高二理科数学第二学期3月份月考试题及答案

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高二下学期3月月考数学(理)试题 Word版含答案

唐山一中-高二第二学期月考数学试卷一、选择题(本大题共12小题，共60分) 1.已知函数f （x ）=4x x +，g （x ）=2x +a ，若∀x 1∈[12，3]，∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A.a ≤1 B.a ≥1 C.a ≤0 D.a ≥02.有下面三个判断，其中正确的个数是（）①命题：“设a 、b ∈R ，若a +b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个真命题 ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题③命题“∀a 、b ∈R ，a 2+b 2≥2（a -b -1）”的否定是：“∃a 、b ∈R ，a 2+b 2≤2（a -b -1）” A.0 B.1 C.2 D.3 3.“221(43)m x dx ≤-⎰”是“函数1()22x x mf x +=+的值不小于4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.若复数z =312a ii+- （a ∈R ，i 是虚数单位），且z 是纯虚数，则 |2|a i + 等于（） A 5 B.25 C.2D.405.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（） A.36 B.24 C.12 D.66.6 的球的内接正四棱柱的高为4，则该正四棱柱的表面积为（） A.24 B.32 C.36 D.407.四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB=BC=2，AD=3，PA ⊥平面ABCD 且PA=2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（） A.427 7 3 68.过椭圆22221x y a b+= （a ＞b ＞0）的左焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．若向量OA OB + 与向量a =（3，-1）共线，则该椭圆的离心率为（）A.B. C. D. 9.已知双曲线2222:1(0)y x C a b a b-=>> 的一条渐近线与函数1ln ln 2y x =++ 的图象相切，则双曲线C 的离心率是（）A.2 C. D.210.观察下列一组数据 a 1=1， a 2=3+5，a 3=7+9+11， a 4=13+15+17+19， …… 则a 10从左到右第一个数是（） A.91 B.89 C.55 D.4511. 已知定义域为R 的奇函数y =f （x ）的导函数为()y f x '= ，当x ≠0时，()()0f x f x x'+> ，若a =f （1），2(2)b f =-- ，11(ln )(ln )22c f = ，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A.a ＜c ＜b B.b ＜c ＜a C.a ＜b ＜c D.c ＜a ＜b12.已知2()(ln )f x x x a a =-+ ，则下列结论中错误的是（） A.∃a ＞0，∀x ＞0，f （x ）≥0 B.∃a ＞0，∃x ＞0，f （x ）≤0 C.∀a ＞0，∀x ＞0，f （x ）≥0 D.∀a ＞0，∃x ＞0，f （x ）≤0二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知f 1（x ）=（x 2+2x +1）e x ，f 2（x ）=[f 1（x ）]′，f 3（x ）=[f 2（x ）]′，…，f n +1（x ）=[f n （x ）]′，n ∈N *．设f n （x ）=（a n x 2+b n x +c n ）e x ，则b 2015=_________.14.11cos )x x dx -⎰= _________.15.若函数1cos 2y x =（0≤x ≤π）的图象和直线y =2、直线x =π、y 轴围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_______.16.函数()()x x f x e x ae =- 恰有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），则a 的取值范围是_________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17. （本小题满分10分）已知m R ∈ ，命题p ：对任意[0,1]x ∈ ，不等式2223x m m -≥- 恒成立；命题q ：存在[1,1]x ∈- ，使得m ax ≤ 成立。

江苏省高二下学期3月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．若，则x 的值为（）61010xC C =A ．4 B ．6 C ．4或6D ．8【答案】C【分析】根据组合数的性质可求解.【详解】,61010xC C = 或，即或.6x ∴=610x +=6x =4x =故选：C2．展开式中的常数项为，则项的系数为（）．62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭160-2x A ．240 B ．120 C ．180 D ．240-【答案】A【分析】根据二项展开式的通项公式，当求得，再由()66216C 2rrr r r T a x --+=⋅⋅-⋅620r -=3r =可得的值，进而即可得解.()3368C 160a -=-a 【详解】展开式的通项公式为， 62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()66216C 2r rr r r T a x --+=⋅⋅-⋅令，可得，620r -=3r =常数项为，得． ()3368C 160a -=-1a =再令，得，622r -=2r =所以项的系数为． 2x ()2246C 21240⨯⨯-=故选：A3．高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（） A ．42种 B ．96种 C ．120种 D ．144种【答案】C【分析】根据语文课与数学课相邻，则利用捆绑法，物理课比生物课先上则利用对称法求解. 【详解】因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，所以课程编排方案共有种，52521A A 1202=故选：C.4．函数在处有极值为7，则 322()f x x ax bx a a =++++1x ==a A ．-3或3 B ．3或-9C ．3D ．-3【答案】C【分析】题意说明，，由此可求得 '(1)0f =(1)7f =,a b 【详解】，2'()32f x x ax b =++∴，解得或，2(1)17'(1)320f a b a a f a b ⎧=++++=⎨=++=⎩39a b =⎧⎨=-⎩33a b =-⎧⎨=⎩时，，当时，，当时，3,9a b ==-2'()3693(1)(3)f x x x x x =+-=-+31x -<<'()0f x <1x >，是极小值点；'()0f x >1x =时，，不是极值点．3,3a b =-=22'()3633(1)0f x x x x =-+=-≥1x =∴． 3a =故选C ．【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数，是为极值的必要条件，但不是充()f x 0'()0f x =0x 分条件，因此由求出参数值后，一般要验证是否是极值点．0'()0f x =0x 5．已知圆和两点，，若圆C 上存在点P ，使得()()()22:140C x y m m ++-=>()2,0A -()10B ,，则m 的取值范围是（）2PA PB =A ．[8，64] B ．[9，64] C ．[8，49] D ．[9，49]【答案】D【分析】设P 的坐标为，由可得P 的轨迹为，又因为点P 在圆C(),x y 2PA PB =()2224x y -+=上，所以两圆有公共点，从而求解即可.【详解】解：设P 的坐标为，因为，，， (),x y 2PA PB =()2,0A -()10B ,，=()2224x y -+=又因为点P 在圆上， ()()()22:140C x y m m ++-=>所以圆与圆C 有公共点， ()2224x y -+=且，2≤0m >解得， 949m ≤≤故选：D ．6．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（） {}n a n n S 1q >245a a +=154a a =n S =A ． B ． C ． D ．121n --1122n --122n-21n -【答案】B【分析】根据题意可得出关于、的值，可求得、的值，再利用等比数列的求和公式可求得2a 4a 1a q .n S 【详解】由等比数列的性质可知，因为，则，24154a a a a ==1q >2422a a q a =>由已知可得，可得，，则， 24242454a a a a a a⎧+=⎪=⎨⎪<⎩2414a a =⎧⎨=⎩2q ∴==2112a a q ==因此，. ()()1111211221122n nn na q S q ---===---故选：B.7．已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则22:12516x y C +=,F P C M 22(3)1x y -+=的最大值为（）||||PM PF +A ．7 B ．9 C ．11 D ．13【答案】C【分析】由已知圆的圆心为椭圆的右焦点，由点与圆的位置关系可得，结合椭圆1F 11PM PF £+的定义求的最大值.||||PM PF +【详解】因为椭圆的方程为，所以椭圆的长半轴长，短半轴长，圆C 2212516x y +=5a =4b =的圆心的坐标为，半径为1，由圆的几何性质可得，当且仅22(3)1x y -+=1F ()3,011PM PF £+当为的延长线与圆的交点时等号成立，所以，由椭圆的定义可M 1PF 1||||||||1PM PF PF PF +≤++得． 1210PF PF a +==所以， 10111PM PF +≤+=故选：C.8．已知函数恰有两个零点，则a 的取值范围是（） ()ln f x x x a =-+A ． B ．C ．D ．(),1-∞-(),1∞-()1,-+∞()1,+∞【答案】D【分析】由分离参数得．引入新函数，由导数确定的单调()0f x =ln a x x =-+()ln g x x x =-+()g x 性、极值，得出函数的变化趋势，从而得出结论，()g x 【详解】令，得．设，则()ln 0f x x x a =-+=ln a x x =-+()ln g x x x =-+()111x g x x x -'=-+=．由，得；由，得．所以在上单调递减，在上单调()0g x '>1x >()0g x '<01x <<()g x ()0,1()1,+∞递增，故，即． ()()11g x g ≥=1a >故选：D ．二、多选题9．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（） C 214y x =F P C A ．的准线方程为 C 116y =-B ．直线与相切1y x =-CC ．若，则的最小值为()0,4M PMD ．若，则的周长的最小值为11 ()3,5M PMF △【答案】BCD【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A ，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B ，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C ，根据Δ0=(),P x y 2PM 抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D. PMF △【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故C 214y x =24x y =()0,1F 1y =-A 错误；由，即，解得，所以直线与相切，故B 正确； 2141y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2440x x -+=()24440∆=--⨯=1y x =-C 设点，所以，(),P x y ()()22222441621212x P y y y y M =+-=-+=-+≥所以C正确；minPM=如图过点作准线，交于点，P PN ^N 5=所以， 5611PFM C MF MP PF MF MP PN MF MN =++=++≥+=+=A 当且仅当、、三点共线时取等号，故D 正确； M P N 故选：BCD10．下列命题中，正确的命题的序号为（）A ．已知随机变量服从二项分布，若，则 X (),B n p ()()30,20E X D X ==23p =B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量服从正态分布，若，则 ξ()0,1N ()1P p ξ>=()1102P p ξ-<≤=-D ．某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大 10X ()10,0.9X B ~9X =【答案】BCD【分析】对A ：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对B ：根据方差公式可知方差恒不变；对C ：根据正态分布的对称性即可求解；对D ：根据二项分布概率的性质求解即可判断.【详解】解：对A ：因为随机变量服从二项分布，，， X (,)B n p ()30E X =()20D X =所以，，解得，故选项A 错误； 30np =(1)20np p -=13p =对B ：根据方差公式，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常2()(D a b a D a ξξ+=b 数后，方差不变，故选项B 正确；对C ：因为随机变量服从正态分布，由，可得，利用正态ξ(0,1)N (1)P p ξ>=1(01)2P p ξ<<=-分布的对称性可得，故选项C 正确； 1(10)2P p ξ-<<=-对D ：因为在10次射击中，击中目标的次数满足，X ~(10,0.9)X B 所以对应的概率， 1010()C 0.90.1kk k P X k -==⨯⨯当，时，，1k …*N k ∈101011101100.90.10.90.1C C ()9(11)(1)kk k k k k P X k k P X k k----+=-===-令，解得， ()9(11)1(1)P X k k P X k k =-=≥=-19910k ……因为时，*N k ∈所以当时，概率最大，故选项D 正确. 9X =()9P X =故选：BCD.11．某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获40%60%60%奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，A B ()0.12P AB =则（） A ． B ．一等奖与三等奖的作品数之比为 ()0.4P B A =3:4C ． D ．()0.25P A B =()0.54P B =【答案】ABD【分析】依题意设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，即可表示男、女生获一、二、三等x y 奖的作品数，再根据求出与的关系，从而一一判断即可. ()P AB x y 【详解】解：设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，x y则男生获一、二、三等奖的作品数为、、， 0.4x 0.6x 0.6y 女生获一、二、三等奖的作品数为、、， 0.6x 0.4x 0.4y 因为，所以，()0.40.12xP AB x x y==++43x y =所以，故A 正确； ()0.4|0.4xP B A x==，故C 错误； ()0.40.420.2540.690.63x x P A B x x y x ===≠++⨯一等奖与三等奖的作品数之比为，故B 正确；:3:4x y =，故D 正确；()40.60.630.544223x xx y P B x y x x +⨯+===++故选：ABD12．过点有三条直线和曲线相切，则实数的可能取值是（） (0,1)P -32(R)y x ax bx b =++∈a A ．0 B ．3C ．6D ．4【答案】CD【分析】设切点为，利用导数求得切线方程，代入P 点坐标，整理得32(,)t t at bt ++32210t at +-=，令，有3个零点，利用导数求单调区间和极值，再由极大值大于0极小值32()21g t t at =+-()g t 小于0，求解实数a 的取值范围．【详解】由，得，32y x ax bx =++232y x ax b '=++设切点为，则过切点的切线方程为，32(,)t t at bt ++21(32)y t at b x +=++，3221(32)t at bt t at b t ∴+++=++整理得，令， 32210t at +-=32()21g t t at =+-由题意得，有3个零点，，()g t 2()62g t t at '=+由，得或，()0g t '=0=t 3at =-当时，函数只有一个零点，舍去； 0a =()g t 当时，，由，得或，由，得，0a <03a ->()0g t '>0t <3a t >-()0g t '<03a t <<-是函数的极大值点，由于，函数没有3个零点，舍去； 0t ∴=()g t (0)10g =-<()g t ，同理可得是函数的极大值点，是函数的极小值点，0a ∴>3at =-()g t 0=t ()g t由于，由条件结合三次函数的性质可得：，即． (0)10g =-<310327a ag ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭3a >实数的取值范围是．∴a (3,)+∞故选：CD ．三、填空题13．已知某随机变量的概率分布列如表，其中，，则随机变量的数学期望ξ0x >0y >ξ()E ξ=____．i x 1 2 3()i P x ξ=xyx【答案】2【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式即可求解. 【详解】由题意，，即1x y x ++=21x y += ()23422(2)2E x y x x y x y ξ∴=++=+=+=故答案为：214．已知抛物线的焦点F 与双曲线的右焦点重合，与的21:4C y x =22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b1C 2C 公共点为M ，N ，且，则的离心率是_____________． 4MN =2C##1+1【分析】根据抛物线和双曲线的对称性可得，，且2M y =1M x =MF '=得的值，进而求解.a 【详解】因为与交于点M ，N ，所以M ，N 关于x 轴对称，所以，所以． 1C 2C 2M y =1M x =因为，所以轴.记椭圆的另一焦点为， (1,0)F FM x ⊥2C F '所以， MF =='22a =所以． 212c e a ===.115．在三棱锥中，已知平面，，，-P ABC PA ⊥ABC 120BAC ︒∠=AC =AB =PA =，则该三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】60π【分析】求解底面ABC 的外接圆的半径，利用球心与圆心的连线垂直底面，构成直角三角形即可求解三棱锥外接球的半径，可得其表面积【详解】在底面中，，ABC A 120BAC ∠= AC =AB =由余弦定理可得BC ==设外接圆的圆心为，半径为r ，球心为O ， ABC A 1O 由正弦定理可得，，得2sin BC r A ==r =底面ABC ，且球心到点P ，A的距离相等，PA ⊥球心与底面的距离为∴12AP =球心与圆心的连线垂直于底面，，222R r ∴=+，215R ∴=该三棱锥外接球的表面积 24π60πS R ==故答案为：60π.16．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实()||e =-xf x ax x ()0,x ∈+∞210x x >>()()12210f x f x x x -<数的取值范围为______________.a 【答案】e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由题可知，当时，不等式恒成立，即在上21x x >()()1122x f x x f x <()()g x xf x =()0,x ∈+∞是增函数，然后由在上恒成立，即可解出.()0g x '≥()0,x ∈+∞【详解】因为当时，不等式恒成立，即当时，不等式210x x >>()()12210f x f x x x -<21x x >恒成立，所以在上是增函数，()()1122x f x x f x <()()2e x g x xf x ax ==-()0,x ∈+∞所以在上恒成立，即在上恒成立，令，所()e 20xg x ax =-≥'()0,x ∈+∞e 2x a x≤()0,x ∈+∞e ()2x h x x =以，当时，，当时，，所以当时，取得最小()2e 1()2x x h x x-'=01x <<()0h x '<1x >()0h x '>1x =()h x 值，最小值为，所以实数a 的取值范围为.e 2e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故答案为：.e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、解答题17．已知数列的前n 项和，且，数列满足，其中{}n a n S 1131,1n n S S a +=+={}n b ()111,1n n b n b nb +=+=．*n ∈N (1)求和的通项公式；{}n a {}n b (2)设，求数列的前20项和．()3log ,4,2n n n a n c n n b ⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数{}n c 20T 【答案】(1)，13n n a -=n b n =(2) 20100011T =【分析】（1）根据、累乘法求得和的通项公式；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a {}n b （2）结合分组求和法、裂项相消求和法求得.20T 【详解】（1）对于，当时，， 1131,1n n S S a +=+=1n =1212131,213a a a a a +=+=+=当时，由得， 2n ≥131n n S S +=+131n n S S -=+两式相减得，由于，()132n n a a n +=≥213a a =所以是首项为，公比为的等比数列，所以.{}n a 1313n n a -=对于，， ()111,1n n b n b nb +=+=11n n b n b n ++=所以， 1321122113211221n n n n n b b b b n n b b n b b b b n n ----=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=-- 也符合上式，所以.1b n b n =（2）当为奇数时，；，n 3log 1n n c a n ==-1190,18c c ==所以. 131901810902c c c ++++=⨯= 当为偶数时，； n ()()44112222n n n b n n n c n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭=所以2420c c c +++ 111111224462022⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 11110212221111⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以. 20101000901111T =+=18．为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内(),0n n n ∈>N 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为. 415(1)求n 的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为X ，求X 的可能值及相应的概率；②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.【答案】(1)；7n =(2)①X 的可能取值为0，1，2，3，4，相应概率见解析；②. 13【分析】⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2个城市全是小城市的概率表示出来，解方程即可；⑵①的分布符合超几何分布，根据超几何分布的概率计算方法求概率即可；X ②利用条件概率求概率的方法求概率即可.【详解】（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况， ()8n +28C n +其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为， 28C ()()2828C 874C 8715n n n +⨯==++解得（负值舍去）.7n =（2）①由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，4，相应的概率分别记为，()()0,1,2,3,4P X k k ==，， ()0487415C 10C 39C P X ===()1387415C C 81C 39P X ===，， ()2287415C C 282C 65P X ===()3187415C C 563C 195P X ===. ()4087415C C 24C 39P X ===②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；47C 35=若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，48C 70=所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为. 35135703=+19．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，、、分别是正E F G方形的三边、、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五AB CD AD FG FDG 边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图．ABCFG EF AB CG 2)(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；O EBCF//AO GCF (2)若二面角是直二面角，求点到平面的距离．A EFB --B GCF 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取线段中点，证明四边形是平行四边形，可证平面； CF H AOHG //AO GCF （2）由向量法求点到平面距离，或由体积法求点到平面距离.【详解】（1）证明：取线段中点，连接、，CF H OHGH由图1可知，四边形是矩形，且，EBCF 2CB EB =是线段与的中点，且， O ∴BF CE //OH BC ∴12OH BC =在图1中知且，且， //AG BC 12AG BC =//EF BC EF BC =所以在图2中，且，且， //AG BC 12AG BC =//AG OH AG OH =四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，∴AOHG //AO HG AO ⊂/GCF HG ⊂GCF 平面．//AO ∴GCF （2）解：法一：由图1，，，折起后在图2中仍有，，EF AE ⊥EF AF ⊥EF AE ⊥EF BE ⊥即为二面角的平面角．，AEB ∴∠A EF E --90AEB ∴∠=︒以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，E ,EB EF x y E xyz-则，，，，，(2,0,0)B (4,2,0)C (0,4,0)F (0,0,2)A (0,2,2)G ，∴(2,4,0),(2,0,0),(0,2,2)BF FC FG =-==- 设平面的一个法向量为，GCF (,,)n x y z = 由，得，，取，则， 00n FC n FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20220x y z =⎧⎨-+=⎩0x =1y =1z =于是平面的一个法向量，GCF (0.1,1)n = 点到平面的距离为B GCF BF n d n ⋅===法二：同法一知：面，面，AF ⊥EBCF CF ⊥GAEF 设点到平面的距离为，于是， B GCF d 13B GCF CCF V S d -=⋅A 其中11222GCF S CF GF =⋅=⨯⨯=A 另一方面，， 11842333B GCF G BCF A BCF BCF V V V S AE ---===⋅=⨯⨯=A 由，知点到平面的距离为8133=⨯B GCF d =20．已知数列满足：，．{}n a 13a =1*12(2,N )n n n a a n n --=+≥∈(1)求数列的通项公式及前项和；{}n a n n S (2)令，，求证：． 11n n n b a a +=A 1*1222(N )n n n T b b b n -=++⋯+∈*1(N )6n T n <∈【答案】(1)，*21(N )n n a n =+∈n 1*22(N )n S n n +=+-∈(2)证明见解析【分析】（1）由数列的递推公式，用累加法或构造新数列的方法求数列通项，再根据数列特征求前项和；n （2）由裂项相消法求，可得结论.n T 【详解】（1）解法一：，112(2)n n n a a n ---=≥当时∴2n ≥12132121()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-+⋯+-+-． 221123222222112nn n n ---=+++⋯++=+=+-检验知当时，结论也成立，1n =故．． *21(N )n n a n =+∈211*2(12)(2222)22(N )12n n nn n S n n n n -+-=++⋯+++=+=+-∈-解法二：，，112(2)n n n a a n ---=≥∴1122(2)n n n n a a n ---=-≥数列是首项为，公差为0的等差数列，∴{}2n n a -121a -=，．∴21n n a -=*21(N )n n a n =+∈ ． 211*2(12)(2222)22(N )12n n nn n S n n n n -+-=++⋯+++=+=+-∈-解法三：，，． 112(2)n n n a a n ---=≥∴1111·2222n n n n a a --=+11111(2)222n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，数列是首项与公比均为的等比数列， 1111022a -=≠∴12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭12． ∴*11,21(N )22nn n n n a a n ⎛⎫-==+∈ ⎪⎝⎭． 211*2(12)(2222)22(N )12n n n n n S n n n n -+-=++⋯+++=+=+-∈-（2）． 11122(21)(21)n n n n n b --+=++1*11(21)(21)111(N )2(21)(21)22121n n n n n n n ++++-+⎛⎫==-∈ ⎪++++⎝⎭∴11222n n n T b b b -=++⋯+ 223111111112121212122121n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 1111111212212126n +⎛⎫=-<⨯= ⎪+++⎝⎭21．已知圆:，一动圆与直线相切且与圆外切． C ()22114x y -+=12x =-C (1)求动圆圆心的轨迹的方程；P T (2)若经过定点的直线与曲线交于两点，是的中点，过作轴的平行线与曲(6,0)Q l T ,A B M AB M x 线相交于点，试问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，T N l NA NB ⊥l 请说明理由．【答案】(1)24y x =(2)存在，或3180x -=3180x -=【分析】（1）设元，利用圆与圆的位置关系找等量关系，列方程，化简即可；（2）设，：得，联立方程消去，由韦达定理1122(,),(,)A x y B x y l 6x my =+x 12124,24y y m y y +==-，根据题意设，由得化简解决即可.00(,)N x y NA NB ⊥0NA NB ⋅= 【详解】（1）设动圆圆心，由题可知动圆圆心不能在轴左侧，故，(,)P x y y 0x ≥因为动圆与直线相切且与圆：外切， 12x =-C ()22114x y -+=所以， 11||()22PC x -+=，1x =+化简得，24y x =所以动圆圆心的轨迹的方程为.P T 24y x =（2）设，1122(,),(,)A x y B x y 由题意，设直线的方程为，l 6x my =+联立，消去得 264x my y x =+⎧⎨=⎩x ，24240y my --=，①12124,24y y m y y ∴+==-，，②212412x x m ∴+=+1236x x =因为是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，M AB M x T N 假设存在，使得，00(,)N x y NA NB ⊥所以，③ 12022y y y m +==因为在抛物线上，即 N 2004y x =所以，④20x m =，，， 0NA NB ⋅= 1010(,)NA x x y y =-- 2020(,)NB x x y y =-- 所以22120120120120()()0x x x x x x y y y y y y -+++-++=所以将①②③④代入化简可得，22(6)(32)0m m +-=所以 m =所以存在直线：，使得， l 6x y =+NA NB ⊥所以存在直线的方程为或l 3180x +-=3180x -=22．已知，函数． 0a …()1ln a f x ax x x +=+-(1)讨论函数的单调性；()f x (2)如果我们用表示区间的长度，试证明：对任意实数，关于的不等式n m -(),m n 1a …x 的解集的区间长度小于．()21f x a <+21a +【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求导之后再对分和两种情况讨论得解；a 0a =0a >（2）令，证明，令，证明()()()21g x f x a =-+110g a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭()()22h a g a =+，[)1,a ∈+∞即得解.()220g a +>【详解】（1）解：，定义域为， ()1ln a f x ax x x+=+-()0,∞+ ()()()()222211111.ax x a x ax a a f x a x x x x --++--+=--=='若恒成立，所以在上单调递减； ()()210,0x a f x x-+='=<()f x ()0,∞+若， ()()211110,,10a x x a a f x x a⎛⎫+-- ⎪⎝⎭>=+>'当时，；当时，， 10,1x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()0f x '<11,x a ∞⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()0f x ¢>所以在上单调递减，在上单调递增． ()f x 10,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11,a ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭综上，时，在上单调递减；时，在上单调递减，在0a =()f x ()0,∞+0a >()f x 10,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增． 11,a ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）证明：令，则，因为， ()()()121ln 21a g x f x a ax x a x+=-+=+---()10g =1a …由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， ()g x 10,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11,a ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭又，所以， 111a +>110g a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭令， ()()()[)21222ln 22,1,2h a g a a a a ∞=+=--+∈+由恒成立， ()2244140221a a h a a a a +-=-=>++'所以在上单调递增．()h a ()1,+∞又，所以，即．从而， 3e 16>3e 116>32e 14>()323e 1ln4ln 024h =-=>所以，即．()()10h a h >>()220g a +>因为，所以， 1222,12a a +>+<1221a a+>+所以存在唯一，使得，所以的解集为， 111,22x a a ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()10g x =()0g x <()11,x 即的解集为，又的区间长度为，()21f x a <+()11,x ()11,x ()1122121x a a -<+-=+原命题得证．。

福建省福州市高二数学下学期3月月考试卷理(含解析)

2016-2017学年福建省福州市高二（下）3月月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒2．若f'（x）=3，则等于（）A．3 B．C．﹣1 D．13．若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣24．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C． D．ln25．下列积分不正确的是（）A．B．C． D．6．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞27．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]8．若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣210．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8=0的最短距离是（）A．B．2 C．3 D．011．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有的最小值为（）A．2 B．C．3 D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为．14．已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= ．15．由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．x ﹣1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20（1）求通项a n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．18．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB （Ⅰ）求∠B的大小（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．20．设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f′（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．22．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年福建省福州市文博中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒【考点】62：导数的几何意义．【分析】求导数，把t=3代入求得导数值即可．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，∴s′=﹣1+2t，把t=3代入上式可得s′=﹣1+2×3=5由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，故选C2．若f'（x）=3，则等于（）A．3 B．C．﹣1 D．1【考点】6F：极限及其运算．【分析】由=﹣=﹣×f'（x0），由题意，即可求得答案．【解答】解：=﹣=﹣×f'（x0）=﹣×3=﹣1，故选C．3．若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由y=x2+ax+b，知y′=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x ﹣y+1=0，求出a和b．【解答】解：∵y=x2+ax+b，∴y′=2x+a，∵y′|x=1=2+a，∴曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b=（2+a）（x﹣1），∵曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，∴a=﹣1，b=2．故选B．4．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C． D．ln2【考点】65：导数的乘法与除法法则．【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx0+1=2∴x0=e，故选B．5．下列积分不正确的是（）A．B．C． D．【考点】68：微积分基本定理．【分析】利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：A. = =ln3，因此正确；B．∵=2．故B不正确．==，因此正确；D. = = =．因此正确．综上可知：只有B不正确．故选B．6．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，利用导数有两个不相等的实数根，通过△＞0，即可求出a的范围．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f′（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极值，所以导函数有两个不相等的实数根，即△＞0，（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6，故选：C．7．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]【考点】62：导数的几何意义．【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．【解答】解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．8．若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知，f′（x）=3x2≥0在[1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣3x2，恒成立，只需a大于﹣3x2的最大值即可，而﹣3x2在[1，+∞）上的最大值为﹣3，所以a≥﹣3．即数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故选A．9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣2【考点】62：导数的几何意义．【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．10．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8=0的最短距离是（）A．B．2 C．3 D．0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3H：函数的最值及其几何意义；IT：点到直线的距离公式．【分析】在曲线y=ln（2x﹣1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x﹣y+8=0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．【解答】解：设曲线y=ln（2x﹣1）上的一点是P（ m，n），则过P的切线必与直线2x﹣y+8=0平行．由，所以切线的斜率．解得m=1，n=ln（2﹣1）=0．即P（1，0）到直线的最短距离是d=．故选B．11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选D12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有的最小值为（）A．2 B．C．3 D．【考点】63：导数的运算；3R：函数恒成立问题；7F：基本不等式．【分析】由对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵f（x）≥0，知，∴c．又f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．∴≥1+=≥1+=2．当且仅当4a2=b2时，“=”成立．故选A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1] ．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．【解答】解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]14．已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= 0 ．【考点】63：导数的运算．【分析】求函数的导数，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：函数的导数为f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，令x=，得f′（）=f′（）cos﹣sin=﹣1，则f（x）=﹣sinx+cosx，则f（）=﹣sin+cos=，故答案为：0．15．由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为9 ．【考点】67：定积分．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线yy2=4x与直线y=2x﹣4所围成的封闭图形的面积，即可求得结论【解答】解：联立方程组，解得或，∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（y+2﹣y2）dy=（y2+2y﹣）|=9，故答案为：916．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．x ﹣1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是①②⑤．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20（1）求通项a n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知条件，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出等差数列的通项公式．（2）由a n=2n，{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，利用等比数列的通项公式，能求出数列{b n}的通项公式，再利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20，∴，解得，∴．（2）∵a n=2n，{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴，∴，∴．18．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB （Ⅰ）求∠B的大小（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理得： ===2R解出a、b、c代入到已知条件中，利用两角和的正弦函数的公式及三角形的内角和定理化简，得到cosB的值，然后利用特殊角的三角函数值求出B即可；（Ⅱ）要求三角形的面积，由三角形的面积公式S=acsinB知道就是要求ac的积及sinB，由前一问的cosA的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinA，可根据余弦定理及、a+c=4可得到ac的值，即可求出三角形的面积．【解答】解（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB﹣cosBsinC∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）又在三角形ABC中，sin（B+C）=sinA≠0∴2sinAcosB=sinA，即，得（Ⅱ）∵b2=7=a2+c2﹣2accosB∴7=a2+c2﹣ac又∵（a+c）2=16=a2+c2+2ac∴ac=3∴即19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a、b、c的方程，解出a=，b=c=1，从而得到椭圆的方程；（2）求出F1B直线的斜率得直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x1﹣x2|=，结合弦长公式可得|CD|=，最后利用点到直线的距离公式求出F2到直线BF1的距离d，即可得到△CDF2的面积．【解答】解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，∴b==1，且=，解之得a=，c=1可得椭圆的方程为；…（2）∵左焦点F1（﹣1，0），B（0，﹣2），得F1B直线的斜率为﹣2∴直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2由，化简得9x2+16x+6=0．∵△=162﹣4×9×6=40＞0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C（x1，y1），D（x2，y2），则∴|CD|=|x1﹣x2|=•=•=又∵点F2到直线BF1的距离d==，∴△CDF2的面积为S=|CD|×d=×=．20．设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f′（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；36：函数解析式的求解及常用方法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（﹣2，0）和（，0），代入即可求出a、b、c之间的关系式，再根据图象可知函数的单调性，而f（x）极小值为﹣8可得f（﹣2）=﹣8，解出即可得到a、b、c的值；（2）根据函数增减性求出函数在区间[﹣3，3]的最小值大于等于m2﹣14m，即可求出m的范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），，∴∴f（x）=ax3+2ax2﹣4ax，由图象可知函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由f（x）极小值=f（﹣2）=a（﹣2）3+2a（﹣2）2﹣4a（﹣2）=﹣8，解得a=﹣1∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x（2）要使对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，只需f（x）min≥m2﹣14m即可．由（1）可知函数y=f（x）在[﹣3，﹣2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣33﹣2×32+4×3=﹣33＜﹣8∴f（x）min=f（3）=﹣33﹣33≥m2﹣14m⇒3≤m≤11故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）对函数求导，令f′（1）=0，即可解出a值．（Ⅱ）f′（x）＞0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．a≥2时，在区间（0，+∞）上是增函数，（Ⅲ）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1，恒成立；当0＜a＜2时，判断知最小值小于1，此时a无解．当0＜a＜2时，（x）的单调减区间为，单调增区间为【解答】解：（Ⅰ），∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0即 a+a﹣2=0，解得 a=1（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0．∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得由∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1当0＜a＜2时，由（II）②知，处取得最小值，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）22．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1．利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．。

青海省高二下学期3月月考数学(理)试题(解析版)

一、单选题1．积分（）2-=⎰A ． B ．C ．D ．π2π4π8π【答案】B【分析】根据定积分的几何意义求值即可.【详解】由题设，定积分表示圆在x 轴的上半部分，224x y +=所以.21422ππ-=⨯⨯=⎰故选：B2．若复数z 满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（） ()25i 2i 3z ⋅+=+i z A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】利用复数的化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的几何意义可得出结论. z 【详解】由，所以， ()25i 2i 3z ⋅+=+()()()()2i 325i 2i 31611i 1611i 25i 25i 25i 292929z +-+-====-++-所以，在复平面内对应的点是，位于第一象限． 1611i 2929z =+1611,2929⎛⎫⎪⎝⎭故选：A ．3．已知复数z 满足，且z 的共轭复数为，则（） i z =z z =A B ．2C ．4D ．3【答案】B【分析】根据共轭复数的概念可求出，从而根据复数模的公式可求出答案. z【详解】因为，所以．i z =+i z =2=故选：B.4．函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是（）21y x =-A ．B ．120(1)d x x -⎰220(1)d x x -⎰C ．D ．221d x x -⎰122201(1)d 1d ()x x x x -+-⎰⎰【答案】C【分析】对阴影部分的面积分成两部分，根据定积分的几何意义写出面积和，再利用定积分的可加性进行积分运算.【详解】所求面积为．()()1212222222111d 1d 1d 1d 1d x x x x x x x x x x -+-=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰故选：.C 【点睛】本题考查定积分的几何意义，特别要注意，当时，，其积分值是负数，[0,1]x ∈()0f x <且该负数的绝对值或相反数才是对应阴影部分的面积． [0,1]x ∈5．已知复数，则（） z =z =A ． B C ． D ．123【答案】C【解析】利用复数的除法运算化简，再利用复数模长公式求出结果. z i =【详解】解：，z i =+2=故选：．C 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模长运算. 复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模． 6．若复数z 满足z （2﹣i ）＝1+4i （i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为（）A ．B ．C ．D ．2955i -+2955i --2955i +2955i -【答案】B【分析】由复数的除法运算求出复数z ，再写出z 的共轭复数．【详解】由z （2﹣i ）＝1+4i ，得z ＝＝＝， 142ii +-(14)(2)(2)(2)i i i i ++-+2929555i i -+-=+所以复数z 的共轭复数为． 2955z i -=-故选：B ．7．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万千克）满足y x （为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，3216=-++y x ax x a 232每年需种植莲藕（） A ．6万千克 B ．8万千克 C ．7万千克 D ．9万千克【答案】B【分析】由已知求参数a ，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.【详解】设当莲藕种植量为万千克时，销售利润为万元，则x ()g x （）．()3232112266g x x ax x x x ax =-++--=-+-010x <≤∵，()32123333262g a =-⨯+⨯-=∴，即，则，2a =()321226g x x x =-+-()()2114822g x x x x x '=-+=--当时，，当时，，()0,8x ∈()0g x ¢>()8,10x ∈()0g x ¢<∴在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值， ()g x ()0,8()8,108x =()g x 故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．故选：B ．8．由函数的图象与轴围成图形的面积为（）()3cos ,,22f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭x A ． B ． C ．D ．π22π1【答案】B【分析】依题意可得，根据微积分基本定理计算可得；()3220cos S x dx ππ=-⎰【详解】解：依题意可得 ()()33222230cos sin |sinsin 222S x dx x ππππππ⎛⎫=-=-=---= ⎪⎝⎭⎰故选：B9．若不等式对恒成立，则实数a 的取值范围是（） 22ln 3x x x ax ≥-+-,()0x ∈+∞A ． B ．C ．D ．(],0-∞[)0,∞+(],4∞-[)4,+∞【答案】C【分析】由已知条件推导出，，令，利用导数求出函数32ln a x x x ≤++0x >()32ln f x x x x =++()f x 的最小值，由此能求出实数的取值范围．a 【详解】解：对恒成立， 22ln 3x x x ax ≥-+- ,()0x ∈+∞，， 32ln a x x x∴≤++0x >令， ()32ln f x x x x=++则， ()22223231x x f x x x x +-'=+-=当时，，当时，， (0,1)x ∈()0f x '<(1,)x ∈+∞()0f x ¢>∴函数在上递减，在上递增， ()f x ()0,1()1,+∞所以()()min 14f x f ==．4a ∴≤实数的取值范围是，．∴a (-∞4]故选：C ．10．函数的大致图象为（）2e x y x =A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可.【详解】由题意可知，()22e e 2e x x xy x x x x =+=+'当或时，，当时，，<2x -0x >0y >'A A A A 20x -<<0'<y 所以在和上单调递增，在上单调递减，且当时，. 2e x y x =(),2-∞-()0,∞+()2,0-0x <2e 0x y x =>故选：A.11．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，()f x R ()f x 'x ()()2f x f x x =-+0x <，若，则实数的最小值为 ()21f x x '<+(1)()22f a f a a -≤-+-a A ．-1 B ．C ．D ．112-12【答案】C【分析】构造函数，因为，所以，在为单调()()2g x f x x x =--()21f x x '<+()0g x '<()g x (),0-∞递减函数,在根据，可得，即得为偶函()()2f x f x x =-+()()()()20g x g x f x f x x --=---=()g x 数,再将，等价变形，可得()()122f a f a a -≤-+-()()()()()()22111f a a a f a a a -----≤-----，结合的单调性，即可求解.()()1g a g a -≤-()g x 【详解】设，则，()()2g x f x x x =--()()21g x f x x '-'=-因为当时，，则 0x <()21f x x '<+()0g x '<所以当时，为单调递减函数,0x <()g x 因为，()()2g x f x x x =--所以，()()2g x f x x x -=--+又因为，()()2f x f x x =-+所以，即为偶函数,()()()()20g x g x f x f x x --=---=()g x 将不等式，等价变形得，即()()122f a f a a -≤-+-()()()()()()22111f a a a f a a a -----≤-----,()()1g a g a -≤-又因为为偶函数，且在单调递减，则在是单调递增，，解得，()g x (),0-∞()0,+∞1a a -≤12a ≥所以的最小值为. a 12【点睛】本题考查了构造函数，函数的单调性，奇偶性及绝对值不等式的解法，难点在于准确的构造新函数，再根据函数的性质进行求解，属中档题.()()2g x f x x x =--12．已知，则（） 0.2111.2,,9a b c e ===A ． B ． a b c <<c<a<b C ． D ．a cb <<c b a <<【答案】C【分析】构造函数，，利用导数研究函数()()10xf x e x x =-->()(1)(1)(01)x xg x x e x e x -<--<=+的单调性，得出，的单调性，得出，令，可得出，再由得出的()f x ()g x 1(0)x e x x >+>0.2x=a c <，令，得出，从而得出结果． 21(01)1x xe x x+<<<-0.1x =c b <【详解】解：先证，令，则，1(0)xe x x >+>()()10xf x e x x =-->()10x f x e '=->可知在上单调递增，所以，即，()f x ()0,∞+()()00f x f >=1(0)x e x x >+>令，则，所以；0.2x =0.2 1.2e >a c <再证即证， 21(01)1xxe x x+<<<-(1)(1)x x x e x e -+>-令，则， ()(1)(1)(01)x x g x x e x e x -<--<=+()()0x xg x x e e -'=->所以在上单调递增，所以，即， ()g x ()0,1()()00g x g >=21(01)1xxe x x+<<<-令，则，所以，从而． 0.1x =0.2119e <c b <a c b <<故选：C.二、填空题13．已知复数满足，则______. z 240z +=z =【答案】2i ±【分析】设，求出，由复数相等解出即可.()i ,z a b a b =+∈R 2z ,a b 【详解】设，则，，()i ,z a b a b =+∈R ()2222i 2i z a b a b ab =+=-+222442i 0z a b ab +=-++=则，解得，故.2240,20a b ab -+==02a b =⎧⎨=±⎩2i z =±故答案为：. 2i ±14．______．x =⎰【答案】π【分析】根据定积分的几何意义即可求解. 【详解】由，y =()2224x y -+=根据定积分的几何意义表示面积的，x ⎰()2224x y -+=14所以， 201π2π4x =⨯=⎰故答案为：.π15．对于函数有下列命题： 22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为； 22e -②函数f (x )的最小值为；2e-③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数. 其中正确命题的序号是_____. 【答案】①②④【解析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③.【详解】x ≤0时，f (x )＝2xe ，f ′(x )＝2（1+x ）e ，故f ′（﹣2）＝，①正确； 22e -且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝，2e-x ＞0时，f (x )＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最2122x x -+小值f （1）＝ 122e->-故f (x )有最小值，②④正确；2e-令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误； 20x x e ⋅=0x =21202x x -+=x =故答案为：①②④【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.16．设为虚数单位，则的虚部为______． i 11ii-+【答案】1-【解析】根据复数除法运算化简复数，进而得结果【详解】()()()()2211112211112i i i i i ii i i i i -⋅---+-====-++⋅--故答案为：1-【点睛】易错点睛：本题考查了复数的实部和虚部，在解题时一般利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算，化简为的形式，b 就是这个复数的虚部，一定要注意符号，考查学生的运算a bi +求解能力，属于易错题.三、解答题17．已知是虚数单位，复数，R .i ()()221i z m m m =---m ∈(1)当复数为实数时，求的值； z m (2)当复数纯虚数时，求的值. z m 【答案】(1)或； 11-(2). 0【分析】(1)虚部为零，则为实数； (2)虚部不为零，实部为零，则为纯虚数. 【详解】（1）当时，得；210m -=1m =±（2）当时，得.22010m m m ⎧-=⎨-≠⎩0m =18．已知函数.321()213f x x x =-++（1）求的单调区间；()f x （2）求函数在区间上的最大值与最小值.()f x []1,2-【答案】（1）单调递增区间为；单调减区间为和；（2）；[]0,4(),0∞-()4,+∞()min 1f x =. ()max 193f x =【解析】（1）求出导函数，令，求出单调递增区间；令，求出单调递减区间.()0f x ¢>()0f x '<（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解. 【详解】1函数的定义域是R ，()()f x ，2()4f x x x '=-+令，解得 ()0f x '≥04x ≤≤令，解得或， ()0f x '<>4x 0x <所以的单调递增区间为， ()f x []0,4单调减区间为和； (),0∞-()4,+∞2由在单调递减，()()()1f x [)1,0-在单调递增， []0,2所以，()()min 01f x f ==而，，()81928133f =-++=()11012133f -=++=故最大值是. ()9231f =19．(1)已知函数在与时都取得极值，求、的值.()32f x x ax bx c =+++23x =-1x =a b (2)曲线的一条切线的斜率为2，求该切线的方程.ln 1y x x =++【答案】(1)；(2).1,22a b =-=-2y x =【分析】(1)利用函数的极值列方程，求参数； (2)利用导数的几何意义求解.【详解】(1)因为，所以.()32f x x ax bx c =+++()232f x x ax b '=++由，()21240,1320393f a b f a b ⎛⎫-=-+==++= ⎪⎝'⎭'解得，.1,22a b =-=-(2)由函数y 可得，， ln 1x x =++11,0y x x=+>令，得，故切点横坐标为1，112x +=1x =当时，， 1x =ln1112y =++=所以切点坐标为，()1,2所以切线方程为，即.()221y x -=-2y x =20．设函数()32241=+-+f x x x x （1）求曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f （2）求函数的极值.()f x 【答案】（1）；（2）极大值为，极小值为. 33y x =-91327-【解析】（1）首先计算得到切点为，再求导代入得到斜率，利用点斜式即可()10f =()1,01x =k 得到切线方程.（2）首先求出的单调区间，再根据单调区间即可得到函数的极值. ()f x 【详解】（1），切点为.()112410=+-+=f ()1,0，.()2344'=+- f x x x ()13443'∴==+-=k f 曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f 3(1)y x =-33y x =-（2）()()()2344322'=+-=-+ f x x x x x 令，解得，. ()0'= f x 12x =-223x =，，为增函数，(),2x ∈-∞-()0f x ¢>()f x ，，为减函数，22,3⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ()0f x ¢<()f x ，，为增函数. 2,3⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x ()0f x ¢>()f x 则函数的极大值为，()f x ()288819-=-+++=f 极小值为. 28881313279327f ⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭【点睛】本题第一问考查导数的几何意义，第二问考查导数的极值问题，属于简单题.21．（1）求导函数.()2ln 2xx f x x +=（2）求定积分3-⎰【答案】（1）；（2）. 1312ln 22ln 2x x x x x ++--92π【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式以及求导法则进行计算即可；（2）根据定积分的几何意义进行求解.【详解】（1）对求导得； ()f x ()()214312ln 22ln 212ln 22ln 2x x x x x x x x x x f x x x +⎛⎫+⋅-+ ⎪+--⎝⎭'==（2，则，0y =≥()2290x y y +=≥∴表示的是上半圆的面积， 3-⎰()2290x y y +=≥∴. 392π-=⎰22．已知函数．2()ln 3f x x ax x =+-(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值；()f x ()()1,1f =2y -()f x (2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数1a =[]12,1,2x x ∈12x x <()()()211212m x x f x f x x x -->的取值范围．m 【答案】(1)2-(2)(],6∞--【分析】（1）利用求得，然后结合的单调性求得的极小值.()'10f =a ()f x ()f x （2）将不等式转化为，通过构造函数法，结合导()()()211212m x x f x f x x x -->1212()()m m f x f x x x ->-数来求得的取值范围. m 【详解】（1）因为的定义域为，2()ln 3f x x ax x =+-()0,∞+所以． ()'123f x ax x=+-由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－2，得，解得a ＝1．()'11230f a =+-=此时． ()'1(21)(1)23x x f x x x x--=+-=当和时，； 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,+∞()'0f x >当时，． 1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()'0f x <所以函数f (x )在和上单调递增，在上单调递减， 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．()1ln1132f =+-=-（2）由a ＝1得．()2ln 3f x x x x =+-因为对于任意，当时，恒成立， []12,1,2x x ∈12x x <()()()211212m x x f x f x x x -->所以对于任意，当时，恒成立， []12,1,2x x ∈12x x <1212()()m m f x f x x x ->-所以函数在上单调递减． ()m y f x x =-[]1,2令，， 2()()ln 3m m h x f x x x x x x =-=+--[]1,2x ∈所以在[1，2]上恒成立， ()'21230m h x x x x=+-+≤则在[1，2]上恒成立．3223m x x x ≤-+-设，()()322312F x x x x x =-+-≤≤则． ()2'211661622F x x x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭当时，，所以函数F (x )在上单调递减，[]1,2x ∈()'0F x <[]1,2所以，()()26F x F ≥=-所以，故实数m 的取值范围为．6m ≤-(],6∞--【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，分离常数后，通过构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.。

高二下学期3月月考数学试卷(理科)

高二下学期3月月考数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f'(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f'(0)=0,所以，x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 结论正确2. （2分）已知函数f（x）=f′（﹣1）x2+3x，则f′（1）等于（）A . ﹣1B . 1C . ﹣5D . 53. （2分）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A ， B ， C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为（）A . ①②③B . ①③②C . ②③①D . ③①②4. （2分）曲线y=x3－2x在点(1,－1)处的切线方程是（）A . x－y+2=0B . 5x+4y－1=0C . x－y－2=0D . x+y=05. （2分） (2018高二下·四川期中) 函数的单调增区间为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·西安期中) 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）（）A .B .C .D .7. （2分）右图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是（）A . 25B . 66C . 91D . 1208. （2分）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜ex的解集为（）A . （﹣∞，0）B . （0，+∞）C . （﹣∞，e4）D . （e4 ，+∞）9. （2分）已知，其中a>0，如果存在实数t,使，则的值为（）A . 必为正数B . 必为负数C . 必为非负D . 必为非正10. （2分）不等式的解集为（）A . （﹣∞，3）B . （﹣2，3]C . （﹣∞，﹣2）∪[3，+∞）D . （﹣∞，3]二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）设f（x）=，则∫02f（x）dx=________12. （1分） (2017高二下·延安期中) 如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y=f（x）的极值点；②﹣1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是________．13. （1分）求的导数________．14. （1分）已知（3x2+k）dx=16，则k=________15. （1分） (2015高二下·霍邱期中) 函数y=xex在其极值点处的切线方程为________．三、解答题 (共6题；共60分)16. （15分） (2019高三上·山西月考) 已知、、均为正实数.（1）若，求证：（2）若，求证：（3）若，求证：17. （10分） (2016高一上·扬州期末) 某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有经验公式P= m+65，Q=76+4 ，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．（1）设对乙产品投入资金x万元，求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？18. （5分） (2017高二下·桂林期末) 用分析法证明：已知a＞b＞0，求证﹣＜．19. （5分）已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．20. （10分） (2015高二下·克拉玛依期中) 已知函数f（x）=48x﹣x3 ，x∈[﹣3，5]（1）求单调区间；（2）求最值．21. （15分） (2019高二下·六安月考) 已知函数 .（1）当时，求函数的最小值；（2）若在区间上有两个极值点 .（）求实数的取值范围；（）求证： .（3）若在区间上有两个极值点 . （）求实数的取值范围；（）求证： .参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、答案：略5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、答案：略二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共60分) 16-1、答案：略16-2、答案：略16-3、答案：略17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略19-1、20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略21-3、答案：略。

高二下学期3月月考数学(理)试题 Word版含答案

高二理科数学月考试题一第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列没对向量垂直的有（）对（）A ．(3,4,0),(0,0,5)B ．(3,1,3),(1,0,1)-C ．(2,1,3),(6,5,7)--D ．(6,0,12),(6,5,7)-2、已知向量(,2,5)a x =-和(1,,3)b y =-平行，则xy 为A ．4B ．3C ．-2D ．13、函数()22ln f x x x =-的单调递增区间是 A ．(0,1) B ．2(0,)4 C ．1(,)2+∞ D ．1(,0)2-1(,)2+∞ 4、曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A ．212eB ．22eC ．2eD ．294e 5、已知函数()32()1f x x ax a xb =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A ．12a -<<B ．36a -<<C ．3a <-或6a >D ．1a <-或2a >6、如图，平面六面体1111ABCD A B C D -，其中0014,3,3,90,60AB AD AA BAD BAA '===∠=∠=，0160DAA ∠=,则1AC 的长为A ．55B ．65C ．85D ．957、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是A ．5B ．25C ．35D ．08、已知3,(1,2,0),()4a c a c ==-=，则cos ,a c =A ．13B ．3C ．3D ．3 9、,,a b c 为三个非零向量，则①对空间任一向量p ，存在唯一实数组(,,)x y z ，使p xa yb zc =++；②若//,//a b b c ，则//a c ；③若a b b c ⋅=⋅，则a c =；④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，以上说法一定成立的个数A ．0B ．1C ．2D ．310、已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中：()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11、在ABC ∆中，已知15(1,2,3),(2,2,3),(,,3)22A B C --，则AB 边上的中线CD 的长是12、在曲线的切线323610y x x x =++-斜率中，最小值是13、已知函数()()cos sin 4f x f x x π'=+，则()4f π的值为 14、直线y a =与函数()33f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 15、已知向量(2,2,0),(2,0,2)a b ==-，若存在单位向量n ，使n a ⊥，且n b ⊥，则n 为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）设函数()28ln 3f x x x =-+. （1）求曲线()y f x =在点(1,4)处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.17、（本小题满分12分）如图边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是111,CC B C 的中点.（1）证明：1A N ⊥平面1AMD ；（2）求二面角1M AD D --的余弦值.18、（本小题满分12分）已知a 为实数，()2(4)()f x x x a =--. （1）求导数()f x '；（2）若1x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值；（3）若()f x 在(,2]-∞-和[2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围.19、（本小题满分12分）某厂生产产品x 件的总成本()32120075c x x =+（万元），已知产品单价P （万元）与产品件数x 满足：2k P x=，生产件这样的产品单价为50万元. （1）设产量为x 件时，总利润为()L x （万元），求()L x 的解析式；（2）产量x 定为多少件时总利润()L x （万元）最大？并求最大值（精确都1万元）20、（本小题满分13分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，24,AB AD BD PD ===⊥平面ABCD.（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若二面角P BC D --大小为4π，求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.21、（本小题满分14分）已知()ln xf x e x =. （1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值；（2）证明：()1f x '>.。

山东省高二下学期3月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则()y f x =P 8y x =-+()()55lim x f x f x x∆→+∆--∆=∆（）A ．B ．C ．D ．12-21-2-【答案】D【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可. ()51f '=-【详解】依题意可知切点，()5,3P 函数的图象在点处的切线方程是， ()y f x =P 8y x =-+ ，即∴()51f '=-()()055lim 1x f x f x∆→+∆-=-∆ ∴()()()()05555lim 2lim2x x f x f x f x f x xx∆→∆→+∆--∆+∆--∆=∆∆又()()()()5555limlim12x x f x f x f x f x x ∆→∆→+∆--∆+∆-==-∆∆∴()()()()05555lim 2lim 22x x f x f x f x f x xx∆→∆→+∆--∆+∆--∆==-∆∆即()()55lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆故选：D.2．若曲线在处的切线垂直于直线，则（） ()1ln y a x x =--2x =22y x =-+=a A ．2 B ．1C ．4D ．3【答案】B【分析】求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出的值. a 【详解】，，()1f x a x'=-()122f a '=-由题意得：，解得：1212a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭1a =故选：B3．丹麦数学家琴生（Jensen ）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性19与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的()f x (),a b ()f x '()f x '(),a b 导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在()f x ''(),a b ()0f x ''>()f x (),a b 上是“凹函数”的是（）()0,2πA ． B ．C ．D ．()sin f x x x =-2()sin f x x x =+()ln f x x x =+()ln x f x e x x =-【答案】B【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．【详解】对A ，，当时，，所以A 错误； ()()1cos ,sin f x x f x x '''=-=(),2x ∈ππ()0f x ''<对B ，，在上恒成立，所以B 正确；()2cos f x x x '=+()2sin 0f x x ''=->()0,2π对C ，，，所以C 错误；()11f x x '=+()210f x x''=-<对D ，，，因为，所以D 错误．()ln 1xf x e x '=--()1xf x e x ''=-110e f e e e ⎛⎫''=-< ⎪⎝⎭故选：B ．4．若函数的极值点是1，则（）()()2ln f x x x ax x =+-()2=f 'A ． B ． C ． D ．14ln 21+2ln 21+2ln2【答案】B【分析】求导，利用求得，进而求出. (1)=0f '=2a (2)f '【详解】因为，2()()ln f x x x ax x =+-所以 21()=1+(2)ln +()f x x a x x ax x--⋅'，1(2)ln x a x a x =+-+-由题意，得，即， (1)=0f '20a -=解得，即， =2a ()=1+2(1)ln f x x x x --'则. (2)=1+2ln2f '故选：B.5．已知函数，若对任意，都有成立，则a 的()()()2ln f x x x x x a a R =+-∈1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()'>xf x f x 取值范围为（）A ．B ．C ．D ．9(,4-∞3(,2-∞(-∞(3),-∞【答案】C【分析】求出函数的导数，再对给定不等式等价变形，分离参数借助均值不等式计算作答. ()f x 【详解】对函数求导得：，()()2ln f x x x x x a =+-22(()1ln ())f x x x x x a a '=+--++，，1[,2]2x ∀∈()()()22[2(1ln ln ]())x x a x x x x xf x f x x x a a x '>⇔+>+-++--则，，而，即时“=”，1[,2]2x∀∈122a x x <+12x x +≥=12x x =x =于是得 2a <a <所以a 的取值范围为. (-∞故选：C【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.6．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）()()e ln xf x x m =-+[]0,1m A ． B ．[)1,+∞11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．D ．(]0,11,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】A【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后()()e ln xf x x m =-+[]0,1()0f x ¢³[]0,1利用分离参数法即可求解.【详解】因为，所以. ()()e ln x f x x m =-+()1e xf x x m'=-+因为函数在上单调递增，()()e ln xf x x m =-+[]0,1所以在上恒成立， ()1e 0xf x x m'=-≥+[]0,1所以在上恒成立，即，即可 1e x m x ≥-[]0,1max1e xm x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭[]0,1x ∈令，则 ()1e xg x x =-[]0,1x ∈由函数单调性的性质知，在上减函数， ()g x []0,1，即. ()()0max 1001e g x g ==-=m 1≥所以实数的取值范围为。

高二下3月月考数学(理)试卷

高二下3月月考数学(理)试卷高二下3月月考数学(理)试卷第一卷一选择题(每小题4分共40分)1, 如果复数的实部和虚部互为相反数,那么实数b的值为－2i－2,3,下面的四个不等式: ①②③④,其中不成立的有1个2个3个4个4, 甲.乙.丙三家公司承包6项工程, 甲承包3项,乙承包2项,丙承包1项,不同的承包方案有( )种5, 已知随机变量_的分布列如下表(其中a为常数):_1234P0.10.20.40.2a则下列计算结果错误的是6, 在的展开式中,常数项是7, 有一段演绎推理是这样的:〝直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线∥平面,直线平面,则直线∥直线〞的结论显然是错误的,这是因为推理形式错误大前提错误小前提错误非以上错误8,除以8的余数是71329, 甲.乙两人练习射击, 命中目标的概率分别为和, 甲.乙两人各射击一次,有下列说法:① 目标恰好被命中一次的概率为② 目标恰好被命中两次的概率为③ 目标被命中的概率为④目标被命中的概率为以上说法正确的序号依次是②③①②③②④①③10, 平面内有条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,则这条直线把平面分割成( )个区域二, 填空题(每小题4分共16分)11, 若复数同时满足为虚单位), 则12, 对于下式,有如下结论:① ②③ 正确的结论为:(只填正确选项的序号)13, 已知某种子的发芽率为, 现随机种下这样的种子3粒,则恰好有2粒发芽的概率为14,一个类似于杨辉三角的三角形数组(如下图)满足:(1)第1行只有1个数1;(2)当n≥2时,第n行首尾两数均为n;(3)当n_gt;2时,中间各数都等于它肩上两数之和,则第n行(n≥2)的第2个数是___________122343477 4 …………………………………………………………高二下3月月考数学(理)试卷第二卷二.填空题答案 (每小题4分共16分)11. ;12.;13. ; 14. ;三.解答题(共44分)15,(满分8分) 已知抛物线(1) 若直线与抛物线相切于点,试求直线的方程? (4分)(2)若直线过点,且与轴平行,求直线与抛物线所围成的封闭区域的面积?(4分)16, (满分9分)(1) 6个人站成一排, 其中甲.乙.两三必须相邻的排法有多少种? (3分) (作具体数字作答)(2) 从1.3.5.7中任选两个数, 从0.2.4.6中任选两个数, (3分)一共可以组成多少个四位数? (用具体数字作答)(3) 若,求出的值 (算出具体数字) (3分)17, 已知6件产品中, 有2件次品,现从中任取3件,试求 (9分)(1) 所取出的3件产品中最多有1件次品的概率? (概率用分数表示) (3分)(2) 取出的3件产品中所含次品数的分布列? (概率用分数表示) (6分)18, (满分9分)某轮船航行过程中每小时的燃料费与其速度的立方成正比,已知当速度为10千米/小时,燃料费10元/小时,其他与速度无关的费用每小时160元,设每千米航程成本为,(1) 试用速度表示轮船每千米航程成本(3分)(2) 轮船的速度为多少时,每千米航程成本最低? (6分)19, (满分9分)(1) 已知的三条边分别为, 用分析法证明: (3分) (不用分析法证明给分)(2) 已知数列的通项公式,记 (6分),①求并猜出的表达式. (2分)②用数学归纳法证明你的猜想. (4分)参考答案一, 选择题1,B2, A 3,B 4,B5,D 6,C 7, C 8, C 9,A 10,C二,填空题11, 12,0.20736 13, 14, 一三,解答题15,(1) 或(2) 且(3)16,(1)1631 (2) 156 (3) 11517,(1)的分布列为1234(2)18,(1) (2) 耗油 11.25升19,(1) ,猜想:(2) 证明:略。

河南省高二(下)3月月考数学试题解析版

高二下学期数学3月份月考试卷卷一注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．河南省南阳市第一中学学校2022-2023高二下学期数学3月份月考试卷卷一参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．【解答】解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．【解答】解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．【解答】解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．【解答】解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．【解答】解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．【解答】解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．【解答】解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．【解答】解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．【解答】解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故答案为：3．14．【解答】解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故答案为：21．15．【解答】解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝21+2+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故答案为：8．16．【解答】解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故答案为：②③④．三．解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．【解答】解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．【解答】解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．【解答】解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣+...+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．【解答】解：（Ⅰ）由得，故，∵a n＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。

高二数学下册3月月考试题(有参考答案)

高二数学下册3月月考试题（有参考答案）高二数学（理科）月考测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1、复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.或2、且,则乘积等于()A．B．C．D．3、有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（）A.B.C.D.4、已知，则等于（）AB)—1C2D15、在长为12cm的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于与之间的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（）A.280种B.240种C.180种D.96种7、设为曲线:上的点且曲线C在点处的切线的倾斜角的取值范围为，则点的横坐标的取值范围()ABCD8、若为的各位数字之和，如则,记则（）A3B5C8D11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9、某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为。

10、已知，则=(最后结果)。

11、某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有种。

12关于二项式，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项为第1002项；④当时，除以的余数是。

其中所有正确命题的序号是。

13、直线与曲线围成图形的面积为，则的值为。

14、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：。

高二数学3月月考试题理含解析试题

一中2021-2021-2学期高二年级3月考试试题数学〔理〕一、选择题〔本大题一一共12 小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.〕1.假设，那么等于〔〕A. －2B. －1C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意结合导函数的定义求解的值即可.【详解】由导数的定义可知：，那么.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察导数的定义及其应用等知识，属于根底题.2.函数f(x)的导函数为，且满足〔e为自然对数的底数〕，那么〔〕A. B. e C. - D. - e 【答案】C【解析】【分析】由题意可得：，令可得的值.【详解】由题意可得：，令可得：.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察导数的运算法那么，方程思想的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.3.等于〔〕A. 0B. 1C. 2D.【答案】B【解析】【分析】由题意，利用定积分的几何意义，将原问题转化为求解平面图形面积的问题，据此确定定积分的值即可.【详解】如下图，由定积分的几何意义可知表示图中阴影局部的面积，故：.此题选择B选项.【点睛】此题主要考察定积分的几何意义，属于根底题.4.函数f (x) = 2x3 – 6x2+ m〔m为常数〕在[–2，2]上有最大值3，那么f (x)在[–2，2]上最小值为〔〕A. -37B. -29C. -5D. -11【答案】A【解析】因为由，f′〔x〕=6x2-12x，有6x2-12x≥0得x≥2或者x≤0，因此当x∈[2，+∞〕，〔-∞，0]时f〔x〕为增函数，在x∈[0，2]时f〔x〕为减函数，又因为x∈[-2，2]，所以得当x∈[-2，0]时f〔x〕为增函数，在x∈[0，2]时f〔x〕为减函数，所以f〔x〕max=f〔0〕=m=3，故有f〔x〕=2x3-6x2+3所以f〔-2〕=-37，f〔2〕=-5因为f〔-2〕=-37＜f〔2〕=-5，所以函数f〔x〕的最小值为f〔-2〕=-37．答案为A5.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N，那么f2021(x)＝〔〕A. sin xB. －sin xC. cos xD. －cos x 【答案】D【解析】【分析】由题意计算的值确定函数的周期性，然后结合周期性确定f2021(x)的值即可.【详解】由题意可得：，，，，，据此可得的解析式周期为，注意到，故.此题选择D选项.【点睛】此题主要考察导数的运算法那么，周期性及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.6.内接于半径为R的圆的矩形的周长的最大值为( )．A. RB. 2RC. RD. 4R【答案】C【解析】【分析】由题意可得矩形的边长分别为：，据此得到周长的表达式，最后由三角函数的性质可得周长的最大值.【详解】由题意可得矩形的边长分别为：，那么矩形的周长为：，结合三角函数的性质可知，当时，周长获得最大值：.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察三角函数的性质及其应用，实际应用题的解法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.7.方程-ln x -2=0的根的个数为〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】令，利用导函数研究函数的单调性可知函数的单调区间，然后结合零点存在定理确定方程根的个数即可.【详解】令，那么，当时，单调递减；当时，单调递增；且：，，，结合函数零点存在定理可知函数在上存在一个零点，在区间上存在一个零点，方程-lnx -2=0的根的个数为2.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.8.由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为( )A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：可得：，，结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：.此题选择B选项.【点睛】此题主要考察定积分的概念与计算，属于中等题.9.设函数在区间[a－1，a＋1]上单调递减，那么实数a的取值范围是( )A. [－∞，2)B. (1，2]C. (0，3]D. (4，＋∞]【答案】B【解析】【分析】函数的定义域为，由导函数的解析式可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围.【详解】函数的定义域为，由函数的解析式可得：，据此可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，结合题意有：，解得：，即实数a的取值范围是(1，2].此题选择B选项.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的单调性，属于中等题.10.以初速40 m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，那么此物体到达最高时的高度为〔〕A. mB. mC. mD. m 【答案】A【解析】由v＝40－10t2＝0⇒t2＝4，t＝2.∴h＝(40－10t2)d t＝＝80－＝ (m)．选A.11.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现理解到以下情况：〔1〕甲不是最高的；〔2〕最高的是没报铅球；〔3〕最矮的参加了跳远；〔4〕乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛工程是〔〕A. 跑步比赛B. 跳远比赛C. 铅球比赛D. 不能断定【答案】A【解析】分析：由〔1〕，〔3〕，〔4〕可知，乙参加了铅球，由〔2〕可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由〔1〕可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.详解：由〔1〕，〔3〕，〔4〕可知，乙参加了铅球，由〔2〕可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由〔1〕可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.应选：A.点睛：此题考察合情推理，考察学生分析解决问题的才能.12.如图，直线l和圆C，当l从l0开场在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到〔转到角不超过90°〕时，它扫过的圆内阴影局部的面积S是时间是t的函数，这个函数的图像大致是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢〞，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢〞，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求.应选D.【点睛】此题主要考察实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.二、选择题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.〕13.曲线在点M(π，0)处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【详解】由函数的解析式可得：，所求切线的斜率为：，由于切点坐标为，故切线方程为：.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公一共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公一共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，那么直线与曲线可能有两个或者两个以上的公一共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的构造形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.14.在用数学归纳法证明不等式的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需要增加的代数式是.________________．【答案】【解析】【分析】分别写出和时左侧对应的代数式，然后比拟两者的表达形式即可确定左边需要增加的代数式.【详解】当时，等式左侧为：，当时，等式左侧为：，据此可得，左边需要增加的代数式是.【点睛】此题主要考察数学归纳法的应用，整体思想的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.15.假设函数f(x)＝x3＋x2＋4ax＋c(a>0)在(－∞，＋∞)内无极值点，那么a的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】很明显，且，结合题意可知，据此可得实数a的取值范围.【详解】很明显，由函数的解析式可得：，函数在(－∞，＋∞)内无极值点，那么：,整理可得：.即a的取值范围是.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的极值点，二次不等式的解法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.16.定义域为的可导函数的导函数是，且满足，那么不等式的解集为__________．【答案】【解析】令，，可得函数在R上为减函数，又，故不等式即.不等式的解集为 .点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从外表上看似乎与函数的单调性无关，但假如我们能挖掘其内在联络，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进展全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进展解题，是一种常用技巧.许多问题，假如运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的成效.三、解答题〔本大题一一共6 小题，一共70分〕17.求证：．【答案】见解析【解析】【分析】由题意可知x>－1，构造函数f(x)＝e x－(1＋x)，利用函数f(x)的最小值可证明e x≥1＋x．构造函数g(x)＝1+x－ln(1＋x)，利用函数g(x)的最小值可证明1＋x >ln(1＋x)．【详解】根据题意，应有x>－1，设f(x)＝e x－(1＋x)，那么f′(x)＝e x－1，由f′(x)=0，得x=0.当－1< x < 0时，f′(x)<0；当x > 0时，f′(x)>0．∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f(x)min= f(0)=0．∴当x>－1，f(x)≥f(0)=0，即e x≥1＋x．设g(x)＝1+x－ln(1＋x)，那么，由g′(x)=0，得x=0.当－1< x < 0时，g′(x)<0；当x > 0时，g′(x)>0．∴g(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g(x)min=g(0)=1．∴当x>－1，g(x)≥g(0)=1>0，即1＋x >ln(1＋x)．综上可得：.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，利用导函数证明不等式的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.18.函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不连续的曲线，且f(x)在区间[a，b]上单调，f(a)>0，f(b)<0.试用反证法证明：函数y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.【答案】见解析【解析】【分析】由题意可知y=f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0，假设y=f(x)在区间[a，b]上还存在一个零点x1〔x1≠x0〕，利用反证法证明假设不成立即可证得题中的结论.【详解】因为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像连续不连续，且f(a)>0，f(b)<0，即f(a)·f(b)<0.所以函数y=f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0，假设y=f(x)在区间[a，b]上还存在一个零点x1〔x1≠x0〕，即f(x1)=0，由函数f(x)在区间[a，b]上单调且f(a)>0，f(b)<0知f(x)在区间[a，b]上单调递减；假设x1>x0，那么f(x1)< f(x0)，即0<0，矛盾，假设x1<x0，那么f(x1) > f(x0)，即0>0，矛盾，因此假设不成立，故y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.【点睛】应用反证法时必须先否认结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进展推理，否那么，仅否认结论，不从结论的反面出发进展推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.19.如下图，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【答案】见解析【解析】【分析】设箱子的底边长为x cm，那么箱子高h＝cm.故其体积V(x)＝ (0<x<60)．V′(x)＝60x－x2＝0，据此结合函数的单调性确定箱子容积的最大值即可.【详解】设箱子的底边长为x cm，那么箱子高h＝cm.箱子容积V＝V(x)＝x2h＝ (0<x<60)．求V(x)的导数，得V′(x)＝60x－x2＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝40.当x在(0,60)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：x (0,40) 40 (40,60)V′(x) ＋0 －因此在x＝40处，函数V(x)获得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．将x＝40代入V(x)得最大容积V＝402×＝16 000(cm3)．所以箱子底边长取40 cm时，容积最大，最大容积为16 000 cm3.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的最值，实际问题抽象为数学模型的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.，是否存在关于自然数n的函数，使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论．【答案】存在，证明见解析．【解析】试题分析：由，得的值，归纳猜测，再利用数学归纳法证明．试题解析：当时，由，得，当时，由，得，猜测，下面用数学归纳法证明：当时，等式恒成立．〔1〕当时，由上面计算可知，等式成立；〔2〕假设且时，等式成立，即成立，那么当时，，∴当时，等式也成立．由①②知，对一切的自然数n，等式都成立，故存在函数，使等式成立．考点：归纳猜测及数学归纳法的应用．【方法点晴】此题主要考察了归纳猜测、数学归纳法的应用，属于中档试题，此题中根据的值，归纳猜测，再用数学归纳法的一般步骤：〔1〕验证时，命题成立；〔2〕假设时成立，利用假设和条件证明也成立；〔3〕由上述〔1〕〔2〕得命题成立，其中假设时成立，利用假设和条件证明也成立过程中，无视应用假设是解答的一个易错点，同时利用数学的递推关系的运算，作出合理猜测也是此题的一个难点．21.假设函数,当时,函数有极值为,(1)求函数的解析式；(2)假设有个解,务实数的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】由题意可得f′(x)＝3ax2－b.(1)满足题意时有，据此确定可得a,b的值，从而确定函数的解析式；(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，据此确定函数的极大值和极小值，原问题等价于直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，据此可得k的取值范围.【详解】f′(x)＝3ax2－b.(1)由题意得解得故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或者x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(－∞，－x－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)2)f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) －因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值，所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如下图．假设f(x)＝k有3个不同的根，那么直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－<k<.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.22.设函数f(x)=ax2-a-ln x，其中a ∈R.〔I〕讨论f(x)的单调性；〔II〕确定a的所有可能取值，使得在区间〔1，+∞〕内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

人教A版选修2-2高二(下)第三次月考数学试卷(理科).docx

马鸣风萧萧高中数学学习材料唐玲出品高二（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2012•浙江）已知i 是虚数单位，则=（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案解答：解：故选D点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（3分）由1，2，3，4，6这5个数字，组成无重复数字的三位数中，其中是2的倍数的有（）个．A．60 B．40 C．36 D．30考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：先排个位，方法有种，其余的两位任意排有种方法，根据分步计数原理，求得满足条件的三位数的个数．解答：解：要使这个数是2的倍数，必须个位是偶数，故从2、4、6中任意选一个排在个位上，方法有种方法；其余的2位没有限制条件，任意排，共有种方法．精心制作仅供参考唐玲出品精心制作仅供参考唐玲出品根据分步计数原理，满足条件的三位数有 •=36个，故选C ．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，属于中档题．3．（3分）计算=（）A ．B ．5 C ．D ．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：欲求函数x 2+1的定积分值，故先利用导数求出x 2+1的原函数，再结合微积分基本定理即可求出．解答：解：∵∫02（x 2+1）dx=（x 3+x ）|02=23+2=．故选A ．点评：本小题主要考查直定积分的简单应用、定积分、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（3分）下面几种推理过程是演绎推理的是（） A ．在数列{a n}中，由此得出{a n}的通项公式．B ．大足中学高一一班有63人，二班65人，三班62人，由此得高一所有班人数都超过60人．C ．两条直线平行，内错角相等，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的内错角，则∠A=∠B ．D ．由平面内正三角形的性质，推知空间正四面体的性质．考点：演绎推理的基本方法．专题：规律型．分析：逐个选项来验证，A 选项和C 选项都属于归纳推理，D 选项属于类比推理，只有C 选项符合题意．解答：解：A 选项，在数列{a n}中，，由此归纳出{a n}的通项公式，属于归纳推理；B 选项，大足中学高一一班有63人，二班65人，三班62人，由此得高一所有班人数都超过60人，也属于归纳推理；C 选项，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式．D 选项，由平面三角形的性质，推测空间四面体性质，属于类比推理；综上，可知，只有C 选项为演绎推理．故选C ．点评：本题考查演绎推理，掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键，属基础题．5．（3分）已知（x 2+）n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（） A ． 5 B ．10 C ．20 D ．40精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧考点：二项式定理．专题：计算题．分析：由题意可知，二项展开式的项的系数等于二项式系数，由此求出n的值，由通项得到含x的系数项，则答案可求．解答：解：（x2+）n的二项展开式的各项系数和为32，即在（x2+）n中取x=1后所得的值等于32，所以2n=32，则n=5．二项式的展开式的通项为．由10﹣3r=1，得r=3．所以二项展开式中x的系数为．故选B．点评：本题考查了二项式定理，考查了二项展开式的项的系数和二项式系数，考查了学生生的计算能力，是基础题．6．（3分）用数学归纳法证明命题时，某命题左式为，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加的项为（）A．B．C．D．考点：数学归纳法．专题：规律型．分析：n=k时，最后一项为，n=k+1时，最后一项为，由此可得由n=k变到n=k+1时，左边增加的项即可．解答：解：由题意，n=k时，最后一项为，n=k+1时，最后一项为，∴由n=k变到n=k+1时，左边增加了，故选B．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，找出规律是解题的关键，属于基础题．7．（3分）将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为（）A．B．C．D．精心制作仅供参考唐玲出品精心制作仅供参考唐玲出品考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：先根据题中的条件可判断属于等可能事件的概率模型，然后分别求解试验产生的所有结果n ，基本事件的结果数m ，代入古典概率模型的计算公式P （A ）=进行计算．解答：解：将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，共有36种结果：记“方程x 2+bx+c=0有实根”为事件A ，则△=b 2﹣4c ≥0⇒，A 包含的结果有：（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（4，3）（5，3）（6，3）（4，4）（5，4）（6，4）（5，5）（6，5）（5，6）（6，6）共19种结果，由的可能事件概率的计算公式可得，P （A ）=．故选D ．点评：本题主要考查了等可能事件概率的求解和一元二次方程有解的充要条件，本题解题的关键是列举出使得方程有解的可能的情况，本题是一个基础题．8．（3分）方程x 3﹣6x 2+9x ﹣4=0的实根的个数为（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：由方程x 3﹣6x 2+9x ﹣4=0的实根的个数，等于函数f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣4零点的个数，我们利用导数法求了函数f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣4的极值，分析后即可得到结论．解答：解：令f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣4，则f ′（x ）=3x 2﹣12x+9=3（x ﹣1）（x ﹣3）．由f ′（x ）＞0得x ＞3或x ＜1，由f ′（x ）＜0得1＜x ＜3．∴f （x ）的单调增区间为（3，+∞），（﹣∞，1），单调减区间为（1，3）， ∴f （x ）在x=1处取极大值，在x=3处取极小值，又∵f （1）=0，f （3）=﹣4＜0，∴函数f （x ）的图象与x 轴有两个交点，即方程x 3﹣6x 2+9x ﹣4=0有两个实根．故选C ．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，根据方程根的个数与对应函数的零点个数相等，我们将问题转化为求函数f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣4零点的个数，是解答本题的关键．9．（3分）（2012•自贡一模）下列图象中，有一个是函数f （x ）=x 3+ax 2+（ a 2﹣1）x+1（a ∈R ，a ≠0）的导数f'（x ）的图象，则f （﹣1）的值为（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣或考点：二次函数的图象．精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧专题：数形结合．分析：求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax，故函数不是偶函数，得到函数的图象．解答：解：∵f′（x）=x2+2ax+（a2﹣1），∴导函数f′（x）的图象开口向上．又∵a≠0，∴f（x）不是偶函数，其图象不关于y轴对称其图象必为第三张图．由图象特征知f′（0）=0，且对称轴﹣a＞0，∴a=﹣1．故f（﹣1）=﹣﹣1+1=﹣．故选B．点评：本题考查导函数的运算法则、二次函数的图象与二次函数系数的关系：开口方向与二次项系数的符号有关、对称轴公式．10．（3分）（2006•江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（）A．a=105 p=B．a=105 p=C．a=210 p=D．a=210 p=考点：等可能事件．分析：本题是一道平均分组问题，将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，有两个组都是两个人，而这两个组又没有区别，所以分组数容易重复，甲、乙分到同一组的概率要分类计算．解答：解：a==105甲、乙分在同一组的方法种数有（1）若甲、乙分在3人组，有=15种（2）若甲、乙分在2人组，有C53=10种，故共有25种，所以P=故选A点评：平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的，若4人分成两组，则有种分法．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）（2007•湖北）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．考点：导数的运算．分析：先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加精心制作仅供参考唐玲出品精心制作仅供参考唐玲出品即可．解答：解：由已知切点在切线上，所以f （1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f （1）+f ′（1）=3 故答案为：3点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率． 12．（3分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：求得所有的选法有种，在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的选法有种，由此求得在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率．解答：解：所有的选法有=20种，在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的选法有=4种，故在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率等于 =，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题． 13．（3分）用火柴棒按图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 a n =2n+1 ．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：由题设条件可得出三角形的个数增加一个，则火柴棒个数增加2个，所以所用火柴棒数a n 是一个首项为3，公差为2的等差数列，由此易得火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式解答：解：由题意，三角形的个数增加一个，则火柴棒个数增加2个，所以所用火柴棒数a n 与是一个首项为3，公差为2的等差数列所以火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是a n =3+2（n ﹣1）=2n+1 故答案为 a n =2n+1点评：本题考点是归纳推理，由图形观察出规律是解题的重点，本题查了归纳推理的能力及根据图形判断的能力14．（3分）设函数f （x ）=g （x ）+x 2，曲线y=g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处切线的斜率为 4 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的加法与减法法则．专题：计算题．分析：先根据曲线y=g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程为y=2x+1，可得g ′（1）=2，再利用函数f （x ）精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧=g （x ）+x 2，可知f ′（x ）=g ′（x ）+2x ，从而可求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处切线的斜率．解答：解：由题意，∵曲线y=g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程为y=2x+1∴g ′（1）=2∵函数f （x ）=g （x ）+x 2， ∴f ′（x ）=g ′（x ）+2x ∴f ′（1）=g ′（1）+2 ∴f ′（1）=2+2=4∴曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处切线的斜率为4 故答案为：4点评：本题考查的重点是曲线在点处切线的斜率，解题的关键是利用导数的几何意义．15．（3分）（2012•浙江）若将函数f （x ）=x 5表示为f （x ）=a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+…+a 5（1+x ）5，其中a 0，a 1，a 2，…a 5为实数，则a 3= 10 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：将x 5转化[（x+1）﹣1]5，然后利用二项式定理进行展开，使之与f （x ）=a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+…+a 5（1+x ）5进行比较，可得所求．解答：解：f （x ）=x 5=[（x+1）﹣1]5=（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3（﹣1）2+（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5而f （x ）=a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+…+a 5（1+x ）5，∴a 3=（﹣1）2=10故答案为：10点评：本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键利用x 5=[（x+1）﹣1]5展开，同时考查了计算能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2012•重庆）已知函数f （x ）=ax 3+bx+c 在点x=2处取得极值c ﹣16．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；探究型；方程思想；转化思想．分析：（Ⅰ）由题设f （x ）=ax 3+bx+c ，可得f ′（x ）=3ax 2+b ，又函数在点x=2处取得极值c ﹣16，可得解此方程组即可得出a ，b 的值；（II ）结合（I ）判断出f （x ）有极大值，利用f （x ）有极大值28建立方程求出参数c 的值，进而可求出函数f （x ）在[﹣3，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f （x ）在[﹣3，3]上的最小值即可．解答：解：（Ⅰ）由题f （x ）=ax 3+bx+c ，可得f ′（x ）=3ax 2+b ，又函数在点x=2处取得极值c ﹣16∴，即，化简得解得a=1，b=﹣12精心制作仅供参考唐玲出品精心制作仅供参考唐玲出品（II ）由（I ）知f （x ）=x 3﹣12x+c ，f ′（x ）=3x 2﹣12=3（x+2）（x ﹣2）令f ′（x ）=3x 2﹣12=3（x+2）（x ﹣2）=0，解得x 1=﹣2，x 2=2当x ∈（﹣∞，﹣2）时，f ′（x ）＞0，故f （x ）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x ∈（﹣2，2）时，f ′（x ）＜0，故f （x ）在（﹣2，2）上为减函数；当x ∈（2，+∞）时，f ′（x ）＞0，故f （x ）在（2，+∞）上为增函数；由此可知f （x ）在x 1=﹣2处取得极大值f （﹣2）=16+c ，f （x ）在x 2=2处取得极小值f （2）=c ﹣16，由题设条件知16+c=28得，c=12此时f （﹣3）=9+c=21，f （3）=﹣9+c=3，f （2）=﹣16+c=﹣4 因此f （x ）在[﹣3，3]上的最小值f （2）=﹣4点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值，解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c ﹣16”，将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c ﹣16两个等量关系，第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c 的值．本题考查了转化的思想及方程的思想，计算量大，有一定难度，易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败，做题时要严谨认真，严防出现在失误．此类题是高考的常考题，平时学习时要足够重视．17．（13分）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，求该矩形面积小于32cm 2的概率．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设AC=x ，则0＜x ＜12，若矩形面积为小于32，则x ＞8或x ＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比．解答：解：设AC=x （0≤x ≤12），则BC=12﹣x ，矩形的面积S=x （12﹣x ）=﹣x 2+12x ＜32，解得0＜x ＜4或12＞x ＞8，故由几何概型可得所求事件的概率为P=．…（13分）点评：本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题18．（13分）计算：（1）设a ，b ∈R ，（i 为虚数单位），求a+b 的值．（2）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有m 种．求m 的值．考点：复数代数形式的乘除运算；计数原理的应用．专题：计算题．分析：（1）由题意可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i ，再进行化简计算，再由复数相等的条件求出a 和b 的值，即可得答案；（2）根据题意需要分三类计算：①4个偶数；②2个奇数，2个偶数；③4个奇数，再由组合公式求解即可．解答：解：（1）∵a+bi=，∴a=5，b=3，a+b=8．；（2）根据题意偶数为2、4、6、8，奇数为1、3、5、7、9，精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧需要分三类计算：①4个偶数；②2个奇数，2个偶数；③4个奇数，则符合题意的取法共有：m=C C+C C+C C=1+60+5=66（种）点评：本题考查复数代数形式的乘除运算和组合公式，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭复数和明确进行分类，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握．19．（12分）（2012•浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（1）X的可能取值有：3，4，5，6，求出相应的概率可得所求X的分布列；（2）利用X的数学期望公式，即可得到结论．解答：解：（1）X的可能取值有：3，4，5，6．P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=；P（X=6）=．故所求X的分布列为X 3 4 5 6P（2）所求X的数学期望E（X）=3×+4×+5×+6×=点评：本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属于中档题．20．（12分）今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封．现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率．考点：互斥事件的概率加法公式；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：至少有两封信配对包括恰有两封信配对、恰有三封信配对、恰有五封信配对三种情况，而这三种情况对应事件为互斥事件，故分别求概率再取和即可．而每种情况对应的概率可由古典概型求解．解答：解：设恰有两封信配对为事件A，恰有三封信配对为事件B，恰有四封信（也即五封信配对）为事件C，则“至少有两封信配对”事件等于A+B+C，且A、B、C两两互斥．∵P（A）=，P（B）=，P（C）=，∴所求概率P（A）+P（B）+P（C）=．精心制作仅供参考唐玲出品答：至少有两封信配对的概率是．点评：本题考查古典概型、互斥事件的概率加法、排列、组合等知识，考查分析问题、解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx 2+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）记，求函数y=g（x）的单调区间；（3）在（2）的条件下，当k=2时，若函数y=g（x）的图象在直线y=x+m的下方，求m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题．分析：（1）根据函数为奇函数求出b，然后根据函数f（x）在x=1取得极大值2，建立a与c的方程组，解之即可求出函数y=f（x）的解析式（2）先求函数的定义域，讨论k与﹣1的大小，然后利用导数的符号确定函数的单调性即可．（3）令h（x）=g（x）﹣（x+m）=﹣x2﹣x+3lnx+3﹣m，求出函数的导数即可．解答：解：（1）由f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），代入得，b=0∴f'（x）=3ax2+c，且f（x）在x=1取得极大值2．∴解得a=﹣1，c=3，∴f（x）=﹣x3+3x（2）∵g（x）=﹣x2+3+（k+1）lnx，∴因为函数定义域为（0，+∞），所以①当，k=﹣1时，g'（x）=﹣2x＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；②当k＜﹣1时，k+1＜0，∵x＞0，∴．可得函数在（0，+∞）上单调递减；③k＞﹣1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得，∵x＞0，∴﹣2x2+（k+1）＞0，得，结合x＞0，得；令g'（x）＜0，得，同上得2x2＞（k+1），解得，∴k＞﹣1时，单调递增区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）精心制作仅供参考唐玲出品精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧综上，当k≤﹣1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当k＞﹣1时，函数的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）（包含不扣分）（3）当k=2时，g（x）=﹣x2+3+3lnx，令h（x）=g（x）﹣（x+m）=﹣x2﹣x+3lnx+3﹣m，（11分），令h′（x）=0，，得x=1，（舍去）．由函数y=h（x）定义域为（0，+∞），则当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时h'（x）＜0，∴当x=1时，函数h（x）取得最大值1﹣m．由1﹣m＜0得m＞1故m的取值范围是（1，+∞）．点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型，属于中档题．。

高二下学期3月月考试题数学(理) Word版含答案

太原五中-第二学期阶段性检测高二数学（理）出题人、校对人：王文杰、李廷秀、闫晓婷（2017. 3）一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案） 1.曲线1+=x xe y 在点)1,1(处切线的斜率等于（） A ．e 2B ．22eC ．2D ．12.函数23()(1)2f x x =-+的极值点是（）A . 1=x B.1-=x 或1=x 或0=x C.0=x D.1-=x 或1=x3.已知函数)(x f 的导数为()f x '，且满足关系式2()3(2)ln f x x xf x '=++，则(2)f '的值等于（）A.2-B.2C.94-D. 944.函数sin cos ,(,)y x x x x ππ=+∈-的单调递增区间是（） A.(,)2ππ--和(0,)2π B.(,0)2π-和(0,)2πC.(,)2ππ--和(,)2ππD. (,0)2π-和(,)2ππ5.函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（）A .有最大值0，无最小值B .有最大值0，最小值323- C .最小值323-，无最大值 D .既无最大值，也无最小值 6.若函数(),()f x g x 满足11()()0f x g x dx -=⎰，则称(),()f x g x 为区间[1,1]-的一组正交函数．给出三组函数：11(1)()sin ,()cos ;22f x xg x x ==(2)()1,()1;f x x g x x =+=-2(3)(),().f x x g x x ==其中为区间[1,1]-上的正交函数的组数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37.设()f x '是函数)(x f 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）8. 定积分1)x dx ⎰等于（）A.24π- B.12π- C.14π- D. 12π- 9. 直线y m =分别与曲线2(1),ln y x y x x =+=+交于点,A B ，则AB 的最小值为（）A ．4B ．2C ．3D ．3210. 设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（） A ．3[,1)2e - B ．33[,)24e - C ．33[,)24e D ．3[,1)2e二、填空题（每小题4分，共20分） 11.定积分1(2)x x e dx +=⎰.12.已知函数32()3f x x x =-的图象如图所示，求图中阴影部分的面积 .13.若函数324y x ax =-+在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 . 14.已知函数ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a = .15.已知函数()f x 满足(0)1f =-其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论正确的是 . （1）11)1(->k k f ；（2）11)11(->-k k f ；（3）12)11(--<-k k k f ；（4）)11()1(-<k f k f 三、解答题（每小题10分，共40分） 16. 已知函数R x x x x f ∈+-=,56)(3（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线y a =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求实数a 的取值范围．17. 求抛物线243y x x =-+-及其在点(1,0)A 和点(3,0)B 处的切线所围成图形的面积．18. 设2()(3)xf x e ax =+，其中a 是实数；（1）当1a =-时，求()f x 的极值；（2）若()f x 为区间[1,2]上的单调函数，求a 的取值范围．19. 已知函数()ln xf x e a x a =--，其中常数0a >，若()f x 有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：1211x x a a<<<<．2017/3月考答案BCCABCDADD10.解：由1a <，易知存在整数00000,:(21).x st ex x ax a =-<-设()(21),(),x g x e x h x ax a =-=-则()(21),x g x e x '=+可得()g x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，若存在唯一整数000,:()0,x st f x =<还须满足(0)(0)(1)(1)h g h g >⎧⎨-≤-⎩即132a a e <⎧⎪⎨-≤-⎪⎩∴ 312a e ≤< .故选D .11. e 12. 27413. 3a ≥[解析] 232y x ax '=-，由题意知2320x ax -<在区间(0,2)内恒成立，即32a x >在区间(0,2)上恒成立，∴3a ≥14.8解析：由ln y x x =+得11y x'=+，所以曲线ln y x x =+在(1，1)处的切线的斜率k ＝2，故切线方程为21y x =-，∵21y x =-与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，联立，消去y 得220ax ax ++=则0a ≠且24(2)0,8.a a a ∆=-=∴= 15.(1)(2)(4)16. 已知函数R x x x x f ∈+-=,56)(3（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线y a =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求实数a 的取值范围．解:（1）2,2,0)(),2(3)(212=-=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分∴当()0;,()0x x f x x f x ''<>><<<,当，…………………2分∴)(x f 的单调递增区间是(,)-∞+∞和，单调递减区间是)2,2(-……3分当245)(,2+-=有极大值x f x ；当245)(,2-=有极小值x f x .…………4分（2）由（1）得55a -<<+17. 求抛物线243y x x =-+-及其在点(1,0)A 和点(3,0)B 处的切线所围成图形的面积．[解析] 如图所示，因为1324,2,2x x y x y y =='''=-+==-，两切线方程为2(1),2(3)y x y x =-=--．由2(1)2(3)y x y x =-⎧⎨=--⎩，得2x =. 所以23221223221232232312[2(1)(43)][2(3)(43)](21)(69)112()(39)333S x x x dx x x x dxx x dx x x dxx x x x x x =---+-+----+-=-++-+=-++-+=⎰⎰⎰⎰18. 设2()(3)xf x e ax =+，其中a 是实数；（1）当1a =-时，求()f x 的极值；（2）若()f x 为区间[1,2]上的单调函数，求a 的取值范围．(1）当时，有，，令，即，∴，即，∴在上递增，和上递减，∴当时，有极小值，当时，有极大值．（2）要使在区间上单调，则或恒成立，即或在区间上恒成立，或．综上，在上单调，则或．19. 已知函数()ln xf x e a x a =--，其中常数0a >，若()f x 有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：1211x x a a<<<<．【分析】若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证且， 1a =-2()(3)xf x e x =-+2'()(23)(3)(1)xxf x e x x e x x =--+=-+-'()0f x >(3)(1)0xe x x -+->(3)(1)0x x +-<31x -<<()f x (3,1)-(,3)-∞(1,)+∞3x =-()f x 3(3)6f e --=-1x =()f x (1)2f e =()f x []1,22'()(23)0x f x e ax ax =++≥2'()(23)0x f x e ax ax =++≤2230ax ax ++≥2230ax ax ++≤[]1,2max23()2a x x -≥+38=-min 23()12a x x -≤=-+()f x []1,21a ≤-38a ≥-()110f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()10f f a <即只需判断的符号，可先由存在两个零点判断出的取值范围为，从而，只需将视为关于的函数，再利用函数性质证明均大于零即可．【解析】由得，令设，可得为增函数且，时，，时，，在单调递减，在单调递增，∴在，，有两个零点，，，，，，在单调递增，在单调递增，而，，，使得即．另一方面：，，()()1,1,f f f a a ⎛⎫⎪⎝⎭()f x a e >()10f e a =-<()1,f f a a ⎛⎫⎪⎝⎭()ln 0x f x e a x a =--=1ln 1x e a x x e ⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭()()()'21ln 1,.ln 1ln 1x x e x e x x x x x ϕϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∴=++()1ln 1g x x x =+-()g x ()10g =110,,1x e e ⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()'00g x x ϕ<⇒<()1,x ∈+∞()()'00g x x ϕ>⇒>()x ϕ∴110,,,1e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,+∞1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()()min 1x e ϕϕ==()f x a e ∴>()10f e a ∴=-<()ln a f a e a a a =--()'ln 2a f a e a ∴=--()''1110a a e f a e e e a e e=->->->()'f a ∴(),e +∞()()()2330,e f a f e e e f a ''∴>=->->∴(),e +∞()()()22220.e f a f e e e e e e e ∴>=->-=->()10f <()()10f f a ∴<()21,x a ∴∃∈()20f x =21x a <<()11111ln ln ln 1a a af e a a e a a a e a a a a ⎛⎫=--=+-=+- ⎪⎝⎭a e >ln 10a ∴->，而，，，使得即．综上所述：．10f a ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭()10f <()110f f a ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭11,1x a ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭()10f x =111x a<<1211x x a a<<<<。

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