信号与系统 第八章 Z变换及分析
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种用于描述离散时间系统的重要数学工具。
离散时间系统是指信号的取样点在时间上离散的系统。
而Z变换可以将离散时间信号从时域（时间域）转换到频域（复频域），并在频域进行分析和处理。
Z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域有着广泛的应用。
Z变换的定义为：\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]其中，\(x(n)\)表示离散时间信号，\(X(z)\)表示该信号的Z变换，\(z\)表示复变量。
通过对离散时间系统的输入信号进行Z变换后，可以得到系统的传递函数。
系统的传递函数是指系统的输出与输入之间的关系。
在离散时间系统中，传递函数可以表示为：\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \]其中，\(Y(z)\)表示系统的输出信号，\(X(z)\)表示系统的输入信号。
通过Z变换可以对离散时间系统进行频域分析。
频域分析可以用来研究离散时间系统的频率特性，比如系统的频率响应、幅频特性、相频特性等。
频域分析可以揭示系统在不同频率下对信号的处理情况，对于设计和优化离散时间系统非常有帮助。
Z变换具有一些重要的性质，可以方便地对离散时间系统进行分析和计算。
其中一些常用的性质包括：1. 线性性质：对于任意常数\(a\)和\(b\)，以及信号\(x(n)\)和\(y(n)\)，有\(Z(a \cdot x(n) + b \cdot y(n)) = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)\)。
这个性质说明Z变换对线性系统是可加性的。
2. 移位性质：如果将信号\(x(n)\)向左或向右移动\(k\)个单位，那么它的Z变换\(X(z)\)也将发生相应的移位，即\(Z(x(n-k)) = z^{-k} \cdot X(z)\)。
这个性质说明Z变换对系统的时移（时延）是敏感的。
3. 初值定理：如果离散时间信号\(x(n)\)在n=0处存在有限值，那么在Z变换中，它的初值可以通过计算\(X(z)\)在z=1处的值得到，即\(x(0) = \lim_{z \to 1}X(z)\)。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
8 / 75
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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台
于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原
z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)
§8.2常用序列的z变换 《信号与系统》课件
Z ejω0n u n
z
z e j0n
z 1
所以 Zcosω0nun
同理
1 2
z
z e jω0n
z
z e jω0n
zz cosω0
z2 2z cos ω0
1
Lsin ω0nun
1 2 j
z
z e jω0n
z
z e jω0n
z2
z sin ω0 2z cos ω0
1
正弦与余弦序列信号与系统82常用序列的z变换单位冲激序列单位阶跃序列斜变序列指数序列复指数序列已知两边同时乘以z1可得n是离散变量所以对n没有微积分运算
号与系统 信 §8.2 常用序列的Z变换
单位冲激序列 单位阶跃序列 斜变序列 指数序列 复指数序列
一、单位冲击序列
(n)
1 0
n0 n0
Z ebn u(n) z
Z
e jω0nu(n)
z zeb z e jω0
2. 左边序列 xn anu n 1
X z z
za
za
注意：z 变换相同时，左边序列的定义。 an n 1
五．正弦与余弦序列
单边余弦序列 cos0nun
因为
cos ω0n
e jω0n e jω0n 2
n0
z n
1
1 z
1
两边，对
z
1求导
n0
n(z 1)n1
1 (1 z1)2
两边同时乘以z-1 ，可得
Z nun
n0
nz n
(z
z 1)2
z 1
同理可得
n2u(n)
n2 z n
n0
z(z 1) (z 1)3
信号与系统-Z变换
1
X (z) xnzn bn zn
n
n
bnzn 1 bnzn
n1
n0
若公比|b-1 z|＜1，即|z|＜|b|时此级数收敛。此时
X (z)
1
1 1 b1z
z
z b
zb
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
b
╳
Re[z] z b
收敛域零、极点分布
信号与系统（信息工程）
当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列， 它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此 序列进行Z变换得到
1
X (z) Zxn x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
右边序列
左边序列
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
R1
R2
o
Re[z]
信号与系统（信息工程）
例 ：已知无限长双边序列x(k)为
x(n) anu(n) bnu(n 1)
式中，|b|>|a|。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。
z
z 12
信号与系统（信息工程）
若
ZT
x1(n) X1(z)
Rx11 z Rx12
ZT
x2 (n) X 2 (z) Rx21 z Rx22
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
X (z)
n0
zn
1 1 z1
1 z
信号与系统（信息工程）
6.1.2 Z变换的收敛域
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
信号与系统§8.3Z反变换
jIm( z)
0
X z xnz n
(1)
n0
1式两边同乘以 zm1，并进行围线积分
Re(z) C
1
X zz m1 d z 1
xnzn z m1 d z
2 πj c
2π j
c n0
xn
1
z nm1 d z
n0
2 πj c
号与系统
信
§8.3 Z反变换
部分式展开法 幂级数展开法 围线积分法——留数法
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
X (z)
N(z) D(z)
b0 b1z b2 z2 a0 a1z a2 z2
br1z r1 br z r ak1z k1 ak z k
三．围线积分法求z反变换
1．z逆变换的围线积分表示
已知z变换
X z xnzn
1
n0
得 z 逆变换公式
所以
xn
1 2π
j
c X
z z n1
d
z
3
用留数定理求围线积分。
推导
在X (z的) 收敛域内，选择一条包围 坐标原点的逆时针方向的围线C， 的全部X极z点zn都1 在积分路线的内 部。
级数的系数就是序列 xn
2．右边序列的逆z变换
将X z以 z 的降幂排列
X (z) x(n)z n x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2 n0
3．左边序列的逆z变换
将X z以z的升幂排列
1
X (z) x(n)z n x(1)z1 x(2)z 2 x(3)z3 n
信号与系统第八章Z变换及分析
信号与系统第八章Z变换及分析第八章Z变换及分析是信号与系统课程的重要内容之一、本章主要介绍了Z变换的定义、性质以及在信号与系统分析中的应用。
下面将详细介绍这些内容。
首先，Z变换是一种将离散时间信号转换为复变量函数的方法。
Z变换的定义如下：$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$其中，$X(z)$为Z变换，$x[n]$为离散时间信号，$z$为复变量。
Z变换具有线性性质、时移性质、尺度变换性质等。
通过这些性质，可以简化信号与系统的分析。
在信号与系统的分析中，Z变换具有以下几个重要的应用：1.离散时间系统的表示和分析：通过Z变换，可以将离散时间系统的差分方程表示为系统函数的乘积形式，从而方便地分析系统的稳定性、频率响应等性质。
2.离散时间信号的频域表示：Z变换将离散时间信号转换为复变量函数，可以通过计算Z变换的幅频特性、相频特性等来分析信号的频域性质。
3.离散时间信号与连续时间信号的转换：通过将连续时间信号进行采样，并进行Z变换，可以将连续时间信号转换为离散时间信号进行分析。
此外，本章还介绍了常用的离散时间信号的Z变换和逆Z变换公式，包括单位脉冲序列、单位阶跃序列、指数序列等。
最后，本章还介绍了Z变换的收敛域和极点零点的求解方法。
通过求解Z变换的收敛域，可以确定系统的稳定性；通过求解Z变换的极点和零点，可以确定系统的频率响应和相位特性。
综上所述，第八章Z变换及分析是信号与系统课程的重要内容。
通过学习Z变换的定义、性质以及在信号与系统分析中的应用，可以更好地理解离散时间信号与系统的特性，并且为进一步学习信号处理和系统设计打下坚实的基础。
第8章 z变换离散时间系统的z变换分析
-n -n
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法 已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0
！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性 若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:
信号与系统z变换
信号与系统z变换信号与系统是电子工程领域中的重要基础学科，主要研究信号的传输、变换和处理方法。
在实际应用中，我们常常需要对信号进行分析和处理，以提取有用的信息或改善信号的质量。
信号可以是各种形式的信息载体，比如声音、图像、视频等。
通过采集和传输设备，我们可以将这些信号转换为电信号，然后利用信号与系统理论进行处理和分析。
信号与系统的核心概念是时域和频域。
时域描述了信号随时间的变化情况，频域则描述了信号在频率上的特性。
这两个视角可以相互转换，帮助我们更好地理解信号的本质和行为。
在信号与系统中，Z变换是非常重要的工具。
它可以将离散时间信号转换为复变量的函数，从而使得我们可以在频域中对信号进行分析和处理。
Z变换广泛应用于数字信号处理、控制系统等领域。
Z变换的定义如下：给定一个离散时间信号x(n)，其Z变换X(z)定义为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)], -∞ < n < ∞其中，z为复变量，n为离散时间。
Z变换可以看作是傅里叶变换在离散时间下的推广，它将时域信号转变为频域的表达形式。
Z变换的性质有很多，其中一些常见的性质包括线性性、时移性、频移性、时域尺度反转和频域微分等。
这些性质可以帮助我们简化信号处理的过程，提高计算效率。
在实际应用中，我们可以利用Z变换对信号进行滤波、频谱分析和系统建模。
使用Z变换，我们可以将复杂的离散时间系统转化为简单的代数表达式，从而更加方便地进行分析和设计。
总的来说，信号与系统中的Z变换是一种重要的工具，它为我们分析和处理离散时间信号提供了便利。
通过深入理解Z变换的概念和性质，我们可以更好地掌握信号与系统的基本原理，进而应用于实际工程中，为各类系统设计和信号处理问题提供解决方案。
第八章z变换
Z变换的收敛域
级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法：设一个正项级数an , n=- 令其lni m aann+1 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。
则 X ( z ) Z 1 x (n )=1 X ( z ) zn 1 d z 2j C
其 中 C是 包 围X(z)zn-1所 有 极 点 的 逆 时 针 闭 合 路 线
二、求逆Z变换方法
逆Z变换
1 ) 围 线 积 分 法 ： 借 助 复 变 函 数 的 留 数 定 理
X ( z ) Z 1 x ( n ) =R e s X ( z ) z n 1
二、 典型序列的Z变换
(n)
1 单 位 样 值 序 列 ( n )Z 1
1
2 单 位 阶 跃 序 列 u (n )Z z , z1
z1
0
n
u (n)
1
3 斜 变 序 列 n u (n )Z zz12 , z1 0
n
典型序列的Z变换
4 单 边 指 数 序 列 a n u ( n ) Z z
则 该 级 数 收 敛 .其 中 R x10,R x2< . 可 见 ,
双 边 序 列 的 收 敛 域 是 以 半 径 为 R x 1 和 R x 2 之 间 的 圆 环 部 分 .
作业
P103 8-1，8-2，8-3，8-12
第四节 逆z变换
一、逆Z变换
逆Z变换定义：
第八章1Z变换
1.离散时间信号-序列 2.离散时间系统的数学模型 3.常系数线性差分方程的求解 4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应 5.卷积 6.反卷积
差分方程与微分方程的转换
差分方程与微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
小结
j Im[z]
有限长序列
Re[z ]
1 例：已知 x(n) [u (n) u (n 8)] 3 求其Z变换，并作出极零点图 ，画出收敛域。
n
j Im[z]
右边序列
Rx1
Re[z ]
1 例：已知 x(n) u (n) 3 求其Z变换，并作出极零点图 ，画出收敛域。
例：RC低通滤波器
dy(t ) Rc y (t ) x (t ) dt y (n 1) y (n ) RC y (n) x(n) T T T y (n 1) (1 ) y (n ) x(n) RC RC
课后习题7-26
差分方程可以解决很多实际中的离散问题 习题7-27：海诺塔问题
y(10) 1023
N-1个移动 N-1个移动
汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个 古老传说的益智玩具（也说起源于越南河內附近一個 不知名小村庄的寺庙）。
在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北 部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天 在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的 ６４片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣 在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针 上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿 好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭， 而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
信号与系统-Z变换
解：
X (z) x(n)zn [u(n 1) u(n 1)]zn
n
n
1
zn z 1 z1
n1
x(k)zn 1 zn z 1 1
n
n1
z
所以，当 0 z 时，上式级数收敛。于是得
X (z) z 1 z1 z2 z 1 0 z
z
信号与系统（信息工程）
Z变换为
x(n)
令
，Xs(s)变为X(z)，得
X (z) x(nT )zn
n
取T=1，得
X (z) x(n)zn n
信号与系统（信息工程）
当0≤n≤∞时，得单边Z变换
X (z) x(n)zn n0
单边Z变换
2、从离散时间序列直接定义
设x(n)为离散序列，x(n)={x(0)，x(1)，…， x(n) ，…}，则 x(n)的单边Z变换定义为：
解 x(n)的双边Z变换为
X (z) anu(n) b n u(n 1) zn
n
1
an z n bn z n
n0
n
信号与系统（信息工程）
X (z)
anzn
1
bnzn
a n
1
b
n
n0
n
n0 z n z
z z 2z (a b)z |a|<|z|<|b|
z1 0
jIm[z] a
Re[z]
例：求指数序列x(n)=anu(n) 的Z变换。
解：显然指数序列是一个 因果序列
X (z) x(n)zn
n0
an zn (az1)n
n0
n0
1 az1 (az1)2
X (z)
1 1 az1
第八章 Z变换与Z域分析
z (k ) z 1 z k 3 ( k 1) z 3
由线性性质得
|z|>1 |z|<3
z z 2z 4z F ( z) z 1 z 3 ( z 1)( z 3)
2
1<|z|<3
2、移位特性 (1)双边z变换 若f (k )是双边序列，其双边z变换为 f (k ) F ( z )
3<|z|<∞
根据时域乘ak性质，得
1 k F ( z ) Z [ f（k） Z f1 (k ) F1 (2 z ) ] 2 3 (2 z )2 4z2 2z 3 2z 3
2 k 0 1 k 2
z
k
z
2
z a 2 a 1 z 1 za
或者
a 2 z za
|z|>|a|
a 2 z F ( z ) Z [a k 2 ] Z [a a
例 8.2-3 已知f(k)=3k［ε(k+1)-ε(k-2)］，求f(k)的双边Z变换
例
ZT [ e
n
z e j 0 z n j 0 n ZT [ e ] z e j 0 ZT [ cos0 n] ZT [ (e
n n j 0 n
j 0 n
]
z
e
j 0 n
) / 2]
z ( )/2 j 0 j 0 z e z e z ( z cos0 ) 2 z 2 z cos0 2 ( z )
Rx 2
6、双边序列 F ( z)
k
f (k ) z
k
f (k ) z
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X ( z)
X ( z)
n 1
x ( n) z
n
n
n
n n x ( n ) z x ( n ) z n 0
j Im[z]
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1 时，有环状收敛域 Rx2 Rx1 时，没有收敛域
Re[z ]
3 1 z 3 1 1 或 1 z 3z 3
( z 1)
3.指数序列
1 z ZT [a u(n)] a z 1 1 az z a n 0
n n n
( z a)
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信号与系统
ZT[cos0n] ZT[(e e ) / 2] z z j n j n ZT [e ] , ZT [e ] j j z e z e z z ZT [cos0 n] ( )/2 j j
n 0
X s ( s)
0
x(nT ) (t nT )e
n 0 0
st
dt
x(nT ) (t nT )e dt
st
x(nT )e
n 0
n 0
snT
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信号与系统
X s ( s) x(nT )e snT
n
1 Rx1 3
1 3
Re[z ]
例 (2) x(n)
X ( z) z
n 1 3 n m 1 3 1
1 n 3
u ( n 1)
左边序列
lim (3 z ) 1
n n n
1 n
z
m 1
1 m
1 z Rx2 3 n2 1 0
n
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例：求 x(n) a u(n) 的z变换的收敛域。
n
解： X ( z ) a z
n 0
n n
a n (az ) ( ) n 0 n 0 z
1 n
an 1 a 1 (1) lim az n an z
1
右边序列 1 例: (1) x(n) u(n) 3 n 1 z 1 n n 1 X ( z) ( ) z 1 n 0 3z 1 1 n 0 3 z 3z 3 1 Rx j Im[z]
C
z
m 1
X ( z )dz z
C
m1
x(n) z
n 0
n
dz
C
X ( z) z
m 1
dz x(n) z
n 0 C
n m 1
dz
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C
m 1 n m 1 X ( z ) z dz x ( n ) z dz
（2）右边序列：只在 n n1 区间内，有非零的有限值 的序列 x(n)
X ( z ) x(n) z
n n1
n
n1 n
j Im[z]
圆外为 收敛域
lim lim
n
n n
x ( n) z
n
1
Rx1
n
x( n) Rx1 z
收敛半径
z Rx1
Re[z ]
n
(r ) z
r m
n 0
( r m )
z
m
(m 0,
n
z 0)
n
(3) ZT [ (n 1)]
n
(n 1) z
1
1
(m 0, 0 z )
(n 1) z
n 0
z 0 z
(0 z )
1 n 1 x(n) X ( z ) z dz 2j C
围线积分定理（留数定理）：
C
f ( z )dz 2 j Re s
m1
n
f ( z); z zm
n 1
令 f ( z ) X ( z ) z n1
得
x ( n)
1 2 j
Re s [ X ( z ) z
n n
圆内为收敛域， 若 n2 0 则不包括z=0点
j Im[z]
1 z
lim
n
x ( n) z 1 lim n x( n)
n
z
Rx2
收敛半径
Re[z ]
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信号与系统
（4）双边序列：在 n 区间内，有非零 的有限值的序列 x(n)
1 z a
(2) lim
n n
az
1 n
az
1
a z
1 z a
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三、典型序列的Z变换
1.单位样值序列
(1) ZT [ (n)] (n) z n 1 ( z 0)
n 0Βιβλιοθήκη (2) ZT [ (n m)] (n m) z
双边序列
1 n 1 1 X ( z) z z n 3 n 0 3 j Im[z] z 1 z 3 z 1 3 Re[z ] 8 3 z 1 ( z 3)(z 1 3) z 3 3
n
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§8.1 引言
z 变换与拉氏变换相对应。 z 变换
的基本思想、许多性质及其分析方法都 与拉氏变换有相似之处。
当然，z 变换与拉氏变换也存在着
一些重要的差异。
§8.2 Z变换的定义、典型序列的Z变换 §8.3 Z变换的收敛域
一、定义—由拉氏变换引出Z变换
有抽样信号 单边拉氏变换
xs (t ) x(nT ) (t nT )
n1 0 ?
（3）左边序列：只在n n2区间内，有非零的有限值 的序列 x(n) n2
X ( z)
m n
X ( z)
m n2
x(m) z
1
n
x(n) z
n
n n2
m
nm
n n2
x(n) z
Rx2
n
lim n x( n) z n 1
n
C
X ( z) z
的环形区域。
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4）如果 x(n) xi (n)，则其ROC是各个xi (n) 的 ROC的公共区域。若没有公共区域则表明 x(n)
i
的Z变换不存在。
5）当 X ( z ) 是有理函数时，其ROC的边界总是
由 X ( z ) 的极点所在的圆周界定的。
0 0 0
4.余弦序列
j0 n
j0n
0
z e 0 z e z ( z cos0 ) 2 z 2 z cos0 1
0
z sin 0 ZT [sin 0 n] 2 z 2 z cos0 1
5.正弦序列
说明： n 0, z 1
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n 0
C
复变函数中的柯西积分公式：
mn 0 (n m) mn
2 j m 1 m z dz 0 m 1 C
C
X ( z) z
n 1
1 x ( n ) z dz dz 2 j x(n) C
得逆变换
1 n 1 x(n) X ( z ) z dz 2j C
环形区域。
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
级数收敛
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级数收敛的判定：
n
a
n
1）比值判别法
an 1 lim n a n
2）根值判别法
1，收敛 1，发散 1，其他方法
lim n an
§8.4
n 0
逆Z变换
n
X ( z ) x ( n) z
x(n) ?
（1）留数法 （2）幂级数展开法 （3）部分分式法
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一、留数法
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
x(n) ?
z平面上假设有一固定的围线C，它包围原点，上 式两边乘以 z m1 ，然后沿着围线逆时针转一圈积分， 得到：
n 0
令
ze
sT
,其中 z 为一个复变量
则有 X s ( z )
x(nT ) z
n 0
n
单边Z变换
广义上：T=1
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
实质是复变量z-1的幂级数，系数就是序列值。
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*** 从 S 平面到 Z 平面的映射***
(4) constent 0
r
1R
z R( 1)
(5) constent 0