椭圆离心率的解法

椭圆离心率的解法

椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。

一、 运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率

为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜

｜BA ｜

⑤e=｜FO ｜

｜AO ｜

评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2

c ∴

有③。

题目1：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以

F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则

椭圆的离心率e ？

思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= c

a

= 3-1

变形1：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点

P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？

解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1

变形2: 椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB

为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,

求椭圆离心率？

解：∵｜PF 1｜= b 2

a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=

b ｜OA ｜=a

PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2

∴a 2

=5c 2

e=5

5

点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形

题目2：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦

点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?

解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2

a 2

+b 2

+a 2

=(a+c)2

=a 2

+2ac+c 2

a 2

-c 2

-ac=0 两边同除以a 2

e 2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-5

2

(舍去)

变形：椭圆x 2 a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5

2, A 是左顶点，

F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？

点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e=5-1

2

的椭圆为优美椭圆。

性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。 题目3：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角

为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜,求e? 解：设｜BF 1｜=m 则｜AF 2｜=2a-am ｜BF 2｜=2a-m

在△AF 1F 2 及△BF 1F 2 中，由余弦定理得：

⎩

⎪⎨⎪⎧a 2 –c 2=m(2a-c) 2(a 2-c 2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 ⇒e=2

3

题目4：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-

c ，0）、

F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且 ∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e?

分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。 解：由正弦定理：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜

sin F 1F 2P =

｜PF 2｜

sin PF 1F 2

根据和比性质：

｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜+｜PF 2｜

sinF 1F 2P+sin PF 1F 2

变形得： ｜F 1F 2｜ ｜PF 2｜+｜F 1P ｜ =sin F 1PF 2

sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 =

=2c 2a

=e ∠PF 1F 2 =75°∠PF 2F 1 =15° e= sin90° sin75°+sin15° =63

点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2

变形1：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2

=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、