怎样求一次函数关系式
一次函数关系式的求解途径
【 例４ 】 （ ２ ０ １ ７ ・ 荆州） 将直线 ｙ ＝ ＋ ６ 沿 轴向下
平 移 ３个单 位 长度 ， 点Ａ（ 一１ ， ２） 关于ｙ 轴 的 对称 点
【 分析 】 （ １ ） 州 衷 ｒ ｝ ］ 的数据 ， 日期 每 增 『 Ｊ ｌ 】 １ ， ， Ｋ ， 、 增』 Ｊ ｕ （ ） ． ５ 米， 昕 以１ 是 的 … 玖 函 数．
ｍ ｌ ： （ ６ ＞０ ） 平移或向下（ ６ ＜０ ） 移 个Ｆ ｆ 长嚏
５ ２ Ｉ 策 略方 法
／
初学习 ・ 策 略 方 法
僻剑． 五、 利用 一次 函数 的图像 求解
注 意 的世 ： 【 ｝ １ 的 ．
衷， Ｊ 段ｉ ＜ ＝ ． 必
ｉ
线 段长 正（ 如本 题中 线 段Ｏ Ｂ 长为ｌ ４ ｆ ） ． 这 １
一
落在平 移 后的 直线 上 ， 则ｂ的值 为— — ．
【 分析 】 将直线 ＋ 厶 沿、 轴向下 、 ｇ ３ １ 、 单 长嘘 ． 忻得直线 的函数天系式为 ｒ ＋ ｂ － ３ ． 再将
・ ＿Ａ （ 一 １ ， ２ ） 芙丁Ｙ 轴的对称』 、 、 （ １ ， ２ ） 标 代 人直
解 途径
利 用一 次 函数 的定 义求 解 用所建 、 的 函 数 模 型远 离 已 知数 据 ， 作 预 测
一
、
【 例１ 】 已知函数 ’ ＝ （ ， ｎ ＋ ２ ） … 。 。 ＋ ６ 是 关于． １ ７ 的 不 可 靠 的．
一
次 函数 ， 试 求一 ； 欠函数 关 系式．
、 ＝ Ｏ ． ５ ． ｒ ＋ ｌ ９ ． ５ ． （ ２ ） ｔ ＝ ６ 代入 （ １ ） Ｌ 卜 Ｉ 求 僻 函 教 关 系
求一次函数的关系式
求一次函数的关系式资料编号:202204011450【自学指导】借助于课本和下面的讲解,弄清楚以下经过问题:（1）怎样用待定系数法求一次函数的关系式?（2）求一次函数的关系式都有哪些类型?相应的解题策略是什么?【重要知识点总结】求一次函数()0≠+=k b kx y 的关系式,就是求出b k ,的值,然后代入关系式即可.常用待定系数法求一次函数的关系式.用待定系数法求一次函数关系式的一般步骤:（1）设一次函数的关系式为b kx y +=,其中b k ,为待定的系数;（2）把两个已知点的坐标分别代入b kx y +=,建立关于b k ,的二元一次方程组;（3）用加减消元法求解方程组,求出b k ,的值;（4）将求出的b k ,的值代回所设的函数关系式,即得所求的函数关系式.说明对于一次函数()0≠+=k b kx y ,待确定的系数有两个,分别是k 和b ,如果知道其中一个系数的值,则只需知道函数图象上一个点的坐标,把该点的坐标代入函数关系式即可求得另一个系数的值;如果两个系数的值都不知道,则就需要知道函数图象上两个点的坐标,把这两个点的坐标分别代入关系式建立方程组求解.求一次函数关系式的类型及方法一、定义型例1. 已知函数()332+-=-m x m y 是一次函数,求这个一次函数的关系式.分析 根据一次函数的定义,其自变量的系数不等于0,自变量的次数为1,据此求出参数的值.解:由题意可知:⎩⎨⎧=-≠-1203m m 解之得:3-=m∴这个函数的关系式为36+-=x y .二、两点型知道一次函数的图象经过的两个点的坐标,用待定系数法求其函数关系式.例2. 已知一次函数的图象经过点()1,1和点()2,0,求该一次函数的关系式.分析 先设一次函数的关系式为b kx y +=,然后把两个点的坐标分别代入,从而建立关于b k ,的二元一次方程组求解.解:设该一次函数的关系式为b kx y +=把()1,1、()2,0分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧==+21b b k 解之得:⎩⎨⎧=-=21b k ∴该函数的关系式为2+-=x y .三、图象型知道一次函数图象上两个点的坐标（读图获得）,用待定系数法求函数关系式.题目通常给出的是函数图象与两条坐标轴的交点坐标.例3. 已知一次函数的图象如图所示,求这个函数的关系式. yx32O解:设这个函数的关系式为b kx y +=由函数图象可知,其图象经过()0,2,()3,0-两点把()0,2,()3,0-分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧-==+302b b k 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-==323b k ∴这个函数的关系式为323-=x y . 四、平行型若两个一次函数的图象互相平行,则它们的k 值相等,b 值不相等.据此来确定系数k 的值.“平行型”题目的特征是:待求函数的图象与已知直线平行,且经过一个已知点.例4. 已知一次函数b kx y +=的图象平行于直线1+-=x y ,且经过点()4,0-,求这个一次函数的关系式.解:由题意可知:1-=k∴b x y +-=把()4,0-代入b x y +-=得: 4-=b∴这个一次函数的关系式为4--=x y .五、相交型同一平面内两条直线的位置关系有两种:平行和相交.确定相交的两条直线的函数关系式,要明确交点的意义,即两个一次函数图象的交点的横坐标和纵坐标,是由这两条直线的关系式组成的方程组的解.例5. 如图所示,正比例函数的图象与一次函数1+-=x y 的图象相交于点P ,求这个正比例函数的关系式.解:设正比例函数的关系式为kx y =对于1+-=x y令2=y ,则21=+-x解之得:1-=x∴()2,1-P把()2,1-P 代入kx y =得:2=-k解之得:2-=k∴这个正比例函数的关系式为x y 2-=.例6. 已知三条直线2,12,32-=+-=-=kx y x y x y 相交于一点,求该交点的坐标和第三条直线的表达式.分析 该交点的横、纵坐标是方程组⎩⎨⎧+-=-=1232x y x y 的解. 解:解方程组⎩⎨⎧+-=-=1232x y x y 得: ⎩⎨⎧-==11y x ∴该交点的坐标为()1,1-把()1,1-代入2-=kx y 得:12-=-k解之得:1=k∴第三条直线的表达式为2-=x y .六、面积型给出的条件中有直线的坐标三角形的面积,求直线的解析式,注意分类讨论.例7. 直线b kx y +=经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,23,且与坐标轴围成的直角三角形的面积为415,求直线的解析式.分析 题中的三角形就是坐标三角形,它是直角三角形,两条直角边的长度隐含在一次函数的图象与两条坐标轴的交点坐标中:与x 轴的交点的横坐标的绝对值是其中一条直角边的长,与y 轴的交点的纵坐标的绝对值是另一条直角边的长.解:直线b kx y +=与y 轴的交点坐标为()b ,0由题意可知:4152321=⨯-⨯b ∴5,5±==b b∴5+=kx y 或5-=kx y∵直线b kx y +=经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,23 ∴0523=+-k 或0523=--k 解之得:310=k 或310-=k ∴该直线的解析式为5310+=x y 或5310-=x y . 例8. 如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数42+-=x y 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ,点P 在x 轴上,若6=∆ABP S ,求直线PB 对应的函数关系式. yxABO分析:根据题意可得点P 可以在y 轴左边,也可以在y 轴右边,应分两种情况讨论.先求点A 和点B 的坐标,然后根据6=∆ABP S 确定点P 的位置,进而运用待定系数法可求出直线PB 对应的函数关系式.解:对于42+-=x y令0=y ,则042=+-x解之得:2=x∴()0,2A令0=x ,则4=y∴()4,0B∵6=∆ABP S ∴6421=⨯AP ,得3=AP ∴点P 的坐标为()0,1-或()0,5设直线PB 对应的函数关系式为b kx y +=∴⎩⎨⎧==+-40b b k 或⎩⎨⎧==+405b b k 解之得:⎩⎨⎧==44b k 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=454b k ∴直线PB 对应的函数关系式为44+=x y 或454+-=x y . 七、范围型例9. 已知一次函数b kx y +=中,自变量x 的取值范围是1-≤x ≤4,相应函数值的范围是3-≤y ≤2,求此函数的表达式.分析 本题分为两种情况:（1）y 随x 的增大而增大;（2）y 随x 的增大而减小. 解:分为两种情况:①当0>k 时,y 随x 的增大而增大∴当1-=x 时,3-=y ;当4=x 时,2=y∴⎩⎨⎧=+-=+-243b k b k 解之得:⎩⎨⎧-==21b k ∴2-=x y ;②当0<k ,y 随x 的增大而减小∴当1-=x 时,2=y ;当4=x 时,3-=y∴⎩⎨⎧-=+=+-342b k b k 解之得:⎩⎨⎧=-=11b k∴1+-=x y .综上所述,此函数的表达式为2-=x y 或1+-=x y .八、表格型例10. 某农产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表:若日销售量y 是销售价x 的一次函数,求出日销售量y （件）与销售价x （元）之间的函数关系式.解:设此一次函数的关系式为b kx y +=,则有⎩⎨⎧=+=+20202515b k b k 解之得:⎩⎨⎧=-=401b k ∴此一次函数的关系式为40+-=x y .九、其它类型例11. 已知y 与2+x 成正比例,当4=x 时,12=y ,求y 与x 之间的函数关系式,并判断y 是x 的什么函数.分析 正比例关系: 若A 与B 成正比例,则可设kB A =,其中k 为正比例系数.解:由题意可设()2+=x k y∵当4=x 时,12=y∴()1224=+k解之得:2=k∴()4222+=+=x x y .∴y 是x 的一次函数.例12. 已知两条直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,若21l l ⊥,则121-=⋅k k .（1）应用:已知直线12+=x y 与直线1-=kx y 垂直,求k 的值;（2）一直线经过点()3,2A ,且与直线331+-=x y 垂直,求该直线的关系式. 分析 两个一次函数的图象互相垂直的条件一般地,对于两条直线 111:b x k y l +=,222:b x k y l +=若21l l ⊥,则121-=⋅k k .反过来亦成立.我们可以用此结论证明两个一次函数的图象互相垂直.解:（1）由题意可知:12-=k解之得:21-=k ; （2）设该直线的关系式为b ax y += 由题意可知:131-=-a 解之得:3=a∴b x y +=3把()3,2A 代入b x y +=3得:36=+b ,解之得:3-=b∴该直线的关系式为33-=x y .。
用二元一次方程组求一次函数关系式
议一议
A、B两地相距100 km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相
向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(km) 都是骑车时间 t (h)的一次函数.
1 h后乙距A地80 km,
2 h后甲距A地 30 km. 问：经过多长时间两人相遇 ?
直线型图表示
甲 A
2 h,30 km
消去 s s 15t s 100 20t
t=
用方程解行程问题 1 h后乙距A地80 km,即乙的速度是 20 km/h, 2 h后甲距A地 30 km,故甲的速度是 15km/h,
小彬
由此可求出甲、乙两人的速度, 以及……
你明白他的想法吗？ 用他的方法做一做， 看看和你的结果一致吗？
解（1）设y与x之间的函数表达式y=kx+b， （2）当y=0时，解得x=30 所以旅客最多可以 根据题意，得 免费携带30 kg的行李。 解得 所以y与x之间的函数表达式
随堂练习
如图中的两直线l1 ，l2 的交点坐标可以看作 方程组 的解
y
4
3 2
l1
l2 1 -1 0 -1 1 2 3 4 x
80 km
1h
B 乙
图象表示
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出 交点的横坐标就行了！ s 100 (B) 80 60 你明白他的想法吗？ 用他的方法做一做， 看看和你的结果一致吗？
l2
l1
40
20 0 (A)
1 1 2 2
小明的方法求出的结果 准确吗？
3 3
4
5 t
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
对于乙，s是t的一次函数，可设 s=kt+b。 当t=0时，s=100；当t=1时，s=80。 将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k、b的值， 小颖 也即可以求出乙s与t之间的函数表达式。 同样可求出甲s与t之间的函数表达式。 再联立这两个表达式，求解方程组就行了。
一次函数解析式的常见求法
一次函数解析式的常见求法一、求函数解析式的几种方法：方法一：利用待定系数法。
解析：（ 1）建立关于x， y的一元二次方程： y^2=2×x^2-8x+42，当x=0时，得到一次函数的解析式。
2．（解析：令y为所求函数的自变量，根据题意列出含有x的方程组即可解决。
） 3．（解析：注意所求的解不能超过两个，这样可以保证方程组有唯一解。
） 4．（解析：此法仅限于当y为已知实数时使用，且在自变量取定后，函数式能唯一确定的情况下使用。
）4．（解析：将y=f(x)-4y， f=x-4作为未知数代入（ 1）中，可得y=f(x)-4y，而根据“同一平面内，两个函数的图象关于y轴对称”可知，所求函数的自变量必须是该函数的奇函数，因此只需要再令f=x-4，即可解决。
） 5．（解析：根据题目中已知条件，可列出关于x， y的一元二次方程，并对方程两边同时求导数。
当x=0时，二次函数的解析式为y=2x-6；当x=-3/2时，二次函数的解析式为y=-1/2-6/2。
利用待定系数法可得y=-x/2，或者直接根据两个函数的关系进行判断。
）6．（解析：设y为实际问题的一次函数，由已知条件知，二次函数与y有关，由待定系数法可知， y可取任意值。
）7．（解析：以点B为圆心， y=f(x)=kx-4为半径画圆，令f(y)与k是两个不同的自变量，则其图象关于y轴对称，即可解决问题。
）方法二：利用方程法。
解析：（ 1）建立关于x， y的一元二次方程： y^2=2×x^2-8x+42，当x=0时，得到一次函数的解析式。
2．（解析：令y为所求函数的自变量，根据题意列出含有x的方程组即可解决。
） 3．（解析：注意所求的解不能超过两个，这样可以保证方程组有唯一解。
） 4．（解析：此法仅限于当y为已知实数时使用，且在自变量取定后，函数式能唯一确定的情况下使用。
） 5．（解析：根据题目中已知条件，可列出关于x， y的一元二次方程，并对方程两边同时求导数。
根据图象求一次函数关系式
第 1 页 共 2 页 根据图象求一次函数关系式一次函数的图象可以直观地表示出一次函数的特征，利用一次函数的图象上的信息，可以求出一次函数的关系式．请看以下几例．例1 图1，1l ，2l 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y （费用＝灯的售价＋电费，单位：元）与照明时间x （小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．（1）根据图象分别求出1l ，2l 的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程）．解：（1）设直线1l 的关系式为112y k x =+，由图象得：1175002k =+，解得10.03k =，所以10.032y x =+(02000x ≤≤)；设2220y k x =+，由图象得2650020x =+，解20.012k =．所以20.01220y x =+(02000x ≤≤)．（2）当12y y =时，两种灯的费用一样，则0.0320.01220x x +=+，解得1000x =．所以当照明时间为1000小时时，．两种灯的费用相等．（3）节能灯使用2000小时，白炽灯使用500小时．例2 某种拖拉机的油箱可储油40升，加满油并开始工作后，油箱中的余油量 y （升）与工作时间x （小时）之间为一次函数关系，如图2所示．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？分析：从图象可以看到函数的图象过点（2，30）和（6，10），可以利用待定系数法求解：图1图2第 1 页 共 2 页 解：（1）设一次函数的关系式为y kx b =+，将条件代入，得230610.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得540.k b =-⎧⎨=⎩， 所以此函数的关系式为540y x =-+．（2）当0y =时，即5400x -+=，所以8x =．即一箱油可供拖拉机工作8小时． 例3某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需要购买行李票．且行李费y (元)是行李质量x (千克)的一次函数，如图3所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）最多可免费携带多少质量的行李．解：（1）观察图象可知一次函数的图象经过（60，6），（80，10）两点，可设y kx b =+，将条件代入，得6068010.k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得156k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．所以函数的关系式为165y x =-． （2）当0y =时，30x =．即最多可免费携带30千克的行李．图3。
关于一次函数表达式的几种求法
关于一次函数表达式的几种求法用待定系数法求一次函数的解析式：待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知常数，系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法。
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：第一步：设关系式第二步：列方程（组）第三步：求出结果，写出关系式。
扩展资料一次函数应用常用公式：1、求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2、求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/23、求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/24、求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]5、求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数y1=k1x+b1;y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1;y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则(x0，y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标。
6、求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]6、求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2)（x,y）为+，+（正，正）时该点在第一象限（x,y）为-，+（负，正）时该点在第二象限（x,y）为-，-（负，负）时该点在第三象限（x,y）为+，-（正，负）时该点在第四象限8、若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b29、如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-110、y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
11、直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0)与y轴的交点：(0，b)。
求一次函数解析式的常用方法精选全文
可编辑修改精选全文完整版求一次函数解析式的常用方法一次函数是初中数学的重要内容之一，要学好它，首先会求它的解析式。
本文举例介绍求一次函数解析式的几种常用方法，供同学们学习时参考。
一、 定义法一次函数y=kx+b （k≠0）的x 的指数等于1，系数k≠0，据此求一次函数的解析式。
例1 求一次函数y=（p+1）x p2-3p-3+2p 的解析式解：由一次函数的定义可知p 2-3p-3=1∴p=4或p=-1又p+1≠0p=4所以所求解析式为y=5x+8点评：用定义法求一次函数解析式关键是抓住“一次”即未知数的指数等于1且它的系数不等于0。
二、 两点坐标法一次函数y=kx+b （k≠0）中，有两个字母需k 、b 要求，而将一次函数y=kx+b （k≠0）图象上的两点坐标代入y=kx+b （k≠0），得关于k 、b 的二元一次方程组解之可得k 、b1、已知两点坐标例2 已知一次函数的图像经过两点（-2，10），（4，-8），求该一次函数的解析式。
解：设所求一次函数解析式为y=kx+b （k≠0）将（-2，10），（4，-8）代入得⎩⎨⎧-=+=+-84102b k b k 解之得⎩⎨⎧-==34k b 所以所求一次函数的解析式为y=-3x+4点评：已知一次函数经过两点，把这两点坐标代入y=kx+b 解出k 、b 即可。
2、已知表格例3 某商店出售一种瓜子，其售价y （元）与瓜子质量x （kg ）之间的关系如下表：由上表得y 与x 之间的关系式是 。
解：设所求关系式为y=kx+b将（2，）、（2，）代入得：⎩⎨⎧=+=+4.728.3b k b k 解得：⎩⎨⎧==6.32.0k b ∴y=+ 将（3，11），（4，）代入也适合故y 与x 之间的关系式是y=+点评：一次函数的关系由表格给出时，从表格中选出两组较简数字代入y=kx+b 解出k 、b 即可。
3、已知图像例4如下图是某出租车单程收费y （元）与行程x （km ）之间的函数关系图像，求出收费y （元）与行程x （km ）（x≥3）之间的函数关系，并求行驶10km 需收费多少元解：设y 与x 的关系是y=kx+b 将（3，5），（8，11）代入得⎩⎨⎧+=+=bk b k 81135 解得⎩⎨⎧==5756b k∴y=65x+75（x≥3） 当x=10时，y=65×10+ 75=12+ 75=1325故行驶10km 需收费13元4角。
一次函数的关系式
18.3 一次函数
4.求一次函数的关系式
回顾与思考
1
1.什么叫一次函数?
若两个变量x,y间的关系式可以表示成 y=kx+b(k,b为常数,k不为零）的形式,则称y 是x的一次函数x为自变量,y为因变量. 特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒）与其下滑时 间t(秒)的关系如图6—5所示。 （1）写出v与t 之间的关系式； （2）下滑3秒时物体的速度是多少？
① ② 得 0=2k-2 ∴k=1
∴这个一次函数的表达式为y=x-2
例 1： 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x （千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长 14.5厘米； 当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。写出y与x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的 长度。 设y=kx+b,根椐题意，得 14.5=b ① 16=3k+b ② 把b=14.5代入②，得 k=0.5 所以在弹性限度内：y=0.5x+14.5 当x=4时，y=0.5 × 4+14.5=16.5 即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5
y=x+2
y
8 7 6 5 4 3 2 1
0
1 2 3
4
5
6 7 8
x
随堂练习
1.若一次函数y=2x+b的图象经过点A（-1，1），则b= 3 该函数图象过点B（1，5 ）和点C（ -1.5 ，0）。 2.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空： 2 (1) b= 2 ,k= 3
(2)当x=30时，y= -18 (3) 当y=30时，x= -42
第一课时 求一次函数关系式
第一课时 求一次函数关系式__月__日 星期___ 授课教师_____知识技能目标1.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题． 过程性目标2.结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化，体会用“数”和“形”结合的方法求函数式；教学重点与难点教学重点：.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题． 教学难点体会用“数”和“形”结合的方法求函数式，理解求函数解析式和解方程组间的转化．教学方法实践探究、 讲练结合教学过程一、创设情境引入新课一次函数关系式y ＝kx ＋b (k ≠0)，如果知道了k 与b 的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k 和b 呢？ 确定一次函数的表达式需要几个条件?问题1 已知一个一次函数当自变量x ＝-2时，函数值y ＝-1,当x ＝3时，y ＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y ＝kx ＋b (k ≠0),问题就归结为如何求出k 与b 的值．由已知条件x ＝-2时，y ＝-1，得 -1＝-2k ＋b ．由已知条件x ＝3时，y ＝-3， 得 -3＝3k ＋b ．两个条件都要满足，即解关于x 的二元一次方程⎩⎨⎧+=-+-=-.33,21b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5952b k 所以，一次函数解析式为5952--=x y ． 问题2 已知弹簧的长度y （厘米）在一定的限度内是所挂物质量x （千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式．分析：已知y 是x 的函数关系式是一次函数，则关系式必是y ＝kx ＋b 的形式，所以要求的就是系数k 和b 的值．而两个已知条件就是x 和y 的两组对应值，也就是当x ＝0时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k 与b 的二元一次方程组，进而求得k 与b 的值．解 设所求函数的关系式是y ＝kx ＋b (k ≠0),由题意，得⎩⎨⎧+==.42.7,6b k b解这个方程组，得⎩⎨⎧==.6,3.0b k 所以所求函数的关系式是y ＝0.3x ＋6．(其中自变量有一定的范围)讨论 1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解k 和b 的过程，转化为关于k 和b 的二元一次方程组的问题．2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围．问题3 若一次函数y ＝mx -(m -2)过点(0,3)，求m 的值．分析 考虑到直线y ＝mx -(m -2)过点(0,3)，说明点(0,3)在直线上，这里虽然已知条件中没有直接给出x 和y 的对应值，但由于图象上每一点的坐标(x ,y )代表了函数的一对对应值，它的横坐标x 表示自变量的某一个值，纵坐标y 表示与它对应的函数值．所以此题转化为已知x ＝0时，y ＝3，求m ．即求关于m 的一元一次方程．解 当x ＝0时，y ＝3．即：3＝-(m -2)．解得m ＝-1．这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法(method of undetermined coefficient )．二、实践应用例1 已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(-1,1)和点(1，-5),求当x ＝5时，函数y 的值．分析 1．图象经过点(-1,1)和点(1，-5)，即已知当x ＝-1时，y ＝1；x ＝1时，y ＝-5．代入函数解析式中，求出k 与b ．2．虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x ＝5时，函数y 的值，仍需从求函数解析式着手．解 由题意，得⎩⎨⎧+=-+-=.5,1b k b k 解这个方程组，得 ⎝⎛-=-=.2,3b k这个函数解析式为y ＝-3x -2．当x ＝5时，y ＝-3×5-2＝-17．例2 已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．分析 从“形” 看，图象经过x 轴上横坐标为2的点，y 轴上纵坐标是-3的点．从“数”看，坐标(2,0),(0,-3)满足解析式．解 设：所求的一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得⎩⎨⎧=-+=.3,20b b k 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==.3,23b k 所以所求的一次函数的关系式是223-=x y ． 三、交流反思本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法1.求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式y ＝kx ＋b (k ≠0)中两个待定系数k 和b 的值；2.用一次函数解析式解决实际问题时，要注意自变量的取值范围．检测反馈1.一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1)．求它的函数关系式，2.已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求当x=5时,•函数y 的值.四课内小结：(一) 待定系数法是一种重要的数学思想方法。
一次函数的图像4-求函数关系式
一次函数是代数方程的一种形式，可以用来解决一元线性方 程的问题。通过代入法、消元法等技巧，可以将一元线性方 程转化为一次函数的解。
导数与微积分
在微积分中，一次函数是导数的基本概念之一，用于研究函 数的增减性和极值问题。通过对一次函数求导，可以得到其 斜率和单调性。
一次函数在物理中的应用
匀速直线运动
一次函数的变种
斜截式
$y = kx + b$，其中$k$是斜率， $b$是截距。
点斜式
$y - y_1 = k(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$是已知点。
两点式
$y - y_1 = frac{y_2 - y_1}{x_2 x_1}(x - x_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是已知两点。
已知斜率和截距求函数关系式
总结词
已知一次函数的斜率和截距，我 们可以确定一个一次函数的关系 式。
详细描述
设一次函数为 $y = kx + b$，已 知斜率 $k$ 和截距 $b$，则可以 直接写出函数关系式。
已知两点求函数关系式
总结词
通过两个已知点，我们可以确定一个一次函数的关系式。
详细描述
设一次函数为 $y = kx + b$，若已知函数经过点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，则可以建立方程组： $begin{cases} y_1 = kx_1 + b y_2 = kx_2 + b end{cases}$，解得 $k$ 和 $b$ 的值，从而得到函数关 系式。
单调性
如果斜率 $k > 0$，函数 在整个定义域内是增函 数；如果斜率 $k < 0$， 函数在整个定义域内是 减函数。
求解一次函数关系式的常用方法
进 一 步求 得 函 数关 系 式 为ｙ ＝ ２ ｘ 一 ５ ； 而当ｋ ＜ ０
例 ２ 一 个 长 为 ３宽 为 ２的 矩 形 被 一
和Ｙ 的 两部 分 ，则’ ， 与 时， ｙ 随 的增 大 而减 小 ， 故 函数 图像 过 （ １ ， 一 １ ） 条 直 线 分 成 面 积 为
和（ ２ ， 一 ３ ） 两点 ， 用 待 定 系 数 法 求 出 另 外 一 之 间 的 函 数 关 系 是 — — ． 【 解析 】 由于分成 的两部分面积之 和等 个 满 足 条 件 的 函数 关 系式 为 一 ２ ｘ ＋ １ ．
【 解析 】 这道题只给 出了一个 满足 函数 【 解析】 这 道 题 中没 有 直 接 给 出Ｙ 和 之 关 系 式 的 点 的 坐 标 ．但 是 我 们 由平 移 性 质 平 移 后 的 函数 关 系 式 中ｋ 值不 变 ． 设 平 间 的关 系 ， 而是 “ Ｙ 一 ３与 一 ５成 正 比例 ” ， 所 知 ， ＝ ２ ｘ ＋ ｂ ， 将 点 以是 把 ＇ ， 一 ３和 一 ５分 别 看 成 整 体 考 虑 的 ． 设 移 后 的 直 线 的 函数 关 系 式 为 Ｙ
ｌ ｌ ＂ ｎ ｔ ｅ 川 Ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
■ 智 麓数掌
例 ３ 一 次函数ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｂ 的 变量 和Ｙ 的
次 函 数 的 关 系式 ．
有些 时候 ， 我 们 还 可 以 根 据 一 次 函 数 的概 念 或 者 题 目 中 的 等 量 关 系 求 一 次 函
例 １ 关 于 的 函 数 ｙ ： （ ｍ一 ２ ） ｌ ０ ＋ ２
一
／ Ｄ
／
～
０ ２ ＼ 一
（ ２ ）
求一次函数的关系式二
y(元)
30 20 30 40
y=x-10
(x≥10)
（3）当货物少于
x(千克)
10
千克，可约用水，
采取分段收费标准。居民每月应交水费y（元） 是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示： (1)分别写出0＜x≤5和x＞5时， y与x的函数解析式； 6.3
(2)若某用户居民该月用水3.5吨， 3.6 问应交水费多少元？ (3)若该月交水费9元，则用水多少
●
●
吨? 5
8
例4、已知一次函数y=kx+b的图象过点 （0，-2），与两坐标轴围成的三角形面 积为2，求此一次函数的解析式
表格型
例2、小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
x y … … -1 0 1 1 0
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该 空格里原来填的数是多少？说明你的理由。
根据表格，得到两点的坐标，再用待定系数法， 求出一次函数的解析式；最后再代入
图象型
例3、火车站托运行李费用与托运行李 的重量关系如图所示。 20 40 （1）当x=30时，y=_______; 当x=_______,y=30 。
1、用待定系数法求函数表达式
2、实际问题中求一次函数的表达式
定义型
例1、已知y＋5与3x＋4成正比例， 且x=1时，y=2; (1)求y与x之间的函数关系式 (2)求当x＝－1的函数值； (3)如果x的取值为0≤x≤3，求y的最大值. 变式：如果y的取值为0≤y≤5，求x的取值范围.
练习：已知y=y1+y2,y1与x2成正比例，y2与x-2 成正比例，当x=1时，y=0；当x=-3时，y=4. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当x=3时,求y的值.
求一次函数关系式的常见题型分类解析
求一次函数关系式的常见题型分类解析一次函数及其图像是初中数学的重要内容，是每年中考的重点必考内容其中求一次函数关系式就是一类常见题型现以近年来中考题为例介绍几种求一次函数关系式的常见题型，供同学们参考一 定义型例1 已知函数=（m-3）382+-mx 是一次函数，求其关系式解：由一次函数定义知⎩⎨⎧≠-=-o m m 3182∴⎩⎨⎧≠±=33m m ∴m=-3，故一次函数的关系式为=-33评注：利用定义求一次函数=b 关系式时，要保证≠0 二 两点型 -2,-3,B1,3两点(1)求这个一次函数的关系式; 试判断点⎩⎨⎧=+-=+-332b k b k ⎩⎨⎧==12b k ⎩⎨⎧-=+-=+-2653b k b k ⎪⎩⎪⎨⎧-==431b k ⎩⎨⎧-=+--=+2356b k b k ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=331b k 3131-））之间的关系是一次函数，如图：（1）求与的函数关系式（2）加满一箱油汽车可行驶多少千米 解：设与的函数关系式=b由图可知该函数的图像过点（50，55）、（80，52）则⎩⎨⎧+=+=b k b k 80525055，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=60101b k故这个函数的关系式为=60101+-x （2）令=0，可得=600评注：图象法求关系式的关键是确定图象上点的坐标 四 交点型=3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则的值为 解：该图象与坐标轴交点为（0，3），（k3-，0），根据勾股定理可得 32（k3-）2=52，解得=±43例6如图，过点A 的一次函数与反比例函数=2的图象交于点B ，能表示这个一次函数的方程是（ ）3=0 =03=0-3=0解：由图象直线AB 经过A （0，3），B （1，2），设直线AB 关系式为=b ，则⎩⎨⎧=+=23b k b ，解得⎩⎨⎧=-=31b k 故所求一次函数关系式为=-3,应选D评注：一次函数=b 的图象与坐标轴的交点是（kb-，0）、（0，b ）一次函数图象的重要特征点，在解题中有着广泛的应用五 平移型例7在平面直角坐标系中，直线=b,b 为常数，0,b0可以看成是将直线=沿轴向上平行移动b 个单位而得到的，那么将直线=沿轴向右平行移动mm0个单位得到的直线方程是_________________________________解：=)(m x k -=-m评注：函数图象平移的实质是点的平移，对于直线=，平移过程中的大小不变，故只须在图象上再找一个特殊点，将该点按要求平移，再代入即可六 对称型＝与＝2的图象关于轴对称，则等于___________解：＝2的图象经过（1，2），该点关于轴对称点为（1，-2）在＝上，故=-2=21，（1）求已知直线与轴交点A的坐标；（2）若直线=b与直线关于轴对称，求和b解：（1）令=0，=2×01=1，直线与轴交点A的坐标为（0，1）（2）∵直线=b与直线=21关于轴对称，∴两直线的交点为A（0，1）∴ b=1在直线=21上取一点B（1，3），则点B关于轴的对称点Bˊ（-1，3）在直线=b上，∴ 3=-=1∴ =-2评注：直线对称有多种，可以是关于轴对称、轴对称、某点对称，也可以是关于某直线对称，无论哪一种，都可归结为点的对称，只要找出某特殊点，确定符合条件的对称点，进而用待定系数法解决七开放型例10写一个一次函数关系式，使它的图象与轴夹角为45°，这个一次函数关系式为解：=±b（b可取任意实数）评注：这类问题答案不唯一例11．某一次函数的图象经过点（－1，2），且函数的值随自变量的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：．解：根据题意，所求的函数是一次函数，由于函数的值随自变量的增大而减小，可得＜0．设一次函数的关系式是＝＋b，因为函数图象经过（－1，2），所以2＝－＋b．设＝－1，则b＝3．得＝－＋3；设＝－2，则b＝4．得＝－2＋4．评注：在本题中，一次函数关系式中的是不确定的，我们只要根据条件赋予一个负值，就可以确定一个一次函数关系式．八探索型的正方形按照某种规律排列而组成的．1观察图形，填写下表：图形①②③正方形的个数8图形的周长182推测第n个图形中，正方形的个数为________，周长为_______都用含n 的代数式表示．(2)这些图形中，任意一个图形的周长，与它所含正方形个数石之间的函数关系式为______解：（1）正方形的个数为：13，18图形的周长为28，38（2）正方形的个数为5n3，图形的周长为10n8（3）所含正方形个数之间的函数关系式为=2n2评注：本题可从特殊到一般进行探究，这是一种重要的数学思想方法九猜想型－120型体重秤，最大称重120千克，你在体检时可看到如图⑴显示盘已知，指针顺时针旋转角（度）与体重（千克）有如下关系：⑴根据表格的数据在平面直角坐标系中描出相应的点，顺次连结各点后，你发现这些点在哪一种图象上合情猜想符合这个图形的函数关系式；⑵验证这些点的坐标是否满足函数关系式，归纳你的结论（写出自变量的取值范围）；⑶当指针旋转到度的位置时，显示盘上的体重读数模糊不清，用关系式求出此时的体重解： 1根据表格中数据描点，连线可得图象如图 猜想符合这个图形的函数关系式为：＝＞0． 2将＝72，＝25代入，得25＝72，即＝7225， ∴ ＝7225①验证：将其他两对分别代入①式，均满足． ∴ 符合要求的函数关系式是＝7225由题意知， 0≤≤120，0≤7225≤120，解得0≤≤，即自变量的取值范围是0≤≤． 3当＝度时，＝7225×＝55千克，即此时的体重为55千克． 评注：通过列表、描点，猜想函数关系式，是在实际生产生活中常用的一种方法。
17.3.4求一次函数的关系式
已知y与x成正比例，且当x=-1时， y=-6，求y与x之间的函数关系式
解：由题意可设y=kx(k≠0) ∵当x=-1时，y=-6， ∴-k=-6 ∴k=6 ∴y=6x
像这样先设出函数解析式，再根据条件 确定解析式中未知的系数，从而具体写 出这个式子的方法，叫做待定数法．
变式训练
y=0.5x+12 当x=0时，y=12(cm) 5 所以，弹簧不挂物体时的长度为12cm 20
x
2、已知点Ａ(-4，1)，B(-2，5) 在x轴上求一点P，使PA+PB的和最小
B.
A
y
o
.
x
3、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始 时风速平均每小时增加2千米/小时后，沙尘暴经过开阔漠地， 风速保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速成平均每 小时减少4千米/小时，最终停止。 结合风速与时间的图像如图，回答下列问题： （1）在图象的（ ）内填入相应的数值； （2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？ （3）求出风速(千米/小时)与时间(小时)之间的函数关系式.
七、根据取值范围求解析式
例7、一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5 ≤y ≤-2，求这个函 数的解析式 解：要确定函数的解析式，从已知条件出发，可分 两种情形讨论： ①若x=-3时，y=-5；若x=6时，y=-2， 则有 3k b 5 6 k b 2
∴直线AB的解析式为y=3x-1
三、根据图象求解析式 例3：一次函数的图象如图所示，求这个 一次函数的解析式 y 解：设一次函数解析式为y=kx+b 根据题意得： -3k+b=0
2 k 解得： 3 b2
如何求一次函数的关系式
如何求一次函数的关系式
作者：叶军
来源：《初中生世界·八年级》2015年第02期
一次函数是我们认识的第一类函数，也是最简单的函数。
掌握一个函数的最简单的办法是求出函数关系式，有了函数式，就不难画出其图像，从而获知其性质。
本文我们拟从几个不同的方面总结一次函数关系式的求法。
1、利用定义
例1. 若函数是一次函数，求它的函数关系式。
点评：所谓“把点代入函数式”就是“把点的横坐标当做x，纵坐标当做y，代入需要求的等式”，这是待定系数法的基本手法。
点评：如果两条直线互相平行，那么函数关系式的k相等，但b不相等.这个性质可以看做平行线的代数意义，利用k，我们可以把平行线“数量化”.
点评：待定系数法的做法是，在函数上找出一个或两个点，代入设好的函数式，再求解关于k或b的方程或方程组。
根据k的符号，一次函数有不同的增减性，因此本题有两个解，请同学们留意，不可漏解。
3.结合图像求解
点评：同学们不要刻意去记忆一些“对称型”的函数式的求法，那是高中才需要统一解决的问题。
对于形如本例的问题，我们只要画出图形，使用待定系数法即可。
同样地，你可以思考一下关于x轴对称的直线关系式的解法.。
求一次函数的关系式
解：由题意得：当x=-1时，y=1;当x=1时，y=-5.所以 由题意得： 时 当 时 所以
−k + b = 1 k + b = −5
解得： 解得：
k = −3 b = −2
所以，函数解析式为 所以，函数解析式为y=-3x-2. 当x=5时，y=-17. 时
练习： 练习：
1. 某市出租车计费标准如下：行程不超过 某市出租车计费标准如下： 3千米，收费 元；超过 千米部分，按每千 千米， 千米部分， 千米 收费8元 超过3千米部分 元计算。 与行驶路程s之间 米1.60元计算。求车费 与行驶路程 之间 元计算 求车费P与行驶路程 的函数关系式，并分别求出当路程为2.5千 的函数关系式，并分别求出当路程为 千 米和7千米时应付的车费 千米时应付的车费。 米和 千米时应付的车费。
待定系数法
这种先设出待求函数关系式， 这种先设出待求函数关系式，再根据已知条件列出 方程或方程组，求出未知系数， 方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果 的方法，叫做待定系数法 待定系数法。 的方法，叫做待定系数法。
做一做 已知一次函数y=kx+b的图象经过点（-1，1）和点 的图象经过点（ ， ） 已知一次函数 的图象经过点 ），求当 的值。 （1，-5），求当 ， ），求当x=5时，函数 的值。 时 函数y的值 讨论 1.这里已知条件是否给出了 和y的对应值？图象上 这里已知条件是否给出了x和 的对应值 的对应值？ 这里已知条件是否给出了 点的坐标和函数值有什么对应关系？ 点的坐标和函数值有什么对应关系？ 2.题意并没有要求写出函数的关系式，解题中是否 题意并没有要求写出函数的关系式， 题意并没有要求写出函数的关系式 应该求出？该如何下手？ 应该求出？该如何下手？
第9讲 待定系数法求一次函数关系式
第9讲 待定系数法求一次函数关系式二、方法剖析与提炼例1.已知y 是x 一次函数，当x =3时，y =1；当x =-2时，y =-14。
求这个一次函数的关系式和自变量x 的取值范围． 【解答】∴这个一次函数的解析式为：y =3x -8 （x 为任何实数） 【解析】（1）先由y 是x 一次函数设y 与x 的函数关系式；（2）利用已知y 与x 的两对值得到关于k 、b 的方程组； （3）解方程组得到k 、b 的值，从而求得一次函数解析式． 【解法】解这类题目一般方法是待定系数法求一次函数解析式.【解释】将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决．例2.已知1y 与x +1成正比例，2y 与x -1成正比例，12y y y =+，当x =2时，y =9；当x =3时，y =14．求y 与x 函数解析式． 【解答】∵1y 与x +1成正比例，∴设1=y ；∵2y 与x -1成正比例，∴设2=y ； 又∵12y y y =+，∴=y ；当x =2时，y =9；当x =3时，y =14，∴；∴y 与x 函数解析式为：y=51-x ．【解析】（1）由变量之间的关系得出变量之间的解析式； （2）得到y 与x 之间的关系；（3）利用待定系数法求得比例系数的值从而求得函数关系式．【解法】解这类题目一般方法是待定系数法求一次函数解析式，注意在不同的解析式中待定系数是不同的。
【解释】利用1y 、2y 与x 之间的特定方程，y 与1y 、2y 的关系式求得y 与x 的关系式，然后用待定系数法求函数关系式。
例3.（2016河北）某商店用调低价格的方式促销n 个不同的玩具，调整后的单价y(元)与调整前的单价x（元）满足一次函数关系，如下表：第1个第2个第3个第4个…第n个调整前单价x（元）x1x2=6 x3=72 x4…x n调整后单价y（元）y1y2=4 y3=59 y4…y n已知这n个玩具调整后的单价都大于2元.（1）求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围；（2）某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？（3）这n个玩具调整前、后的平均单价分别为x，y，猜想y与x的关系式，并写出推导出过.【解答】（1）∴516y x=-185（）>x（2）∴省了19元.（3）516y x=-，请写出推导过程：【解析】（1）根据表格中提供的数据利用待定系数法求解析式；（2）代入求得调整后的钱，用原价减去调整后的单价即可；（3）根据平均数的计算方法推导得出y与x的关系式．【解法】待定系数法求一次函数解析式，求函数值以及平均数计算.【解释】实际问题最关键的是读懂题意，转化为数学问题解决.先利用y的等式逐步运用消元的思想得到y与x关系式.例4.（2010毕节）某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距离A地的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．(1)请在下图中画出货车距离A地的路程y（千米）与所用时间x(时)的函数图象；(2)求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；(3) 求两车最后一次相遇时，距离A 地的路程和货车从A 地出发了几小时．【解答】（1）函数图象如图；（2）观察图象可得相遇4次；（3）如图，设直线EF 的解析式为11y k x b =+， ∵图象过(90)，，(5200)，，∴1111200509.k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得1150450.k b =-⎧⎨=⎩，∴50450y x =-+．① 设直线CD 的解析式为22y k x b =+，∵图象过(80)，，(6200)，，∴2222200608.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得22100800.k b =-⎧⎨=⎩，∴100800y x =-+．② 解由①，②组成的方程组得7100.x y =⎧⎨=⎩，∴最后一次相遇时距离A 地的路程为100km ，货车从A 地出发8小时． 【解析】（1）根据题意画出货车距离A 地的路程y （千米）与所用时间x (时)的函数图象；（2）观察两个图象的交点个数可得相遇次数；（3）根据已知条件利用待定系数法求解析式．【解法】待定系数法求一次函数解析式，解方程组，数形结合求相遇次数. 【解释】把生活中的相遇问题转化为函数图象，利用图象解题是解决此类问题的关键.)yPOCBD三、能力训练与拓展1.（2016娄底）将直线y =2x +1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是 ．2.（2016永州）已知一次函数y =kx +2k +3的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所有可能取得的整数值为 ．3.在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中CD//OB ，OB=6，BC=4，CD=4。
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怎样求一次函数关系式？
广东 林伟杰
一次函数关系式)0(≠+=k b kx y 中有两个待定系数k 和b ，确定了它们就确定了一个一次函数，故一般需要两个条件才能确定一个一次函数.现结合实例介绍求一次函数关系式的方法，供同学们学习时参考.
一、利用代入坐标法求一次函数关系式
例1 已知一次函数的图象经过（1,5）和（3,9）两点，求此一次函数关系式. 分析：先设函数关系式为b kx y +=，然后代入坐标建立方程组，求出方程组的解后再代回所设关系式即可.
解：设所求函数关系式为b kx y +=，则由题意，得⎩⎨⎧+=+=,39,5b k b k 故⎩
⎨⎧==.3,2b k 故所求的函数关系式是32+=x y .
点评：图象上每一点的横坐标和纵坐标都是此函数中自变量与函数的一对对应值，据此可通过建立二元一次方程组来求一次函数关系式.
二、根据直线间的位置关系求一次函数关系式
例2 某一次函数的图象过点（2,1）且与直线32+-=x y 相交于y 轴上的同一点，求此一次函数的关系式.
分析：因直线32+-=x y 与y 轴的交点是（0,3），故设函数关系式为3+=kx y ，代入点（2,1）可求出k ，进而可得关系式.
解：因直线32+-=x y 交y 轴于点（0,3），故某一次函数的图象也与y 轴相交于点（0,3），故设其关系式为3+=kx y ，代入点（2,1），得321+=k ，故1-=k ，故关系式为3+-=x y . 点评：由已知条件得出图象与y 轴的交点坐标，进而正确设出所求关系式是解本题的关键.
三、根据表格信息求一次函数关系式
例3 商店出售某商品时，在进价的基础上加一定的利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请根据表中提供的信息求出y 与x 的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
分析：由表可知，当1=x 时， 4.08+=y ；当2=x 时，
)4.08(28.016+=+=y ；当3=x 时，
)4.08(32.124+=+=y ；当4=x 时，)4.08(46.132+=+=y ；…… 故x x y 4.8)4.08(=+=.
解：由表中信息可求得函数关系式是x x y 4.8)4.08(=+=（正比例函数是一次函数的特例）.当5.2=x 千克时，214.85.2=⨯=y （元）.
四、根据图象信息求一次函数关系式
例4 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，若超过规定，则要购买
行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示，试求出y 与x 之间的函数关系式并求出自变量x 的取值范围.
分析：由图象可知，直线过点（60,6）和（80,10）两点，据此即可求出y 与x 间的函数关系式.
解：设函数关系式为b kx y +=，因为图象过点（60,6） 和（80,10），则有⎩⎨⎧+=+=,8010,606b k b k 故⎪⎩⎪⎨⎧-==.6,51b k 故函数关系式是 65
1-=x y .令0=y ，得30=x ，故自变量x 的取值范围是x ≥30
点评：直线与x 轴的交点的横坐标就是可免费携带行李的最大重量.解决本题的关键是读懂题意.此外，通过本题要注意掌握实际问题中自变量取值范围的确定方法，它包括：（1）使关系式有意义；（2）符合实际问题的需要.
五、根据一次函数的性质求其关系式
例5 一次函数b kx y +=的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y ≤-2，求此一次函数的关系式.
分析：对一次函数b kx y +=，若y 随x 的增大而增大，则由题意知其图象过点（-3,-5）和（6,-2），由此可求其关系式；若y 随x 的增大而减小，则由题意知其图象过点（-3,-2）和（6,-5），由此可求其关系式，故本题应分两种情况求解.
略解：本题应分两种情况来解.设所求关系式为b kx y +=.（1）当y 随x 的增大而增大时，由题意知其图象过点（-3,-5）和（6,-2），由此可求得关系式是43
1-=x y (-3≤x ≤6)；（2）当y 随x 的增大而减小时，由题意知其图象过点（-3,-2）和（6,-5），由此可求得关系式是33
1--=x y (-3≤x ≤6). 点评：本题题设只给出了一次函数的自变量与函数值的取值范围，在这种情况下应根据一次函数的性质来求其关系式，否则极易造成漏解.
x。