凑微分法(26)
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
一、凑微分法
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
ln | sec x tan x | C.
dx dx 例4. csc xdx x x sin x 2 sin cos 2 2 x x d d (tan ) 2 2 ln | csc x cotx | C. x x x tan cos 2 tan 2 2 2 d (x ) dx 2 ln | sec x tan x | C. cos x sin( x ) x 1 cos x 2 (tan csc x cotx) 2 sin x 例5. x 2 4 3x3 dx
1 x
1 x
1 2 t 原式 t e ( 2 )dt et dt e x C. t
1
定理 :
设f ( x)连续,x (t )及 (t )皆连续,x (t )的反
函数t 1 ( x)存在且连续, 且
f ( (t )) (t )dt F (t ) C ,
g (t )dt
积分公式
带回
x
F ( ( x)) C.
实质上是一种简单换元积分法.
sin x d cos x dx ln | cos x | C. 例2. tan xdx cos x cos x
例3.
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
e
x2
sin x dx , dx , x
微积分凑微分法例题
微积分凑微分法例题微积分是数学中的一门重要分支，它主要研究函数的变化规律。
其中，凑微分法是求微分的常用方法之一。
下面，我们来看几个凑微分法的例题。
例题一：求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 的导数。
解：首先，我们将 f(x) 中的每一项分别求导。
d/dx (x^3) = 3x^2d/dx (2x^2) = 4x然后，我们将两项相加得到 f(x) 的导数。
f '(x) = 3x^2 + 4x例题二：求函数 g(x) = (x^2 + 2x)^3 的导数。
解：我们可以使用凑微分法，将 g(x) 展开后再求导。
g(x) = (x^2 + 2x)^3= (x^2 + 2x) * (x^2 + 2x) * (x^2 + 2x)= (x^4 + 4x^3 + 4x^2) * (x^2 + 2x)= x^6 + 6x^5 + 16x^4 + 16x^3接下来，我们可以将每一项分别求导。
d/dx (x^6) = 6x^5d/dx (6x^5) = 30x^4d/dx (16x^4) = 64x^3d/dx (16x^3) = 48x^2最后，将所有项相加，得到 g(x) 的导数。
g '(x) = 6x^5 + 30x^4 + 64x^3 + 48x^2例题三：求函数 h(x) = (2x + 1)^2 (3x^2 - 1)^3 的导数。
解：我们可以使用凑微分法，将 h(x) 展开后再求导。
h(x) = (2x + 1)^2 (3x^2 - 1)^3= (4x^2 + 4x + 1) * (27x^6 - 27x^4 + 9x^2 - 1) ^3= 108x^14 + 54x^13 - 108x^12 - 54x^11 + 388x^10 - 270x^8 - 388x^6 + 270x^4接下来，我们将每一项分别求导。
d/dx (108x^14) = 1512x^13d/dx (54x^13) = 702x^12d/dx (-108x^12) = -1296x^11d/dx (-54x^11) = -594x^10d/dx (388x^10) = 3880x^9d/dx (-270x^8) = -2160x^7d/dx (-388x^6) = -2328x^5d/dx (270x^4) = 1080x^3最后，将所有项相加，得到 h(x) 的导数。
不定积分的计算(凑微分法)
7.1.2.1 换元积分法
1.第一类换元法（凑微分法） 2.小结、作业
1
利用积分的基本公式和积分法则所能计算的不定积
分是非常有限的。例如: cos 2xdx , 2x 18dx 就不能用积分
的基本公式和积分法则求出，因此，有必要进一步研究 不定积分的求法。本节我们将介绍换元积分法。
如例1，例2，例3可直接写成：
cos
2xdx
1 2
cos
2xd 2x
1 2
sin
2x
C
3
1 5x
dx
1 5
3
1 5x
d
3
5x
1 5
ln
3
5x
C
1
x2
e
1 x
dx
e
1 x
d
1
1
e x
C
x
由以上的例子可知，不定积分的第一类换元积分法 没有一个较统一的方法，但是其中有许多技巧。我们不 但要熟记不定积分的基本公式与性质，还需要掌握一些 常用的凑微分形式，
练习3
求
ln x x
dx.
解：
ln xdx x
ln
xd
(ln
x)
1ln2 xC
2
凑微分等式
1 dx d (ln x ) x
练习4 求 2xe x2 dx .
解：
2xex2 dx= e x2 dx 2 = e x2 + C
凑微分等式
2xdx dx2
练习5 求 tan xdx .
解：
tan
例如：
dx 1 d (ax) 1 d (ax b)
a
a
全微分凑微分法
全微分凑微分法全微分凑微分法是微积分中的一种常见方法，用于求解函数的微分。
它通过将函数表示成不同变量之间的关系，并使用凑微分的方法，将函数的微分表示为各个变量的微分的和，从而简化计算过程。
全微分凑微分法的基本思想是，将函数表示成各个变量之间的关系式，然后对该关系式进行微分。
具体步骤如下：1. 将函数表示成各个变量之间的关系式。
假设有一个函数f(x, y, z)，我们可以将其表示为x、y和z的关系式，如x^2+y^2+z^2=1。
2. 对关系式进行微分。
对上述关系式两边同时求微分，得到2x*dx + 2y*dy + 2z*dz = 0。
3. 将微分表示为各个变量的微分的和。
根据全微分的定义，我们知道dx、dy和dz分别代表x、y和z的微小变化量。
因此，我们可以将上述微分表示为dx = -y*dx/x - z*dz/x，dy = -x*dy/y - z*dz/y，dz = -x*dx/z - y*dy/z。
4. 对微分进行积分。
将上述微分进行积分，就可以得到函数f(x, y, z)的微分形式。
通过对每个变量的微分进行积分，我们可以得到函数在每个变量上的微分。
全微分凑微分法的优点是可以将复杂的函数表示为各个变量的微分的和，从而简化计算过程。
它适用于各种类型的函数，包括多元函数、隐函数和参数方程等。
然而，全微分凑微分法也有一定的局限性。
首先，它要求函数可以表示为各个变量之间的关系式，因此对于一些复杂的函数，可能无法直接应用该方法。
其次，全微分凑微分法在求解过程中需要进行多次积分，可能会增加计算的复杂性。
全微分凑微分法是微积分中一种常见的求解函数微分的方法。
通过将函数表示为各个变量的关系式，并使用凑微分的方法，可以将函数的微分表示为各个变量的微分的和，从而简化计算过程。
然而，该方法也有一定的局限性，需要对函数进行适当的变换和积分，才能得到最终的微分形式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的方法来求解函数的微分。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式不定积分凑微分法是数学中常用的一种函数方法，它是一种“从某种变量微分出别的变量”的求解方法。
不定积分凑微分法公式可以应用于各种函数计算，对研究变量进行深入的分析、控制和模型的构建有很大帮助。
一般情况下，不定积分凑微分法公式主要求解几何型的微分方程。
它把一个方程中的一个变量与另一个变量之间的关系转化成微分方程，并用不定积分凑微分法分析两个变量之间的关系，以求解原方程。
说白了，就是用不定积分凑微分法对微分方程进行求解，以得到原方程的解。
不定积分凑微分法公式的基本形式：int_{x_0}^{x} {f(x}dx=F(x)-F(x_0)其中，f(x)是原方程中某一变量的函数表达式，F(x)是原方程的积分，x_0是不定积分的起始点，x是不定积分的终止点。
除此之外，不定积分凑微分法还可以应用于各种具体的微分方程，比如：1. 一阶微分方程：frac{dy}{dx}=f(x,y)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^{x} {f(xy(x))dx=y(x)-y(x_0)}2. 二阶微分方程：frac{d^2y}{dx^2}+p(x)frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^x{(frac{1}{2}p(xy^2+q(xy+g(x))dx=F(x)-F(x_0)} 以上就是不定积分凑微分法的一般形式和具体公式，它是一种解决微分方程的有效手段。
不定积分凑微分法最大的优点是能够求解一个微分方程，而一个微分方程大多由一系列问题系统所构成，因此，使用不定积分凑微分法可以解决复杂的多变量系统问题。
总之，不定积分凑微分法公式是一种广泛应用的数学方法，它可以应用于多个变量间的关系求解，有效地帮助我们研究和模型某一变量与另一个变量之间的关系，从而有效解决实际函数问题，是一种有效的解决办法。
自学考试高等数学第一类换元法(凑微分法)
1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式
1 a
arctan
x a
C;
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式 1 arctan x C;
a
a
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
1 3
x
3
1 4
2
1
d
x
3
4
1 3
arctan
x
3
4
C
.
完
例 8 求下列不定积分
(1)
1
1 e
x
dx
;
sin 1
(2)
x
x
2
dx
.
解 (1)
1
ex 1 ex
e
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
1
e
x
e
x
dx
dx
算的常用手段之一.
完
例 14 求下列不定积分
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式是一种常用的数学方法，其可以将复杂函数变换为微分形式，从而使得计算过程更加简单，有效地求解复杂问题。
本文结合具体实例，介绍不定积分凑微分法公式，并运用此方法求解复杂函数，以此来认识并理解不定积分凑微分法公式的应用。
首先，让我们来认识不定积分凑微分法公式。
不定积分凑微分法公式（I.F.D.）是一种数学方法，它利用基本定理将一些复杂的函数转换成微分形式，使得计算变得更加简单，能够有效求解一些复杂的问题。
通俗地说，它就是通过记录函数的不同方程参数来求解函数。
此外，它还可以帮助求解积分函数。
具体而言，这就意味着当一个函数被积分时，可以用I.F.D.来简化函数的形式，从而求得函数的极限，即求出函数的精确结果。
下面，让我们来看看不定积分凑微分法公式是如何运用的。
先来看一个例子，假设我们要求解一个复杂函数y = x^3 + 3x^2 + 4x + 5，《不定积分凑微分法公式》可以将它拆解为y = 3x^2 + 6x + 4，于是我们就可以将这个复杂函数转换为微分形式，从而使得计算变得简单。
除此之外，《不定积分凑微分法公式》也可以帮助求解积分函数。
举个例子，假设要求解积分函数y =e^x dx，可以利用不定积分凑微分法公式，从而求解y = e^x + c，而c为常数。
以上就是不定积分凑微分法公式的具体应用，它可以帮助我们将复杂的函数变换为微分形式，更重要的是，它还能帮助求解积分函数，
使计算过程变得更加简单。
总之，不定积分凑微分法公式是一种非常有益的数学方法，它能帮助我们更好地求解复杂的函数，使计算过程变得更加简单，由此也可以更快捷更加准确地求解函数。
《凑微分法》课件
复合函数与幂函数混合积 分
例如，计算积分 $int (x^{2}e^{x})dx$ 时， 可以将 $x^{2}e^{x}$ 视为
$frac{d}{dx}(e^{x}x^{2})$ 的微分，从而得 到 $e^{x}x^{2}$ 的积分结果。
04
凑微分法的注意事项与技巧
凑微分法的注意事项
观察目标函数形式
凑微分法的数学原理
凑微分法的定义
凑微分法是一种通过观察或变形，将复杂的积分表达式转化为容易计算的积分表达式的技巧。其核心 思想是将被积函数进行适当的变形，使其符合某个已知的积分公式的形式，从而简化计算过程。
凑微分法的应用
凑微分法在数学、物理和工程领域中都有广泛的应用。通过凑微分法，我们可以将复杂的积分问题转 化为简单的计算，从而快速得到结果。例如，在求解某些物理问题的过程中，我们经常需要用到凑微 分法来计算某个物理量的变化率或累积值。
三角函数凑微分
例如，计算积分 $int sin{x}dx$ 时， 可以将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而 得到 $-cos{x}$ 的积分结果。
复杂问题的凑微分法实例
多项式与三角函数混合积 分
例如，计算积分 $int (x^{2} + sin{x})dx$ 时，可以将 $x^{2}$ 视为 $frac{d}{dx}(x^{3})$ 的微分，将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而得 到 $frac{3}{2}x^{2} - cos{x}$ 的积分结果 。
微分与积分的互逆关系
微分与积分互为逆运算
微分和积分在数学上是互逆的过程。微分是将函数进行局部线性化，而积分则是 求函数与x轴所夹的面积。由于这两个过程具有相反的特性，因此它们可以相互 转化。
凑微分法文档
凑微分法什么是凑微分法凑微分法（Method of Undetermined Coefficients）是一种常见的微分方程求解方法，特别适用于非齐次线性微分方程。
凑微分法的基本思想是通过猜测一个特解来接近原非齐次方程的解。
这种方法的优点是求解过程相对简单，不需要像变量分离法或常数变易法一样引入任意常数或变量变化。
凭借其简洁的求解过程，凑微分法在得到特解后，可以通过一般解和特解的线性组合求得原方程的通解。
凑微分法的步骤凑微分法的求解步骤如下：1.首先，我们需要根据原方程的形式，猜测一个特解。
特解的形式通常与原方程中的非齐次项相关。
2.将猜测的特解代入原方程，计算出特解的导数、二阶导数等。
3.将特解及其相应导数的表达式带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧。
4.整理右侧的项，得到一个关于未知系数的线性方程。
5.解线性方程得到特解中的未知系数。
6.将特解及一般解的线性组合作为原方程的通解。
凑微分法的示例下面通过一个具体的例子来说明凑微分法的应用。
假设我们要求解非齐次二阶线性微分方程：$$y'' + 3y' + 2y = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$首先我们需要猜测一个特解。
由于原方程右侧包含e−x和$\\sin(2x)$两种函数，我们可以假设特解的形式为$Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)$，其中A、B和C为待定常数。
接下来，我们对特解进行求导，得到：$$y' = -Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) - 2C\\sin(2x)$$$$y'' = Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)$$将特解及其导数带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧，得到：$$(Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)) + 3(-Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) -2C\\sin(2x)) + 2(Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)) = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$ 简化上述方程，整理得到未知系数的线性方程：$$(6A - 2B - 4C)e^{-x} + (3B + 4C)\\sin(2x) - (3A - 2B + 4C)\\cos(2x) = 4e^{-x}+ 5\\sin(2x)$$通过比较左右两侧的系数，我们可以得到未知系数的值：6A−2B−4C=43B+4C=53A−2B+4C=0解上述线性方程组，可以得到A=1，B=1，C=1。
4.2 凑微分法
解: 对照基本积分公式，上式和
1 写成 − 3 d ( − 3 x + 1)
u
相似
就可以使用公式 于是
∫e
u
dx = e
+ C
∫e
−3 x +1
1 −3 x+1 dx = − ∫ e d (−3x + 1) 3
1 − 3 x +1 = − e +C 3
1 （ 3） ∫ 1 + 4 x 2 dx
解: 对照基本积分公式，上式和
= − ln cos x + C
( 2 ) ∫ sin xdx
3
解: :
sin 3 xdx = ∫ sin 2 x ⋅ sin xdx ∫
= −∫ (1 − cos x)d cos x
2
= − ∫ d cos x + ∫ cos2 xd cos x
1 3 = − cos x + cos x + C 3
∫
∫
1 x−4 = ln +C 3 x −1
(2)∫
解: :
1 dx 2 x + 4x + 5
1 1 ∫ x2 + 4x +5dx= ∫1+ (x + 2)2 dx d ( x + 2) =∫ 1 + ( x + 2) 2
= arctan( x + 2) + C
1 （ 3）∫ 1 + e
x
dx
解: :
因为 d (1 + x ) = 2 xdx
1 2 所以 xdx = d (1 + x ) 2
则
∫1+
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学1. 引言1.1 概述在数学教学中，凑微分法在教学中起着至关重要的作用。
通过凑微分法的教学，可以帮助学生更好地理解不定积分的概念和方法，提高他们的解题能力和逻辑思维能力。
凑微分法的应用举例也可以让学生更直观地理解该方法的实际应用，增强学生的学习兴趣和信心。
深入探讨凑微分法在不定积分教学中的应用和意义具有重要的研究价值。
目前，关于凑微分法在不定积分中的教学研究还比较有限，对于该教学方法的优化和改进还有待进一步探讨。
本文将从凑微分法的概念、教学方法、应用举例、优缺点和教学策略等方面展开讨论，旨在为教师和学生提供更多关于不定积分中凑微分法的教学指导和帮助。
1.2 研究意义不限、作者、日期等。
的内容如下：不定积分是高等数学中的重要内容，也是数学分析课程中的难点之一。
在不定积分的学习过程中，凑微分法是一种常用的方法，可以帮助学生更好地理解和掌握积分运算的技巧和方法。
凑微分法可以使学生在解决复杂的不定积分问题时更加得心应手，提高他们的解题效率和准确性。
在教学实践中，深入研究凑微分法的教学策略和方法，可以帮助教师更好地指导学生掌握不定积分的解题技巧，提高教学效果和教学质量。
对凑微分法的研究具有重要的理论和实践意义，有助于推动数学教育的发展和提高学生的数学素养。
1.3 研究现状在国内，各级学校的数学教师们纷纷对凑微分法进行了教学实践，并不断总结经验，提出教学方法，以期提高学生的数学解题能力。
一些教育研究机构也开始重视凑微分法在数学教学中的应用，探讨如何更好地将其融入教学实践中。
这些研究为凑微分法在数学教学中的推广和应用提供了有力支持。
在国外，一些著名大学的数学教授们也对凑微分法进行了深入的研究，提出了许多新颖的观点和解决问题的方法。
他们通过理论探讨和实际运用，进一步完善了凑微分法的理论体系，为不定积分中的解题提供了更多的思路和方法。
凑微分法在不定积分中的研究现状较为活跃，学者们纷纷投身共同探讨如何更好地利用凑微分法解决数学问题，为该领域的发展贡献力量。
常用的凑微分公式记忆口诀
常用的凑微分公式记忆口诀1.引言在高等数学的不定积分章节中，学习了直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法后，我们可以求解出一些简单的不定积分，但对于某些不定积分，如，，等，仍然不能求出。
为了解决这类不定积分问题，我们需借助分部积分法。
定义：设函数与具有连续导数，则：（1）式称为分部积分公式，因为，，所以分部积分公式又可写成。
应用分部积分法时，计算步骤可分解如下：从以上计算步骤中可得，需将转化为。
显然，我们的目标是将求解比较困难的化为求解比较容易的，也即利用分部积分公式往往可以起到化难为易的作用。
反之，则越算越复杂，甚至不能求出。
例如：显然，比更复杂，不能求出积分。
因此，在利用分部积分法时，关键在于恰当选取与，才能有效凑出微分。
在分部积分公式中第一步是凑微分，我们得需将、中相对容易的确定为，即凑成。
因此，选取与要考虑两点：（1）容易求得；（2）比更易求出。
2.凑微分技巧我们将中学所学的基本初等函数归纳起来共有五类，即三角函数、指数函数、幂函数、反三角函数、对数函数（将这五类基本初等函数简记为“三、指、幂、反、对”），求这五类函数综中两类函数合在一起的积分，如：，，，通常情况下利用直接积分法和换元积分法无法求得，需借用分部积分。
因此，涉及到选取与，根据多年的任教经验，总结出了凑微分的口诀，即“三指高、幂居中、反对低，凑高不凑低”，即五类基本初等函数在分部积分中凑微分的优先级别由高到低的顺序分别为三角函数、指数函数、幂函数、反三角函数、对数函数。
下面以具体的实例说明。
3.举例综上所述，在分部积分中凑微分时，只需牢记凑微分口诀“三指高、幂居中、反对低，凑高不凑低”，就能避免解题走弯路，从而问题得以迎刃而解。
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学【摘要】本文介绍了不定积分中常用的“凑微分法”。
在我们对凑微分法进行了介绍，说明了其在教学中的目的与意义。
接着在我们详细解释了什么是凑微分法，如何应用凑微分法，以及通过实例分析展示了凑微分法的具体操作方法。
同时也提出了在使用凑微分法时需要注意的事项，并且探讨了凑微分法的优缺点。
最后在我们对凑微分法进行了总结，展望了未来可能的发展方向，同时得出了教学过程中的一些启示。
通过本文的学习，读者将对凑微分法有更深入的了解，提高数学学习的效率与质量。
【关键词】浅谈不定积分中“凑微分法”的教学，关键词：引言：介绍、目的、意义正文：凑微分法、应用、实例分析、注意事项、优缺点结论：总结、展望、启示1. 引言1.1 介绍不定积分是微积分中一个重要的概念，凑微分法是其中一种解题方法。
凑微分法在解不定积分时常常能够简化问题，使得计算更加高效。
本文将浅谈不定积分中的凑微分法的教学，主要包括凑微分法的基本概念、应用方法、实例分析、注意事项以及优缺点等内容。
在解决不定积分时，凑微分法是一种常见且实用的方法。
通过“凑微分”这一操作，可以将被积函数化简为更容易求解的形式，从而简化计算过程。
凑微分法的应用范围很广，可以帮助我们解决各种类型的不定积分，提高解题效率。
在接下来的内容中，我们将详细介绍什么是凑微分法，如何应用凑微分法来解决不定积分问题，通过实例分析来帮助读者更好地理解凑微分法的实际应用，同时也会提醒大家在使用凑微分法时需要注意的事项，以及凑微分法的优缺点。
通过本文的阅读，希望读者能够对不定积分中的凑微分法有更深入的了解，从而提高解题的效率和准确性。
1.2 目的在教学不定积分中，“凑微分法”是一种常见的解题方法，通过凑微分可以简化复杂的不定积分问题，使求解过程更加简洁和高效。
故本文旨在探讨不定积分中“凑微分法”的教学方法，帮助学生更好地理解和掌握这一解题技巧。
引导学生深入理解凑微分法的概念及其应用场景，通过具体的案例分析教学，引导学生熟练运用凑微分法解决不定积分问题。
高等数学第二节 凑微分法
解
1
a2 x2dx
1 a2[1 (
x)2]dx
a[11(x)2]d(ax)
a
a
例5 求 a2 1x2dx(a0为常 ).数
解
a2 1 x2dx
a2[1
1 (
x)2]dx
1
x
a[1(x)2]d(a)
a
a
1 a
1
1 ( x)2
d(x) a
1arctxanC.
a
a
a
以上两个例子可作式为使公用:
a21x2dxarca xsiC n . a2 1x2dxa 1arca xta C.n
例13 求a2 1x2dx(a0).
解
a2
1
x2
dx
1
(ax)(ax)dx
21a(a (axx ))a ((axx ))dx21a(a 1xa 1x)d x
பைடு நூலகம்
2 1 a a 1 x d ( a x ) 2 1 a a 1 x d ( a x )
1ln |ax|1ln |ax| C1ln|ax|C.
1(x1si2nx)C 22
1x1sin 2xC. 24
例16 求co3sxdx.
解 co3sxdxco2x scoxd sxco2sxdsin x
(1si2n x)dsixn
d sixn si2x n d sixn
sin x1si3nxC. 3
例17 求 si3n xco 2xd sx.
解 si3n xco 2xs dx1 2(si5nxsin x)dx
令 u14x1 4
u3du
1 u4 16
C 1(14x)4C. 16
凑微分方法总结
凑微分方法总结
凑微分法，也被称为第一换元法，是一种在积分学中常用的方法。
以下是其一般步骤和注意事项：
1. 识别不定积分中的复合函数部分，尝试将其拆分成基本初等函数。
2. 观察不定积分中的被积函数，尝试将其表示为其他初等函数的导数。
3. 使用初等函数的积分公式，将不定积分转化为容易计算的积分。
凑微分法常见于以下几种情况：
1. 类型一、类型二、类型三的不定积分，这些类型的不定积分可以归纳成特定的形式，当遇到这些形式的不定积分时，可以考虑使用凑微分法。
2. 类型四，应与类型一进行区分，以避免混淆。
3. 类型五，这种情况下的不定积分只有当k为大于1的整数时才适用。
4. 类型六、类型七、类型八，这三种类型是非常常见的，一般通过对数化简来凑微分。
5. 类型九、类型十和类型十一，分别涉及到三角函数、反三角函数和微分关系式的凑微分法。
对于这些特定类型的不定积分，需要记住相应的凑微分公式才能求解。
在运用凑微分法时，需要注意以下几点：
1. 识别被积函数的形式，判断是否适合使用凑微分法。
2. 对于较为复杂的不定积分，可能需要结合其他积分技巧，如变量代换、部分分式分解等，才能成功应用凑微分法。
3. 在使用凑微分法时，需要注意公式的正确性和适用条件，以免出现错误的结果。
4. 对于一些较为特殊的不定积分，可能需要查找特定的凑微分公式或者使用数值方法进行近似计算。
2019年凑微分法(26).ppt
f(
x)
1 x
dx 2 f ( x )d x
1 1 1 1 f ( ) 2 dx f ( )d x x x x
1 2 dx sec xdx d tan x 2 cos x 1 2 csc xdx d cot x dx 2 sin x
f (e )e dx f (e )de
cos 3 x cos 2 xdx .
1 1 sin x sin 5 x C 2 10
sin mx cos nxdx cos mx cos nxdx sin mx sin nxdx
积 化 和 差
1 [附] cos A cos B [cos( A B ) cos( A B )] 2 1 sin A cos B sin A B sin A B 2
令2 xu 1 1 (1) sin 2 xdx sin 2 xd 2 x sin udu 2 2 1 1 cos u C cos 2 x C 2 2
2019/4/10 微积分--凑微分法 2
正确解法
(2) sin 2 xdx 2sin x cos xdx 2sin xd sin x
x x x
x
sin xdx d cos x
1 1 x2 1 dx d (arctan x ) 2 1 x dx d (arcsin x )
1 dx dx 例8 2 2 2 2 3x 2 3x 2 1 1 d (2 3 x ) 1 2 ( ) 2 3x C 2 3 2 3 2 3x 1 1 1 1 1 x x x 例9 e d ( ) e dx e C x2 x
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1 ln 2
1 cos x 1 cos x
C
1 （1 cos x）2
ln 2
1－cos2 x
C
ln 1 cos x C ln csc x cot x C
sin x
方法
csc xdx
csc x(csc x cot x)dx
（三） csc x cot x
csc
1 x cot
)dx
arctan
x
1 ln
1
x2
1 (arctan
x)2பைடு நூலகம்
C
2
2
(三)三角函数的积分，往往利用三角恒等式变形后
再利用上述方法解决。
例14
tan
xdx
sin cos
x x
dx
d(cos x) cos x
ln | cos x | C 公式! cot xdx ln | sin x | C
例15
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
d
tan
x
1 sin2
x
dx
csc2
xdx
d
cot
x
1 dx d(arcsin x)
1 x2 1
1 x2 dx d(arctan x)
例8
x dx 1 dx2
2 3x2
2 2 3x2
1 ( 1) d(2 3x2 ) 1 2 3x2 C
2 3 2 3x2
(2)观察重点不同，所得结果不同——答案不唯一!
步骤：两次积分
g(x)dx= f [( x)]( x)dx
f [( x)]d( x)
u ( x)
f (u)du F(u) C 常省略!
F[( x)] C
引例解(3) sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd cos x cos2 x C.
(一)若 f ( x)dx F( x) C, a 0，则
f (ax b)dx
1 a
f (ax b)d(ax b)
1 a
F (ax b) C
例1 (4x 5)100 dx 1 (4x 5)100 d(4x 5) 4 1 (4x 5)101 C 404
例2 1 dx 1 1 d(3 2x) 1 ln 3 2x C
正确解法
1
1 令2 xu
(1) sin 2xdx 2 sin 2xd 2x 2 sin udu
2020/8/21
1
1
cos u C cos 2x C
2
2
微积分--凑微分法
2
(2) sin 2xdx 2sin x cos xdx 2sin xd sin x
usin x
2
d(csc x cot x
x)
ln
csc
x
cot
x
C
类似地： sec xdx ln sec x tan x C 公式!
2020/8/21
微积分--凑微分法
12
例16 cos 3x cos 2xdx.
sin mx cos nxdx 积
20 ( x 3)2
arcsin( x 3) C 20
例7
1
x2
8x
dx 25
1
(
x
4)2
dx 9
1 32
x
3
1 42
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
2020/8/21
微积分--凑微分法
7
(二)被积函数为积的形式, 常用凑微分(第一次积分):
x)
1 2
ln
1
2 ln
x
C
例12 e x cos(3e x 1)dx cos(3e x 1)de x
1 cos(3e x 1)d(3e x 1) 1 sin(3e x 1) C
例13 3
3
1
x arctan 1 x2
x
dx
1
x arctan x
( 1
x2
1
x2
1 x2
f x x1dx 1 f x dx
f(
x)
1 x
dx
2
f
(
x )d
0
x 1 dx x
或d(ln x) d (ln x )
f
(1) x
1 x2
dx
f
( 1 )d x
1 x
cos xdx d sin x
f (ex )exdx f (e x )de x
sin xdx d cos x
x
)dx
1 2a
(
d(a x) a x
d(a x)) a x
1 (ln a x ln a x ) C 1 ln a x C公式!
或
2a 1 x2 a2
dx
1 ln
2a
xa xa
C
2a
a x
2020/8/21
微积分--凑微分法
6
例6
1
dx
11 6 x x2
1 d( x 3)
3
例9
1 x2
e
1
x dx
e
1 x
d
(
1
)
1
e x
C
x
例10
e3 x dx 2
e3
xd
x
x
2 e3 x d(3 x ) 2 e3 x C
3
3
2020/8/21
微积分--凑微分法
9
例11
1 dx x(1 2ln x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d(1 x
2 ln
3 2x
2 3 2x
2
例3
1
dx
a2 x2
1 d x arcsin x C
1 ( x )2 a
公a式!
a
例4
1
a2 x2
1 arctan a
11
dx a2
1
x
a C公式!
x a2
2dx
1 a
1x d
1 ( x )2 a a
例5
a2
1
x2
dx
1 2a
( a
1
x
a
1
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2020/8/21
微积分--凑微分法
1
复习: F( x)dx F (dxF)(xC) F( x) C
凑微分法求不定积分！
5.3 换元积分法 一、第一换元法（凑微分法）
问题 sin 2xdx cos 2x C, 不能直接用公式, 因
验证 ( cos 2x) sin 2x 2 为sin2x是复合函数.
csc xdx
方法
（一）
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1
tan
x
d
tan
x 2
2
ln
tan
x 2
C
2020/8/21
微积分--凑微分法
11
csc
方法
xdx （二）
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1 1 cos2 x d(cos x)
udu u2 C sin2 x C
定理 设f (u)及(x)连续,且F u为f u的原函数,则
u x
f x x dx f udu F (x) C
第一类换元积分法(凑微分法)
证 F ( x) F(x) x f x x
注：(1)凑微分法的关键——
将 g( x)dx化为 f [( x)]( x)dx.