微积分之幂级数
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注意：对于级数
1
n
n u
∞
=∑，当
1
n
n u
∞
=∑收敛时，
1
n
n u
∞
=∑绝对收敛.
例 证121
(1)(21)n n n -∞
=--∑绝对收敛：令1
2
(1)(21)n n u n --=-，则 222211111
,(21)[(1)]n n u n n n n n ∞===≤-+-∑收敛⇒1
n n u ∞
=∑收敛
故 原级数绝对收敛.
§7.5 幂级数
教学目的：弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质 求幂级数的和函数.
重难点：掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂 级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常 数项级数的和. 教学方法：启发式讲授 教学过程：
一、函数项级数的概念
1．【定义】设 ΛΛ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在区间I 上的函数,则
ΛΛ++++=∑∞
=)()()()(2
1
1
x u x u x u x u n
n n
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 2．收敛域
(1) 收敛点I x ∈0—— 常数项级数 ∑∞
=10
)(n n
x u 收敛；
(2) 发散点I x ∈0——常数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u 发散；
(3) 收敛域D —— 函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
的所有收敛点形成的集合D ；
(4) 发散域G ——
∑∞
=1
)(n n
x u
的发散点的全体构成的集合G .
3．和函数)(x S —— ∑∞
==1
)()(n n x u x S , D x ∈.
若函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
在收敛域内每一点都对应于)(x S 的一个函数值，
则称)(x S 为函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
的和函数.
4．余项)(x r n —— )()()(x S x S x r n n -=, ∑==n
k k
n x u
x S 1
)()(, D x ∈.
注: ①只有在收敛域D 上, )(x r n 才有意义； ② 0)(lim =∞
→x r n n , D x ∈.
二、幂级数及其收敛半径和收敛域 1．【定义】形如
n
n n
x x a )
(0
∑∞
=-的函数项级数称为0()x x -的幂级数.（也
称为一般幂级数），其中 012,,,.,n a a a a L L 为常数，称为幂级数的系 数.当00=x 时,
∑∞
=0
n n
n x
a 称为x 的幂级数（也称为标准幂级数）, 其中
常数n a （0,1,2,n =L ）称为幂级数的系数. 结论：对于级数
n
n n
x x a )
(0
∑∞
=-，作代换0t x x =-可以将一般幂级数化
为标准幂级数
n n
n a t
∞
=∑，所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法.
∑∞
=0
n n
n x
a 的收敛域：此级数的全体收敛点的集合.
显然: D x ∈0(收敛域)，即幂级数总在0x x =点处收敛.
例如: ∑∞
=0
n n
x , ∑∞
=-0!)1(n n
n x 均为幂级数.
显然:
∑∞
=0
n n
x
的收敛域)1,1(-=D ,其发散域),1[]1,(+∞--∞=Y G .
且和函数,11
)(0
x
x x S n n -=
=∑∞
= 1|| ∑∞ =0 n n n x a 的各项取绝对值得正项级数 n n n a x ∞ =∑， 记 1 lim n n n a l a +→∞=，则 11lim n n n n n a x l x a x ++→∞=；于是由比值判别法知 （1）若1,(0)l x l <≠，即1x R l <=，∑∞ =0n n n x a 绝对收敛. (2) 若1l x >，即1x R l >=，∑∞ =0 n n n x a 发散. (3) 若1l x =，即1x R l ==，比值法失效，∑∞ =0 n n n x a 敛散另行判定. （4）若0l =，即01l x =<，此时对任意x ，∑∞ =0 n n n x a 收敛. 上述分析显示级数 ∑∞ =0 n n n x a 在一个以原点为中心，从R -到R 的区间内 绝对收敛，区间(,)R R -称为幂级数的收敛区间，1 R l =为收敛半径. 若级数 ∑∞ =0 n n n x a 仅在点0x =收敛，则规定0R =，级数的收敛域为0x = 例如 级数 20 !12!!n n n n x x x n x ∞ ==+++++∑L L 由于 11lim lim lim 1(0)(1)!n n n n n n n x u n x x u n x +-→∞→∞→∞ ==>≠-n ！， ∴ 级数收敛域为 0x =或 {0}；独点集.