数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明

设limAn=A,limBn=B,则有

法则1:lim(A n+B n)=A+B

法则2:lim(An-Bn)=A-B

法则3:lim(An • Bn)=AB

法则4:lim(An/Bn)=A/B.

法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)

(n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.)

首先必须知道极限的定义：

如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？£> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立，

则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A.

根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)

法则1的证明：

•/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v

设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立.

此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &.

由于&是任意正数，所以2&也是任意正数.

即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &.

由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B.

即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C • An-CA|v C&.

由极限定义可知，lim(C • An)=C・A若C=0的话更好证)

法则2的证明：

lim(A n-B n)

=limA n+lim(-B n)(法则1)

=limAn+(-1)limBn (引理2)

=A-B.

为了证明法则3,再证明1个引理.

引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An • Bn)=0.

证明：•/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一

正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-0| v &④

，lim(An • Bn)=0.

由极限定义可知

=A-A (引理2) =0.

同理limbn=0.

/• lim(An • Bn)

=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an • bn+B • an+A • bn+AB)

=lim(a n • bn )+lim(B • an )+lim(A • bn )+to则B1)

=0+B • liman+A • limbn+limAB(引理3、引理2)

=B X 0+A X 0+AB (引理1) =AB.

引理4:如果limXn=L工0,则存在正整数N和正实数£使得对任何正整数n>N,有|Xn| >£.

证明：取£ =|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|< £于是有|Xn| > |L|-|Xn- L| > |L|- £ = £

法则4的证明：

由引理4,当B M0时(这是必要条件),？正整数N1和正实数£ 0使得对？正整数n>N1,有|Bn| >£ 0.

由引理5,又？正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An| < M,|Bn| < K.

现在对？£ >0,?正整数N2和N3,使得：

当n>N2,有|An-A|< £ 0*|B|* £ /(M+K+；

当n>N3,有|Bn-B|< £ 0*|B|* £ /(M+K+；

现在，当n>max(N1,N2,N3) 时,有

|An/Bn-A/B|

=|A n*B-B n*A|/|B*B n|

=|A n( B-B n)+B n(An-A)|/|B*B n|

w (|An^B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|* £0)

<£ (M+K)/((M+K+1)< £ 法则5的证明：

lim(An的k次方)

=limAn • lim(A啲k-1 次方)(法则3)....(往复k-1 次)

=(limAn)的k次方=A的k次方.