【精选】三阶行列式与代数余子式的关系课件
行列式及其性质PPT课件
上三角形行列式
逐次按第一列展开
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
第14页/共32页
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
1 0 2
0 1 2
1 3 2 5
第10页/共32页
下三角形行列式
逐次按第一行展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
1 4 3
按第二行展开 1 (1)21 18 4 4 3
1(18)(3) (4)4 70
第27页/共32页
解答 1、（2）
原式
r2 2r3 1 0 2 0 1 0 13 0
0 2 5 3
3110
102
按第四列展开
3 (1)34 1 0 13 311
2、将代数式还原成 行列式，得
三阶行列式的余子式和代数余子式求法
三阶行列式的余子式和代数余子式求法在学习数学的过程中，三阶行列式就像那种神秘的调料，放进去之后，菜肴的风味瞬间提升。
不知道你有没有这种感觉，行列式看起来挺复杂的，但实际上就像一块拼图，只要把各个部分组合好，嘿，竟然就能找到答案。
今天咱们就来聊聊三阶行列式的余子式和代数余子式。
这个话题一听就觉得很严肃，但咱们轻松点，慢慢聊，没事儿，咱们不急。
余子式是个什么东西呢？想象一下，你在餐厅点了一道菜，菜上来了，你发现其中有一样东西不喜欢。
你想把那样东西去掉，但这道菜的其他部分依然要保留。
余子式就是这样一个小家伙。
简单来说，三阶行列式的余子式，就是在行列式中去掉某一行和某一列之后，剩下的部分的行列式。
就好比说，你把那个不喜欢的菜去掉，剩下的那些美味的食材，经过处理之后，再给它们算一算，看看还剩多少美味。
再说说代数余子式。
这个东西比余子式多了个“代数”二字，看起来有点复杂，但其实就是在余子式的基础上，加了点小花样。
代数余子式的概念有点像调味品的使用，虽然是同一种材料，但用法不同，味道也就不同。
代数余子式的计算是在余子式的基础上，还要考虑行列式的符号问题。
你可以把它想成是加了辣椒油的饺子，虽然饺子是饺子，但加了油之后，嘿，味道就是不一样。
它的计算公式是根据位置来决定的，行列式的元素位置决定了符号，偶数位置是加，奇数位置是减，简单明了。
现在，我们来看看三阶行列式的余子式和代数余子式怎么计算。
咱们先来个三阶行列式的简单例子，设有一个行列式 A，如下所示：A = begin{vmatrixa_{11 & a_{12 & a_{13 。
a_{21 & a_{22 & a_{23 。
a_{31 & a_{32 & a_{33。
end{vmatrix好，现在如果我们想要找第一行第一列的余子式，咱们就要把第一行和第一列去掉。
剩下的就是这个部分：M_{11 = begin{vmatrix。
线性代数PPT行列式
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
线性代数二阶三阶行列式PPT讲稿
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
四、行列式的计算
1、将行列式化成三角行列式计算 例１ 计算行列式
1 5 3 3 2 0 1 1 D 3 1 1 2 5 1 3 4
a2 j
a2 j
an1 (ani kanj ) anj anj
利用行列式的上述性质，往往可以使 行列式的计算简化，但我们知道阶数越低 的行列式越容易计算。比如二阶行列式比 三阶行列式要容易计算得多。因此，我们 自然地提出，能否把行列式转化为一些阶 数较低的行列式来计算？为此先给出余子 式和代数余子式的概念。
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行
列式不变．
a11 a1i a1 j a1n
例如
a21 a2i k a2 j a2 j
an1 ani anj anj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ri
krj
a21
(a2i ka2 j )
解
1 5 3 3
1 5 3 3
2 D
3
0 1 1 0 r2 2r1 10 5 5
数学：9.4《三阶行列式》课件
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33
a11 a12 b1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a22 b2 . a x a x a x b ; a31 a32 b3 31 1 32 2 33 3 3
2 1 1
3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1 1 1
三阶行列式
三阶行列式
定义
设有9个数排成 3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)
记 a11
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
若记
或
b1 b2 b 1
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 b2 b3 b1 D1 b2 b3 a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
第三章 行列式 第四节 子式和代数余子式 行列式的依行依列展开课件
n 1
但 1 x a1 x a1 ,所以
n x a1 x
n
an .
例6 计算行列式
1 a1 Dn a12 1 a2 2 a2 1 an 2 an
作业
P88-89
3，4，5
an1 an 2
an1 an 2
an1 an 2
在这n个行列式的每一个中，除了第i行外，其余 的行都与D的相应行相同. 因此，每一行列式的 第i行的元素的代数余子式与D的第i行的对应元 素的代数余子式相同. 这样，由定理3.4.1，
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain (i 1,2,, n)
a 21 a31 a 41
中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于 这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式
a 21 a 24 M . a31 a34
定义2
n (n>1)阶行列式
a11 D ai1 an1 a1 j aij anj a1n ain ann
的某一元素 a ij 的余子式 M ij 指的是在D中划去 a ij 所在行和列后所余下的n－1阶子式. 例2 例1的四阶行列式的元素 a 23 的余子式是
D1 ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn , ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0. 因而
例4 计算四阶行列式 3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3 在这个行列式里，第三行已有一个元素是零，由 第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四 列上，得：
三阶行列式PPT教学课件
三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
二、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a11 a12 a13
4 6 32 4 8 24 14.
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 0 解得 x 2 或 x 3.
例4 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
济发达和新兴的工业区。
东亚的经济差异
差异
东 日本,韩国,台湾和 部 香港地区及我国的 沿 东部沿海为经济发 海 达和新兴工业区
原因
气候温暖,平原较广,耕地也多, 人口稠密,有发展农业的悠久历 史。沿海地带又有优良港口,发 展工农业、交通、科学技术和 对外贸易的条件优越
西 畜牧业和畜产品加
部 工业在经济中点重 内 要地位,矿产资源 陆 也在开发利用之中
三阶行列式代数余子式
三阶行列式代数余子式行列式，哎呀，听起来是不是有点高深？别担心，今天咱们聊聊三阶行列式和代数余子式，保证让你听了不想打瞌睡。
你知道吗？三阶行列式就像一个调皮的小孩子，虽然不大，但它的玩法可多了。
先来个简单的介绍。
三阶行列式就是一个三行三列的方阵，想象一下，这个方阵就像是一个小广场，广场上有三个摊位，分别卖着不同的东西。
行列式的值就像这个广场的热闹程度，越热闹，值就越大。
说到代数余子式，这个名字听起来是不是有点唬人？其实啊，它的意思很简单。
代数余子式就是在某一行某一列去掉之后，剩下的行列式。
就像你去逛一个朋友的派对，结果发现那个朋友没在了，你只能看看其他人玩得怎么样。
去掉一个元素之后，剩下的部分依然有趣。
这玩意儿怎么计算呢？简单得很，先把你要去掉的那一行和那一列删掉，然后算剩下的行列式。
其实就像拿掉一个蘑菇，看看剩下的比萨到底好不好吃。
现在来点实际的例子，让我们动手实践一下。
假设你有一个三阶行列式，里面的元素都是一些数字，比如说，1、2、3、4、5、6、7、8、9。
咱们可以把它写成这样：begin{vmatrix1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix好吧，这个行列式看起来可能有点复杂，但没关系，咱们一步一步来。
我们可以用一种叫做“展开”的方法来计算。
你可以选择任何一行或者一列，咱们就挑第一行来试试。
那第一行的每一个元素，乘上它的代数余子式，然后再加起来。
这就像你在市场上买菜，首先得选个摊位，然后再看每样菜的价格。
选了第一行，咱们开始计算。
第一个元素1的代数余子式，就是去掉第一行和第一列，剩下的行列式。
也就是：begin{vmatrix5 & 68 & 9end{vmatrix计算这个小行列式，你就会发现它的值是 (5 times 9 6 times 8)，也就是45减去48，结果是3。
接下来是2，计算它的代数余子式：begin{vmatrix4 & 67 & 9end{vmatrix这个计算下来就是 (4 times 9 6 times 7)，结果是36减去42，结果是6。
3阶行列式中元素a23的代数余子式a23
3阶行列式中元素a23的代数余子式a23《深度剖析3阶行列式中元素a23的代数余子式a23》一、引言在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它在矩阵运算、线性方程组求解等领域都起着至关重要的作用。
代数余子式作为行列式中的一个概念，对于深入理解行列式的性质和计算具有重要意义。
本文将围绕3阶行列式中元素a23的代数余子式a23展开全面的讨论与分析，帮助读者更深入地理解这一概念。
二、代数余子式的定义代数余子式是行列式中每个元素对应的代数余子式，它的计算方法是将对应元素所在的行和列划去后，剩下的元素构成的新行列式再乘以(-1)的次方。
对于3阶行列式来说，元素a23所对应的代数余子式a23的计算方法如下：M23 = (-1)^(2+3) * (a11 * a32 - a12 * a31)其中，(-1)^(2+3)是元素a23所在的行和列之和，a11 * a32 - a12 * a31是剩下的元素构成的新行列式。
三、代数余子式的应用在实际运用中，代数余子式可以帮助我们计算行列式的值，尤其是在高阶行列式的计算过程中，代数余子式的计算能够简化整个过程，减少出错的可能性。
代数余子式还可以帮助我们理解行列式的性质，通过对每个元素的代数余子式进行分析，我们能够更深入地理解行列式的结构和性质。
四、代数余子式的思考对于3阶行列式中元素a23的代数余子式a23，我们可以深入思考其几何意义和代数意义。
在几何意义上，代数余子式可以帮助我们理解行列式所代表的是一个什么样的几何概念，以及行列式的值与几何对象之间的关系。
在代数意义上，代数余子式的计算方法和应用可以帮助我们理解矩阵运算和线性方程组求解的思路和方法。
五、总结回顾通过本文的讨论与分析，我们对3阶行列式中元素a23的代数余子式a23有了更深入的理解。
代数余子式作为行列式中的重要概念，在矩阵运算、线性方程组求解等领域都有着重要的应用价值。
在今后的学习和工作中，我们可以根据代数余子式的性质和计算方法，更加灵活地运用它们，解决实际的问题。
行列式和余子式关系
行列式和余子式关系行列式是线性代数中的一个重要概念，它与线性方程组的解、向量的线性无关性、矩阵的秩等很多问题都有着紧密的联系。
而余子式和伴随矩阵则是行列式的一种重要推论和应用。
1. 行列式的定义和基本性质行列式可以看做是一个正方形矩阵所构成的向量空间的一个映射，它将这个向量空间中的每个向量映射到一个标量上。
行列式的定义用到了代数余子式的概念，它由矩阵中每个元素的代数余子式所组成。
行列式具有以下基本性质：（1）行列式与它的转置矩阵的值相等。
（2）交换矩阵的两行（列），行列式的值变号。
（3）如果矩阵的两行（列）成比例，则行列式的值为0。
（4）对于任意的矩阵，将其中某一行（列）乘以一个常数k，行列式的值也相应地乘以k。
2. 余子式的定义和性质对于一个nxn的矩阵A，将其任意一个元素a[i,j]划去所得到的n-1阶矩阵的行列式称为a[i,j]的代数余子式M[i,j]，即M[i,j]=(-1)^(i+j)Det(A[i,j])。
其中A[i,j]是将a[i,j]元素所在的第i行和第j列除去后的矩阵。
余子式具有以下基本性质：（1）如果i+j为偶数，则M[i,j]等于它所在子矩阵的行列式值；（2）如果i+j为奇数，则M[i,j]的值等于它所在子矩阵的行列式值的相反数。
3. 行列式与余子式的关系在原矩阵中，将第i行和第j列的元素都去掉，得到的n-1阶矩阵就是代数余子式M[i,j]所对应的子矩阵。
根据行列式的定义，可以知道，行列式的值等于该矩阵中每个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：Det(A) = ∑_(i=1)^n a[1,i]M[1,i]即行列式的值可以表示成其中任意一行或一列的元素与该行或该列的代数余子式的乘积之和。
4. 伴随矩阵的定义和性质伴随矩阵是一个n阶矩阵，它的元素是原矩阵中所有元素的代数余子式所组成的矩阵的转置矩阵。
伴随矩阵与原矩阵的乘积等于原矩阵的行列式乘以一个单位矩阵，即Det(A)I=A*adj(A)。
行列式和余子式关系
行列式和余子式关系行列式和余子式是线性代数中的重要概念，它们之间有着密切的关系。
在本文中，我们将介绍行列式和余子式的定义以及它们之间的关系。
首先，行列式是一个数值，它可以用来描述一个矩阵的某些性质。
一个n阶方阵A的行列式记作det(A)，它的值可以通过一种称为“按行展开”的方法计算出来。
具体来说，我们可以选择矩阵的任意一行或一列，将它们的元素和对应的余子式相乘，然后再求和得到行列式的值。
例如，对于一个3阶矩阵A，我们可以按第一行展开，得到以下公式：det(A) = a11 * det(A11) - a12 * det(A12) + a13 * det(A13) 其中，A11、A12、A13分别是矩阵A去掉第一行和第一列后得到的3个2阶矩阵，det(A11)、det(A12)、det(A13)分别是它们的行列式。
可以证明，行列式的值不受选择行或列的影响，即无论我们按哪一行或列展开，最终得到的值都是相同的。
接着，我们来介绍余子式的概念。
对于一个n阶方阵A，它的余子式记作Aij，表示去掉第i行和第j列后得到的n-1阶子矩阵的行列式。
例如，对于一个3阶矩阵A，余子式A11表示去掉第一行和第一列后得到的2阶矩阵的行列式。
余子式和行列式之间有一个重要的性质，即对于任意的i和j，有以下公式成立：Aij = (-1)^(i+j) * det(Mij)其中，Mij表示去掉第i行和第j列后得到的n-1阶子矩阵，(-1)^(i+j)表示(i+j)的奇偶性，当(i+j)为奇数时为-1，为偶数时为1。
通过这个公式，我们可以用余子式来求行列式的值，也可以用行列式来求余子式的值。
总之，行列式和余子式是线性代数中非常重要的概念，它们之间有着密切的关系。
理解它们的定义和关系，对于学习矩阵计算和解线性方程组等问题都有很大的帮助。
行列式代数余子式
行列式代数余子式
行列式代数余子式
在代数学中，代数余子式，简称余子式，是一种表达多元函数局部属性的方法。
它是对某个变量的各位的偏导数的表示形式，其中行列表示各变量的偏导数之间的关系。
代数余子式可以用于一个N阶方阵的行列式中的每一个元素的计算，即余子式
的计算公式为:必须知道行列式的元素以及它们之间的关系才能够获得余子式中的
系数，从而计算出行列式中的每一个元素，根据其定义来说，它是对某个变量的各位的偏导数的表示形式，其中行列表示各变量的偏导数之间的关系。
使用代数余子式，我们可以计算一个行列式中任意元素的值。
例如，一个30
阶行列式，我们可以将某个元素涂黑，并计算该余子式（即只有涂黑元素位置处的元素）的值，从而得到行列式中该元素的值。
在模型参数和数据分析中，代数余子式也非常有用。
它常用来计算多元函数的
局部属性，比如给定一个函数f(x,y,z)...，它的偏导数可以表示为一个三维矩阵，每行表示每个变量的偏导数，利用代数余子式可以简单地计算出这个矩阵的值。
总的来说，代数余子式是一种简单实用的方法，可以用来计算行列式中的任意
元素的值，或者用来计算多元函数的局部属性。
它被广泛应用于计算机科学中的微积分，以及统计学、数据分析等数学领域。
【精选】三阶行列式与代数余子式的关系课件
14
(1)
2 3 (2) 4 5
1
2 0 5 1
1 3 3 2
2
(3)
0 2 0 1 4 1 8 1
2 0 3
1 1 2
3 4 5
a
b a 0
0 b b
(4) 0
a
2.设
D
请分别按第1行和第3列展开该行列式,并比较哪一 种计算简单些,最后按简单的方式算出其值.
a b c d
(1.1.2)
为了便于表示上式,我们引入记号
规定:
a c b ad bc d
,
(1.1.3)
并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排 的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的 线称为主对角线 . 每一个数均称为一个元素 . 如 (1.1.3) 中有四个元素 , 排为两行两列 , 分别称为 第一行、第二行和第一列、第二列 , 而主对角线 上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义 式.
称其为方程组(1.1.1)
的系数行列式 注1:从以上易见,行列式 D1恰好是将系数行 列式 D 中的两个 x1 的系数分别换为常数项后得 到的行列式,而D2 恰好是将系数行列式 D 中的两 个 x2 的系数分别换成常数项后所得到的行列式 .
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
4
例1解方程组
2 x 3 y 1 4x 5 y 6
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
3
1 3 例如 4 2 1 (2) 3 4 14
于是(1.1.2)式便可以表示为:
b1 a12 b2 a22 x1 , x2 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a a a a 0 其中 11 22 12 21 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
第二讲 代数余子式、n阶行列式
二阶与三阶行列式的关系
a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 .
a 1 1 ( 1)
11
a 22 a 32
a 23 a 33
1 2
1
n n 1 2
1 2 n .
n
12
3).上三角行列式
a 11 0 a 12 a 22 a1n a 2n
0 0 a nn
a 11 a 22 a nn .
4).下三角行列式
a 11 a 21 a n1 a 22 an2 a nn
所在的第 i 行和
第 j 列划去后， 余下的 n－1 阶行列式叫做元素 的 余子式, 记为 。 为元素 的代数余子式。 称
例如：
5
再如
注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和 一个 代数余子式。
6
二、n 阶行列式的定义
当
当
时，一阶行列式
a11 a11 .
为大于1的整数时， 阶矩阵的行列式定义为
a 11 a 22 a nn .
13
小结：
1、余子式、代数余子式的定义、特点. 2、行列式的定义：行列式是一种特定的算式， 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一 次方程组的需要而定义的. 3、n 阶行列式共有 n ! 项，每项都是位于不同行、 n 不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标决定. 4、几种特殊行列式.
第一章
第二讲
行列式
一、代数余子式 二、n 阶行列式
1
二阶行列式 三阶行列式
行列式(4)
定理(展开定理) 行列式D等于它的任意 一行（列）的各元素与其对应的代数余子 式的乘积之和.
可以根据行列式的特点，利用行列
式性质5把某行（列）化成只含一个非零元
素，然后按该行（列）展开。处理的过程中
尽量选取含0比较多的行(或列)或比较好处 理的行(或列) 。展开一次，行列式降低一 阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效。 (降阶法)
注：
化为三阶行列式之后，可以用对角线法 则，或运用行列式的性质化为三角行列式， 也可以再次运用展开式定理把三阶行列式降 阶为二阶行列式再计算。
解法2： (先利用行列式的性质把某行或某列化为 只含一个非0元素后再用展开式定理)处理第三行得
3 1 1 2 5 1 1 1 5 1 3 4 c1 2 c3 11 1 3 1 D . 2 0 1 1 c4 c3 0 0 1 0 1 5 3 3 5 5 3 0
(1)
1 ( n1)( n 2 ) 2
a11a2na3,n1 an2 (1)
a1na2,n1a3,n 2 an1
例
计算 n(n 2) 阶范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 a1 1 a2
2 a2 n2 a2 n 1 a2
1 a3
2 a3
1
1 an
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j .
证: 把行列式D= |aij |按第j行展开，有
a11 ai1 a j 1 A j 1 a jn A jn a j1 a n1 a1 n a in , a jn
例如
D
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
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称其为方程组(1.1.1)
的系数行列式 注1:从以上易见,行列式 D1恰好是将系数行 列式 D 中的两个 x1 的系数分别换为常数项后得 到的行列式,而D2 恰好是将系数行列式 D 中的两 个 x2 的系数分别换成常数项后所得到的行列式 .
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
4
例1解方程组
2 x 3 y 1 4x 5 y 6
a b c d
(1.1.2)
为了便于表示上式,我们引入记号
规定:
a c b ad bc d
,
(1.1.3)
并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排 的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的 线称为主对角线 . 每一个数均称为一个元素 . 如 (1.1.3) 中有四个元素 , 排为两行两列 , 分别称为 第一行、第二行和第一列、第二列 , 而主对角线 上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义 式.
2. 行列式与代数余子式的关系 (1). 二阶行列式与代数余子式的关系
a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21
a11 (1)11 M11 a12 (1)12 M12
a11 A11 a12 A12
同理可推出
a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21 a21 A21 a22 A22 a11 A11 a21 A21 a12 A12 a22 A22
称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行, 纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右 下角的线称为主对角线. 仿照前面,利用三阶行列式的概念 ,记方程组 (8.1.6)的系数行列式为 D ,然后将 D 中的第一、 b3 后便得到 二、三列元素分别换为常数项 b1 、b2 、 D2 和 D3 , 于是方程组 (8.1.6) 的解可表 行列式 D1 、 示为 : D1 D2 D3
0 1 D1 1 4 2 3
1
2 0
1
2 1 0 2 3 1 21 4
5 13, D2 3 1 5 47, D3 3 2 1 4 2 1
于是,该方程组的解为
x1 13 , 28 x2 47 , 28 x3 21 28
7
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
x1 D , x2 D , x3 D
6
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
例2 解方程组
2 x1 x 2 x 3 0 3 x1 2 x 2 5 x 3 1 x 3x 2x 4 2 3 1
解
2 1 D 3 1 2 3
系数行列式
1 5 8 5 9 2 6 30 28 0 2
第九章
矩
阵
§ 8.1 行列式的定义 § 9.1 矩阵的概念 §9.1 矩阵的概念
§ 9.2行列式的性质 矩阵的运算 § 8.2 § 9.2 矩阵的运算 § 9.3 矩阵的逆 § 9.3 矩阵的逆 §8.3 行列式的计算 § 9.4 矩阵的秩 §9.4 矩阵的秩
§8.4 克莱姆法则
第八章 线 性 代 数 部 分 行列式
n 二、阶行列式定义
1.余子式与代数余子式 在一个行列式中,称去掉某个元素 aij所在的行 和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素 aij i j M 1 M ij 称为元素 aij 的 的余子式,记作 ij ,而 i j A A 1 M ij 代数余子式,记作 ij ,即 ij
(1.1.1)
它可以通过加减消元法求解得
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
2
b1a22 b2a12 x 1 a11a22 a12a21 b a ba x2 2 11 1 12 a11a22 a12a21
(当a11a22 a12a21 0时)
1 3 2 7 4 6 0
如在行列式
5 8
中
21
元素5的代数余子式为 A21 1
M 21 M 21
3 4 28 7 0
元素-4的代数余子式为 A13 1
线 性 代 数 部 分 第八章
1 3
5 2 M13 M13 51 8 7
8
行列式
1
§8.1
行列式的定义
本节首先由二元与三元一次线性方程组 引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给 出一般 n 阶行列式定义. 一、二阶与三阶行列式 1.二阶行列式 在初等数学中,大家都学过二元一次线性方 程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
解 又
易见系数行列式
2 3 D 10 12 22 0 4 5 1 3 2 1 D1 5 18 13, D2 12 4 16 6 5 4 6
13 16 8
于是其解为 x1 22 , x2 22 11 2.三阶行列式 对于三元一次线性方程组
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
3
1 3 例如 4 2 1 (2) 3 4 14
于是(1.1.2)式便可以表示为:
b1 a12 b2 a22 x1 , x2 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a a a a 0 其中 11 22 12 21 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
51 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a21a32 a13 a13 a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11 a31 a32 a33 (8.1.7)