矛盾！即此时不存在合乎要求的(p,q).综上所述，所有满足题目要求的素数对(P, q)为(2,3)，(3,2)，(2, 5)，(5,2)，(5, 5)，(5,313)及(313, 5).三、设m, n是给定的整数， 4 ：：：m ：：：n , AA2 A2n d是一个正2n+1边形，P =：A,A2,…，A2「I 1求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数.解先证一个引理：顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻.事实上，设这个凸m边形为RP2…P m，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设.P m P i P2 ，则2卩2吓-二 - P zR P m 尹一j 乞口-1)，B亠K更有P j」P j P j i Q(3一j _ m -1) •而.RP2P3+. P m二P m R *二，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理.由引理知，若凸m边形中恰有两个内角是锐角，贝尼们对应的顶点相邻.在凸m边形中，设顶点A i与A j为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角•设A i与A j的劣弧上包含了P的r条边(1兰r W n )，这样的(i, j)在r固定时恰有2n 1对.(1)若凸m边形的其余m-2个顶点全在劣弧A i A j上，而A A j劣弧上有r-1个P 中的点，此时这m-2个顶点的取法数为C^ .(2)若凸m边形的其余m - 2个顶点全在优弧AA j上，取A i，A j的对径点B i , B j，由于凸m边形在顶点A，A j处的内角为锐角，所以，其余的m-2个顶点全在劣弧B j B j 上，而劣弧B i B j上恰有r个P中的点，此时这m-2个顶点的取法数为C r m^ .所以，满足题设的凸m边形的个数为n ■- n n(2n 1p (bj C r m')=(2n 1) '。
2009年全国初中数学联赛试题及解答
2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.设1a =−，则32312612a a a +−−=（ ）A.24.B. 25.C. 10+.D. 12+.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（ ）A..B. 10.C..D. 3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x −−=的解的个数为（ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. DC5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则CBE ＝（）sin ∠A.3. B. 23. C. 13.D. 10.6．设是大于1909的正整数，使得n 19092009n n−−为完全平方数的n 的个数是（ ）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若是关于t ,a b x 的一元二次方程221x x t 0−+−=的两个非负实根，则(1的最小值是____________.22)(1)a b −−22|21a b a b a 2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为和，则四边形DECF 的面积为______.m n 3．如果实数满足条件，|1,a b 221a b +=2−+++=−，则a b +=______. 4．已知是正整数，且满足,a b 是整数，则这样的有序数对共有 对. (,)a b第二试 （A）一．已知二次函数的图象与2(0y x bx c c =++<)x 轴的交点分别为A 、B ，与轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.y （1）证明：⊙P 与轴的另一个交点为定点.y （2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且，求和的值.2ABC S △＝b c 二．设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，I 、I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求I .1212I 三．已知为正数，满足如下两个条件：,,a b c 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab+−+−+−++= ②.第二试 （B）一．题目和解答与（A ）卷第一题相同.NB二．已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.三．题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C）一．题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．已知为正数，满足如下两个条件：,,a b c 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=② .2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 二、填空题 1． 3−2． 3． 1−4．7第二试 （A）一．解 （1）易求得点的坐标为，设，，则C (0,)c 1A(,0)x 2B(,0)x 12x x b +=−，12x x c =.设P ⊙与轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA×OB ＝OC×OD ，则y 121x x c OA OB OD OC c c×====. 因为，所以点C 在轴的负半轴上，从而点D 在轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1).0c <y y （2）因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点的坐标为，即.C (0,1)−1c =−又12AB x x =−===，所以12ABC S ==△，解得b =±.二．解 作E ⊥AB 于E ，F ⊥AB 于F.1I 2I 在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又CD ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5−=，12CD =5=.C 因为E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以I ＝1I 1E 13(AD CD AC)25+−=. 连接D 、D 2，则D 1I 、2I 分别是ADC ∠和∠BDC 的平分线，所1I DC ＝∠A ＝∠2I DC ＝∠2I DB 45°∠1I D 2I ＝90°，所以1ID 2D ，1I I D 以∠D ＝，故⊥1I I 1I E 1135DI sin ADI sin 45===5∠°.同理，可求得24I F 5=，2D I 5=. 所以1I 2I =. 三．证法1 将①②两式相乘，得()b c a c a b a b ca b c bc ca ab+−+−+−()8++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=， 即222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−−+−+=0， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab−−−−+−++=， 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab −+−−−+−−+++−++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc−+−−−−++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc −+−−+=，即22()[()]b c a c a b abc 0−+−−=，即()()()b c a c a b c a b abc−++−−+=0，所以或或，即0b c a −+=0c a b +−=0c a b −+=b a c +=或c a b +=或. c b a +=.证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab −−−++=， 变形，得222110242()4a b c abc −++=③ 又由①式得，即， 2()1024a b c ++=22210242()a b c ab bc ca ++=−++代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc −−++=，即 16()4096abc ab bc ca =++−.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c −−−=−+++++−3409625632160=−+×−=，所以或或16a =16b =16c =.结合①式可得b a 或或c b .c +=c a b +=a +=.第二试 （B）二．证明 因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠.又因为CH ⊥AB ，所以， CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=°−∠=°−∠=∠因此.CQ NC =又F 是QN 的中点，所以CF ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=°=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.又，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上.FBH =FBC ∠∠N B同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此EF CH.⊥又AB CH ⊥，所以EF AB. ∥第二试 （C）三． 解法1 将①②两式相乘，得()b c a c a b a b ca b c bc ca ab+−+−+−++++()8=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=， 即222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−−+−+=0， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab −−−−+−++=， 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab −+−−−+−−+++−++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc−+−−−−++++=， 即222()[2]0b c a ab a b c abc −+−−+=，即22()[()]b c a c a b abc 0−+−−=， 即()()()b c a c a b c a b abc−++−−+=0， 所以或0b c a −+=0c a b +−=或0c a b−+=，即b ac +=或c a b +=或.c b a +=90°. 解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab −−−++=， 变形，得22211024 ③ 2()4a b c abc −++=又由①式得，即， 2()1024a b c ++=22210242()a b c ab bc ca ++=−++代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc −−++=，即 16()4096abc ab bc ca =++−.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c −−−=−+++++−3409625632160=−+×−=，所以或或.16a =16b =16c =结合①式可得b a 或c a 或c b c +=b +=a +=.90°.。
初三奥数问题精选
初三奥数问题精选1.k、a、b为正整数，k被a^2、b^2整除所得的商分别为m、m+116. （1）若a、b互质，证明a^2-b^2与a^2、b^2都互质。
（2）当a、b互质时，求k的值。
（3）若a、b的最大公约数为5，求k的值。
答：(1)、用反证法。
设a^2-b^2与a^2有公约数g(g≠1),且a^2-b^2＝g*X,a^2＝g*Y则b^2=a^2－(a^2-b^2)＝g*Y-g*X=g*(Y-X)因此a^2、b^2有公约数g,但a、b互质，则a^2、b^2互质，从而出现矛盾！所以a^2-b^2与a^2互质。
同理可证a^2-b^2与b^2也互质。
(2)、由k=m*a^2和k=(m+116)*b^2，得m*a^2=(m+116)*b^2整理得，m=116*b^2/(a^2-b^2)由于b^2与(a^2-b^2)互质，所以116能被(a^2-b^2)整除。
即116＝p*(a^2-b^2)【p为正整数】由于116＝1×2×2×29，a^2-b^2=(a+b)*(a-b)且要保证(a+b)与(a-b)同奇或同偶，只能p=1,a+b=58,a-b=2或者p=4,a+b=29,a-b=1第一种情况解得a=30,b=28，与a、b互质的条件矛盾，故舍弃。
第二种情况解得a=15,b=14则m=116*b^2/(a^2-b^2)=116*14^2/(15^2-14^2)=784k=m*a^2=784*15^2=176400(3)、a、b的最大公约数为5，设a=5*T a,b=5*Tb（T a,Tb互质）则m=116*b^2/(a^2-b^2)=116*Tb^2/(Ta^2-Tb^2)由上面的结论，Ta=15,Tb=14,m=784a=5*Ta=75,b=5*Tb=70k=m*a^2=784×75^2=44100002.函数y=根号（x^2+9）+ 根号(x^2-8x+17)的最小值。
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2009年奥数题
第 一 试
一. 选择题.(每小题7分,共42分)
( )1.在11,,0.2002,722πn 是大于3的整数)这5个数中,分数的个数为: (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
( )2.如图1,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD
上,点E 在AB 的延长线上,Rt ΔCEF 的面积为
200,则BE 的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15
( )3.已知,,a b c 均为整数,且满足2223
a b c +++＜32ab b c ++.则以,a b c b +-为根的一元二
次方程是:(A)2320x x -+= (B)2280x x +-=
(C)2450x x --= (D)2230x x --=
( )4.如图2,在Rt ΔABC 中,AF 是高,∠BAC=90O ,且
BD=DC=FC=1,则AC 为:
( )5.若222a b c a b c k c b a
+++===,则k 的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案
( )6.设0,0,26x y x y ≥≥+=,则224363u x xy y x y =++--的最大值是: (A)272
(B)18 (C)20 (D)不存在
二. 填空题.(每小题7分,共28分)
1.方程222111013x x x x
++=+的实数根是 . 2.如图3,矩形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,且
2,3,4A B E C E F A D F S S S ===
,则AEF S = . 3.已知二次函数2(1)y x a x b =+++(,a b 为常数).当3x =时,3;y =当x 为任意实
数时,都有y x .则抛物线的顶点到原点的距离
为 .
4.如图4,半径为2cm ,圆心角为90O 的扇形OAB 的 AB 上有一
运动的点P.从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H.设Δ
OPH 的内心为I,当点P 在 AB 上从点A 运动到点B 时,内心
I 所经过的路径长为 .
第 二 试
一.(20分)在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方形的各边n 等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结起来,如图5所示.若
小正方形的面积恰为13281
,求n 的值.
二.(25分)一条笔直的公路l 穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B 之间的距离为90km .一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60/km h ,在草地上行驶的最快速度是30/km h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少?
三.(25分)从1，2，3，……，3919中任取2001个数。
证明：一定存在两个数之差恰好为98。