第五章相似矩阵
线性代数第五章 相似矩阵
第五章 相似矩阵§1 特征值与特征向量特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。
定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足：(1)AX X λ=。
则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。
例如矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取11= 0X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20=1X ⎛⎫⎪⎝⎭，则有 11=1AX X ⋅，22=0AX X ⋅，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征向量。
（1）式又可以写成 ()0(2)E A X λ-=。
即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有||0 (3)E A λ-=。
（3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。
||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。
对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。
例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。
证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。
两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。
又 2A E =，所以2(1)0X λ-=。
由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。
例2：求矩阵110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量。
解：因 2110||430(2)(1)102E A λλλλλλ+--=-=----。
所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
当2λ=时，310100410010100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，1001η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
故属于2λ=的特征向量为11(0)k k η≠。
当 1λ=时，210101420012101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，2121η-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。
第五章 相似矩阵及二次型
第五章：相似矩阵及二次型本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。
2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。
3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。
4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。
5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。
§1 向量的内积、长度及正交性内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2≤；n维向量x 与y 的夹角[]yx y x ,arccos=θ；正交；正交的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。
重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。
§2 方阵的特征值与特征向量内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解；A 的特征多项式()λλλλ---=nn n n n n a a a a a a a a a f212222111211；若λ是 A 的特征值，则 ()λϕ也是()A ϕ的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。
重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。
§3 相 似 矩 阵内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同；设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21，则有 1）,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λknkkk λλλ()()()().21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λn λϕλϕλϕϕ2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。
第五章 相似矩阵及二次型
第五章 相似矩阵及二次型本章主要内容是讨论方阵的特征值和特征向量；方阵的相似对角化；二次型的标准形及正定二次型.在讨论这些主要内容之前,先介绍与向量的正交性有关的一些知识.§1. 向量的内积、长度及正交性在三维向量空间3R 中，两个向量α=),,(321a a a 及β=),,(321b b b 的数量积（又称点乘积）为βα∙=θβαcos =332211b a b a b a ++其中θ为α与β的夹角，α与β是α与β的长度.数量积有以下不等式βαβα≤∙利用数量积可以表示向量的长度和夹角.α=232221a a a ++=)(αα∙， θcos =βαβα∙（设0,0≠≠βα） 0=∙⇔⊥βαβα以上这些在三维空间中已经成立的性质，可以推广到n 维向量空间nR 中去.关键是将三维空间中的数量积βα∙推广成n 维空间中的内积],[βα.定义1. 设有两个n 维向量α=),,,(21n a a a ，β=),,,(21n b b b定义α与β的内积为],[βα=n n b a b a b a ,2211 ++=T αβ=Tβα容易验证内积有以下性质（其中γβα,,为n 维向量，k 为数）： (i) ],[βα=],[αβ； (ii) ],[βαk =],[βαk ；(iii) ],[γβα+=],[],[γβγα+；(iv) 当0=α时，],[αα=0；当0≠α时，],[αα>0由(i)(ii)(iii)，可得],[βαk =],[βαk ，],[γβα+=],[],[γαβα+ 可以证明许瓦兹（Schwarz ）不等式（这里不证）：≤2],[βα),)(,(ββαα或),(),(|],[|ββααβα≤定义2. 设α=),,,(21n a a a ，定义α的长度（或称范数）为||||α=),(αα=22221,n a a a +++当长度||||α=1时，称α为单位向量.利用长度概念，许瓦兹不等式可以写成≤],[βα||||||||βα.向量的长度具有下列性质(βα,为向量，k 为数)：(1)非负性：0||||≥α，当且仅当α=0时，||||α=0； (2)齐次性：||||αk =k ||||α； (3)三角不等式≤+βα ||||α +β.[证] （1）（2）容易验证.下面证明（3）.2βα+=],[βαβα++=],][,[βαββαα++=],[],[],[],[ββαββααα+++ =22],[2ββαα++ 222)(2βαββαα+=++≤故有βαβα+≤+.（证毕）当0≠α，0≠β时，由许瓦兹不等式，有[]1,≤βαβα.因此，由下面的等式θcos =[]βαβα,可以定义两向量α与β的夹角θ.特别地，有θ=],[2βαπ⇔=0定义3. 若],[βα=0，则称向量α与β正交. 因为],0[α=0，所以零向量与任何向量α都正交.例1． 在5R 中，设α=(2,1,0,4,-2)，β=(3,4,2,-1,3)，则有],[βα=4132⨯+⨯20⨯+ 3)2()1(4⨯-+-⨯+=6+4+0-4-6=0.故α与β正交. 又有 2α=],[αα=4+1+0+16+4=25, 故α的长度为α=25=5.对任意0≠α，有11==αααα，故αα为单位向量. 定义4. 若向量组m a a a ,,,21 两两正交，则称其为正交向量组.若向量m a a a ,,,21 两两正交且都是单位向量时，则称其为规范正交组.显然有: m a a a ,,,21 为规范正交组⎩⎨⎧=≠=⇔j i ji j i ,1,0],[αα例2．在nR 中，以下n 个单位向量是规范正交组：)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1(21 ===n εεε因为这个向量组又是nR 中的基，因此又称为nR 中的规范正交基.在3R 中，通常记i =(1,0,0),j =(0,1,0)，k =(0,0,1)，它们是三坐标轴上的单位向量，它们构成3R 中一个规范正交基.以下的向量组1α=(1,0,0)，2α=(0,21,21)，3α=(0,21,21-) 容易验证是规范正交组，也是3R 的规范正交基.定理1. 若m a a a ,,,21 是由非零向量组成的正交组，则它们必定线性无关. [证] 设数m k k k ,,,21 使m m a k a k a k +++ 2211=0，则有],[2211i m m a k a k a k α+++ =],0[i α=0，),,2,1(m i =.根据内积性质，有],[],[],[11i m m i i i i k k k αααααα++++ =0因为i j ≠时，],[i j αα=0，上式成为],[i i i k αα=0，因为0≠i α，所以 0],[>i i αα，故有0=i k (i =1,2,…,m ). 因此，m a a a ,,,21 线性无关.（证毕）由此可知，规范正交组必是线性无关组，但反之不成立. 有时需要由一个线性无关向量组m a a a ,,,21构造出一个与之等价的规范正交组m e e e ,,,21 .这个问题称为将向量组m a a a ,,,21 规范正交化.斯密特（Schimidt ）规范正交化的方法如下：取11αβ=，1111222],[],[ββββααβ-=，222231111333],[],[],[],[ββββαββββααβ--=，…………………………………………11111111],[],[],[],[-------=m m m m m m m m ββββαββββααβ容易验证m ββ,,1 两两正交，且与向量组m αα,,1 等价.再把它们单位化，即取mm m e e e ββββββ===,,,222111 . 则m e e e ,,,21 为规范正交组，并且与m a a a ,,,21 等价.例2． 在3R 中，设T T T )2,1,1(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα.试用斯密特方法，将其规范正交化.[解] 取T)0,1,1(11==αβT T T )2,1,1(21)0,1,1(21)1,0,1(],[],[1111222-=-=-=ββββααβ，222231111333],[],[],[],[ββββαββββααβ=-==T T TT)1,1,1(32)2,1,1(32)0,1,1()2,1,1(-=--- 计算得21=β，6212=β，3323=β，将321,,βββ单位化， 得1e =11ββ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡02121，2e =22ββ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-626161，3e =33ββ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-313131 321,,e e e 即为所求的规范正交组.定义5. 若n 阶实矩阵A 满足T A A =-1 （或E AA T =或E A A T =）则称A 为正交矩阵，简称正交阵.设A 的行向量组为n βββ,,,21 ，则A 为正交阵⇔E AA T =⇔],,,[2121Tn T T n ββββββ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=E ⇔⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡T n n T n T n T nT T TnT T ββββββββββββββββββ 212221212111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001⇔],[j i ββ=T i jββ=⎩⎨⎧=≠ji j i ,1,0，（n j i ,,2,1, =） ⇔A 的行向量组为规范正交组.由E A A T=，同理可证A 为正交阵⇔A 的列向量组为规范正交组.例4．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos ，B =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2102101021021，E =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001 容易验证E B A ,,都是正交矩阵.正交矩阵有下列性质：（1）若A 为正交矩阵，则A =1或－1.（2）若B A ,为正交阵，则AB 及1-A 也是正交阵. [证]（1）A 的正交阵，则E AA T=，两边取行列式，得T A A =E =1，即12=A ，故1=A 或－1（2）T AB AB ))((=))((T T A B AB =))((11--A B AB =11)(--A BB A =1-AEA =1-AA =E T A A ))((11--=11))((--T A A =1)(-A A T =1-E =E 故AB 及1-A 都是正交阵.（证毕）定义6. 设P 为n 阶正交矩阵，y x ,为n 维列向量，则Px y =称为正交变换 （3）若Px y =为正交变换，则x y = [证] 22)()(x x x Ex x Px P x Px Px y y yT T T T T T ======, 故有x y =.这个性质说明正交变换保持向量的长度不变.§2. 方阵的特征值和特征向量定义1. 设A 为n 阶矩阵，如果有数λ及n 维列向量0≠α，使得关系式λαα=A （1）成立，则称λ为A 为特征值，α称为A 的对应于特征值λ的特征向量. （1）式可写成0)(=-αλE A ，这表明齐次线性方程组0)(=-x E A λ （2）有非零解α=x ，方程组（2）是n 个方程n 个未知数的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于0，即0=-E A λ （3）设A =n n ij a ⨯)(，则（3）式成为λλλ---nn n n n n a a a a a a a a a212222111211=0(3)式是未知数为λ的一元n 次方程，称为方阵A 的特征方程，方程左边E A λ-是λ的n 次多项式，称为方阵A 的特征多项式.特征值λ是特征方程(3)的根，在复数范围内，n 次方程有n 个根（重根按重数计算）.因此，n 阶矩阵在复数范围内有n 个特征值.由以上讨论，得到求n 阶方阵A 的特征值和特征向量的方法如下：(i)解特征方程E A λ-=0，得到A 的n 个特征值n λλλ,,,21 (k 重根重复k 次). (ii)对每个特征值i λ，解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ，其非零解就是相应于i λ的A 的特征向量.例1．求下列矩阵的特征值和特征向量（1）A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--314020112，（2）B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300130213[解] （1）E A λ-=λλλ-----314020112 =λλλ-----3412)2(=)2)(2(2---λλλ=2)2)(1(-+-λλ=0，λ=－1，2（二重根）.矩阵A 的特征值为11-=λ，232==λλ.对于11-=λ，解方程组0))1((=--x E A ，即0)(=+x E A .E A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000010101030010111414030111行行 )(E A R +=2，基础解系含3－2=1个向量，同解方程组为⎩⎨⎧==-00231x x x ，取131==x x ，得基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1011p故对应于11-=λ的全部特征向量为)0(1≠k kp对232==λλ，解方程组0)2(=-x E A ，E A 2-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000000114114000114行)2(E A R -=1，基础解系含3－1=2个向量，同解方程组为04321=++-x x x取0,121==x x 及1,021==x x ，得到基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4012p ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1103p故相应于232==λλ的所有特征向量为3322p k p k +.（32,k k 不同时为0）（2）E B λ-=λλλ---30130213=0)3(2=-λ，3=λ（三重）.B 的特征值为3321===λλλ. 解方程组0)3(=-x E B .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-0001000100001002103行E B 2)3(=-E B R ,基础解系含3－2=1个向量，同解方程组为⎩⎨⎧==0032x x 基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011p故B 的所有特征向量为)0(1≠k kp由本例可见，对于矩阵A 的二重特征值232==λλ，相应地有两个线性无关的特征向量；对于矩阵B 的三重特征值3321===λλλ，相应地却只有一个线性无关的特征向量，即B 的线性无关的特征向量个数少于特征值的重数.例2．求矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111的特征值. [解] E A λ-=λλ---1111=0222=+-λλ，i ±=1λ.)1(-=i矩阵A 的特征值为复数i +=11λ，i -=12λ.（相应的特征向量也是复向量）. 可见实矩阵的特征值不一定是实数.矩阵的特征值有以下性质：（1）A 可逆⇔A 的全部特征值都不等于零. （2）若A 有特征值λ及相应的特征向量α，则(i) kA 有特征值kλ及相应的特征向量α（k 为正整数）；(ii) E a A a A a A a A m m m m ++++=--1110)( ϕ有特征值m m m m a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( 及相应的特征向量α.（其中m a a a ,,,10 为数，E 为单位矩阵，可认为0A E =）(iii) 若A 可逆，则1-A 有特征值λλ11=-及相应的特征向量α.（3）设n 阶矩阵)(ij a A =的全部特征值为n λλλ,,,21 （k 重根重复k 次）则有n λλλ+++ 21=nn a a a +++ 2211n λλλ 21=A[证]（1）A 可逆0≠⇔A 即000⇔≠-E A 不是A 的特征值. （2）已知λαα=A ,故有(i)αλαλλααα22)()(====A A A A A αλαλαλαα32223)()(====A A A A A依此类推，可得αλαkkA =，故kA 有特征值kλ及相应的特征向量α.(ii) αϕ)(A =α)(1110E a A a A a A a m m m m ++++-- =ααααm m m m a A a A a A a ++++--1110=αλααλαλm m m m a a a a ++++--1110 =αλλλ)(1110m m m m a a a a ++++--=αλϕ)(，故)(A ϕ有特征值)(λϕ及相应的特征向量α.(iii)若A 可逆，由(1)，0≠λ，故α=αλA 1.于是)1(11αλαA A A --==αλA A 11-=αλ1.故1-A 有特征值11-=λλ及相应的特征向量α.（3）特征方程E A λ-=0所有根为n λλλ,,,21 ，根据多项式理论，特征多项式E A λ-可分解因子为)())((21n a λλλλλλ--- ，即λλλ---nn n n n n a a a a a a a a a212222111211=)())((21n a λλλλλλ---比较等式两边nλ的系数，得na )1(-=，比较两边1-n λ的系数，可得nn a a a +++ 2211=n λλλ+++ 21令0=λ，可得A =n λλλ,,,21 .（证毕）.注：当A 可逆时，由性质2(iii)可知，性质2(i)中的k 为负整数时也成立，性质2(ii)中某些项含有A 的负整数幂时也成立.例3．设3阶矩阵A 的特征值为1,－1,2.求行列式E A A 23-+*.[解] A 的全部特征值为1,－1,2，由性质(3),022)1(1≠-=⨯-⨯=A ，故A 可逆.112||--*-==A A A A ,记)(A ϕ=E A A E A A 232231-+-=-+-*, )(λϕ= 12--λλ3+2-.于是)(A ϕ有特征值:)1(ϕ=－1，)1(-ϕ=－3，)2(ϕ=3.由性质(3)，得E A A 23-+*=)(A ϕ=3)3()1(⨯-⨯-=9.例4．设方阵A 满足2A =A ，求A 的特征值.[解] 2A =A ，2A －A =0.设A 的特征值为λ，则2A －A 有特征值λλ-2，因为2A －A =0，而零方阵的特征值为0，故有λλ-2=0，求得λ=0或1.例5．设 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1322123b a 已知A 有一个特征向量为T )3,2,1(-=ξ，求参数b a ,及ξ所对应的特征值.[解] 设ξ所对应的特征值为λ，则有0)(=-ξλE A ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------3211322123λλλba =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000 , 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=+++=---0332306240343λλλb a 解得6,2,4=-=-=b a λ.定理 设方阵A 有m 个互不相等的特征值m λλλ,,,21 ，则相应于这些特征值的特征向量m p p p ,,,21 必线性无关.[证] 根据已知条件有m m m p Ap p Ap p Ap λλλ===,,,222111 现设有数m x x x ,,,21 使得 02211=+++m m p x p x p x 依次用12,,,-m AA A 左乘上面等式两边,由于=i k p A )1,,1,,,1(-==m k m i p i k i λ，得 0222111=+++m m m p x p x p x λλλ0222221121=+++m m m p x p x p x λλλ……………………………………0122121111=+++---m m m m m m p x p x p x λλλ将上面m 个等式写成矩阵等式，得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1212222112112211111],,,[m m m m m m m m p x p x p x λλλλλλλλλ =[0,0, 0等式左边第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式，因为m λλλ,,,21 互不相等，所以范德蒙行列式不等于零，该矩阵可逆，以其逆矩阵右乘等式两边，得],,,[2211m m p x p x p x =[0,0, 0即),,2,1(0m i p x i i ==，因为0≠i p ，故0=i x ),,2,1(m i = 所以m p p p ,,,21 线性无关. (证毕)若21,p p 是矩阵A 的相应于相同特征值0λ的特征向量,则21,p p 是齐次方程组x E A )(0λ-=0的解,故21p p +也是此方程组的解,因此,当21p p +≠0时, 21p p +也是A 的相应于特征值0λ的特征向量,但若21,p p 是矩阵A 的相应于不同特征值的特征向量,则21p p +就不再是A的特征向量.下面例6给出证明.例6．设A 有两个不相等的特征值21,λλ，相应的特征向量为21,p p ，试证21p p +不是A 的特征向量.[证] 已知111p Ap λ=，222p Ap λ=，21λλ≠.用反证法：设21p p +是A 的特征向量，相应的特征值为λ，则有)(21p p A +=)(21p p +λ又)(21p p A +=21Ap Ap +=2211p p λλ+，故得2211p p λλ+=)(21p p +λ，移项得0)()(2211=-+-p p λλλλ.根据定理，21,p p 线性无关，应有01=-λλ，02=-λλ，于是λλλ==21，与假设矛盾.故21p p +不是A 的特征向量.§3. 相似矩阵定义. 设B A ,为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1（1） 则称A 与B 相似，记作A ～B ，(1)式称为由A 到B 的相似变换，P 称为相似变换矩阵.若A 相似于对角矩阵，则称A 可对角化. 性质：(1)相似概念具有性质①反身：A ～A ；②对称：若A ～B ，则B ～A ；③传递：若A ～B ，B ～C ，则A ～C .(2)若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征多项式、特征值、秩及相等的行列式. (3)若B AP P =-1，则mmB P A P =-1.（m 为正整数） [证] (1) ①A AE E =-1；②若B AP P =-1，则A PBP=-1，即A BP P =---111)(.③若B AP P =-1，C BQ Q =-1，则C PQ A PQ =-)()(1.(2) 若B AP P =-1，则P E A P E AP P E B )(11λλλ-=-=---=P E A P λ--1=E A λ-故B 与A 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.又因为P 为可逆矩阵，由矩阵秩的性质可知B 与A 有相同的秩.又A P A P AP P B ===--11（3）若B AP P =-1，则mB =m AP P )(1-=)())((111AP P AP P AP P ---=AP PP PP A PP A P )()()(1111---- =P A P EAP AEAE P m11--= . (证毕)定理. n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 具有n 个线性无关的特征向量.并且当AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021 时，对角阵的对角元素n λλλ,,,21 就是A 的全部特征值，P 的列向量组n p p p ,,,21 就是与特征值n λλλ,,,21 相应的A 的线性无关特征向量.[证] 存在可逆阵P ，使AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇔⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n P AP λλλλλλ000000000002121，),,,(21np p p P =可逆.⇔),,,(21n p p p A =),,,(21n p p p ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021，np p p ,,,21 线性无关⇔),,,(21n Ap Ap Ap =),,,(12111n p p p λλλ ，(n p p p ,,,21 线性无关) ⇔111p Ap λ=，222p Ap λ=，…，n n n p Ap λ=，(n p p p ,,,21 线性无关)⇔m λλλ,,,21 是A 的特征值，n p p p ,,,21 是与其相应的A 的n 个线性无关特征向量.（证毕）推论 若n 阶矩阵A 有n 个互不相等的特征值，则A 相似于对角阵.[证] 由§2的定理，A 的与n 个互不相等的特征值相对应的n 个特征向量线性无关.故A 相似于对角阵.（证毕）定理给出了一般n 阶矩阵A 可对角化的判别条件.要使A 有n 个线性无关的特征向量，关键是对于有重根的特征值，能求出与其重数相同个数的线性无关特征向量.即若特征值0λ是特征方程的k 重根，就要使)(0E A R λ-=k n -，这时方程组0)(0=-x E A λ的基础解系就含有k k n n =--)(个向量，因而得到与0λ相应的k 个线性无关的特征向量.若k n E A R ->-)(0λ，则相应于0λ的线性无关特征向量将小于k 个，A 就不可对角化.例如，§2例1的两个3阶矩阵，矩阵A 的二重特征值232==λλ，相应地有两个线性无关的特征向量，对单根11-=λ，求出1个特征向量，因为相应于不同特征值的特征向量线性无关，因此,A 有3个线性无关特征向量，故A 可对角化.对于矩阵B ，它的三重特征值3321===λλλ，只求出1个线性无关特征向量，故B 不可对角化.若A 可对角化，定理还给出求对角阵及相似变换矩阵P 的方法.即 （1）求出A 的全部特征值n λλλ,,,21 ，得到对角阵的主对角线上的元素. （2）求出A 的与n λλλ,,,21 相应的线性无关特征向量n p p p ,,,21 ，则P =[n p p p ,,,21 ]就是相似变换矩阵.并且有AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ0000021 应当注意：特征值在对角阵中排列的顺序与相应的特征向量在P 中的位置要相对应，即对角阵中第i 行i 列的特征值i λ，相应的特征向量i p 应位于P 中的第i 列.例1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3241223k k （1）k 取何值时，A 可对角化？，k 取何值时，A 不可对角化？ （2）当A 可对角化时，求出相似变换矩阵P 和相应的对角矩阵. [解] 先求A 的特征值.E A λ-=λλλ-------3241223k k31c c +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------λλλλ12110221k =λλλ------32110221)1(k =)1(λ-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----λλ10010221k =2)1)(1(λλ+-特征值为,11=λ132-==λλ.（1）相应于二重特征值1-=λ，要由方程组0)(=+x E A 求其相应的特征向量.因为E A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---00002242240224k k k k 行若0≠k ，则2)(=+E A R ，0)(=+x E A 的基础解系只含3－2=1个向量，因而A 不存在3个线性无关的特征向量，A 不可对角化.0=k 时，1)(=+E A R ，由0)(=+x E A 可求出两个线性无关的特征向量，因而A 有3个线性无关的特征向量，A 可对角化.（2）0=k 时，A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---324010223已求出A 的特征值为,11=λ132-==λλ.要求的对角矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 11=λ时，解方程组0)(=-x E A ：E A -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000010101020020222424020222行行 同解方程组为⎩⎨⎧==-00231x x x ， 基础解系为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1011P132-==λλ时，解方程组0)(=+x E A ：E A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000000112224000224行同解方程组为02321=-+x x x ，取基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2012p ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103p相似变换矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==121100011],,[321p p p P它使得AP P 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001例2．设 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421 （1）求P ，使AP P 1-为对角矩阵.（2）求nA[解] （1）求A 的特征值及相应的线性无关特征向量.E A λ-=λλ--3421=)1)(5(542+-=--λλλλA 为二阶矩阵,有两个不同特征值1,521-==λλ，故A 可对角化.51=λ时，解方程组0)5(=-x E A ：E A 5-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡--00122424行 同解方程组为0221=-x x ，取基础解系为T p )2,1(1=.12-=λ时，解方程组0)(=+x E A ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+00114422行E A同解方程组为021=+x x ，取基础解系为T p )1,1(2-=.取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1211],[21p p P ，则有AP P 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1005（2）由(1)得 P A P n1-=n⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1005=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n n )1(005，=nA 1)1(005-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-P P n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1211P ，1-P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----121131121131故得 =nA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n n )1(005⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅-+⋅-+-+++n n n n n n n n )1(52)1(252)1(5)1(253111§4. 实对称矩阵的对角化本节将证明实对称矩阵总是可以对角化的，且相似变换矩阵可取为正交矩阵. 定理1.实对称矩阵的特征值为实数. [证] 设A 为n 阶实对称矩阵，则A 的共轭矩阵A A =，A 的转置矩阵A A T =.设A 的复特征值为λ，相应的复特征向量为=α0),,(1≠T n a a .则有λαα=A对上面等式两边取共轭，并注意到A A =，得=A ，A α=λα，即A α=λα对上面最后等式两边取转置，注意到A A T=，得A (T )α=λ(T )α，T T A α=λT α, 即 λα=A TTα对上面最后等式两边右乘α，注意到λαα=A ，得ααλααT T A =，即ααλT =ααλT移项得0)(=-αλT因为0),,,(21≠=T n a a a α，故ααT=n n a a a a a a +++ 2211=022221≠+++n a a a于是0=-λλ，即λ=，故λ为实数.（证毕）定理2. 设21,λλ是实对称矩阵的两个特征值,21,p p 是相应的特征向量.若21λλ≠，则1p 与2p 正交.[证] 由题设有111p Ap λ=，222p Ap λ= 对第一等式两边转置，再右乘2p ，得21121)()(p p p Ap T T λ==211p p Tλ上式左端2121)(p A p p Ap T T T ==21Ap p T =221p p T λ=212p p Tλ于是得到211p p T λ=212p p T λ，移项得2121)(p p Tλλ-=0 因为021≠-λλ，故021=p p T，即内积[21,p p ]=0，故1p 与2p 正交.（证毕）定理3.设A 为实对称矩阵，如果0λ是特征方程0=-E A λ的k 重根，则相应于0λ的特征向量中恰有k 个是线性无关的.本定理不证.定理4. 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在n 阶正交矩阵P ，使得AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021 其中n λλλ,,,21 是A 的全部特征值（是实数）.=P [n p p p ,,,21 ]的列向量n p p p ,,,21 是相应的规范正交特征向量（也是实的）.[证] 设A 的全部特征值为n λλλ,,,21对于其中单重特征值,有1个特征向量,将其单位化.对于其中的k 重特征值,，由定理3,有k 个线性无关的特征向量，用斯密特方法将其规范正交化,就有k 个相互正交的单位特征向量，又由定理2，对应不同特征值的特征向量相互正交.因此，相应于特征值n λλλ,,,21 ，可以得到n 个规范正交的特征向量n p p p ,,,21 ，因为规范正交组是线性无关的，故A 有n 个线性无关的特征向量.由§3的定理,A 可对角化.令P =[n p p p ,,,21 ]则P 为正交矩阵，且有AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021. （证毕） 由定理4的证明可知，将实对称矩阵A 对角化的步骤如下： （1）求出A 的全部特征值n λλλ,,,21 ，得到对角阵的对角线元素.（2）对于单重特征值，求出相应的1个线性无关特征向量，将其单位化.对于k 重特征值，求其k 个线性无关特征向量，再按斯密特方法，将其规范正交化，得到k 个相互正交的单位特征向量，最后得到n 个规范正交特征向量n p p p ,,,21 .（3）令=P [n p p p ,,,21 ]，它是正交矩阵，并且有AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ0000021 例1．设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----542452222求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角阵.[解] A 为实对称矩阵，由定理4,所求的正交矩阵P 存在.E A λ-=λλλ-------54245222223r r +λλλλ------110452222=)1(λ-110452222----λλ=10492242)1(-----λλλ =)1(λ-λλ--9242=)10()1()1011)(1(22---=+--λλλλλA 的特征值为121==λλ，103=λ.对121==λλ，解方程组0)(=-x E A :=-E A 00000221442442221-−→−----行同解方程组为022321=-+x x x ，基础解系为T )0,1,2(1-=ξ， T )1,0,2(2=ξ按斯密特方法正交化，得T )0,1,2(11-==ξη T )5,4,2(5154],[],[121111222=+=-=ηξηηηηξξη.再单位化，得规范正交特征向量：T p )0,51,52(111-==ηη，Tp )455,454,452(222==ηη. 对103=λ，解方程组0)10(=-x E A ：=-E A 10⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------99018180452542228452542452228行行 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−→−000110102000110452行行 同解方程组为 ⎩⎨⎧=+=+0023231x x x x , 基础解系为T )2,2,1(3-=ξ，单位化得T p )32,32,31(3-=.令P =[321,,p p p ] = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--32455032454513145252, 则P 为正交矩阵，使得 AP P 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000010001.例2．设三阶实对称矩阵A 的特征值为11-=λ，132==λλ，对应于1λ的将征向量为T )1,1,0(1=ξ，求A .[解] 设A 相应于特征值132==λλ的特征向量为T x x x x ),,(321=.因为A 是实对称矩阵，相应于不同特征值的特征向量互相正交，故x 与1ξ正交，有01=ξTx，即032=+x x 求得基础解系为T]0,0,1[2=ξ，T]1,1,0[3-=ξ，显见2ξ与3ξ已是互相正交，只要将其单位化，得 2p =2ξ=T )0,0,1(，Tp )21,21,0(333-==ξξ 再将1ξ单位化，得1p =T)21,21,0(11=ξξ.于是我们得到相应于特征值11-=λ，132==λλ的三个规范正交的特征向量1p ,2p ,3p .以它们为列向量，组成正交矩阵P .P =[1p ,2p ,3p ]=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2102121021010，使得AP P 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001，故有A =P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000100011-P =P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001T P .（因为P 为正交阵，1-P =T P ） =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2102121021010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2121000121210=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--010100001 例3．设B A ,为n 阶实对称矩阵，证明A 与B 相似的充分必要条件为A 与B 有相同的特征值.并举例说明若B A ,不都是实对称矩阵，则充分性不成立.[证] 必要性已在证明相似矩阵的性质时证过.现证充分性.设A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 ，因为B A ,为实对称矩阵，由定理4，存在正交矩阵Q P ,，使AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 00000021，=-BQ Q 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021 由此得AP P 1-=BQ Q 1-，B =11--APQ QP =)()(111---PQ A PQ , 故A 与B 相似.（证毕）若B A ,不都是实对称矩阵，例如A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0010,则B A ,有相同的特征值0,0,但A 与B 不相似.这是因为若相似则应有相同的秩，但0)(=A R ，1)(=B R ，)()(B R A R ≠，故A 与B 不相似..§5. 二次型及其标准形在解析几何中，为了研究二次曲线122=++cy bxy ax所属的类型，选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x , (*) 将在旧坐标),(y x 下的方程,化为新坐标),(y x ''下只含平方项的标准方程12221='+'y x λλ从代数上讲，这一问题就是对二次齐次多项式22cy bxy ax ++，选择适当的线性变换(*)，将其化为标准形2221y x '+'λλ的问题.本节将这一问题一般化，讨论将n 个变量的二次齐次多项式化为标准形问题，它在其它许多理论和实际问题中都有其重要应用。
第五章 相似矩阵(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求：(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量.(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点：(1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化.3．教学难点：矩阵的相似对角化.4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的运算:AX .从矩阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形.5．教学内容：§5.1 方阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的概念在一些应用问题中常会用到一系列的运算:.,,,,2X A X AAX k为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使X AX λ=，这样的数λ和向量X 就是方阵的特征值与特征向量.定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为A 的特征值,称x 为A 的属于特征值λ的特征向量．下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程：0)(=-⇔=x E A x x A λλ或者 0)(=-x A E λ0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-⇔E A λ0)(det =-⇔A E λ特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ特征多项式：λλλλλϕ---=-=nn n n n n a a a a a a a a a E A212222111211)(det )(])1([01110n nn n na a a a a -=++++=--λλλA 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21则 (1)nnn a a a +++=++ 221121λλλ)(1A tr a ni ii ==∑=称为矩阵A 的迹。
线性代数第五章相似矩阵
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
4、性质
定理 正交向量组必为线性无关组,但反之则不一定成立. 定理 若向量β与 1 , 2 ,, s 中每个向量都正交，则
β与 1 , 2 ,, s 的任一线性组合也正交.
5、正交基 若正交向量组1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个正交基. 6、标准正交基 若标准正交组 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
7、施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
1 1 0 令 1 1 , 2 1 0 , 3 2 1 . 1 1 1 1）正交化
1 1 1 1 1 1 1 i , 1 1 ,2 0 , 3 2 . 令 i i 3 2 2 6 1 1 1
(2) 1 2 n a11 a22 ann ;
证明① 当 1 , 2 ,, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 n
1 2 n
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
第五章 相似矩阵及二次型
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向量间的夹角 当x0 y0时
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arccos
[ x, y] || x |||| y ||
称为n维向量x与y的夹角 当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向 量都正交
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正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩 阵 简称正交阵
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量 且两两正交 n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规 范正交基
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内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则 (1)[x y][y x] (2)[x y][x y] (3)[xy z][x z][y z] 郑 (4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0 陶 然 (5)[x y]2[x x][y y] ——施瓦茨不等式
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说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用 矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有 [x y]xTy
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn 天 津 师 [x y]称为向量x与y的内积
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 1 1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] [b1, a2 ] 4 1 1 1 1 5 b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [b1, a3] [b2, a]
【经典线代】线性代数课件第五章§3 相似矩阵
P1AEP
AE.
推论 若 n阶方阵A与对角阵
1
2
n
相 ,则 似 1 ,2 , ,n即 A 的 是 n 个特 . 征
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若 A PP B 1,则
k个
Ak PBP1 PBP1 PBP1PBP1PBkP1.
A的多项式
( A ) a 0 A n a 1 A n 1 a n 1 A a n E
对于对角矩阵 ,有
k 1
k
k 2
,
k n
(1)
()
(1)
,
(1)
利用上述结论可以很方便地计算矩阵A
的多项式 (A) .
定理 设 f()是矩 A 的 阵 特征 ,则 f(多 A )O .项
三、利用相似变换将方阵对角化
对n阶方A阵 ,若可找到可 P,使 逆矩阵 P1AP为对,角 这阵 就称为A对 把角 方 . 化 阵 定理4 n阶矩A阵 与对角矩阵 (即A相 能似 对角 ) 化 的充分必要A条 有n个 件线 是性无关的.特征
例3 设
0 0 1 A 1 1 x
1
0
0
问x为何值时，矩阵A能对角化？
解：
AE 1
1
0
1
0
1 x
(1)
1
1
(1)2(1)
得 11,21
由于 A可对角化所以 1二 2 1重 有根 两个
线 性 无 关 的 特 是R 征 (A向 E)量 1 于
所
以 AE11
0 0
1 1 0 1 x~0 0 x1
2 1 2 AE 5 3 3 13
1 0 2
所 A 的 以特 1征 2 值 3 1 为 . 把 1 代 A E x 入 0 ,解之得基础解系 (1,1,1)T,
线性代数第五章 相似矩阵
AX1 1 X1
, AX n 1 X 1 , 2 X 2 , L , n X n
AX 2 2 X 2
L
AX n n X n
由于P X 1 , X 2 ,L , X n 是可逆矩阵， X 1 , X 2 ,L , X n 都不是零向量，它们线性无关。所以， A有n个线性无关的特征向量。证毕
所以kX 2 (k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量.
求特征值和特征向量的步骤
(1) 解特征方程 E - A 0, 求得特征值1，2， ，n L (2) 对每一个i，求解方程组
(i E - A) X = 0 的基础解系
基础解系为X i1 , X i 2 ,L , X iri , 则k1 X i1 k2 X i 2 L kri X iri 为A 的属于 特征值 i 的全部特征向量
当1 2时, 解方程(2 E A) X 0
3 1 0 1 行变换 2 E A 4 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0
0 0
0
x1 0 x2 0 x c 3
得基础解系:
0 X1 0 , 1
当s 1时，X1 0， 结论成立；
假设s k时结论成立； 当s k 1时， k+1个数l1 , L , lk , lk 1满足 设有
l1 X 1 l2 X 2 L lk X k lk 1 X k 1 0
线性代数第五章(第三节相似矩阵)
1 2 A( p1 p2 pn ) ( p1 p2 pn ) . n
因而
Api = i pi , i = 1, 2, … , n ,
因为 P 为可逆矩阵, 所以 p1 , p2 , … , pn为线性无 关的非零向量, 它们分别是矩阵 A 对应于特征值
1 , 2 , … , n 的特征向量.
充分性 由必要性的证明可见, 如果矩阵 A
有 n 个线性无关的特征向量, 设它们为 p1 , p2 ,
相似矩阵具有下列的性质：下设A，B 是同
阶矩阵. 定理 1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则 |A - E| = | B - E| , 因而 A 与 B 有相同的特征值, 相同的行列式值.
证明 只需证 A 与 B 有相同的特征多项式即
可. 由于 A与 B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P,使得 P-1AP = B ,
所以 p2 是对应于 2 2 的特征向量.
当
3 3
时, 解方程组
( A 3E ) x 0 ,
即
2 1 0 x1 0 1 1 x2 0, 0 x 0 0 3
解之得基础解系为
1 p3 2 , 2 所以 p3 是对应于 3 3 的特征向量.
注: A与B的特征值相同不能推出A与B相似. 例2
0 1 0 0 A 与B 是否相似? 0 0 0 0 1 0 1 1 与 0 1 0 1
《线性代数》第五章相似矩阵与二次型第6节
正交变换在相似矩阵中应用
正交变换在相似矩阵中的应用主要体 现在通过正交变换将一个矩阵对角化， 从而简化矩阵的运算和分析。
具体应用包括：利用正交变换化二次 型为标准型、利用正交变换求矩阵的 特征值和特征向量等。
典型例题分析与解答
例题1
设A是n阶实对称矩阵，证明存在正交矩阵P，使得 P^(-1)AP为对角矩阵。
二次型标准形求解步骤
配方法
通过配方将二次型化为标准形，即平方和的形 式。
正交变换法
通过正交变换将二次型化为标准形，其中变换 矩阵是正交矩阵。
特征值法
通过求解对称矩阵的特征值和特征向量，将二次型化为标准形。
二次型与对称矩阵关系
二次型与对称矩阵一一对应
每个二次型都唯一对应一个对称矩阵，反之亦然。
二次型的性质与对称矩阵的性质密切相关
《线性代数》第五章相似矩阵与二 次型第6节
目录
• 相似矩阵基本概念与性质 • 二次型及其标准形 • 惯性定理与规范形 • 正交变换与正交矩阵 • 相似矩阵对角化与实对称矩阵对角化 • 课程总结与拓展延伸
01 相似矩阵基本概念与性质
相似矩阵定义及表示方法
定义
设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使$P^{-1}AP=B$，则称B是A的相似 矩阵，或说A和B相似。
正定性。
解答
通过配方或正交变换法，可以求得该二次 型的标准形为 $y_1^2 + y_2^2 + 5y_3^2$。
解答
通过求解对应的对称矩阵的特征值，可以 判断该二次型不是正定的，因为存在负特 征值。
03 惯性定理与规范形
惯性定理内容及其证明
惯性定理内容
设A,B为n阶实对称矩阵，若A与B合同， 则A与B的正惯性指数相等，负惯性指 数也相等。
线性代数第五章相似矩阵与二次型第3节
k 1
k
k 2
(1 )
,则
()
0
k n
0
0
(2 )
0
0 0
(n )
利用上述结论可以很方便计算矩阵A 的多项式 ( A)
定理 若n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A与 B 有 相同的特征多项式，从而有相同的特征值。 证明: 因 A 与 B 相似，所以有可逆矩阵P,使
P 1 AP B 故 E B P1(E)P P1AP P1(E A)P
1
1
1
则有
5
P 1 AP 1
1
（3）直接计算 A100 比较麻烦，但由
5 P 1 AP
1
可得
1
5 A P
1
P 1 1
5 则 A100 P 1
100P 1 易求11 1 1P 1
1
2
1 1
3
1
2
1
于是
5 A100 P
1
100
P 1
特征向量,
故存在可逆矩阵
P
2
, 使得
P
1 2
B
P
2
,
从而
P
1 1
A P1
P
1 2
B
P2,
即
P2
P
1
1
A
P1
P
2
1
B,
故A与B相似.
于是有 Api i pi i 1,2,, n.
可见 i 是A的特征值,而P的列向量 pi 就是 A的对应于特征值i的特征向量.
反之, 如果 n 阶方阵 A 有n 个线性无关的特征向量，
P1, P2 ,, Pn 满足 APi iPi ,
第五章相似矩阵
k 1
a1 x a0 .
则定义矩阵多项式
g( A) ak A ak 1 A
k
k 1
a1 A a0 I .
用例5的方法，读者可自证： 若g（A）是矩阵多项式， 0 为A的特征值，则g(0 )为
g（ 0） a k k a k 1 k 1 a1 0 a 0 0 0 的特征值。
例4 设n 阶方阵A 满足等式 A2 A， 证明A 的特征值为1或0。
证 设 由此
为A 特征值，则存在向量 X 0, 使 AX X .
2 2
A X A( AX ) A(X ) X . 又 A2 A， 故有 2 X X ,
即 ( ) X 0.
T
X k [0, 1, 1] , k 0 .
问题：从上面例子可以看到，的一个特征值对应着无 穷多个特征向量. 那么的一个重特征值对应着多少个 线性无关的特征向量？而一个特征向量又能否对应不 同的特征值？这都是有待讨论的问题.
注意：上面给出的特征值和特征向量的计算步骤主要 是针对具体的数值矩阵的. 求具有某些性质的非数值矩 阵的特征值，往往需要用定义讨论.
T
k 0 给出A关于
X k [1, 1, 2] .
4 的全体特征向量.
4 只对应一个线性无关的特征向量
[1, 1, 2] .
T
例3 求
3 1 1 7 5 1 A 6 6 2
的特征值和特征向量。 1 3 1 解 | I A | 7 5 1 ( 2 ) 2 ( 4) . 6 6 2
2
因此 X 0, 所以 2 0,即 1或0.
第五章 相似矩阵及二次型
1 1 1 1 , 2 2 1 1
正交,试求一个非零向量α3 ,使 α1，α2，α3 两两正交。
解 设所求的向量α3 ＝（x1 , x2 , x3) ,依题意得:
x1 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ～ 由于 A ～ 1 2 1 0 3 0 0 1 0
二.向量的范数与夹角
1.向量的范数(长度)
定义2 令
x
x , x
x1 x2 xn
2
2
2
称‖x‖为n维向量x的范数。 2.范数的性质：
1）非负性 当x≠ 0 时, ‖x‖=︱λ︱‖x‖； 3）三角不等式‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖。
证 设有 1 , 2 , , r ,使 λ1α1+ λ2α2 + … + λrαr = 0,
取αi ( i = 1, 2 ,…, r )在上式的两端作内积。 [ λ1α1+ λ2α2 + … + λrαr ，αi] =[0, αi] [ λiαi,αi ] = 0
亦即
λi[αi,αi ] = 0
得
[α1,α3] = 0 , [α2,α3] = 0， 即
1 1 从而有基础解系 0 , 取 3 0 , 即为所求. 1 1
x1 x3 x2 0
第五章 相似矩阵及二次型
§1.向量的内积
一、向量的内积 1.内积的概念 定义1 设有n维向量
令
x1 y1 y2 x2 x , y x y n n [x,y]= x1 y1 x2 y2 xn yn ,
线性代数 第5章 特征值特征向量相似矩阵
若 α1,α2, ,αr 为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 β1 = α1 ，
β2
=
α2
−
[ β1,α2 ] [β1, β1 ]
β1,
上页 下页 返回 14
β3
=
α3
−
[β1 ,α3 ] [β1, β1]
β1
−
[β 2 ,α 3 ] [β2, β2]
β2
βr
=
βr
−
[β1,αr ] [β1, β1]
= δ ij
=
⎧1, i =
⎨ ⎩
0,
i
≠
j; j
(i, j = 1, 2,
,n)
上页 下页 返回 24
4
第五章 特征值特征向量相似矩阵
定义5 若 P为正交阵，则线性变换 y = Px 称为正 交变换．
性质 正交变换保持向量的长度和夹角不变．
证明 设y = Px为正交变换,
则有 y = yT y = xT PT Px = xT x = x .
e1
=
⎜1 ⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2⎟⎟,e2 ⎟⎟⎠
=
⎜−1
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2⎟⎟,e3 ⎠⎟⎟
=
⎜ ⎜⎜⎜⎝11
0
2⎟⎟,e4 2⎟⎟⎠
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
1 −1
22⎟⎟⎟⎟⎠.
上页 下页 返回 11
⎛1 2⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
e1
=
⎜1 ⎜
⎜⎜⎝
⎟⎜
0 0
2
⎟ ⎟
,
e2
⎟⎟⎠
=
β1
+
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当 1 2 2 时,(2I A)X 0，即
3 3 3 0
3 3 3 X 0 ,
6 6 6 0
得解
X 1 k1[1, 1, 0]此，上式在 k1与k 2 不同时为0时，给出 A 关于
2 的全体特征向量 。
此时 2 是A的二重根，它对应有二个线性无
的特征多项式
n 注： f ( ) 是一个 次多项式，方程 f () 0 在
复数域内必有n个根，它们就是矩阵的全部特征值. 从
而n阶方阵在复数域内有n个特征值.
例 求下面矩阵A的特征值。
1 3 3
A
3
5
3
6 6 4
解 1 3 3
| I A | 3 5 3 ( 2)2 ( 4).
例3 求
3 1 1 A 7 5 1
的特征值和特征向量。 6 6 2
解
3 1 1
| I A | 7 5 1 ( 2)2 ( 4) .
6 6 2
由| I A | 0，得 1 2 2, 3 4 .
当 1 2 2 时,(2I A)X 0，即
1 1 1 0 7 7 1 X 0 , 6 6 0 0
素乘积这一项中出现，故应有：
| I A | n (a11 a22 ann ) n1 (1)n | A |,
n
n
将它与（5.6）比较，即得 i aii .
i 1
i 1
6.方阵A的迹
n
n
tr（A）
i
aii
t 1
i 1
推论 n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零.
7.求一般矩阵A的对应特征值的特征向量的方法。
6 6 4
| I A | 0,得 1 2 2, 3 4 .
5.矩阵的特征值和矩阵的关系
定理5.1 设n阶方阵 A [aij ]nn
1 , 2 , , n , 则
(1) 12 n | A | .
的n个特征值为：
(2) 1 2 n a11 a22 ann .
证 (1）当 i , i 1, 2, , n 是的特征值时，
3. 求一般矩阵A的特征值的方法。
将（5.1）式变形为：
(I A)X 0.
（5.2）
则齐次线性方程组（5.2）有非零解的充要条件是
| I A | 0.
a11 a12
即| A | a21 a22
a1n a2n 0
an1 an2 ann
4.特征多项式
为了方便起见，称 f ( ) | A | 为矩阵A
求一般矩阵A的特征值 零解，得到A的关于
i i
后，求方程组（5.2）的非 的全部特征向量。
例2 求下面矩阵A的特征值和特征向量。
1 3 3
A
3
5
3
6 6 4
解 1 3 3
| I A | 3 5 3 ( 2)2 ( 4).
6 6 4
由 | I A | 0 ，得
1 2 2, 3 4 .
A的特征多项式可表示为：
| I A | ( 1 )( 2 ) (1 n )
n (1 2 n )n1 (1)n 12 n（. 5.6）
n
令 0,得 | A | (1)n 1 2 n ,即 | A | i . i 1
（2）因为
a11 | I A | a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
的行列式展开式中，主对角线上元素的乘积是其中一项：
( a11 ) ( a22 ) ( ann ). 而行列式展开后，每项为取自于不同行不同列的 n 个元素
乘积，展开式的其余项至多包含 (n 2)个主对角线上元素
. 因此，特征多项式中含 n 和 n1的项只能在主对角元
5.1.1 特征值和特征向量的概念
1. 定义5.1 设方阵 A [aij ] nn，若有数 和非零n
维向量X，使 AX X
（5.1）
成立，则称数 是方阵A的特征值，称向量X为方阵 A的对应于特征值 的特征向量。
问题是：如何找 与 X?
3 0 0
例1 设 A 0 3 0 由于 A 3I
0 0 3
故任取
X R3 , X 0 都有 AX 3IX 3X.
由定义5.1，数3是A的特征值，任何一个非零三维向 量X都是A的特征向量。
2. 对类似上述特殊矩阵，较容易直接得到方程
AX X 的解X和数 。 但对一般方阵A而言， AX X
是绝大多数非零向量难以满足的方程，仅从矩阵A不 容易直接看出它的特征值和特征向量。
由此
A2 X A( AX ) A(X ) 2 X .
又 A2 A，故有 2 X X , 即 (2 )X 0.
因 此 X 0, 所 以 2 0,即 1或0.
例5 设 0 是方阵A对应于特征向量X的特征值，证明：
（1）对数 k , k0 是 kA 对应于特征向量X的特
征值；
（2）对正整数 l (l 向量X的特征值；
问题：从上面例子可以看到，的一个特征值对应着无 穷多个特征向量. 那么的一个重特征值对应着多少个 线性无关的特征向量？而一个特征向量又能否对应不 同的特征值？这都是有待讨论的问题.
例4 设n阶方阵A满足等式 A2 A，证明A的特征值为1或0。
证 设 为A 特征值，则存在向量 X 0, 使 AX X .
求 得 特 征 向 量 ： X k [1, 1, 0]T , k 0 .
此时A的二重特征值-2,只对应一个线性无关的特征向量
[1, 1, 0]T . 当 4 时, (4I A)X 0，即
7 1 1 0 7 1 1 X 0 , 6 6 6 0
解得特征向量
X k [0, 1, 1]T , k 0 .
关的特征向量： [1, 1, 0]T , [1, 0, 1]T .
当 3 4 时,(4I A)X 0，即 求解得 X k [1, 1, 2]T .
3 3 3 0 3 9 3 X 0 , 6 6 0 0
k 0 给出A关于 4 的全体特征向量.
4 只对应一个线性无关的特征向量 [1, 1, 2]T .
2),
l0
1
是 Al 对应于特征
（3）若A是可逆的，则 向量X的特征值。
0
是
A1 对应于特征