信号与系统 第八章 Z变换及分析

（2）右边序列：只在 n n1 区间内，有非零的有限值 的序列 x(n)
X ( z ) x(n) z
n n1

n
n1 n
j Im[z]
圆外为 收敛域
lim lim
n
n n
x ( n) z
n
1
Rx1
n
x( n) Rx1 z
收敛半径
z Rx1
Re[z ]
的环形区域。
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
4）如果 x(n) xi (n)，则其ROC是各个xi (n) 的 ROC的公共区域。若没有公共区域则表明 x(n)
i
的Z变换不存在。
5）当 X ( z ) 是有理函数时，其ROC的边界总是
由 X ( z ) 的极点所在的圆周界定的。
C
z
m 1
X ( z )dz z
C
m1
x(n) z
n 0

n
dz
C
X ( z) z
m 1
dz x(n) z
n 0 C

n m 1
dz
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统

C
m 1 n m 1 X ( z ) z dz x ( n ) z dz
n n
圆内为收敛域， 若 n2 0 则不包括z=0点
j Im[z]

1 z
lim
n
x ( n) z 1 lim n x( n)
n
z
Rx2
收敛半径
Re[z ]
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
（4）双边序列：在 n 区间内，有非零 的有限值的序列 x(n)
0 0 0
4.余弦序列
j0 n
j0n
0
z e 0 z e z ( z cos0 ) 2 z 2 z cos0 1
0
z sin 0 ZT [sin 0 n] 2 z 2 z cos0 1
5.正弦序列
说明： n 0, z 1
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
第八章
Z变换和离散系统的Z域分析
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
本章内容：
• z变换的基本概念和基本性质 • z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 • 利用z变换解差分方程 • 离散系统的系统函数 • 离散系统的频响特性 • 系统函数零极点分布与系统时域、频域 特性及稳定性的关系
n
z ( ) e
8 1 8 3
j 2 k
收敛域为 z 0 ， 即除了0的整个平面
z1 3e z0 z
1 3
j 2K 8
j Im[z]
8个零点
7阶极点
一阶极点
Re[z ]
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
n
例
1 (4) x(n) 3
1 n
信号与系统
四
几类序列的收敛域
n2
（1）有限长序列：在有限区间内，有非零的有限值 的序列 x(n)
X ( z ) x(n) z
n n1
n
n1 n n2
n1 0, n2 0 收敛域为除了0和
j Im[z]
的整个 z 平面。
0 z
另,思考：
Re[z ]
n1 0, n2 0 n1 0, n2 0
n 0

令
ze
sT
,其中 z 为一个复变量
则有 X s ( z )
x(nT ) z
n 0

n
单边Z变换
广义上：T=1
X ( z ) x ( n) z
n 0

n
实质是复变量z-1的幂级数，系数就是序列值。
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
*** 从 S 平面到 Z 平面的映射***
n 0
C
复变函数中的柯西积分公式：
mn 0 (n m) mn
2 j m 1 m z dz 0 m 1 C
C
X ( z) z
n 1
1 x ( n ) z dz dz 2 j x(n) C
得逆变换
1 n 1 x(n) X ( z ) z dz 2j C
双边序列
1 n 1 1 X ( z) z z n 3 n 0 3 j Im[z] z 1 z 3 z 1 3 Re[z ] 8 3 z 1 ( z 3)(z 1 3) z 3 3

n
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业

n
(r ) z
r m

n 0
( r m )
z
m
(m 0,
n
z 0)
n
(3) ZT [ (n 1)]
n
(n 1) z
1
1
(m 0, 0 z )
(n 1) z
n 0
z 0 z
(0 z )
1 z a
(2) lim
n n
az
1 n
az
1
a z
1 z a
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
三、典型序列的Z变换
1.单位样值序列
(1) ZT [ (n)] (n) z n 1 ( z 0)
n 0
(2) ZT [ (n m)] (n m) z
§8.4
n 0
逆Z变换
n
X ( z ) x ( n) z
x(n) ?
（1）留数法 （2）幂级数展开法 （3）部分分式法
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
一、留数法
X ( z ) x ( n) z
n 0

n
x(n) ?
z平面上假设有一固定的围线C，它包围原点，上 式两边乘以 z m1 ，然后沿着围线逆时针转一圈积分， 得到：
n
C
X ( z) z
1 n 1 x(n) X ( z ) z dz 2j C
围线积分定理（留数定理）：
C

f ( z )dz 2 j Re s
m1
n
f ( z); z zm
n 1
令 f ( z ) X ( z ) z n1
得
x ( n)
1 2 j
Re s [ X ( z ) z
n
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
例：求 x(n) a u(n) 的z变换的收敛域。
n
解： X ( z ) a z
n 0

n n
a n (az ) ( ) n 0 n 0 z
1 n


an 1 a 1 (1) lim az n an z
( z 1)
3.指数序列
1 z ZT [a u(n)] a z 1 1 az z a n 0
n n n

( z a)
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
ZT[cos0n] ZT[(e e ) / 2] z z j n j n ZT [e ] , ZT [e ] j j z e z e z z ZT [cos0 n] ( )/2 j j
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
2.单位阶跃序列
ZT [u(n)] u(n) z
n 0 n
1 z 1 1 z z 1
( z 1)
3.斜变序列
ZT [nu(n)] nz n
n 0
z 1 z 1 2 (1 z ) ( z 1) 2
(4) constent 0
r
1R
z R( 1)
(5) constent 0
z r ( 1)
二. Z变换的收敛域（ROC）：
Z变换存在着收敛的问题。
1. 并非任何信号的Z变换都存在。 2. 并非Z平面上的任何复数都能使 X ( z ) 收敛。Z平 面上那些能使 X ( z ) 收敛的点的集合，就构成了X ( z ) 的ROC。 3. Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的
X ( z)
X ( z)
n 1
x ( n) z
n

n
n

n n x ( n ) z x ( n ) z n 0
j Im[z]
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1 时，有环状收敛域 Rx2 Rx1 时，没有收敛域
Re[z ]
3 1 z 3 1 1 或 1 z 3z 3
n
1 Rx1 3
1 3
Re[z ]
例 (2) x(n)
X ( z) z
n 1 3 n m 1 3 1
1 n 3

u ( n 1)
左边序列
lim (3 z ) 1
n n n
1 n

z
m 1
1 m

1 z Rx2 3 n2 1 0
z0
包括在内。
1 (3 z ) m
m0
Rx2
j Im[z]
1 3
1 1 1 3z 1 z z1 3
圆内为收敛域， 若 n2 0 则不包括z=0点
Hale Waihona Puke Baidu
Re[z ]
有限长 1 例： (3) x(n) [u(n) u(n 8)] 序列 3 n 8 81 1 1 8 1 8 z ( 3) 1 1 1 ( 3 z ) X ( z) z 1 81 1 1 3 1 z z ( z n 0 3 3)
n1 0 ?
（3）左边序列：只在n n2区间内，有非零的有限值 的序列 x(n) n2
X ( z)
m n
X ( z)
m n2
x(m) z
1
n
x(n) z
n
n n2
m
nm

n n2
x(n) z
Rx2

n
lim n x( n) z n 1
1
右边序列 1 例: (1) x(n) u(n) 3 n 1 z 1 n n 1 X ( z) ( ) z 1 n 0 3z 1 1 n 0 3 z 3z 3 1 Rx j Im[z]
§8.1 引言
z 变换与拉氏变换相对应。 z 变换
的基本思想、许多性质及其分析方法都 与拉氏变换有相似之处。
当然，z 变换与拉氏变换也存在着
一些重要的差异。
§8.2 Z变换的定义、典型序列的Z变换 §8.3 Z变换的收敛域
一、定义—由拉氏变换引出Z变换
有抽样信号 单边拉氏变换
xs (t ) x(nT ) (t nT )
1 s ln z T
ze
sT
s j
z e
( j )T
e e
T
jT
ze
j
z e
T
T
(1) 0 s j z eT 1
( 2) 0 s j z 1
j Im[z]
Re[z ]
(3) 0 z 1
n 0

X s ( s)

0
x(nT ) (t nT )e
n 0 0
st
dt
x(nT ) (t nT )e dt
st

x(nT )e
n 0
n 0
snT
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
X s ( s) x(nT )e snT
信号与系统
小结：
1）Z变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存 在Z变换，也不是任何复数Z都能使 X ( z )收敛。 2）仅仅由 X ( z ) 的表达式不能唯一地确定一个信 号，只有X ( z ) 连同相应的ROC一道，才能与信 号 x(n) 建立一一对应的关系。
3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心
环形区域。
X ( z ) x ( n) z
n 0

n
级数收敛
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
级数收敛的判定：
n
a

n

1）比值判别法
an 1 lim n a n
2）根值判别法
1，收敛 1，发散 1，其他方法
lim n an