【精选】三阶行列式与代数余子式的关系课件
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1 3 2 7 4 6 0
如在行列式
5 8
中
21
元素5的代数余子式为 A21 1
M 21 M 21
3 4 28 7 0
元素-4的代数余子式为 A13 1
线 性 代 数 部 分 第八章
1 3
5 2 M13 M13 51 8 7
8
行列式
第九章
矩
阵
§ 8.1 行列式的定义 § 9.1 矩阵的概念 §9.1 矩阵的概念
§ 9.2行列式的性质 矩阵的运算 § 8.2 § 9.2 矩阵的运算 § 9.3 矩阵的逆 § 9.3 矩阵的逆 §8.3 行列式的计算 § 9.4 矩阵的秩 §9.4 矩阵的秩
§8.4 克莱姆法则
第八章 线 性 代 数 部 分 行列式
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
5
类似地,为了表示其解,我们引入记号并定义
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a21a32 a13 a13 a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11 a31 a32 a33 (8.1.7)
x1 D , x2 D , x3 D
6
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
例2 解方程组
2 x1 x 2 x 3 0 3 x1 2 x 2 5 x 3 1 x 3x 2x 4 2 3 1
解
2 1 D 3 1 2 3
百度文库
系数行列式
1 5 8 5 9 2 6 30 28 0 2
称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行, 纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右 下角的线称为主对角线. 仿照前面,利用三阶行列式的概念 ,记方程组 (8.1.6)的系数行列式为 D ,然后将 D 中的第一、 b3 后便得到 二、三列元素分别换为常数项 b1 、b2 、 D2 和 D3 , 于是方程组 (8.1.6) 的解可表 行列式 D1 、 示为 : D1 D2 D3
(1.1.1)
它可以通过加减消元法求解得
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
2
b1a22 b2a12 x 1 a11a22 a12a21 b a ba x2 2 11 1 12 a11a22 a12a21
(当a11a22 a12a21 0时)
1
§8.1
行列式的定义
本节首先由二元与三元一次线性方程组 引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给 出一般 n 阶行列式定义. 一、二阶与三阶行列式 1.二阶行列式 在初等数学中,大家都学过二元一次线性方 程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
3
1 3 例如 4 2 1 (2) 3 4 14
于是(1.1.2)式便可以表示为:
b1 a12 b2 a22 x1 , x2 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a a a a 0 其中 11 22 12 21 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
a b c d
(1.1.2)
为了便于表示上式,我们引入记号
规定:
a c b ad bc d
,
(1.1.3)
并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排 的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的 线称为主对角线 . 每一个数均称为一个元素 . 如 (1.1.3) 中有四个元素 , 排为两行两列 , 分别称为 第一行、第二行和第一列、第二列 , 而主对角线 上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义 式.
称其为方程组(1.1.1)
的系数行列式 注1:从以上易见,行列式 D1恰好是将系数行 列式 D 中的两个 x1 的系数分别换为常数项后得 到的行列式,而D2 恰好是将系数行列式 D 中的两 个 x2 的系数分别换成常数项后所得到的行列式 .
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
4
例1解方程组
2 x 3 y 1 4x 5 y 6
2. 行列式与代数余子式的关系 (1). 二阶行列式与代数余子式的关系
a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21
a11 (1)11 M11 a12 (1)12 M12
a11 A11 a12 A12
同理可推出
a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21 a21 A21 a22 A22 a11 A11 a21 A21 a12 A12 a22 A22
0 1 D1 1 4 2 3
1
2 0
1
2 1 0 2 3 1 21 4
5 13, D2 3 1 5 47, D3 3 2 1 4 2 1
于是,该方程组的解为
x1 13 , 28 x2 47 , 28 x3 21 28
7
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
n 二、阶行列式定义
1.余子式与代数余子式 在一个行列式中,称去掉某个元素 aij所在的行 和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素 aij i j M 1 M ij 称为元素 aij 的 的余子式,记作 ij ,而 i j A A 1 M ij 代数余子式,记作 ij ,即 ij
解 又
易见系数行列式
2 3 D 10 12 22 0 4 5 1 3 2 1 D1 5 18 13, D2 12 4 16 6 5 4 6
13 16 8
于是其解为 x1 22 , x2 22 11 2.三阶行列式 对于三元一次线性方程组
如在行列式
5 8
中
21
元素5的代数余子式为 A21 1
M 21 M 21
3 4 28 7 0
元素-4的代数余子式为 A13 1
线 性 代 数 部 分 第八章
1 3
5 2 M13 M13 51 8 7
8
行列式
第九章
矩
阵
§ 8.1 行列式的定义 § 9.1 矩阵的概念 §9.1 矩阵的概念
§ 9.2行列式的性质 矩阵的运算 § 8.2 § 9.2 矩阵的运算 § 9.3 矩阵的逆 § 9.3 矩阵的逆 §8.3 行列式的计算 § 9.4 矩阵的秩 §9.4 矩阵的秩
§8.4 克莱姆法则
第八章 线 性 代 数 部 分 行列式
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
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类似地,为了表示其解,我们引入记号并定义
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a21a32 a13 a13 a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11 a31 a32 a33 (8.1.7)
x1 D , x2 D , x3 D
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线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
例2 解方程组
2 x1 x 2 x 3 0 3 x1 2 x 2 5 x 3 1 x 3x 2x 4 2 3 1
解
2 1 D 3 1 2 3
百度文库
系数行列式
1 5 8 5 9 2 6 30 28 0 2
称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行, 纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右 下角的线称为主对角线. 仿照前面,利用三阶行列式的概念 ,记方程组 (8.1.6)的系数行列式为 D ,然后将 D 中的第一、 b3 后便得到 二、三列元素分别换为常数项 b1 、b2 、 D2 和 D3 , 于是方程组 (8.1.6) 的解可表 行列式 D1 、 示为 : D1 D2 D3
(1.1.1)
它可以通过加减消元法求解得
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
2
b1a22 b2a12 x 1 a11a22 a12a21 b a ba x2 2 11 1 12 a11a22 a12a21
(当a11a22 a12a21 0时)
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§8.1
行列式的定义
本节首先由二元与三元一次线性方程组 引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给 出一般 n 阶行列式定义. 一、二阶与三阶行列式 1.二阶行列式 在初等数学中,大家都学过二元一次线性方 程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
3
1 3 例如 4 2 1 (2) 3 4 14
于是(1.1.2)式便可以表示为:
b1 a12 b2 a22 x1 , x2 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a a a a 0 其中 11 22 12 21 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
a b c d
(1.1.2)
为了便于表示上式,我们引入记号
规定:
a c b ad bc d
,
(1.1.3)
并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排 的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的 线称为主对角线 . 每一个数均称为一个元素 . 如 (1.1.3) 中有四个元素 , 排为两行两列 , 分别称为 第一行、第二行和第一列、第二列 , 而主对角线 上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义 式.
称其为方程组(1.1.1)
的系数行列式 注1:从以上易见,行列式 D1恰好是将系数行 列式 D 中的两个 x1 的系数分别换为常数项后得 到的行列式,而D2 恰好是将系数行列式 D 中的两 个 x2 的系数分别换成常数项后所得到的行列式 .
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
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例1解方程组
2 x 3 y 1 4x 5 y 6
2. 行列式与代数余子式的关系 (1). 二阶行列式与代数余子式的关系
a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21
a11 (1)11 M11 a12 (1)12 M12
a11 A11 a12 A12
同理可推出
a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21 a21 A21 a22 A22 a11 A11 a21 A21 a12 A12 a22 A22
0 1 D1 1 4 2 3
1
2 0
1
2 1 0 2 3 1 21 4
5 13, D2 3 1 5 47, D3 3 2 1 4 2 1
于是,该方程组的解为
x1 13 , 28 x2 47 , 28 x3 21 28
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线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
n 二、阶行列式定义
1.余子式与代数余子式 在一个行列式中,称去掉某个元素 aij所在的行 和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素 aij i j M 1 M ij 称为元素 aij 的 的余子式,记作 ij ,而 i j A A 1 M ij 代数余子式,记作 ij ,即 ij
解 又
易见系数行列式
2 3 D 10 12 22 0 4 5 1 3 2 1 D1 5 18 13, D2 12 4 16 6 5 4 6
13 16 8
于是其解为 x1 22 , x2 22 11 2.三阶行列式 对于三元一次线性方程组