02-1 单自由度系统的无阻尼自由振动、固有频率
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02-1 单自由度系统的无阻尼自由振动、固有频率
(1)无阻尼线性系统的自由振动为等幅简谐振动。
(2)无阻尼线性系统自由振动的固有角频率、固有频率、 振动周期仅由系统本身参数所确定，与激励、初始条件 无关。 (3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。
弹簧和阻尼器垂直放置 如图。 弹簧静变形量：δst=mg/k
F (t )
弹簧末变形时质块的位置与 静平衡时质块的位置不同
取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标 δst=mg/k 正方向， 运动微分方程为：
(t ) F (t ) mg cx (t ) k[ x(t ) s t (t )] m x
单自由度线性系统运动微分方程：
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点及所解决的问题
燕山大学
Yanshan University
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点： (1)是二阶常系数、非齐次线性常微分方程； (2)方程左边完全由系统参数m、c与k所决定，反映了振动系统本 身的固有特性； (3)方程右边是振动系统的驱动力F(t)，即系统的激励。
A1 x0 v0 A 2 n
结论：
燕山大学
Yanshan University
x(t ) Asin nt
k n m
m T 2 k
1 fn 2 k m
2 v 2 A x0 0 n 1 n x0 tg v0 v0 1 tg n x0
燕山大学
Yanshan University
初始条件：
x (0) x0 x (0) v0
第二章 单自由度系统振动的理论及应用
M t
则得
2 .. n 0
通解为:
A sin(n t 0 )
代入:
将振动的初始条件t= 0 ， 0 , . 0.
A
.0 2 0 2 n
2
n 0 0 arctan . 0
例: 已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上， 并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。 倾角 30 求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。
计算固有频率的能量法
无阻尼自由振动系统没有能量的损失,振动将永远持续下去. 在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能 守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率. 如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时，运动规律为:
x A sin(0t )
速度为:
dx v 0 A cos(0t ) dt
称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单 自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.
可分为如下几种情况进行研究:
(1)当c=0,F(t)=0时, 该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.
(2)当F(t)=0时, mx cx kx 0 该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.
.. .
mx .. kx 0
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
即
1 1 2 2 J 0 Φ ( k1l 2 k 2d 2 )Φ 2 2 2
解得固有频率
0
k1 l 2 k 2 d 2 J
例: 已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半 径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。 求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定-实验报告
3、根据幅频特性测试数据，在同一图上绘出几条幅频（ ）特性曲线，分析阻尼的影响并计算系统的固有频率及阻尼比。
4、根据相频特性的测试数据，在同一图上绘出几条相位差频率（ 特性曲线，由此分析阻尼的影响并计算系统的固有频率及阻尼比。
5、根据实验现象和绘制的幅频、相频特性曲线，试分析对于不同阻尼的振动系统，几种固有频率和阻尼比测量方法的优劣以及原因。
首先，在水平振动台面上不加任何重物，测量系统在自由衰减振动时的固有频率；之后在水平振动台面上放置一个质量已知的砝码，再次测量系统在自由振动时的固有频率。记录两次测得的固有频率，并根据其估算水平振动台面的等效质量。
4、测定自由衰减振动特性：
撤去水平振动台面上的砝码，调整励磁电流至0.6A。继续使用“自由衰减记录”功能进行测试。操作方法与步骤3基本相同，但需按照数据记录表的提示记录衰减振动的峰值、对应时间和周期数i等数据，以计算系统的阻尼。
假设实验使用的单自由度振动系统中，水平振动台面的等效质量为 ，系统的等效刚度为 ，在无阻尼或阻尼很小时，系统自由振动频率可以写作 。这一频率容易通过实验的方式测得，我们将其记作 ；此时在水平振动台面上加一个已知质量 ，测得新系统的自由振动频率为 。则水平振动台面的等效质量为 可以通过以下关系得到： 。
、 的意义同拾振器。但对激振器说， 的值表示单位电流产生的激振力大小，称为力常数，由厂家提供。JZ-1的力常数约为5N/A。频率可变的简谐电流由信号发生器和功率放大器提供。
4、计算机虚拟设备：
在计算机内部，插有A/D、D/A接口板。按照单自由系统按测试要求，进行专门编程，完成模拟信号输入、显示、信号分析和处理等功能。
6、教师签名的原始数据表附在实验报告最后，原始数据记录纸在实验课上提供，必须每人交一份，可以采用复印、拍照打印等方式进行复制。原始数据上要写清所有人的姓名学号，不得使用铅笔记录。
4、根据相频特性的测试数据，在同一图上绘出几条相位差频率（ 特性曲线，由此分析阻尼的影响并计算系统的固有频率及阻尼比。
5、根据实验现象和绘制的幅频、相频特性曲线，试分析对于不同阻尼的振动系统，几种固有频率和阻尼比测量方法的优劣以及原因。
首先，在水平振动台面上不加任何重物，测量系统在自由衰减振动时的固有频率；之后在水平振动台面上放置一个质量已知的砝码，再次测量系统在自由振动时的固有频率。记录两次测得的固有频率，并根据其估算水平振动台面的等效质量。
4、测定自由衰减振动特性：
撤去水平振动台面上的砝码，调整励磁电流至0.6A。继续使用“自由衰减记录”功能进行测试。操作方法与步骤3基本相同，但需按照数据记录表的提示记录衰减振动的峰值、对应时间和周期数i等数据，以计算系统的阻尼。
假设实验使用的单自由度振动系统中，水平振动台面的等效质量为 ，系统的等效刚度为 ，在无阻尼或阻尼很小时，系统自由振动频率可以写作 。这一频率容易通过实验的方式测得，我们将其记作 ；此时在水平振动台面上加一个已知质量 ，测得新系统的自由振动频率为 。则水平振动台面的等效质量为 可以通过以下关系得到： 。
、 的意义同拾振器。但对激振器说， 的值表示单位电流产生的激振力大小，称为力常数，由厂家提供。JZ-1的力常数约为5N/A。频率可变的简谐电流由信号发生器和功率放大器提供。
4、计算机虚拟设备：
在计算机内部，插有A/D、D/A接口板。按照单自由系统按测试要求，进行专门编程，完成模拟信号输入、显示、信号分析和处理等功能。
6、教师签名的原始数据表附在实验报告最后，原始数据记录纸在实验课上提供，必须每人交一份，可以采用复印、拍照打印等方式进行复制。原始数据上要写清所有人的姓名学号，不得使用铅笔记录。
西北工业大学振动学
x(0) = Rcos(0 −) = x0 = −mg / k
1. 选择合适的坐标来描述系统中质量块的位置 ;
2. 确定系统的静平衡位置，并以此为振动位移的坐 标原点；
3. 给质量块一个正向位移和正向速度，画出此时质 量块或刚体的受力图，标明主动力和约束反力；
4. 对质量块运用牛顿第二定律：
F (t)
=
d dt
m
dx(t) dt
如果m是常量
F (t) = mx
y(n) + a1 y(n−1) + + an−1 y '+ an y = 0 该微分方程的特征方程可写为
n + a1 n−1 + + an−1 + an = 0
求通解的方法： 1）求特征方程的全部特征根； 2）根据特征根的情况，列出微分方程所对应的线性
无关的特解；
3）作线性无关的n个特解的任意常系数线性组合，
x
在系统静平衡时位置，向下为正。
系统振动微分方程为： mx + kx = 0
初始条件为: x (0) = − = − m g / k
x (0) = 0
振动特性为: x(t) = Rcos(nt − )
x(t) = −Rn sin(nt − )
16
2.4 例题 将初始条件代入系统的自由振动响应解：
1. 根据目标和系统边界识别系统
2. 确定包括输入、输出力在内的变量
3. 用理想单元近似各元件及其之间的连接
重力
单摆
4. 对隔离体做受力分析
5. 对隔离体写方程，消除不必要的变量
6. 用系统变量描述系统的边界条件和变量 的初始条件
5
2.1 基本概念和求解方法
1. 选择合适的坐标来描述系统中质量块的位置 ;
2. 确定系统的静平衡位置，并以此为振动位移的坐 标原点；
3. 给质量块一个正向位移和正向速度，画出此时质 量块或刚体的受力图，标明主动力和约束反力；
4. 对质量块运用牛顿第二定律：
F (t)
=
d dt
m
dx(t) dt
如果m是常量
F (t) = mx
y(n) + a1 y(n−1) + + an−1 y '+ an y = 0 该微分方程的特征方程可写为
n + a1 n−1 + + an−1 + an = 0
求通解的方法： 1）求特征方程的全部特征根； 2）根据特征根的情况，列出微分方程所对应的线性
无关的特解；
3）作线性无关的n个特解的任意常系数线性组合，
x
在系统静平衡时位置，向下为正。
系统振动微分方程为： mx + kx = 0
初始条件为: x (0) = − = − m g / k
x (0) = 0
振动特性为: x(t) = Rcos(nt − )
x(t) = −Rn sin(nt − )
16
2.4 例题 将初始条件代入系统的自由振动响应解：
1. 根据目标和系统边界识别系统
2. 确定包括输入、输出力在内的变量
3. 用理想单元近似各元件及其之间的连接
重力
单摆
4. 对隔离体做受力分析
5. 对隔离体写方程，消除不必要的变量
6. 用系统变量描述系统的边界条件和变量 的初始条件
5
2.1 基本概念和求解方法
2-1结构动力学(单自由度)
c 2 m
O
t
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
1, cr 2m
c 2m
c cr
阻尼比
（2）ξ> 1（强阻尼）情况
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
t
y( t )
O
y (t ) e t C1 sinh 2 1 t C 2 cosh 2 1 t
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素 无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为： 惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
特征根 一般解
2 2 2 0
1, 2 2 1
y(t ) C1e
1t
C2 e
2t
（1）ξ= 1（临界阻尼）情况
1,2
y C1 C2 t e t
y( t )
tan v
t
y y0 (1 t ) v0t e
d
阻尼对自振频率、周期的影响
,
d
Td T
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:
d , Td T
y(t ) e t Asin ( d t )
阻尼对振幅的影响
yk Aetk Td e y k 1 Ae (tk Td )
O
t
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
1, cr 2m
c 2m
c cr
阻尼比
（2）ξ> 1（强阻尼）情况
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
t
y( t )
O
y (t ) e t C1 sinh 2 1 t C 2 cosh 2 1 t
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素 无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为： 惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
特征根 一般解
2 2 2 0
1, 2 2 1
y(t ) C1e
1t
C2 e
2t
（1）ξ= 1（临界阻尼）情况
1,2
y C1 C2 t e t
y( t )
tan v
t
y y0 (1 t ) v0t e
d
阻尼对自振频率、周期的影响
,
d
Td T
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:
d , Td T
y(t ) e t Asin ( d t )
阻尼对振幅的影响
yk Aetk Td e y k 1 Ae (tk Td )
单自由度系统的自由振动
固有频率的计算方法
1. 建立微分方程求固有频率 2. 静位移法 3. 能量法
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
静位移法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动 能量法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
特征方程及特征根为
2 s 2 0 0
s1, 2 i0
则式（1-1）的通解为
y e x (c1 cos x c2 sin x)
x C1 cos 0t C2 sin 0t
C1 / C2 为任意积分常数，由运动的初始条件确定。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
临界阻尼系数 cc
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
2 0 x x0
当作微幅振动时，可认为sin , cos 1。再由静平衡条件 mgl st ka 则上式可简化为
a 2k 引入符号 2 ，则上式变为 ml
2 0
（1-2）
此为单自由度系统无阻尼自由扭振的微分方程，其解同例（1）。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
振动理论及工程应用2 第二章 单自由度系统的振动
刚度系数k。
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。
设在C处作用一力F，按静力平衡的
关系，作用在B处的力为 Fa
C
b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形，
而此变形使C点发生的变形为
c
a Fa 2 b k2b2
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c
k2
C1 x0
C2
v0 pn
x
x0
cos
pnt
v0 pn
sin
pnt
另一种形式
x Asin( pnt )
初
振幅
相 两种形式描述的物
A
x02
(
v0 pn
)2
位 块振动，称为无阻 角 尼自由振动，简称
自由振动。
arctg(
pn x0 v0
)
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
b2 a2
k F
c
k2
b2 a2
与弹簧k1串联
C
得系统的等效刚度系数
k
k1k 2
b2 a2
k1k 2 b 2
k1
k2
b2 a2
a 2k1 b2k2
物块的自由振动频率为
pn
k b
k1k2
m
m(a2k1 b2k2 )
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
系统振动的周期 T 2π 2π m
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
2 ( I Mu ) 0
2 I M 0
特征方程
对于二个自由度系统：
2 2 1 - m m 1 1 1 1 2 2 0 2 2 21m -22m 1 1 2
展开整理
1 m m 1 1 1 2 22 2 m m ( )0 12 1 1 2 2 1 2 2 1 4
U 带入公式 T m a x m a x 得：
T { u } K{ui } 2 i ni {ui }T M {ui }
4-2-7
利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前 提条件是需要已知系统的振型，这是无法做到的。但 振动系统的一阶振型的近似值一般可以预测，大都数 情况下与其静载荷作用下产生的静变形十分接近。 例如例4-2-1所给出的振动问题，若取 u 1 1 1 代入式4-2-7进行试算：
2 2 J k a c l o
k a c l 0 即 J o
2 2
振动系统固有频率：
k a2 k a2 3 k a2 n 3 1 Jo m l 3 m l 3
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统
二．能量法 原理： 对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振 d (T U ) 0 。在静平衡 动，系统 T Uc o n s t或 dt U 0 ,T T 位置，势能为0，动能达到最大，即： m a x。 在最大位移处，动能为0，势能达到最大， U U ,T 0 即： 。所以有： m a x
其点矩阵形式的动力方程为为第n段单元对转轴的转动惯量图434扭转振动单元状态向量表示gigd第4章固有频率的实用计算方法432传递矩阵法分析圆轴的扭转振动传递矩阵法的计算第n段单元的传递矩阵系统的传递矩阵的计算公式仍然可以表示为第4章固有频率的实用计算方法432传递矩阵法分析圆轴的扭转振动算法流程图图435a所示的一端固定一端自由的圆轴作扭转自由振动其中材料的切变模量为g密度为用传递矩阵法计算一阶固有频率
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定实验报告(精)
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定实验报告一、实验目的1、掌握测定单自由度系统固有频率、阻尼比的几种常用方法2、掌握常用振动仪器的正确使用方法二、实验内容1、记录水平振动台的自由衰减振动波形2、测定水平振动台在简谐激励下的幅频特性3、 测定水平振动台在简谐激励下的相频特性4、 根据上面测得的数据，计算出水平振动台的固有频率、阻尼比三、实验原理由台面、支撑弹簧片及电磁阻尼器组成的水平振动台（见图四），可视为单自由度系统，它在瞬时或持续的干扰力作用下，台面可沿水平方向振动。
1、 衰减振动：用一橡皮锤沿水平方向敲击振动台，系统获得一初始速度而作自由振动，因存在阻尼，系统的自由振动为振幅逐渐减小的衰减振动。
阻尼越大，振幅衰减越快。
选x 为广义坐标，根据记录的曲线可分析衰减振动的周期d T ，频率d f ，对数减幅系数δ及阻尼比ζ，有i t T d ∆=， dd T f 1= )ln(111+=i X X iδd nT =， πδδπδζ2422≈+= 其中∆t 为i 个整周期相应的时间间隔，1X 和1+i X 为相隔i 个周期的振幅。
2、 强迫振动的幅频特性测定：保持功放的输出电流幅值不变，即保持激振力力幅不变，缓慢地由低频2Hz 到高频40Hz 改变激振频率，用相对式速度拾振器检测速度振动量，再经过积分处理后得到位移量，由测试数据可描绘出一条振幅频率特性曲线而根据该测试曲线可由如下关系式估算系统的固有频率n f 及阻尼比ζ nf≈m f ， 021B B m =ζ 或 ζm f ff 212-≈ 其中m f 为振幅达到最大m B 时的激振频率；0B 为零频率的相应振幅（约等于f =2Hz 时的振幅）；1f 和2f 为振幅m B B 707.0=的对应频率，即半功率点频率。
改变阻尼大小重新进行频率扫描可获得一组相应于不同阻尼比的幅频特性曲线。
四、实验装置测试系统如图四所示，其部分仪器的原理及功能说明如下：1、实验装置：振动台系统由台面、支撑弹簧片及电磁阻尼器组成，台面可沿水平面纵轴方向振动。
02-振动系统的力学模型及参数
哈尔滨工业大学 航天学院
7
基于以上简化及其它假设，最终复杂 结构系统为： 无弹性的质量、无质量的弹簧，以及 纯粹阻尼组成的简单力学模型（系统）。 e.g.汽车车身，前后桥为质量，悬挂及 轮胎为弹簧，所有耗能环节视为阻尼。 形成比较理想的结构振动系统。
哈尔滨工业大学 航天学院
8
结构振动系统三元素（件） 机械系统或工程结构之所以产生振动， 是由于系统本身具有质量和弹性，而阻尼 则使振动受到抑制。 从能量的角度：质量存贮动能，弹性 存储势能，阻尼则消耗能量。
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12
（3）质量元件 质量元件在力学模型中抽象为刚体。根据 Newton 第二定律，当质量上作用有载荷时，力 与加速度存在如下关系：
F m x
m —为刚体质量，单位 kg 。
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13
单自由度系统 单自由度无阻尼自由振动系统 一个无质量的弹簧和一个无弹性的质 量即组成一个单自由度系统的力学模型。 （如图）该模型的参数为质量和刚度，系 统受到初始扰动后，产生振动，若在相对 较短的时间内研究其振动状态时，可认为 是一种无阻尼的自由振动。
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5
（2）时不变（TI）系统假设 诸多系统在工作过程是时变的（比如 大型运载火箭）。但为了分析方便，在所 取的分析时段内，对系统作固化处理，从 工程角度视为时不变系统，从面使描述振 动的微分方程简化。 形成LTI线性定常系统 。
哈尔滨工业大学 航天学院
6
（3）非耦合假设 实际结构系统往往存在耦合现象，因 耦合引起的量值相对于主要分析的量值在 工程容差之内，可视为非耦合系统。从而 大简化分析（当然，专门研究耦合振动的 情况除外）。 大型运载火箭，液体贮箱流固耦合。
7
基于以上简化及其它假设，最终复杂 结构系统为： 无弹性的质量、无质量的弹簧，以及 纯粹阻尼组成的简单力学模型（系统）。 e.g.汽车车身，前后桥为质量，悬挂及 轮胎为弹簧，所有耗能环节视为阻尼。 形成比较理想的结构振动系统。
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8
结构振动系统三元素（件） 机械系统或工程结构之所以产生振动， 是由于系统本身具有质量和弹性，而阻尼 则使振动受到抑制。 从能量的角度：质量存贮动能，弹性 存储势能，阻尼则消耗能量。
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12
（3）质量元件 质量元件在力学模型中抽象为刚体。根据 Newton 第二定律，当质量上作用有载荷时，力 与加速度存在如下关系：
F m x
m —为刚体质量，单位 kg 。
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13
单自由度系统 单自由度无阻尼自由振动系统 一个无质量的弹簧和一个无弹性的质 量即组成一个单自由度系统的力学模型。 （如图）该模型的参数为质量和刚度，系 统受到初始扰动后，产生振动，若在相对 较短的时间内研究其振动状态时，可认为 是一种无阻尼的自由振动。
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5
（2）时不变（TI）系统假设 诸多系统在工作过程是时变的（比如 大型运载火箭）。但为了分析方便，在所 取的分析时段内，对系统作固化处理，从 工程角度视为时不变系统，从面使描述振 动的微分方程简化。 形成LTI线性定常系统 。
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6
（3）非耦合假设 实际结构系统往往存在耦合现象，因 耦合引起的量值相对于主要分析的量值在 工程容差之内，可视为非耦合系统。从而 大简化分析（当然，专门研究耦合振动的 情况除外）。 大型运载火箭，液体贮箱流固耦合。
振动理论-第2章 单自由度系统的自由振动
c
l
解：梁重物处的静变形为
st
Wc2 (l c)2 3lEI
则：
3lEI k c2 (l c)2
1g f
2 st
例3. 已知：升降机吊笼，以等速 v0 下降，钢丝绳视为弹簧，
若A端突然停止，求钢绳所受到的最大应力。
W 10000lbf l 62 ft A 2.5in2 E 15106lbf / in2
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of G 80109 N / m2
(boom) to deform by an amount x2 x cos 45 and the spring k1
Eat 3 4b3
kr
AE l
d2E
4l
1 keq
1 kb
1 kr
4b3 Eat 3
4l d2
E
keq
E 4
at3d 2
d 2b3 lat3
4 等效质量和等效刚度
斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度
Fx F cos F 为弹簧的伸长量
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定-实验报告
1
DC 输出:0~30V,2A
PAB 32~2A KIKUSUI（日本）
7
微型计算机
1
内部有 A/D、D/A 插卡
通用型
-3-
五．实验步骤
1. 打开微型计算机，运行进入“单自由度系统”程序。 2. 单击“设备虚拟连接”功能图标，进入设备连接状态，参照图六对显示试验设备进行联
线。连线完毕后，单击“连接完毕”，如连接正确，则显示“连接正确”，即可往下进 行，否则重新连接，直至连接正确。 3. 接通阻尼器励磁及功率放大器电源，调励磁电流为某一定值（分别为������ = 0.6A, 0.8A, 1.0A） 4. 测定自由衰减振动： 单击“自由衰减记录”功能图标，进入如图七显示界面。单击 (Start)键，开始测试。由 一电脉冲沿水平方向突然激励振动台，微机屏幕上显示自由衰减曲线。用鼠标调节光标 的位置，读出有关的数据。改变周期数 i 的数值，即可直接显示相应的周期和频率。 5. 测定幅频特性和相频特性： 单击“简谐激励振动”功能图标，按图八所示，单击“信号输入显示框中的频率，将弹、 出一个对话框，可以直接输入激励频率。也可单击频率的单步步进键进行激励调节。单 击 (Start)键，开始测试，开始强迫振动幅频特性和相频特性测量，其中2Hz~15Hz内大致 相隔1Hz设一个测点；15Hz~30Hz 内每隔5Hz设一个测点。 在显示检测框显示力信号和相应信号波形，以便观察信号的质量。幅值比显示振动位移
注：由于实验时间所限，加之读数难度较大，在������������ 附近没有加密测量相频点。这是实验中的失误。
-5-
七．实验数据处理
1. 根据自由衰减振动记录的有关数据，分析计算系统的固有圆频率������������及阻尼比ζ。
第一部分 单自由度系统的振动
& x0 = A(ωd cos ϕ − ζω n sin ϕ )
x0 + ζω n x0 & , A = x0 + ωd
2 2
x = Ae
−ζω n t
sin (ω d t + ϕ )
得 x0 = A sin ϕ ,
& x0 + ζω n x0
ωd
= A cos ϕ
ωd x0 tgϕ = & x0 + ζω n x0
系统的势能为： 系统的势能为：
k2 k1 1 1 1 1 2 2 U = k1 x1 + k 2 x2 = k1 x + k2 x 2 2 2 2(k1 + k 2 ) 2 2(k1 + k 2 ) 1 k1k 2 1 2 = x = ke x 2 2 4(k1 + k 2 ) 2
第一部分 单自由度系统的振动 3 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●响应求解 −ζωn t [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] 第二种形式 x = e 式中D 为待定常数，决定于初始条件。 式中 1与D2为待定常数，决定于初始条件。 由
x = e −ζωnt [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] & x = −ζωn e −ζωnt ( D1 cos ωd t + D2 sin ωd t )
+e
−ζωn t
( − D1ωd sin ωd t + D2ωd cos ωd t )
& x0 + ζωn x0
得 x0 = D1 ,
x0 + ζω n x0 & , A = x0 + ωd
2 2
x = Ae
−ζω n t
sin (ω d t + ϕ )
得 x0 = A sin ϕ ,
& x0 + ζω n x0
ωd
= A cos ϕ
ωd x0 tgϕ = & x0 + ζω n x0
系统的势能为： 系统的势能为：
k2 k1 1 1 1 1 2 2 U = k1 x1 + k 2 x2 = k1 x + k2 x 2 2 2 2(k1 + k 2 ) 2 2(k1 + k 2 ) 1 k1k 2 1 2 = x = ke x 2 2 4(k1 + k 2 ) 2
第一部分 单自由度系统的振动 3 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●响应求解 −ζωn t [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] 第二种形式 x = e 式中D 为待定常数，决定于初始条件。 式中 1与D2为待定常数，决定于初始条件。 由
x = e −ζωnt [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] & x = −ζωn e −ζωnt ( D1 cos ωd t + D2 sin ωd t )
+e
−ζωn t
( − D1ωd sin ωd t + D2ωd cos ωd t )
& x0 + ζωn x0
得 x0 = D1 ,
36机械振动专题第三十六讲 机械振动-强迫振动
专题一机械振动基础1. 单自由度系统无阻尼自由振动2. 求系统固有频率的方法3. 单自由度系统的有阻尼自由振动4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动5. 单自由度系统的有阻尼强迫振动4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动4.1 强迫振动的概念4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解4.3 稳态强迫振动的主要特性4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动4.1 强迫振动的概念4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解4.3 稳态强迫振动的主要特性)sin(ϕω+=t H F 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。
简谐激振力：φ—激振力的初相位H —力幅ω—激振力的圆频率4.1 强迫振动的概念无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。
)sin(ϕω++−=t H kx x m 则令 , 2m Hh m k n ==ω)sin(2ϕωω+=+t h x x n 4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解全解为：稳态强迫振动21x x x +=)sin(1θω+=t A x n )sin(2ϕω+=t b x 为对应齐次方程的通解为特解)sin(22222ϕωωωωω+−=−=t h x h b n n ,)sin()sin(22ϕωωωθω+−++=t h t A x n n(3) 强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。
(1) 在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。
(2) 强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。
4.3 稳态强迫振动的主要特性)sin(222ϕωωω+−=t h x n 稳态响应(1) ω=0时(2) 时，振幅b 随ω增大而增大；当时，n ωω<(3)时，振动相位与激振力相位反相，相差。
n ωω>b 随ω增大而减小；kHh b n ==20ωn ωω →∞→b rad π22ωω−=n hb β：振幅比或动力系数λ：频率比β−λ曲线：幅频响应曲线（幅频特性曲线）10 ; , 20→∞→==b b b n 时时ωωω)sin(222ϕωωω+−=t hx n(4)共振现象，这种现象称为共振，无稳态解。
第二章 单自由度系统的振动1(长沙理工大学结构动力学)
y (t ) 2 y (t ) 0
（2-2）
这是个常系数线性齐次微分方程
2、自由振动方程的解
方程（2-2）的通解由数学知识可知为： y(t ) C1 sin t C2 cos t （2-3） C1、C2为待定系数，可由初始条件确定。 0 y (0) 代入（2-3） 设t=0时的初始位移 y0 y(0)， 初速度 y
二、阻尼的量测
对相邻幅值比取自然对数，称为对数递减率 y 即：
y ln e
TD
TD
y
2
D
2
1 2
（2-13） 2 2 y 2 为获得更高精度的 可量测相隔m个周期的两个幅值比 y' 这时阻尼比为： （2-14） 2 2 2 m y ' 其中：
其中 -柔度系数（单位力作用下相应的位移） k –刚度系数（单位位移作用下所需加的力） g –重力加速度
W
–重力 yst –重力引起的位移
例1) 、试建立图示结构的运动方程（考虑阻尼）并求自振频率 （不计阻尼）。设横梁刚度无限大， 柱 EI 4.5 106 Nm2 梁的质量 m=5000kg。h=3m 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平 h EI 位移。设x坐标向右。二柱的侧移劲度系数为： 12 EI k k1 k2 3 = h 2 y P(t) m 又设横梁（质量m）位移为y，以它为隔离 体，受力如图所示。 F F cy
列x方向全部力的平衡方程，即可得结构的运 动方程为 ky P(t ) m y cy
12 EI k s1 F F y y 图中Fs1和Fs2可由位移法知 s1 s 2 h3 2 y
P(t)
（2-2）
这是个常系数线性齐次微分方程
2、自由振动方程的解
方程（2-2）的通解由数学知识可知为： y(t ) C1 sin t C2 cos t （2-3） C1、C2为待定系数，可由初始条件确定。 0 y (0) 代入（2-3） 设t=0时的初始位移 y0 y(0)， 初速度 y
二、阻尼的量测
对相邻幅值比取自然对数，称为对数递减率 y 即：
y ln e
TD
TD
y
2
D
2
1 2
（2-13） 2 2 y 2 为获得更高精度的 可量测相隔m个周期的两个幅值比 y' 这时阻尼比为： （2-14） 2 2 2 m y ' 其中：
其中 -柔度系数（单位力作用下相应的位移） k –刚度系数（单位位移作用下所需加的力） g –重力加速度
W
–重力 yst –重力引起的位移
例1) 、试建立图示结构的运动方程（考虑阻尼）并求自振频率 （不计阻尼）。设横梁刚度无限大， 柱 EI 4.5 106 Nm2 梁的质量 m=5000kg。h=3m 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平 h EI 位移。设x坐标向右。二柱的侧移劲度系数为： 12 EI k k1 k2 3 = h 2 y P(t) m 又设横梁（质量m）位移为y，以它为隔离 体，受力如图所示。 F F cy
列x方向全部力的平衡方程，即可得结构的运 动方程为 ky P(t ) m y cy
12 EI k s1 F F y y 图中Fs1和Fs2可由位移法知 s1 s 2 h3 2 y
P(t)
结构振动理论2-单自由度系统自由振动
由 dE 0 1、求出运动方程： mx kx 0
dt
有常力作用的机械能： E 1 mx&2 1 k( x)2 Fx
2
2
dE mx&&x& k( x)x& Fx& x&(m&x& kx) 0
dt
由 Ek max E p max E 2、求固有频率
假设 x Asin( pt ) 则 x Apcos(pt )
2
l 0
/
2
y02{3(
x l
)
4(
x l
)3}2
dx
1 2
0.486
ly02
Ek
1 2
me
y02
me 0.486 l
n
ke me
00:03
单自由度系统自由振动
例 铰接式直升机旋翼挥舞振动分析
取微元做受力分析，微元
cos
R
L
2(R cos)d 离心力对铰链轴o的力矩为
θ
ξ
(2 (R cos )d )( sin )
则系统的自由振动方程为: me ke 0
固有频率为:
n
ke me
需要注意的是，me不是梁的总质量，它可以通过梁上各 点位移关系和动能等效的原则求得。
00:03
单自由度系统自由振动
y( x, t )
y0
(t
)[3x l
4(
x )3 ] l
(x 1) l2
Ek
1 2
l y2dm 1 2
0
由此可见，弹性元件并联将提高总刚度，串联将降低总刚
度。这与电学中电阻的并联、串联结论是相反的。阻尼器串联
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材料阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼。 滑移阻尼：结构各部件连接面之间相对滑动而产生的阻尼。 结构阻尼：材料阻尼与滑移阻尼统称为结构阻尼。 试验表明，对材料反复加载和卸载，其应力 — 应变曲线成一 个滞后曲线。
曲线所围图形面积的物理意义：一个循环 中，单位体积材料所消耗的能量。这部分 能量以热能形式耗散掉，从而对结构振动 产生阻尼。 试验表明，多数金属结构的材料阻力在 一个周期内所稍耗的能量 ΔEs 与振幅的平 方成正比：
x(t)振动的角 频率为ωn。
k n m
无阻尼自由振动的固 有角频率，rad/s。
2、固角频率与振动周期 固有频率fn：系统每秒钟振动的次数，Hz或1／s。 振动周期T：系统振动一次所需的时间，s。
n 1 fn 2 2
k m
m T 1 f n 2 k
3、振幅与初相角
运动微分方程：
Fl xB EA
B点在x方向的刚度系数为
F EA kx xB l
燕山大学
Yanshan University
当确定沿y方向的刚度时，在B点沿y方向加一横向力P。
杆作弯曲变形，根据材料力学知， B点沿y方向的位移
Pl 3 yB 3EJ
B点沿y方向的刚度系数为
P 3EJ ky 3 yB l
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2.1.2 阻尼器
阻尼器的性质：阻尼器在外力作用下的 响应为其端点产生一定的运动速度。 阻尼器所产生的阻尼力Fd是速度的函数： 阻尼力的方向和速度方向相反。
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) Fd f ( x
假设与说明： (1)假设阻尼器的质量忽略不计。 (2)阻尼器消耗能量，以热能、声能等方式耗散系统的机械能。
A1 x0 v0 A 2 n
结论：
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x(t ) Asin nt
k n m
m T 2 k
1 fn 2 k m
2 v 2 A x0 0 n 1 n x0 tg v0 v0 1 tg n x0
图中，弹簧k1、k2是“共位移”的，为并联弹簧。 是并联弹簧？
系统的等效刚度：keq=k1+ k2
还是串联弹 簧？
弹簧串并联等效刚度实例
例2 确定图示混联弹簧的等效刚度。
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解： k1、k2为并联，再与k3串联：
1 1 1 k eq k1 k 2 k 3
等效弹簧：对于复杂组合形式的弹 性元件，用一个与其具有相同刚度
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的弹簧来代替，则该弹簧为等效弹 簧。
简化原则：等效弹簧的刚度与组合弹簧的刚度相等，等效弹簧刚 度记为keq。
并联弹簧的等效刚度
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设弹簧k1、k2所受到的力分别为Fs1、Fs2，则有： Fs1= k1 (x2-x1) Fs2= k2 (x2-x1) 总作用力Fs是Fs1与Fs2之和：Fs=Fs1+Fs2=（k1+ k2）(x2-x1)= keq(x2-x1) 则： keq=k1+ k2 对于n个刚度分别为ki (i＝l,2,…, n) 的并联弹簧系统，等效刚度：
(1)无阻尼线性系统的自由振动为等幅简谐振动。
(2)无阻尼线性系统自由振动的固有角频率、固有频率、 振动周期仅由系统本身参数所确定，与激励、初始条件 无关。 (3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。
E s x
2
2.1.3 质块
质块的性质：质块在外力作用下的响应 为其端点产生一定的加速度。 根据牛顿定理，力F m与加速度成正比：
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பைடு நூலகம்
(t ) Fm mx
假设：质块为刚体，不消耗能量。
2.2 单自由度线性振动系统的运动微分方程
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(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
结论：在线性系统的振动分析中，可以忽略 作用于系统上的恒力及其引起的静态位移。
2.3 单自由度线性系统的无阻尼自由振动
单自由度系统的运动微分方程：
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(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
弹簧和阻尼器垂直放置 如图。 弹簧静变形量：δst=mg/k
F (t )
弹簧末变形时质块的位置与 静平衡时质块的位置不同
取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标 δst=mg/k 正方向， 运动微分方程为：
(t ) F (t ) mg cx (t ) k[ x(t ) s t (t )] m x
单自由度线性系统运动微分方程：
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点及所解决的问题
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(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点： (1)是二阶常系数、非齐次线性常微分方程； (2)方程左边完全由系统参数m、c与k所决定，反映了振动系统本 身的固有特性； (3)方程右边是振动系统的驱动力F(t)，即系统的激励。
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实际物理系统中的弹簧是有质量的。若弹簧质量相对较小，则 可忽略不计;若弹簧质量相对较大，则需考虑弹簧质量; (2)假设为线性弹簧 工程实际中，多数振动系统的振幅不会超出弹簧的线性范围。 (3)假设弹簧不消耗能量，只以势能方式贮存能量
等效刚度系数
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初始条件：
x (0) x0 (0) v0 x
x(t ) A1 cos nt A2 sin nt x(t ) A sin nt x(t ) A cos nt
2 v0 2 A x0 n 1 n x0 tg v0 v0 1 tg n x0
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组成振动系统的理想元件： 质量元件——质块
弹性元件——弹簧
阻尼元件——阻尼器
2.1.1 弹簧
弹簧的性质：弹簧在外力作用下的响 应为其端点产生一定的位移。 弹簧所受外力Fs是位移x的函数： Fs = f(x) 式中：Fs——弹簧的弹性恢复力，和外力方向相反。 线性弹簧： Fs = kx ，k为弹簧刚度系数，N/m。 假设与说明： (1)一般假设弹簧无质量
弹簧刚度系数：使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。
F k x
同一弹性元件，根据所要研究振 动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。
以一端固定的等直圆杆为例加以 说明，如图所示。
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当确定沿 x 方向的刚度时，在 B处沿 x 方向加一垂 直力F。 根据材料力学知，B点在x方向 的位移为
第2章 单自由度线性系统的自由振动
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振动：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的
往复性机械运动。
自由振动：系统仅受到初始条件(初始位移、初始速度) 的激励而引起的振动。
强迫振动：系统在持续外力激励下的振动。
2.1 振动系统的理想元件 图示单自由度系统： m表示质块 c表示阻尼器 k表示弹簧
x(t ) A sin nt x(t ) A cos nt
由初始条件确定！ 式中，A1、A2——待定系数； A、
——待定系数；
A、φ——待定系数。
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无阻尼自由振动：x(t ) 1、固有角频率
Asin nt
对于n个刚度分别为ki (i＝l,2,…, n) 的串联弹簧系统，等效刚度：
k1k 2 k eq k1 k 2
1 1 1 k eq k1 k 2
n 1 1 keq i 1 ki
结论：串联弹簧等效刚度的倒数等于各弹簧刚度的倒数之和。 串联弹簧等效刚度比原来各弹簧的刚度都要小，即串联弹 簧较其任何一个组成弹簧都要“软”
由运动微分方程所要解决的问题： (1)由m、c、k所决定系统的固有特性； (2)在激励F(t)作用下，系统会具有什么样的响应，即x(t)=？
静位移对系统运动微分方程的影响 当弹簧与阻尼器水平放置时，无重力影响。 系统静平衡位置与弹簧未伸长时的位置一致。
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(t ) cx (t ) kx(t ) 运动微分方程： m x
自由振动：当F(t)=0时，系统所产生的振动。
无阻尼自由振动：当F(t)＝0、 c ＝0时，系统所产生的振动。
无阻尼自由振动微分方程： 设： n
k m
(t ) kx(t ) 0 mx
2 x(t ) n x(t ) 0
运动微分方程的通解：
x(t ) A1 cos nt A2 sin nt
线性阻尼器（粘性阻尼）：阻尼力Fd是振动速度线性函数的阻尼器。 即： ， s／ m。 c为阻尼系数，N· Fd cx
非线性阻尼器：除线性阻尼以外的各种阻尼 (1)库仑阻尼,亦称干摩擦阻尼 在振动过程中，质块与平面之间产生库 仑摩擦力Fc。库仑摩擦力为常数，方向与质 块运动速度方向相反。