凑微分法(26)

f x x1dx 1 f x dx
f(
x)
1 x
dx
2
f
(
x )d
0
x 1 dx x
或d(ln x) d (ln x )
f
(1) x
1 x2
dx
f
( 1 )d x
1 x
cos xdx d sin x
f (ex )exdx f (e x )de x
sin xdx d cos x
3 2x
2 3 2x
2
例3
1
dx
a2 x2
1 d x arcsin x C
1 ( x )2 a
公a式!
a
例4
1
a2 x2
1 arctan a
11
dx a2
1
x
a C公式!
x a2
2dx
1 a
1x d
1 ( x )2 a a
例5
a2
1
x2
dx
1 2a
( a
1
x
a
1
udu u2 C sin2 x C
定理 设f (u)及(x)连续,且F u为f u的原函数,则
u x
f x x dx f udu F (x) C
第一类换元积分法(凑微分法)
证 F ( x) F(x) x f x x
注：(1)凑微分法的关键——
将 g( x)dx化为 f [( x)]( x)dx.
20 ( x 3)2
arcsin( x 3) C 20
例7
1
x2
8x
dx 25
1
(
x
4)2
dx 9
1 32
x
3
1 42
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
2020/8/21
微积分--凑微分法
7
(二)被积函数为积的形式, 常用凑微分(第一次积分):
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
d
tan
x
1 sin2
x
dx
csc2
xdx
d
cot
x
1 dx d(arcsin x)
1 x2 1
1 x2 dx d(arctan x)
例8
x dx 1 dx2
2 3x2
2 2 3x2
1 ( 1) d(2 3x2 ) 1 2 3x2 C
2 3 2 3x2
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2020/8/21
微积分--凑微分法
1
复习: F( x)dx F (dxF)(xC) F( x) C
凑微分法求不定积分！
5.3 换元积分法 一、第一换元法（凑微分法）
问题 sin 2xdx cos 2x C, 不能直接用公式, 因
验证 ( cos 2x) sin 2x 2 为sin2x是复合函数.
d(csc x cot x
x)
ln
csc
x
cot
x
C
类似地： sec xdx ln sec x tan x C 公式!
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微积分--凑微分法
12
例16 cos 3x cos 2xdx.
sin mx cos nxdx 积
(一)若 f ( x)dx F( x) C, a 0，则
f (ax b)dx
1 a
f (ax b)d(ax b)
1 a
F (ax b) C
例1 (4x 5)100 dx 1 (4x 5)100 d(4x 5) 4 1 (4x 5)101 C 404
例2 1 dx 1 1 d(3 2x) 1 ln 3 2x C
csc xdx
方法
（一）
1 sin
x
dx
百度文库
2sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1
tan
x
d
tan
x 2
2
ln
tan
x 2
C
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微积分--凑微分法
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csc
方法
xdx （二）
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1 1 cos2 x d(cos x)
x)
1 2
ln
1
2 ln
x
C
例12 e x cos(3e x 1)dx cos(3e x 1)de x
1 cos(3e x 1)d(3e x 1) 1 sin(3e x 1) C
例13 3
3
1
x arctan 1 x2
x
dx
1
x arctan x
( 1
x2
1
x2
1 x2
3
例9
1 x2
e
1
x dx
e
1 x
d
(
1
)
1
e x
C
x
例10
e3 x dx 2
e3
xd
x
x
2 e3 x d(3 x ) 2 e3 x C
3
3
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微积分--凑微分法
9
例11
1 dx x(1 2ln x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d(1 x
2 ln
)dx
arctan
x
1 ln
1
x2
1 (arctan
x)2
C
2
2
(三)三角函数的积分，往往利用三角恒等式变形后
再利用上述方法解决。
例14
tan
xdx
sin cos
x x
dx
d(cos x) cos x
ln | cos x | C 公式! cot xdx ln | sin x | C
例15
正确解法
1
1 令2 xu
(1) sin 2xdx 2 sin 2xd 2x 2 sin udu
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1
1
cos u C cos 2x C
2
2
微积分--凑微分法
2
(2) sin 2xdx 2sin x cos xdx 2sin xd sin x
usin x
2
(2)观察重点不同，所得结果不同——答案不唯一!
步骤：两次积分
g(x)dx= f [( x)]( x)dx
f [( x)]d( x)
u ( x)
f (u)du F(u) C 常省略!
F[( x)] C
引例解(3) sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd cos x cos2 x C.
1 ln 2
1 cos x 1 cos x
C
1 （1 cos x）2
ln 2
1－cos2 x
C
ln 1 cos x C ln csc x cot x C
sin x
方法
csc xdx
csc x(csc x cot x)dx
（三） csc x cot x
csc
1 x cot
x
)dx
1 2a
(
d(a x) a x
d(a x)) a x
1 (ln a x ln a x ) C 1 ln a x C公式!
或
2a 1 x2 a2
dx
1 ln
2a
xa xa
C
2a
a x
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微积分--凑微分法
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例6
1
dx
11 6 x x2
1 d( x 3)