由递推关系求数列通项公式的几种方法

1 2
, an1
an
n, 求
:
an
5.已知数列an中, a1
1，an1 an
n
n
1
,
求
:
an
6.已知数列an中, a1
2, an1
2
1（n an
N
*）, 求an
.
3.形如an1 ban c
构造法
已知数列an中，a1 1，an1 3an 1, 求：an
分析：设 an1 x （3 an x）（）
an
c b -1
(a1
c) b -1
b n 1
an
(a1
c ) b -1
b n 1
c (n b -1
N*)
4 形如an1 an f（n） 迭加法
已 知 数 列an 中 ，a1
1 2
，an1
an
n, 求 ：an
解：a2 a1 1 a3 a2 2
令 n2 n 1中n 1 2
a4 a3 3
1.形如an1 an d (d为常数）等差型
(1)已知数列an中，a1 1，an1 an 2（n N *）, 求数列an的通项公式. an (2n 1)2
(2)已知数列an 中，a1
1，an1
an （n 1 2an
N
*）,
求数列an 的通项公式.
an
1 2n 1
2.形如an1 q an (q为常数） 等比型
).
2 递推相减(或相除)
求数列an 的通项公式.
1.已知数列an中,a1 1，an1 an （ 2 n N *）,求数列an的通项公式
2.已知数列an中, a1
1, an1
an （n 1 2an
N
*）,求an .
3.已知数列an中，a1 1，an1 2an 1,求：an
4.已知数列an中, a1
形如an1 ban c(b 1, c 0) 3 构造法
分析：设 an1 x b（an x）（）待定系数法
an1 ban (b 1)x与已知an1 ban c比较得
(b
1) x
c
x
b
c
代入（
1
）得an1
c b 1
b（an
b
c） 1
an1
b
c 1
b
an
b
c 1
{an
c }是等比数列, b-1
N
*）,
求数列an 的通项公式.
解 ；a1
2
12，a2
3 2
，a3
43，a4
5， 4
猜测：an
n 1（n n
N
*）
然后用数学归纳法证明
小结: 1.这节课我学到了什么?
2.我还有哪些疑问? 3.我有什么新想法, 新发现 ?
作业:1.复习 2.进行等差数列,等比数列的知识梳理 3.做卷子.其中例1(3)(8)选做
求数列通项公式的几 种方法
1、等差、等比数列的通项公式
等差数列的通项公式 : an a1 (n 1)d
等 比数 列的 通 项公 式: an a1qn1
1.已知数列an的前n项和Sn 3n 2,求an .
2.数 列an 的 前 项 和 为Sn, 且Sn
1
2 3
an (n
N * ),求an .
n
3n
2.数 列an 的
前 项Sn和1
2 为S1n,且3Sann11(2)
2 3
an
(n
N
*
),
求an
.
(1)
(2)得an
2 3
an
2 3
an1
5 3
an
2 3
an1
a1
0 an1
0
an an1
2 5
{a
n
}是
等
比
数
列,
q
2 5
公a式n :
aa1nq
n1
SSa1nn,
3
5S
2 () 5
n1
n(1n(n1N) * (n 2)
令2 3n1中n 1得2 3n1 2 a1
1
an
2
3n1
(n 1) (n 2)
2.数 列an 的 前 项 和 为Sn, 且Sn
1
2 3
an (n
N * ),求an .
解:
S1
1
2 3
a1 a1
3 5
当n
2时,
Sn
1
2 3
an (1)
2 Sn1 1 3 an1(2)
2 (a531a递公n)ann1推式(232)52相:得aanan减{n1a(n或}a是1SS32相等1na,0n比除数)Sa32nna列1n1,q1(0(nn5212))
课课练P44 /12同学们做到5 3
an
2 3
an1 (n
2)
an1
0 an an1
2 (n 5
2)
{an }是等比数列, 首项a1
3 5
,公比q
2 5
an
3 5
( 2)n1 5
已知数列an 中，a1
1 2
，an1
2an （n 1 an
N
*）,
求数列an的通项公式.(课课练P44 /14）
7.由an sn sn1(n 2)得到
数列an 的前项和为Sn,且Sn
1
2 3
an (n
N *),求an的表达式。
课课练P48/11
答
:
an
3 5
( 2 )n1 5
课课练P44/12 , P50/19 , P51/21
无悔无愧于昨天，丰硕殷实 的今天，充满希望的明天。
2
公式: an
S1
S
n,
Sn1
(n 1) (n 2)
递 推 相 减(或 相 除)
1.已知数列an的前n项和Sn 3n 2,求an .
解 : a1 S1 31 2 1 当n 2时an Sn Sn1 3n 2 (3n1 2) 3n 3n1
3 3n1 3n1 2 3n1
an1 3an 2x与已知an1 3an 1比较得
2x
1
x
1 2
代入（ ）得an1
1 2
（3 an
1） 2
解：
an1
{a an
3an 1
an1
1 2
n
1}是等比an数 列12 ,
2
0
1 2
(a1
1) 2
3n1
an
（3 an
an1
1 2
） 1
2
3
an
1 2
3n 1 (n N*) 2
1，an1 an
n
n
1
,
求：an
a1 1
a3 3
×
an an1
a2 2 a4 4 a3 3
n
(n n 1
2)
an 2 3 4 n 1 n a1 1 2 3 n 2 n 1
an n (当n 1时也适合)
an n (n N*)
6 归纳法
已知数列an 中，a1
2，an1
2
1（n an
+ an an1 n 1
得 n2 n 1
(n 2)
2
1 2 a1
an a1 1 2 3 (n 1)
an
n(n 1) 2
来自百度文库1 2
n2
n 2
1
(当n 1时也适合)
an
n(n 1) 2
1 2
n2
n 1 2
(n N*)
5 .形如an1 f（n） an 迭乘法
已知数列an 中，a1
解：a2 2