第五章整数规划

现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，3),(2 x2
⑴
⑵
，3),(1，4),(2，4)。显然，它们 都不可能是整数规划的最优解。 3
(3/2,10/3)
按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右
图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
例5.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j 所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件：
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定; 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
为最终获得整数最优解，每次增加的线性约束 条件应当两个基本性质：
已获得的不符合整数要求的LP最优解不满足该 线性约束条件，从而不可能在以后的解中出现 ；
凡整数可行解均满足该线性约束条件，因而整 数最优解始终被保留在每次剩余的线性规划可 行域中。
例1 用割平面法求解整数规划问题
步骤1：标准化其松弛问题B0
整数规划的数学模型及解的特点
整数规划（简称：IP） 要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整
数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构 成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问 题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。 整数线性规划数学模型的一般形式：
整数规划的数学模型及解的特点
整数线性规划问题的种类： 纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数
线性规划。
混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性规 划。
整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的典型例子
例5.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
单纯形 Cj
表法求 解非整
CB
XB
考虑纯整数规划问题：
设其中aij和bi皆为整数（若不为整数时，可乘上 一个倍数化为整数）。
割平面法（纯整数）
割平面法是R.E.Gomory于1958年提出的一种方法， 它主要用于求解纯ILP。
割平面法是用增加新的约束来切割可行域，增加的新 约束称为割平面方程或切割方程。其基本思路为：
若其松弛问题的最优解X*不满足整数约束，则从X*的 非整分量中选取一个，用以构造一个线性约束条件，将其加 入原松弛问题中，形成一个新的线性规划，然后求解之。若 新的最优解满足整数要求，则它就是整数规划的最优解；否 则重复上述步骤，直到获得整数最优解为止。
B1
B2
B3
B4
年生产能力
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
2
5
200
年需求量 350
400
300
150
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元 。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少 。
整数规划的数学模型及解的特点
3
x1
整数规划的数学模型及解的特点
整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法 匈牙利法（指派问题）
割平面法（纯整数）
割平面法的思想
将原整数规划问题(L0)去掉整数约束变为线性规划问题 (L1)，引入线性约束条件(称为Gomory约束，几何术语割 平面)使问题(L1)的可行域逐步缩小. 每次切割掉的是问题非整数解的一部分，不切掉任何整 数解，直到最后使目标函数达到最优的整数解成为可行 域的一个顶点时，即问题最优解。 利用线性规划的求解方法逐步缩小可行域，最后找到整 数规划的最优解。
整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解（反 之不一定），但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解 的目标函数值。
整数规划的数学模型及解的特点
例5.3 设整数规划问题如下
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
整数规划的数学模型及解的特点
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。 则该规划问题的数学模型可以表示为：
整数规划的数学模型及解的特点
混合整数规划问题
整数规划的数学模型及解的特点
工作人
员
A
B
C
D
甲
85
92
73源自文库
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
丁
86
90
80
88
整数规划的数学模型及解的特点
设 数学模型如下：
要求每人做一项工作，约束条件为：
整数规划的数学模型及解的特点
每项工作只能安排一人，约束条件为：
变量约束：
整数规划的数学模型及解的特点
整数规划问题解的特征：
整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一 个子集，任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条件 ，因而不一定仍为可行解。
整数规划的数学模型及解的特点
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
投资问题可以表示为：
整数规划的数学模型及解的特点
例5.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不同 岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成绩（ 百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
第五章 整数规划
本章主要内容：
整数规划的数学模型及解的特点 解纯整数规划的割平面法 分支定界法 0－1 整数规划 指派问题
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化模 型就称为整数规划（离散最优化）模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且，一 般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。