利用角平分线构造全等三角形教学设计
初中数学教学课例《角的平分线的性质》教学设计及总结反思
证明后,教师强调经过证明正确的命题可作为定 理.同时强调文字命题的证明步骤.。
3.合作交流。 判断正误,并说明理由:： (1)如图 1,P 在射线 OC 上,PE⊥OA,PF⊥OB,则 PE=PF. (2)如图 2,P 是∠AOB 的平分线 OC 上的一点,E、F 分别在 OA、OB 上,则 PE=PF.。 (3)如图 3,在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P,若 P 到 OA 的距离为 3cm,则 P 到 OB 的距离边为 3cm。 （4）例题讲解 例 1 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且 BD=CD, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E,F.。 求证:EB=FC.。 变题 1:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平 分线,DE⊥AB 于 E,F 在 AC 上,且 BD=DF,求 证:CF=EB. 变题 2:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平 分线, DE⊥AB 于 E,BC=8,BD=5,求 DE.。 教师用多媒体展示问题,学生观察识图,独立思考,
整个教学过程中始终大包大揽,没有放手让学生自主合
作,在教学中总是以我在讲为主,没有培养学生的能力。
对课堂所用时间把握不够准确,由于在开始的尺规
作图中浪费了一部分时间,当然这一环节时间的浪费与
我讲授尺规作图的方式不够合理是分不开的,以至于在
后面所准备的习题没有时间去练习,给人感觉这节课不
够完整。再就是课堂上安排的内容过多,也是导致前面
利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种 数学情境,在这种情境下,通过思考和操作活动,研究数 学现象的本质和发现数学规律.根据如今各学校实际教 教学策略选 学环境及本节课的实际教学需要,我选择电脑及投影仪 择与设计 多媒体教学系统辅助教学,另外借助一定的教学软件, 如“几何画板”,“Powerpoint”等将有关教学内容用 动态的方式展示出来,让学生能够进行直观地观察,并 留下清晰的印象,从而发现变化之中的不变.这样,吸引
角平分线的性质教学设计
《角平分线的性质》教案——人教版《数学》八年级上册鞍山市二十六中学那琳11.3 《角平分线的性质》教案第二课时教学目标知识技能1、了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；2、会利用角的平分线的性质进行证明与计算.解决问题1、提高综合运算三角形全等的有关知识解决问题的能力2、初步了解角平分线的性质及判定在生活、生产中的应用数学思考通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。
情感态度探讨角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
重点角平分线的性质的证明及运用。
难点角平分线性质的探究。
教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1：情境引入：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？学生以小组为单位讨论，有部分学生疑惑，用以前学过的知识解决不了，引出新知识，等待学完再解决。
通过让学生动手画最短的路线，可以复习点到直线的距离这一概念，为探究角的平分线的性质作铺垫；同时也让学生感受到数学与实际生活是紧密相连的，从而激发学生的学习兴趣，体现人人学有价值的数学。
活动2：根据表中的图形和已知，猜想由已知可推出的结论，并用符号语言填写下表：1、学生可以讨论，独立思考，然后说出答案。
已知条件符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的结论：点P在∠AOB的平分线上．判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上[师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．2、进一步引导学生用集合的观点概括两个性质，教师及时点拨讲解，让学生区别性质和判定两个的区别引导学生写出命题的已知、求证并加以证明，让学生熟悉证明文字命题的步骤，体会由实践活动得到的猜想,只能通过证明来验证,从而发展学生的理性思维。
(完整版)利用角平分线构造全等三角形
善于构造 活用性质安徽 张雷几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.1.显“距离”, 用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线，•故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证．【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上，D C A EHI F G2DCBA35EF14即BP是∠MBN的平分线．2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB．∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE．∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB．例4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．MC=ME．根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．3.巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．例5.如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD•垂直于∠ABC•的平分线BD 于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，•利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD ≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．证明：延长BA、CD交于点F∵BD ⊥CF （已知） ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中21()()()BD BD BDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知公共边已证∴△BCD ≌△BFD （ASA ） ∴CD=FD ， 即CF=2CD∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。
《角的平分线的性质》全等三角形
如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，则这 两个三角形全等。
三角形全等的判定定理
SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角 边）和HL（直角三角形全等）。
角的平分线的性质
一个角的平分线将对应的边分成两段，其中较长的一段等于较短的 一段。
利用角的平分线的性质证明全等三角形的实例
《角的平分线的性质》全等 三角形
2023-11-08
目 录
• 全等三角形概述 • 角的平分线的性质 • 用角的平分线的性质证明全等三角形 • 全等三角形的应用 • 复习与巩固
01
全等三角形概述
全等三角形的定义
两个三角形全等
如果两个三角形的形状和大小完全相同，则这两个三角形全 等。
全等三角形的表示
解决实际问题
要点一
总结词
全等三角形在实际问题中有着广泛的应用，如建筑设 计、工程绘图等领域。利用全等三角形的性质可以解 决许多实际问题。
要点二
详细描述
全等三角形在实际问题中的应用可以通过许多实例来 加以说明，如利用全等三角形测量不可直接测量的距 离和角度、利用全等三角形解决对称问题等。此外， 全等三角形在物理学、化学等领域也有着广泛的应用 ，如解释力学原理、化学反应中的分子结构等。通过 全等三角形的应用，可以帮助我们更好地理解和解决 实际问题。
在全等三角形中，相等的边和角分别用对应符号表示，如 △ABC≌△DEF。
全等三角形的性质
对应边相等
全等三角形的对应边相等，即如果△ABC≌△DEF，则AB=DE，BC=EF， CA=FD。
对应相等
全等三角形的对应角相等，即如果△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=∠F。
【原创】第十二章 全等三角形习题训练 ---角平分线模型的识别与应用 教学设计
第十二章全等三角形习题训练------------角平分线模型的识别与应用一、教材内容分析本节课的主要内容是识别角平分线模型；并应用角平分线模型进行解决有关全等三角形相关的实际问题,；其中蕴含有数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、建模思想等数学思想方法；侧重于培养学生应用能力、推理能力、抽象概括能力等数学基本能力。
角平分线模型是在学生学完角平分线、轴对称图形等内容之后的延伸和扩展，有利于培养学生初步的推理抽象概括能力以及几何直观感，它在进一步学习几何模型等知识具有一定的地位和作用。
二、学习者特征分析在八年级几何证明中，学生经常遇到与角平分线相关的问题，八年级有些同学在做的过程中觉得有些吃力，特别是涉及到探究几何问题中线段与线段之间、角与角之间的关系时，不知该如何灵活利用角平分线构造全等三角形以便证明它们之间的关系，今天教会学生识别角平分线的模型，并在教学过程中引导学生灵活利用角平分线的模型快捷、有效解决此类问题。
三、教学目标分析知识与技能：复习角平分线中的定义与性质，识别中考几何中常用的角平分线的模型添加技巧，并能运用到几何证明中。
过程与方法：通过学生直接操作几何画板，动画演示，让学生亲身经历角平分线模型识别与应用的过程，培养学生空间想象能力以及添加辅助线的能力，体会其中蕴含的数学思想与方法，并总结概括初步说理的规律与技巧。
情感、态度与价值观：通过识别、交流、应用的数学活动，形成积极参与数学活动，与他人合作交流的意识，积累数学活动经验，诱发学生对数学产生好奇心，形成实事求是的态度以及质疑和独立思考的思维品质。
重点：相交线模型的识别与应用难点：灵活应用角平分线模型构造全等三角形进行解答角平分线为背景的几何证明题五、教学策略分析课型分析：复习和习题课型。
通过问题的不断深入，向学生渗透一些数学思想方法。
导学案教学；分组讨论探究教学；变式教学多媒体辅助教学：利用多媒体进行课初导入的激趣,并充分利用多媒体直观展示几何证明题动态的过程，引导学生从中获取方法。
角平分线的性质说课稿
角平分线的性质说课稿徐庄中学八年级张玉芳今天，我说课的题目是《角的平分线的性质》第一课时，选自新人教版教材《数学》八年级上册第十二章第三节．下面，我从教学背景的分析、教学目标的确定、教学方法与手段的选择、教学过程的设计和教学评价分析等五个方面对我的教学设计加以说明．一、教学背景的分析1．教学内容分析本节内容是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．2．教学对象分析刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础．3．教学重点、难点本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用．难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理 1正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习．二、教学目标的确定1、知识与技能：(1)．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性．(2)．探索并证明角的平分线的性质．(3)．能用角的平分线的性质解决简单问题．2.过程与方法：在经历角平分线的性质定理的推导过程中，提高综合运用三角形的有关知识解决问题的能力，并初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。
八年级数学上册全等三角形 . 角的平分线的性质角平分线的判定教学
P B
C
第十一页，共二十三页。
新课讲解( jiǎngjiě)
1、判断题：
（1）如图1，若QM=QN，则OQ平分(píngfēn)∠AOB.（× ）
（2）如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.（
）×
A M
Q
O
NB
图1
A
M Q
┐
O
NB
图2
12/13/2021
第十二页，共二十三页。
MD
C
∴PM=PN=PO，即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等.
12/13/2021
第十页，共二十三页。
新课讲解( jiǎngjiě)
知识点3
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角 形三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角
形三条角平分线的交点.
A
12/13/2021
∠OBC=∠OBA， ∠OCB=∠OCA. （三角形内角和定理）
转化为 ∠BAC和∠BOC的关系.
12/13/2021
第十七页，共二十三页。
当堂 小练 (dānɡ tánɡ)
如图，O是△ABC内一点(yī diǎn)，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，
且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）.
如图，O是△ABC内一点(yī diǎn)，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE， 且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）.
分析：OF、OD、OE为点O到三边的距离，且OF=OD=OE. （角的平分线的判定）
OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB. （角的平分线的性质）
由角平分线构造对称全等三角形解题
由角平分线构造对称全等三角形解题
多年来，依据角平分线构造对称全等三角形这一数学、几何知识点一直是高中
数学教学的重点。
而其核心内容是根据规定的角和边，求一个等边三角形，以准确解答对称全等三角形题目。
第一步，要把题目中给定的角、边、绳子长度这些要素陈列出来。
确定绳子的
长度，是关键的步骤。
使用绳子绘制角平分线，然后根据角平分线的作用，计算出其它不同点的位置。
第二步，在第一步的基础上，要解决的是怎样构造一个对称全等三角形。
我们
可以根据前面步骤的结果，依次求出各边的长度。
当长度全部求出时，我们就可以依据角平分线将顶点连接起来，构造出一个对称全等三角形。
最后，结合题目给出的图形，通过比较来验证我们解答的准确性。
通过衡量等
边三角形各个边长度、外角大小等特征，可以判断出解决方案是否正确。
从而彰显出角平分线定理在构造对称全等三角形这一具有重要解题价值的应用。
总之，根据角平分线构造对称全等三角形的技巧是高中数学中的重要教学内容，对高中数学的学习有着积极、重要的意义。
只要认真按照所讲解的步骤做，加强理解，坚持练习，就能够较为轻松的应用角平分线构造对称全等三角形，解决一些有关此课题的考题。
八年级数学上册 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质第1课时 角的平分线的作法及性质教案
12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的作法及性质【知识与技能】1.掌握角的平分线的作法.2.会利用角平分线的性质.【过程与方法】经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.【情感态度】通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】角平分线的性质及其应用.【教学难点】灵活应用两个性质解决问题.一、情境导入，初步认识活动 1 学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.活动 2 让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?【教学说明】发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.请同学们折出如图所示的折痕PD、PE,并研究这个图形中隐含了哪些等量关系,互相交流,形成结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知由上述活动及交流情况,教师总结以下新知识:1.角平分线上的点到角两边的距离相等.2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.【教学说明】1.这两个性质的条件和结论正好相反,分别可以作为证线段相等和证角相等的依据.2.在用几何语言表述性质时,注意强调“点到直线的距离”中的垂直条件.例1 如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m ，这个市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）?【教学说明】教师提出下列问题，引导学生理清思路：(1)集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？(2)比例尺为1∶20000是什么意思？(3)图形上，表示500m 的是个什么距离？例2 如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC,点P 、D 分别在BF 上，PM ⊥AD 于M,PN ⊥CD 于N ，求证：PM=PN.△ABD ≌△CBD 即可得证.【证明】∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD.在△ABD 和△CBD 中，,,,AB CB ABD CBD BD BD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△ABD ≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.即射线DP 为∠ADC 的平分线.又∵PM ⊥AD,PN ⊥CD,∴PM=PN.例3如图，点P 是∠AOB 的平分线OM 上一点，作PD ⊥OB,PC ⊥OA,垂足分别是点D 、C ，点E 、F 分别在线段OD,OC 上，且∠PED=∠PFC,求证：OP平分∠EPF.【分析】欲证OP平分∠EPF，可设法证∠OPE=∠OPF,而要证∠OPE=∠OPF,需证∠OPD=∠OPC和∠DPE=∠CPF.【证明】∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D，C，∴PD=PC，∠ODP=∠OCP=90°.在Rt△ODP与Rt△OCP中，,, PD PC OP OP==⎧⎨⎩∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL）.∴OD=OC,∠OPD=∠OPC.在Rt△EDP与Rt△FCP中，∠PED=∠PFC,∠ODP=∠OCP=90°,∴90°-∠PED=90°-∠PFC,即∠DPE=∠CPF.∴∠OPD-∠DPE=∠OPC-∠CPF,∴∠OPE=∠OPF,即OP平分∠EPF.三、运用新知，深化理解______相等.2.如图，在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分线相交于点I,则∠BIC=___.第2题图第3题图△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则∠BDE=_______=_______=_______.【教学说明】指导学生解答上述习题时，应适当启发学生对角平分线性质的灵活运用.°3.∠EDA∠CDA∠CAB四、师生互动，课堂小结1.角平分线的两个性质应牢记并应用于解题中.2.与角平分线有关的求证线段相等,角相等问题,我们可以直接用角平分线性质,不必再利用证三角形全等得到线段相等或角相等.1.布置作业：从教材“”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.。
《角的平分线的性质》教学设计
《角的平分线的性质》教学设计《角的平分线的性质》教学设计1教材分析1．角的平分线性质是初中阶段几何证明中重要的内容，为证明三角形全等提供更多的方法和条件；2、在利用全等三角形的基础上更进一步推理出角的平分线性质；3、在这节课中，也能让学生更多的动手作图，练习学生的尺规作图能力，把数学运用到实际生活中去；学情分析1．学生对数学学习兴趣不够高，基础知识参差不齐，特别是对作图方法难以掌握；2．学生对做角的平分线、角平分线到两边的距离作图不够规范，达不到垂直的要求；3．学生对如何动手作角平分线和证明角平分线的性质过程感到比较难掌握。
教学目标1、掌握作已知角的.平分线的方法；2、掌握角平分线的性质，掌握角平分线性质的推导过程；3、角平分线性质的运用。
教学重点和难点重点：角的平分线性质的证明及运用；难点：角的平分线性质的探究。
《角的平分线的性质》教学设计2【教学目标】1．使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解决有关简单问题．2．通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学生体验定理的发现及证明的过程，提高思维能力．3．通过师生互动以及交互性多媒体教学课件的使用，培养学生学习的自觉性，丰富想象力，激发学生探究新知的热情．【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用．【教学难点】理解运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性质定理以及两个定理的区别与联系．【教学方法】启发探究式．【教学手段】多媒体（投影仪，计算机）．【教学过程】一、复习引入：1．角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线．表达方式：如图1，∵ OC是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2（或∠AOB=2∠1=2∠2或∠1=∠2= ∠AOB）．2．角平分线的画法：你能用什么方法作出∠AOB的平分线OC？（可由学生任选方法画出OC）．可以用尺规作图，可以用折纸的方法，可以用TI图形计算器．3．创设探究角平分线性质的情境：用两个全等的30的直角三角板拼出一个图形，使这个图形中出现角平分线，并且平分出的两个角都是30．学生可能拼出的图形是：（拼法1）（拼法2）（拼法3）选择第三种拼法（如图2）提出问题：（1）P是∠DOE平分线上一点，PD、PE与∠DOE的边有怎样的位置关系？（2）点P到∠DOE两边的距离可以用哪些线段来表示？（3）PD、PE有怎样的数量关系？（投影）二、探究新知：（一）探索并证明角平分线的性质定理：1．实验与猜想：引导学生任意画出一个角的平分线，并在角平分线上任取一点，作出到角两边的距离．通过度量、观察并比较，猜想它们有怎样的数量关系？用TI图形计算器实验的结果：（教师用计算机演示：点P在角平分线上运动及改变∠AOB大小，引导学生观察PD与PE的数量关系）．引导学生用语言阐述自己的观点，得出猜想：命题1在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．2．证明与应用：（学生写在笔记本上）已知：如图3，OC是∠AOB的平分线，P为OC上任意一点，PD⊥OA于D，PE ⊥OB于E．求证：PD＝PE．（投影）证明：∵ OC是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2．∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴∠ODP=∠OEP=90．又∵ OP=OP,∴△ODP≌△OEP(AAS)．∴ PD＝PE三、作业设计反思：一、重视情境创设，让学生经历求知过程。
第12章全等三角形-角平分线的性质、判定及角平分线在全等三角形中的运用(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角平分线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示角平分线的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
举例：设计一些包含角平分线的全等三角形问题，指导学生运用所学知识解决问题。
2.教学难点
（1）角平分线性质的证明：学生需要通过严密的逻辑推理和几何证明来理解角平分线的性质，这对于部分学生来说可能是一个难点。
举例：在指导学生证明角平分线性质时，引导学生运用几何基本定理和逻辑推理方法，逐步展开证明过程。
（2）全等三角形的判定方法：学生在判定全等三角形时，可能会对各种判定方法产生混淆，难以选择合适的方法进行证明。
3.增强学生的数据分析能力，使学生能够从实际例题中提炼关键信息，运用角平分线定理进行问题分析和解决；
4.培养学生的几何直观能力，让学生在实际操作中观察、发现和感受几何图形的性质和相互关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）角平分线的定义及其性质：确保学生理解角平分线将一个角平分成两个相等的角的原理，并掌握相关性质，如角平分线上的点到角的两边的距离相等。
第12章全等三角形-角平分线的性质、判定及角平分线在全等三角形中的运用（教案）
一、教学内容
第12章全等三角形-角平分线的性质、判定及角平分线在全等三角形中的运用。本章内容主要包括：
1.角平分线的定义及性质；
2.判定两个三角形全等时，角平分线所起的作用；
数学全等三角形教案8篇
数学全等三角形教案8篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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全等三角形教学设计优秀4篇
全等三角形教学设计优秀4篇全等三角形教案篇一一、教学内容分析本节课选自北师大版《七年级数学下册》第五章第四节探索三角形全等的条件第一课时，本节课探索第一种判定方法—边边边，为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，真正把学生放到主体位置，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验，为以后的证明打下基础。
二、学生学习情况分析学生的知识技能基础：学生在前几节中，已经了解了三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），以及三角形三边之间的关系、图形的全等，对本节课要学习的三角形全等条件中的“边边边”和三角形的稳定性来说已经具备了一定的知识技能基础。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索图形全等的活动，通过拼图、折纸等方式解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
三、设计思想我们所在的学校处于市区，教学设备齐全，学生学习基础较好，在这之前他们已了解了图形全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。
另外，学生也基本具备了利用已知条件拼出三角形的能力，具备探索的热情和愿望，这使学生能主动参与本节课的操作、探究。
遵循启发式教学原则，采用引探式教学方法。
用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，真正把学生放到主体位置，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法。
四、教学目标1．知识与技能目标：掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性。
2．过程与方法目标：在探索三角形全等的条件及其运用的过程中，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，初步形成解决问题的基本策略。
角的平分线的性质教案
角的平分线的性质教案1一、教学目标【知识与技能】了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明与计算。
【过程与方法】在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力。
【情感态度与价值观】在主动参与数学活动的过程中，增强探究问题的兴趣、有合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,获得解决问题的成功体验。
二、教学重难点【重点】角的平分线的性质的证明及应用。
【难点】角的平分线的性质的探究。
三、教学过程(一)导入新课1.复习角平分线的画法2.利用PPT创设情景：如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗?(二)生成新知探究做一做(学生独立完成，同组同学交流，找学生到黑板上板演.教师纠正答案)如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?试着证明你的结论.0011.jpg∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE.(三)深化新知思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?(由学生讨论汇报)(四)应用新知1.例题：解决导入中PPT的问题2.练一练：(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____ 中PD=PE.0012.jpg(五)小结作业小结：通过这节课的学习，你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗?作业：必做题，选做题，思考题：角平分线性质的逆命题并证明。
角的平分线的性质教案2一、教学目标【知识与技能】进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。
【过程与方法】通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
【情感态度与价值观】通过一系列的证明过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。
三角形全等的判定教案 三角形全等的判定教学设计
三角形全等的判定教案三角形全等的判定教学设计角形全等的判定教案三角形全等的判定教学设计篇一目标：1、知识目标：（1）掌握已知三边画三角形的方法；（2）掌握边边边公理，能用边边边公理证明两个三角形全等；（3）会添加较明显的辅助线。
2、能力目标：（1）通过尺规作图使学生得到技能的训练；（2）通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力。
3、情感目标：（1）在公理的形成过程中渗透：实验、观察、归纳；（2）通过变式训练，培养学生“举一反三”的学习习惯。
重点：sss公理、灵活地应用学过的各种判定方法判定三角形全等。
难点：如何根据题目条件和求证的结论，灵活地选择四种判定方法中较适当的方法判定两个三角形全等。
用具：直尺，微机方法：自学辅导过程：1、新课引入投影显示问题：有一块三角形玻璃窗户破碎了，要去配一块新的，你较少要对窗框测量哪几个数据？如果你手头没有测量角度的仪器，只有尺子，你能保证新配的玻璃恰好不大不小吗？这个问题让学生议论后回答，他们的答案或许只是一种感觉。
于是要引导学生，抓住问题的本质：三角形的三个元素――三条边。
2、公理的获得问：通过上面问题的分析，满足什么条件的两个三角形全等？让学生粗略地概括出边边边的公理。
然后和学生一起画图做实验，根据三角形全等定义对公理进行验证。
（这里用尺规画图法）公理：有三边对应相等的两个三角形全等。
应用格式：（略）强调说明：（1）、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论。
（2）、在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边）（3）、此公理与前面学过的公理区别与联系（4）、三角形的稳定性：演示三角形的稳定性与四边形的不稳定性。
在演示中，其实可以去掉组成三角形的一根小木条，以显示三角形条件不可减少，这也为下面总结“三角形全等需要有3全独立的条件”做好了准备，进行了沟通。
人教版八年级数学上册教案《角的平分线的性质》
《12.3 角的平分线的性质》教学设计第一课时教材分析:本节内容是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条线段相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法．教学目标：【知识与能力目标】1.掌握利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质和判定定理；2.掌握作已知角平分线的方法；了解证明几何命题的一般步骤和格式．【过程与方法】1.在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够进行有条理地思考，并进行简单的推理．2.使学生能够利用角平分线的性质和判定定理解决相应的问题．【情感态度与价值观】在探究角的平分线的作法及性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，获得解决问题的成功体验，增强解决问题的信心．教学重难点：【教学重点】探究角平分线的性质，能够利用其解决相关实际问题．【教学难点】角平分线性质的推导过程．课前准备：三角板、直尺、圆规(多媒体课件及几何画板)教学过程：问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？用量角器度量，也可用折纸的方法．[追问1] 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？[追问2] 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD ，BC =DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生探究，说明其中的原理(利用“边边边”)，进而得到利用尺规作角平分线的方法．教师出示作图过程：已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线．作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.(2) 分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C. (3) 画射线OC.射线OC 即为所求．教师提出问题：角的平分线有哪些性质呢，请同学们与我一同来探究一下吧！【设计意图】1.创设情境，通过实践探究角平分线的作法，引起学生的探究兴趣，引出本节课的内容．2．培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(SSS )解决问题的能力．3．从试验抽象出几何模型，明确几何作图的基本思路和方法.问题2 【探究1】如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？[师生活动]学生活动：学生首先独立操作，然后观察操作后的图形，进行讨论，经过讨论发现，折痕DP和折痕PE与其他边有着特殊的关系：(1)PD⊥OA，PE⊥OB；(2)PD＝PE.然后寻找上述结论成立的理由：(1)由折叠过程可以得到；由(2)可以利用三角形全等的条件得到，△OPD≌△OPE，进而得到PD＝PE.教师活动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并对自己的看法作出判断．最后引导学生归纳角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．【探究2】我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？谈谈你的看法．如图，已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？为什么？[师生活动]学生活动：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题．考虑连接OP，由条件OP＝OP，PD＝PE，可以判断Rt△OPD≌Rt△OPE，于是得到∠DOP＝∠EOP，即OP 平分∠AOB.教师活动：引导学生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．[练习]练习1 下列结论一定成立的是．（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．（3）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．[练习2] 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．【设计意图】1.培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.2.通过小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论，从实践中学习知识．3．运用三角形全等的有关知识，归纳、证明角的平分线的性质与判定．通过举例，说明角的平分线的性质在生活、生产中的应用，提高学生解决问题的能力.问题3：例1要在S区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米．这个集贸市场应建于何处(比例尺为1∶20000)?[师生活动]学生活动：学生小组合作，在独立思考的基础上小组交流，发现若到公路、铁路的距离相等，则集贸市场一定在上述角的平分线上，于是可以用尺规作出角平分线，然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可．教师活动：组织学生思考、讨论、交流，引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论．例2如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．[思路点拨]因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．[变式]△ABC的面积是24 cm2，它的三条内角平分线的交点到AB的距离为3 cm，则△ABC的周长为________．【设计意图】1.利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段．2．教师注意提醒学生：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程.问题4：探究交流：你能找到OP＝OP′的条件吗？已知点C是∠AOB平分线上一点，点P，P′分别在OA，OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加下列条件中的某一个即可．请写出所有可能的条件的序号________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC；⑤CP⊥OA且CP′⊥OB.[解析] 这是一道角平分线的性质与三角形全等知识的综合题，可通过是否具备全等，是否具备角平分线性质中的条件来加以判断．①如果∠OCP＝∠OCP′，又因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(ASA)，得到OP＝OP′；②如果∠OPC＝∠OP′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(AAS)，得到OP＝OP′；④如果PP′⊥OC，设PP′交OC于D，因为∠ODP＝∠ODP′，∠POC＝∠P′OC，OD＝OD，可证△POD≌△P′OD(ASA)，得到OP＝OP′；⑤如果CP⊥OA且CP′⊥OB，因为∠POC＝∠P′OC，所以CP＝CP′.又因为OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(HL)，得到OP＝OP′；③如果PC＝P′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，这样三个条件不能证明三角形全等，当CP不垂直于OA时，以C为圆心，CP为半径画弧与OP有两个交点，其中的一个交点使△OP′C≌△OPC不成立．所以正确答案为①②④⑤.【设计意图】1.巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力．2．培养学生的归纳概括能力及分析问题、思考问题的探究能力.问题5：课堂小结：(1)学生自行小结角平分线性质及其判定定理和它们的区别．(2)说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏)．布置作业：布置作业：课本P51中的习题12.3.【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.问题6 知识网络：【设计意图】框架图式总结，更容易形成知识网络.教学反思：1.本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步地加强巩固和训练．2.教师教学中注意：学生对定理的图形语言认识不足．角平分线上的点到角两边的距离是指这个点到角两边的垂线段的长度，而不是过此点与角平分线垂直(或仅仅相交)的直线与角两边相交所得的线段的长度．学生往往出现如下错误：∵点P在∠AOB的平分线上，∴PD＝PE.3.通过师生互动得到结论，教学中教师要重视知识的发生发展过程．第二课时教材分析:在学生学习了角平分线性质的基础上，本节课进一步研究角平分线性质定理的逆定理——角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习圆的内心的基础．教学目标：【知识与能力目标】探索并证明角平分线性质定理的逆定理.【过程与方法】会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．【情感态度与价值观】培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验．教学重难点：【教学重点】角平分线性质定理的逆定理．【教学难点】角平分线的性质的探究.课前准备：多媒体教学过程：问题1：（1）交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．[追问]你能证明这个结论的正确性吗？证明略[练习]判断题：（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；（）（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线；（）（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm，且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．（）（2）在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．a.这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？b.若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？C.如图，点P是△ABC的两条角平分线BM，CN 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？证明：过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE,同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.【设计意图】通过一步一步深入探究，由易到难理解新知识.问题2 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？[变式1] 如图，△ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC的平分线 AN 相交于点P，求证：点 P 在△ABC另一个外角的平分线上．[变式2] 如图，P 点是△ABC的两个外角平分线 BM，CN 的交点，求证：点 P 在∠BAC 的平分线上．[变式3] 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建在何处？【设计意图】通过实际问题的探究，使所学的知识得到熟练的应用；通过不断深入的变式，使学生掌握知识的核心.问题3：课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）本节课的结论与角平分线的性质定理的区别和联系是什么？（3）应用本节课的结论时，常作的辅助线是什么？布置作业：教科书习题12.3第3、7题．【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.教学反思：本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步地加强巩固和训练．。
--利用角平分线--构造全等三角形教学设计 -
结论：DE=DF方法1在BC上截取BG=BE,连接GD请小组派代表讲解不同思路截取构造全等因为BD是N B的平分线，N EBD二N GBD,在4DBE和4DBG中BG=BEZ EBD=Z GBD,PE=PD所以△DBE/Rt A DBG(SAS),所以DE=DG。
Z DEB=Z DGB,Z EBG=Z EDF=90°Z DEB+Z DFB=180°Z DGB+Z DGF=180°Z DGF=Z DFG,DG=DFDE=DF方法2在BA上截取BG，使BG=BF，连接GD方法3过D点作DG L AB于G,DH±BC于H截取构造全等此题用到四边形内角和以及，其中一组对角互补另一组对角也互补作垂线构造全等环节五如果有时间画思维导图，谈自己收你的收获获作业超市：A同学们根据自己兴趣挑环节六1.如图，已知直角三角形ABC中，选至少2个自己喜欢的试作业N C=90°,CA=CB,AD平分/ 题布置BAC,DE±AB于E点，求证：CD=BE2已知：如图，中，N=N,N=N,求证：=。
巩固所学知识提升学生能力D C学生活动的说明（200字内）学生活动的设计目的在于，鼓励学生积极思考勇于发言，处于青春期的学生，逻辑思维、创造性思维迅速发展，他们能够从不同的角度、多维的、立体的考虑问题，并且通过综合、分析、推理找出本质和规律鼓励创新，并利用已有知识解决问题。
明确已知角平分线求线段长度的基本解题思路，掌握多题一解方法，并训练学生学会读题，理解题意，综合运用所学知识解题能力。
教学设计的说明（200字内）―本节课的教学设计围绕教学目标，运用全等判定及性质相关知识，角平分线性质综合应用的重点，运用类比联想，激发学生的积极性主动探究知识解决问题。
学会添加辅助线。
同时渗透爱家、爱国的教育，同时渗透青春期教育，让同学们友好相处，让他们树立远大志向，共同度过快乐时光。
板书设计例1如图，四边形ABCD中，N A+N C=180°，变式训练：BD平分/ABC，求证：AD=CD已知Rt^ABC中，N B=90°,BD是N B的平分线，将三角板的直角顶点放在D点，三角板的两角边与AB交于E与直角边BC交于F，你能判断DE与DF的数量关系吗？你是如何证明？。
初中数学 巧借角的平分线构造全等三角形 学法指导
初中数学 巧借角的平分线构造全等三角形 学法指导翟作凤在“三角形”一章中，有许多证明题在证明时需要添加辅助线。
当条件中有角的平分线时，我们可以利用角的平分线的对称性来构造全等三角形，从而使问题易于解决。
下面介绍这种方法在证明各类问题中的应用。
一、证明线段相等例1. 如图1，A ,AC AB ∠>的平分线与BC 的垂直平分线MD 相交于D ，自D 作AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E 、F 。
求证：BE=CF 。
分析：连结DB 、DC ，由AD 是∠A 的平分线可得DF DE =；由CMD BMD ∆≅∆可得CD BD =；再由CDF Rt BDE Rt ∆≅∆可得CF BE =。
二、证明线段不等例2. 如图2，ABC ∆中，AB AC >，AD 为角平分线，求证：CD BD <。
分析：在AC 上截取AE=AB ，利用AE D ABD ∆≅∆，可得ED BD =，在DEC ∆中运用大角对大边可得DC DE <。
例3. 如图3，ABC ∆中，AC AB >，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上的一点，求证：PC PB AC AB ->-。
分析：欲证PC PB AC AB ->-，可设法将AB 、AC 、PB 、PC 放到一个三角形中考虑。
根据AD 是∠BAC 的平分线，可在AB 上截取AE=AC ，连结PE ，则得到APC APE ∆≅∆，所以PC PE =，AC AB -即可转化为BE 。
在PBE ∆中，根据两边之差小于第三边即可得证。
三、证明角不等例4. 如图4，BD 平分∠ABC ，AB BC >，求证：∠A C ∠>。
分析：延长BA 至点E ，使BC BE =，连结DE 。
则BDC BDE ∆≅∆，所以C E ∠=∠。
因为E BAD ∠>∠，所以C BAD ∠>∠。
本题还有另一种辅助线的方法，即在BC 上截取AB BE =，连结DE 。
角平分线的性质的教学设计
12.3 角的平分线的性质《角的平分线的性质》教学设计一、内容和内容解析（一）内容角的平分线的性质．（二）内容解析本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式──利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素相应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法．数学问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段（角的平分线上的点到角的两边的垂线段）相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法．因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，具有举足轻重的作用．因此本节课在教材中占有非常重要的地位．基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质．二、目标和目标解析（一）目标1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性．2．探索并证明角的平分线的性质．3．能用角的平分线的性质解决简单问题．（二）目标解析达成目标1的标志是：学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作角的平分线的方法与原理，能在教师的引导下用尺规作出一个已知角的平分线．达成目标2的标志是：学生能在教师的引导下通过观察、测量等方法，发现角的平分线的性质，能准确表述性质的内容，能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质．达成目标3的标志是：学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题．三、教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难．例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”．其主要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性．教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果……那么……”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明几何命题的一般步骤．基于以上分析，本节课的教学难点是：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质．四、教学过程设计（一）创设情景，提出问题如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？师生活动：学生根据三角形全等的知识口述其中的道理，从而引入新课．（二）合作探究，形成知识问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题．追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？师生活动：学生分析并回答──利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了．追问2：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A 放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，射线AE就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？师生活动：师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具本方法．如果学生没有思路，教师可作如下提示：1．在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=CD），怎样在作图中体现这个过程呢？2．在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？追问4：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？。
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课题名称：利用角平分线--构造全等三角形
教师姓名：史月华学校：延庆县张山营学校编号：
教师年龄：45 教龄：21 职称：中学一级
教学背景分析
（一）教学内容的功能和地位
是在八年级学习了全等判定及性质，角平分线的概念和直角三角形全等的基础上进行教学的。
同时角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美；四边形的学习奠定了基础。
教材安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认识规律。
（二）学生情况分析
本节课在学生已探索过的全等三角形判定及性质，角平分线判定及性质基础上，，通过让学生添加辅助性，构造全等三角形，来证明线段相等的方法。
本节课对于学生来说添加辅助线是比较困难的，通过小组合作共同解决问题。
同时也为后续学习四边形，相似奠定基础。
教学目标
3、教学目的要求：
1．熟练掌握全等三角形判定定理；
2.熟悉角分线的性质及与角分线相关的辅助线模型
3.通过本节课，培养学生独立思考意识，合作交流意识，让同学们友好相处，树立远大志向，共同度过快乐时光。
4．节约粮食，学会感恩，懂得珍惜，一饭一汤当思来之不易，培养学生弘扬中华美德。
教学重点和难点分析
(一)教学重点：全等三角形判定定理及角分线相关的模型；
(二)教学难点：从具体题境中发现与角分线辅助线的相关模型。
教学过程
教学
环节
教师活动学生活动设计意图
环节
一：
情景
引入
问题1:见到这幅图片你有什么想法？
问题2:见到角平分线你有什么想法？回答老师的问题
运用类比进行传统
美德教育
积极回答老师的提
问畅所欲言
培养学生联
想能力，同时
进行传统教
育，节约粮
食，懂得感恩
为问题3作铺
垫
环节二 小组合作集思广益 环节三合作探究
问题3 如图，E 是∠AOB 的平分线OP 上一点，分别在OA,OB 上确定一点F 、G ，使△OEF ≌△OEG 你有几种确定的方法，并说明理由。
例1：
如图，四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°，BD 平分∠ABC ，求证：AD=CD
方法1
证明：在BC 上截取BE=AB ，连接ED
A
B
D
C
E
由BD 平分∠ABC ， ∠1=∠2, BD=BD, BE=AB ∴△ABD ≌△EBD （SAS ） ∴AD=ED ，
∠BAD=∠DEB ，
开发学生思维，积极发言
再上面一题基础上，引导学生
1．复习角平分线定理及逆定理
2．等腰三角形三线合一性
3．做角平分线依据：三边对应相等两三角形全等
培养学生发散思维，培养学生一题多解，拓宽解题思路
环节四
拓展提高又∠BAD+∠C=180，
∠BED+∠CED=180，
∴∠C=∠DEC，
则DE=DC，
∴AD=DC．
方法2
过D点作DE⊥BC于E，
作DF⊥AB，交AB延长线于F
F
A
B
D
C
E
方法3
延长BA至E点，使BE=BC，连接ED
A
B C
D
E
变式训练：
已知Rt△ABC中，∠B=90°,BD是∠B的平分线，
将三角板的直角顶点放在D点，三角板的两角边
与AB交于E与直角边BC交于F，你能判断DE
与DF的数量关系吗？你是如何证明？
结论：DE=DF
方法1
在BC上截取BG=BE，连接GD
小组合作，共同交流
提供解题思路
小组合作交流
同学们把他写在学
案上
环节五 你的收获 环节六 作 业 布 置
1．如图，已知直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E 点，
求证：CD ＝BE
B
2．已知：如图1，中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2， 求证：AB ＝AC+CD 。
C 3．已知，如图2，∠1＝∠2，P 为BN 上一点， 且P
D ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ，
求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。
同学们根据自己兴趣挑选至少2个自己喜欢的试题
作垂线构造
全等
巩固所学知
识
提升学生能力 学生活动的说明（200字内）
学生活动的设计目的在于，鼓励学生积极思考勇于发言，处于青春期的学生，逻辑思维、创造性思维迅速发展，他们能够从不同的角度、多维的、立体的考虑问题，并且通过综合、分析、推理找出本质和规律鼓励创新，并利用已有知识解决问题。
明确已知角平分线求线段长度的基本解题思路，掌握多题一解方法，并训练学生学会读题，理解题意，综合运用所学知识解题能力。
教学设计的说明（200字内）
本节课的教学设计围绕教学目标，运用全等判定及性质相关知识，角平分线性质综合应用的重点，运用类比联想，激发学生的积极性主动探究知识解决问题。
学会添加辅助线。
同时渗透爱家、爱国的教育，同时渗透青春期教育，让同学们友好相处，让他们树立远大志向，共同度过快乐时光。
板书设计
C D
B
P
A
例1：
如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，变式训练：
BD平分∠ABC，求证：AD=CD 已知Rt△ABC中，∠B=90°,BD是∠B的平分线，
将三角板的直角顶点放在D点，三角板的两角
边与AB交于E与直角边BC交于F，你能判断DE
与DF的数量关系吗？你是如何证明？。