第7章非线性控制系统分析

4.继电特性
等效增益
y M
0
x
-M
k
x 0
振荡加剧、稳态误差增大。 能够使被控制的执行装置在最大输入信号下工 作，充分发挥其调节能力。
7.4 描述函数法
分析无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自
振问题。
一、描述函数的基本概念
x
y f(.)
1.描述函数的定义
非线性环节 y=f(x)
x(t ) ? A sin ? t
增益下降 降低系统稳态精度。
3 间隙（滞环）特性
间隙特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在
输入 --输出曲线上出现闭合环路。
其数学表达式为： yb
y
?
?k ( x ? asignx?)
? ?
bsignx
y? ? 0 y? ? 0
-a 0 a x
-b
滞环特性
例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。 增大稳态误差，降低稳态精度。
当输入为正弦信号 展成傅立叶级数
输出为非正弦的周期信号
?
? y(t) ? A0 ? (An cos n? t ? Bn sin n? t) n?1
?
? ? A0 ? Yn sin(n? t ? ? n ) n?1
?
? y (t ) ? A0 ? ( An cos n? t ? Bn sin n? t ) n?1
正弦输入x(t) ? A sin ? t
?
2
输出
y(t) ?
?? KA sin ? t
? ??
Ka
其中，? 1
?
arcsin
a A
0? ? t ? ?1
?1
?
?
t
?
?
2
由于为单值，且关于原点对称的奇函数
所以， A0=0,A 1=0
? ? ? B1
?
1
?
2? 0
y (t )sin
?
td?
t
?
4
?
?? ?
1
?
?? 0
KA sin 2 ?
td (?
t) ?
? 2
?1
Ka sin ?
td (?
（2）描述函数表达了非线性元件对 基波正弦量 的传递能 力。一般来说，它应该是输入信号 幅值和频率 的函数， 但对于绝大多数的实际非线性元件，由于不包括储能元 件，它们的输出仅是幅值的函数，与频率无关，故常用 N(A) 表示。
二、典型非线性特性描述函数
饱和特性
y
y(t)
k -a
ωt
0
a
x
?1 ? ? ?1
7.3 常见非线性特性分析
1.死区特性
y k
??
0?
x
?
0
x(t) ? ?
y(t)
?
? ?
k[x(t
)
?
?
sign ( x(t ))
x(t) ? ?
其中
sign( x(t ))
?
?1
? ?
?
1
x(t) ? 0 x(t) ? 0
若系统存在多个死区
R(s) -
k1, ? 1
测量元件
k2, ? 2 放大元件
x>1, ? ? (1 ? x 2 ) ? 0 系统正阻尼,消耗能量
x=1, ? ? (1 ? x 2 ) ? 0
系统零阻尼,等幅振荡
4 频率Байду номын сангаас应发生畸变
非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率达正弦 信号分量 (基频分量 )外,还含有 ω 的高次谐波分量。
y(t) ωt
y(t)
ωt
y(t) ωt
若系统非线性环节奇对称 ，则有A0=0
? 1
An ? ?
2 ? y (t ) cos n? td ?? t ?
0
? B n
?
1
?
2?
y (t ) sin n? td ?? t ?
0
由于在傅氏级数中 n越大,谐波分量的频率越高， An，
Bn越小。此时若 系统高次谐波分量又进一步被充分衰减 ， 故可认为非线性环节的稳态输出只含基波分量，即
类似于线性系统中频率特性的定义，我们 把非线性元件
稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线
性环节的 描述函数，用N(A) 来表示，即
N ( A) ? Y1 e j?1 ? A12 ? B12 ? arctan A1
A
A
B1
由非线性环节描述函数的定义可以看出：
(1) 描述函数 类似于线性系统中的频率特性，利用描述 函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线 性元件，因此又叫做 谐波线性化 。线性系统频率法的推 广。
C(s) k3, ? 3
执行元件
将死区折算到测量元件的位置
?
?
?1 ?
?2 k1
?
?3 k1k2
可通过提高前级元件的增益来减小死区效应
非线性特性的等效增益
设非线性特性 y=f(x) 其中输入为 x,输出为y
等效增益
k?
y ?
f (x)
xx
y
死区特性 ? ?
0?
x
增益减小
增大了系统的稳态误差，
k0 k
第七章 非线性控制系统分析
7.1 引言 7.2 非线性控制系统概述 7.3 常见非线性特性分析 7.4 描述函数法
7.1 引言
理想的线性系统并不存在
7.2.非线性控制系统概述
一、 非线性系统的特点
1.不能应用叠加原理 2. 稳定性分析复杂
平衡状态 无外作用，且系统输出的各阶导数等于 0 线性系统：只有一个平衡状态 线性系统的稳定性，即该平衡状态的稳定性 非线性系统可能存在多个平衡状态
系统 x? ? x 2 ? x ? x ( x ? 1) (7.2.1)
令 x? ? 0 可知系统存在两个平衡状态
x=0和x=1
解(7.2.1)式
dx ? dt x( x ? 1)
积分得
x(t) ?
1?
x0e? t x0 ? x0e? t
x(t) x=1
0
ln x 0 x0 ? 1
x0>1 x0<1
降低了稳态精度。
x
?? 0 ?
2.饱和特性
y -a
M
k
-a ? ?
0? a x k
具有不灵敏区的
饱和特性
? ka
y(t) ?
? ?
kx
?? ? ka
-a
x? a | x |? a x ? ?a
y
k
0
ax
k
0
ax
增益减小
饱和特性 等效增益
带饱和的位置伺服系统
增益下降 使系统超调量减小， 平稳性变好。
t
x=0 平衡状态稳定。 x=1 平衡状态不稳定。
3. 可能存在自激振荡
自激振荡
没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具 有固定振幅和频率的稳定周期运动 ,简称自振。
范德波尔方程 van der pol equation
x??? 2? (1 ? x 2 )x? ? x ? 0
x<1, ? ? (1 ? x 2 ) ? 0 系统负阻尼,吸收能量
y(t ) ? y1 (t ) ? A1 cos ? t ? B1 sin ? t ? Y1 sin( ? t ? ? 1 )
式中
? A1
?
1
?
2? y(t) cos ? td ?? t ?
0
? B1
?
1
?
2?
y(t)sin ? td ?? t ?
0
Y1 ?
A
2 1
?
B12
?1
?
arctan
A1 B1