椭圆离心率的解法
求椭圆离心率的方法
求椭圆离心率的方法椭圆的离心率是描述椭圆形状程度的一个数值，它是一个无量纲量，通常用字母e表示。
离心率的计算是通过椭圆的半长轴和半短轴来推导得到的。
首先，我们需要明确椭圆的定义。
椭圆是一个平面上的封闭曲线，它的形状类似于拉长的圆。
椭圆具有一对焦点（F1和F2），而且椭圆上的每一点到这两个焦点的距离之和是一个常数（2a）。
椭圆的长轴是连接两个焦点的直线段，并通过椭圆的中心点，而短轴则是与长轴垂直且通过椭圆的中心点的线段。
椭圆的离心率可以通过椭圆的半长轴（a）和半短轴（b）来计算。
半长轴表示椭圆长轴的一半，即半长轴等于长轴长度的一半，记作a；半短轴表示椭圆短轴的一半，即半短轴等于短轴长度的一半，记作b。
离心率的计算公式如下：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，e表示椭圆的离心率，b表示椭圆的半短轴长度，a表示椭圆的半长轴长度。
举个例子来说明，假设一个椭圆的半长轴的长度是4，半短轴的长度是2，我们可以通过公式来计算其离心率。
首先，计算a的平方：a^2 = 4^2 = 16然后，计算b的平方：b^2 = 2^2 = 4接下来，将b的平方除以a的平方：b^2/a^2 = 4/16 = 1/4最后，计算1减去b的平方除以a的平方的结果：1 - (1/4) = 3/4最后，我们取这个结果的平方根：√(3/4) ≈0.866因此，这个椭圆的离心率约为0.866。
我们可以看到，椭圆的离心率范围是0到1之间的实数，并且离心率越接近于0，椭圆的形状越趋近于圆；离心率越接近于1，椭圆的形状越趋近于长条形。
另外，如果我们已知椭圆的焦距（c）和长轴的长度（2a），也可以通过这些参数来计算椭圆的离心率。
这个计算公式为：e = c/a其中，e表示椭圆的离心率，c表示焦距的长度，a表示长轴的长度。
以上就是计算椭圆离心率的两种方法，通过半长轴和半短轴的长度或者通过焦距和长轴的长度都能得到椭圆的离心率。
一道椭圆离心率范围的八条求解途径
ｔ一２ ｔ （。 ． ：０的两实根 ． ａ ＋２ａ ．ｃ
・ ．
．
解 法 ８ 由 ｂｔ ０ ２ａ ｎ９
，
＝ ｆ Ｉｌ Ｉ × ×
０
Ａ＝（２ ） 一 ２ａ 一Ｃ） ｃ 一４ 一 ｄ ４× （ ＝８ ａ ≥０
Ｃ２
一 ，
＝ ＞ｅ２＝ ＝
≥～
１
＜ ａ２
，
化得 ｃ
—
—
。得
ｃ ≥ ｂ。： 口 一ｃ ，
ｃ
・
．
ｄ２
．
２ ｃ
ａ ．
一
ｃ
口 ≤ ２ｃ ＝ Ｐ＝ 一 ｑ２ ＝＞ Ｃ
．
ａ
２
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三 ≥
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又 ・０＜ｅ ． ・ ． ・ ＜１ ． ．
２
≤Ｐ ． ＜１
又 在椭 圆 中，０＜Ｐ ，． ≤ｅ ． ． ＜１ ・ ． ＜１ 途径 ２ 利用 余弦 定理
・
，ｌ
（ ２ｃ ｓ０＝Ｃ 一 ， 口 一ｂ）ｏ ｂ
．
Ｂ．
ｃＳ ：！ ｏ２
．
：— ＿ｂ２ ｃ ２
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．
／ 二
’
．
ａ‘一ｂ‘
．
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又 。 ≤ＣＳ ０＜ｌ Ｃ ≥ｂ ． ０ Ｏ ｊ ，即 Ｃ ａ ～ｃ 。 ．
． ．
解 法 １（ 图 ）在椭 圆 如
，
：９ 。 ．点 Ｐ在 以点 ０为 圆 ０， ・ ．
因 Ｐ点在椭圆上 ， 但不 在 ｘ轴上 ． ＜口 ０≤ 。。
。 —２ ２ ａ ２２ ｃ ＿ａ ｂ
・ ． ．
心，以ｌ ｆ ｃ ＝ 为半径的圆上， １ ｌｌ ｌ 即ｂ ， Ｏ ｏ 。 ｃ Ｂ
椭圆性质的离心率计算公式
椭圆性质的离心率计算公式椭圆是数学中非常重要的一种曲线，它具有许多独特的性质和特点。
其中，离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它可以帮助我们更好地理解和分析椭圆的形态和结构。
在本文中，我们将介绍椭圆性质的离心率计算公式，以及离心率在椭圆研究中的应用。
首先，让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。
椭圆是一个平面上的闭合曲线，其所有点到两个给定点（焦点）的距离之和是一个常数。
这两个给定点称为焦点，而这个常数称为椭圆的半长轴长度。
椭圆还有一个重要的参数叫做离心率，它可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
离心率的计算公式如下：e = c/a。
其中，e表示椭圆的离心率，c表示椭圆的焦点之间的距离，a表示椭圆的半长轴长度。
通过这个公式，我们可以很容易地计算出椭圆的离心率，从而更好地理解椭圆的形状和结构。
离心率的计算公式为什么是这样的呢？这涉及到椭圆的几何性质。
在椭圆中，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是很特殊的。
事实上，根据椭圆的定义，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是固定的。
这个关系就是椭圆的离心率。
通过这个关系，我们可以将椭圆的形状和结构用一个参数来描述，这就是离心率。
因此，离心率的计算公式e=c/a就是根据这个几何性质得到的。
离心率在椭圆研究中有着重要的应用。
首先，离心率可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
当离心率接近于0时，椭圆的形状接近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋向于长条形。
因此，通过离心率，我们可以直观地了解椭圆的形状特点。
其次，离心率还可以用来计算椭圆的面积和周长。
椭圆的面积和周长与离心率之间有着特定的数学关系，通过离心率的计算，我们可以更方便地计算出椭圆的面积和周长。
此外，离心率还可以用来分析椭圆的运动轨迹和力学特性，在天文学、航天学等领域有着广泛的应用。
除了椭圆，离心率的概念还可以推广到其他几何图形中。
例如，在圆锥曲线、双曲线等曲线中，离心率也是一个重要的参数，它可以用来描述这些曲线的形状和特性。
椭圆的离心率的计算公式
椭圆的离心率的计算公式椭圆是一种常见的几何图形，具有很多独特的性质和特点。
其中一个重要的性质就是离心率，它能够描述椭圆形状的“瘦”或“胖”程度。
在本文中，我们将介绍椭圆的离心率的计算公式以及其相关的概念和应用。
离心率（eccentricity）是衡量椭圆形状的一个重要参数，它定义为焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长度的比值。
离心率的计算公式如下：e = c/a其中，e表示椭圆的离心率，c表示焦点到椭圆中心的距离，a表示椭圆的半长轴长度。
根据离心率的定义，我们可以得出以下几个结论：1. 当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆。
因为此时焦点到椭圆中心的距离等于0，即焦点和中心重合。
2. 当离心率0<e<1时，椭圆是一个真正的椭圆，且焦点位于椭圆长轴上。
离心率越接近0，椭圆越接近于一个圆。
3. 当离心率e=1时，椭圆退化为一个特殊的椭圆，称为抛物线。
此时焦点位于无限远处，无法测量。
4. 当离心率e>1时，椭圆退化为一个双曲线。
离心率越大，椭圆越“瘦长”。
离心率不仅仅是一种几何概念，它在很多领域都有广泛的应用。
下面我们将介绍几个与离心率相关的实际应用。
1. 天体运动：离心率在天文学中有重要的应用。
行星、彗星和卫星的轨道都可以用椭圆来描述，而离心率则能够描述轨道的形状。
例如，地球的离心率约为0.0167，说明地球的轨道接近一个圆。
2. 工程设计：在工程领域，离心率常常用于描述椭圆形的结构，例如天桥的拱形设计。
离心率的选择会直接影响结构的稳定性和承载能力。
3. 天文观测：离心率也可以用于描述彗星的形状和轨道。
彗星的离心率通常较大，可以通过离心率的计算来预测彗星的轨道和运动轨迹。
4. 集中度分析：离心率在集中度分析中有重要的应用。
例如，在人口分布研究中，可以使用离心率来描述城市的集中程度和人口的分布情况。
椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它能够衡量椭圆的“瘦”或“胖”程度，并在很多领域有广泛的应用。
椭圆公式离心率
椭圆公式离心率
椭圆的离心率公式是：e=c/a=√(1-b²/a²)。
其中，e代表离心率，c代表焦距，a代表长半轴，b²代表短半轴的平方。
离心率是描述椭圆扁平程度的一种量度，定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值。
在椭圆的长轴不变的前提下，离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。
此外，离心率也可以表示为动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。
在圆锥曲线统一定义中，圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e×cosθ)，其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
例析椭圆、双曲线离心率的求法
例析椭圆、双曲线离心率的求法
椭圆和双曲线都是非常重要的数学曲线，从古代就有了历史。
它们的运用十分
广泛，比如天文学、力学等多种领域。
此外，椭圆和双曲线的离心率也是一个重要的概念，因此了解它们求法也是十分重要的。
首先，椭圆的离心率求法。
根据弦长定理，椭圆的离心率ε可表示为：ε＝c
／a，其中a为椭圆长轴，c为短轴，由此乘以ε即可求出离心率。
其次，双曲线的离心率求法。
根据常见的双曲线方程：x2/a2-y2/b2＝1，其中
a为椭圆长轴，b为短轴，把中间的数学符号μ代入公式：μ＝a2/b2;由此乘以
μ即可求出离心率。
另外，椭圆和双曲线的离心率也可以通过数学计算的方式进行求解，比如把它
们的方程式代入特殊函数求解，或者调用计算器进行计算，这些都有很多种方法。
为了解椭圆和双曲线的离心率，我们可以利用尺规、直角三角形等工具求解；
也可以通过计算机程序解出精确的实际结果。
有时候，采用抽象的思维能够获得更准确的结果。
但无论哪种方法，了解椭圆和双曲线的离心率都有它自身的优劣之处，希望大家可以按自己的意愿选择合适的方法。
专题：椭圆的离心率解法大全
专题：椭圆的离心率2，利用定义求椭圆的离心率(e C 或e 21 b )aa综上m 或333,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是X y6,设椭圆 — 亍=1 (a > b >0)的右焦点为F 1，右准线为11,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点ab 1 距离，则椭圆的离心率是 一。
2，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率1,在 Rt ABC 中，A 90 ,AB AC 1 ,如果一个椭圆过 A B 两点, 它的一个焦点为 C,另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 2,如图所示,椭圆中心在原点 则椭圆的离心率为 ［解析］b ( b ) c 3,以椭圆的右焦点 ,F 是左焦点，直线 AB 1与BF 交于D,且BDB 1M.5 1 2 2a c ac e ----------- 2 F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于1,已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率 e2,椭圆—1的离心率为-，则m m 2［解析］当焦点在x 轴上时，4 m -2 2m 3 ；当焦点在y 轴上时,16 m -， 34，已知m,n,m+n 成等差数列,m n , mn 成等比数列，则椭圆2—1的离心率为 ________________n2n 2m n［解析］由2n2m n m 22 2椭圆Xy1的离心率为2n 4m n2mn 01 5，已知一 21(m 0.n0) 则当 2xmn 取得取小值时，椭圆 22 y_ 21的的离心率为」m nmn22 2F 1到l 1的MF 与圆相切，则椭圆的离心率是,3 1解：TI F 1F 2 I =2c I BF 1 I =c I BF 2 I = 3c c+2 2X y变式(1):椭圆 君 + ~b^=1(a>b >0)的两焦点为 F 1、 寸3c=2a --e= aF 2，点P 在椭圆上，使厶OPF 为正三角形，求椭圆离心率?22X y相似题：椭圆 —+ —=1(a>b >0) , A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，/a b 解：I AO I =a I OF I =c I BF I =a I AB | = a 2+b 2点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
椭圆离心率总结汇总
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
求椭圆离心率的方法
求椭圆离心率的方法椭圆是一种重要的数学平面图形，它在物理、工程、天文学等领域中都有广泛的应用。
而离心率则是用来描述椭圆形状的一个重要参数，它可以通过多种方法计算或确定。
以下我将详细介绍椭圆离心率的计算方法。
首先，我们需要先了解椭圆的定义及相关性质。
椭圆是平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于常数的点构成的集合。
而椭圆的离心率定义为焦点距离与长短轴长度之比的绝对值。
一般表示为e。
离心率可以描述椭圆的扁平程度，离心率越接近于零，椭圆越趋近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越趋近于长条形。
那么如何计算一个给定椭圆的离心率呢？下面将介绍两种经典的计算方法。
第一种方法是使用椭圆的焦点和半轴长度来计算离心率。
椭圆的定义中提到了焦点距离之和等于常数的点构成椭圆。
我们可以通过测量椭圆上两个焦点的距离以及椭圆的长短轴长度来计算离心率的值。
具体的计算公式如下：e = c/a （1）其中e为椭圆离心率，c为两个焦点的距离，a为椭圆的长半轴长度。
第二种方法是使用椭圆的几何性质来计算离心率。
考虑给定椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
根据椭圆的性质，焦点的坐标可以表示为(c,0)和(-c,0)，其中c^2 = a^2 - b^2。
我们可以通过测量椭圆的长半轴长度a和短半轴长度b来计算离心率的值。
具体的计算公式如下：e = √(1 - b^2/a^2) （2）其中e为椭圆离心率，a为椭圆的长半轴长度，b为椭圆的短半轴长度。
以上是两种比较常见的计算离心率的方法。
但在实际应用中，我们往往通过测量椭圆上的焦点或半轴长度来确定椭圆的离心率。
比如，在天文学中，测量行星、彗星的椭圆轨道时，可以通过测量焦点距离和半轴长度来计算离心率，从而揭示天体运行的规律。
另外，还有一些特殊情况下的椭圆离心率计算方法。
当椭圆的离心率接近于1时，我们可以用近似公式：e ≈1 - (b/a) (3)其中e为椭圆离心率，a为长半轴长度，b为短半轴长度。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
椭圆离心率范围的求法总结
椭圆离心率范围的求法总结
椭圆的离心率是一个描述椭圆形状的参数，它的取值范围在[0,1)之间。
下面是关于椭圆离心率范围的求法总结：
1. 椭圆离心率定义：椭圆的离心率e是焦点距离F与两个焦点连线的长度2a之比：e = F/2a。
其中F是焦点到椭圆中心点的距离，a是椭圆的半长轴长度。
2. 确定椭圆的半长轴a和焦点到椭圆中心点的距离F。
3. 计算离心率e = F/2a。
4. 判断离心率范围：离心率e的取值范围在[0,1)之间，即0 <=
e < 1。
总结起来，求解椭圆离心率的步骤包括确定椭圆的半长轴和焦点到椭圆中心点的距离，然后通过计算得到离心率，最后判断离心率是否满足取值范围。
专题讲座：椭圆离心率的常规求法(文)
a,c的齐次式，解出e. 2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长 成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角 三角形，求椭圆的离心率.
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
刘帅帅
一.复习巩固
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法 例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x2 + y2 =1的离心率为1/2，求m的值.
四.高考链接
（ (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点），设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =，1
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
五.小结
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的 离心率。
变式训练2：
椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
求椭圆离心率的题型
椭圆离心率的题型椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求解椭圆的离心率的三种方法：1.定义法：求出a ，c ，代入公式c e a=，根据离心率的定义求解离心率； 2.齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； 3.特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.一、定义法，求出a ，c ，代入公式c e a=，根据离心率的定义求解离心率e 1．已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3二、齐次式法，由已知条件得出关于,a c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解 （1）通过等量关系列式得出关于,a c 的齐次方程1．若一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则该椭圆的离心率e =（ ）A B C ．35 D 2．椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1()0F c -，到过顶点(0)A a -，，(0)B b ，的直线的，则该椭圆的离心率e =（ ）A B ．12 C ．2 D 3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．12C D4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线22(0)y bx b =>的焦点分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）A ．1617BC ．45D 5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若0MN NF ⋅=，则椭圆的离心率为（ ）A ．2 B ．12 C ．12 D ．12（2）通过特殊三角形的边关系列式得出关于,a c 的二元齐次方程 1．设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F P 、，是C 上的点2121230PF F F PF F ⊥∠=︒，，则C 的离心率为（ ）A B ．13 C ．12 D ．32．若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A 1BC 1D ．23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A ．12 B ．2 C ．14 D4．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF △为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是e =（ ）A B 1 C 1 D -5．设1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D 6．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，点P 在椭圆C 上，且213PF PF =，若线段1PF 的中点恰在y 轴上，则椭圆的离心率为（ ）A B C ．2 D ．127．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左.右焦点为1 F ，2 F ，过2 F 垂直于 x 轴的直线交C 于 A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D 8．在Rt ABC 中，AB AC =，如果一个椭圆通过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（ ）A B 1 C 1 D -9．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，212PF F F ⊥，直线1PF 与y 轴交于点Q ，若||4b OQ =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．12D ．2310．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 11．设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．13 D ．1612．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，左､右两焦点分别为1F ､2F ，若12AF F △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12BC ．13D 13．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A 为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP ，则该椭圆的离心率是（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2 14．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．315．已知P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点，1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，O 是坐标原点，若212OP OF OF +=且1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D（3）求出某个在椭圆上的点的坐标，再把坐标代入标准方程，得出关于,a c 的齐次方程1．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．34 C ．12 D ．142．椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN 使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12C ．2D ．123．已知12,F F 是椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，且满足112||2||,||||AF BF AB BF ==，则该椭圆的离心率是（ ）A ．12B ．3C D4．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于（ ）A 1B ．2CD ．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若114PF FQ =，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．5 D ．76．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ）A ．22143x y += B ．22186x y + C ．22142x y += D ．22184x y += 7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为（ ）A B C D（4）点差法 1．已知P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且34PA PB k k ⋅=-，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．2（5）涉及到最值1．设椭圆C ：22214x y a +=(2a >)的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y x t =+交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB 的周长的最大值为12，则C 的离心率为（ ）A B ．3 C ．3 D ．59 2．已知椭圆C 过点(5,0),(0,)A B b -，左､右焦点分别为1F ､2F ，中心在原点，点M 的坐标为(1,2)，P 为椭圆上一动点，若1PF PM +的最大值为10，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．45。
专题：椭圆的离心率解法大全
e 的取值范围。
解:设 Px, y , F1 c,0 , F2 c,0
法 1:利用椭圆范围。
由 F1P F2P 得 x 2
y2
c2 ，将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得 x 2 a 2c2 a 2b 2 a2 b2
a 2 (c2 a 2 ) 。 e2
由椭圆的性质知 0 x 2 a 2 ，得以e [ 2 ，1）。 2
1
1
,由
a sin cos 2 sin
4
12
,
4
得
2 e 2
6。 3
６,如图,在平面直角坐标系
xoy
中，
A1
,
A2
,
B1,
B2
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的四个顶点， F
为其右焦
点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率
分析:此题有角的值,可以考虑正弦定理的应用。
解:由正弦定理：错误! ＝ 错误! PF2 sin PF1F2
根据和比性质：
错误!＝ 错误! 变形得： 错误! =错误! 2c =e 2a
∠PＦ１F2 ＝7５°∠PＦ2Ｆ1 =１５°
ｅ＝
sin９0° sin75°+sｉn15°
=错误!
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=＼f(ｓin Ｆ1PF2 ，sｉｎ Ｆ1F2P ＋sｉn PF1F2 )
∣MF∣=∣MＯ∣,则椭圆的离心率是 3 1
４,椭圆错误! +错误!=1(ａ>ｂ >0)的两焦点为 F１ 、Ｆ2 ，以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两
圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧
圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线，是指在圆锥平面中，通过一个固定点和一个固定直线的点集，主要包含了椭圆、双曲线和抛物线三种常见形态。
而关于圆锥曲线的离心率问题一直是考试中常出的内容，掌握好这方面的知识点和解题技巧，对于我们来说至关重要。
一、椭圆离心率题型及解题技巧：椭圆是圆锥曲线的一种，它的离心率为介于0和1之间的有理数，如0.1、0.3等。
我们在应对椭圆离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、当椭圆的长轴和短轴长度已知时：已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，求椭圆离心率。
解法：利用椭圆离心率的定义式，将长轴和短轴代入，去消掉e。
得e^2 = 1 - (b/a)^2e = √(1 - (b/a)^2)2、当已知椭圆的焦点和顶点时：已知椭圆的一焦点为F1，另一焦点为F2，顶点为P，求椭圆离心率。
解法：通过焦点和顶点P，可得到椭圆的长轴的长度2a，因为F1、F2与P在同一直线上，故PF2 = PF1 + 2a。
/e= F1P/F2P = PF2 - PF1 / PF2 + PF1=2a/2PF1，可求得e的值。
二、双曲线离心率题型及解题技巧：双曲线离心率大于1，如2、3等，我们在应对双曲线离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、已知双曲线的焦点和距离，求双曲线离心率。
已知双曲线的两焦点为F1,F2，且F1F2距离为d，求双曲线的离心率。
解法：当双曲线焦点间距为2c时，可以列出双曲线离心率e的计算公式：e=c/a，其中a为距离焦点最近的水平轴的长度，c为两焦点间的距离。
而d=2a*e，所以：e=d/(2a)。
2、已知双曲线与其对称轴，求双曲线离心率。
已知双曲线的对称轴为y=k，有关于x轴的对称，且两条渐近线的交点的坐标为(x0,0)。
解法：可以通过已知条件列出双曲线的标准方程：(x-x0)²/b² - y²/a² =1，其中a为双曲线与纵轴的交点的距离，b为双曲线的半焦距。
离心率问题的7种题型15种方法
离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式题型一 椭圆离心率的求值方法一 定义法求离心率1. 已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（ ） A .31 B .21 C .22 D .322 【解析】 14222=+y a x ，∵ a 2−4=4⇒a =2√2 ，则 e =c a =2√2=√22 ，选C2. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12c e a ==，选B3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25D . 15【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得：2225230,5230c ac a e e +-=+-=，选B4. 椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为【解析】椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=55方法二运用通径求离心率5.设椭圆C2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于【解析】不妨假设椭圆中的a=1，则F1（﹣c，0），F2（c，0），当x=c时，由2222x ya b+=1得y=ab2=b2，即A（c，b2），B（c，﹣b2），设D（0，m），∵F1，D，B三点共线，∴，得m=﹣2b2，即D（0，﹣2b2），∴若AD⊥F1B，在，即=﹣1，即3b4=4c2，则3b2=2c=3（1﹣c2）=2c，即3c2+2c﹣3=0，解得c==，则c=，∵a=1，∴离心率e=ac=336.从椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥O P(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是【解析】由题意知A(a,0)，B(0，b)，P2,bca⎛⎫-⎪⎝⎭∵AB∥O P，∴2b bac a-=-.∴b＝c；又∵a2＝b2＋c2，∴22212cea==.∴2e=7.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【解法一】设1(,0)F c-，2(,0)F c，由题意易知，21212,PF F F c PF===，1212212F Fcea PF PF∴====+【解法二】由题意易知，2122,PF FF c ==由通径得22=a b PF ，故22c=ab ，解得e 1方法三 运用e =e = 8. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为【解】 如图，，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF |=2|FD |，得，a 2=3c 2，解得e ==33，9. 经过椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
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椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值围的处理，同学们很茫然，没有方向性。
题型变化很多，难以驾驭。
以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。
一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2c ∴有③。
题目1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF 1｜= b 2a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=aPF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2∴a 2=5c 2e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2a 2+b 2+a 2=(a+c)2=a 2+2ac+c 2a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2e 2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变形：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
答案：90° 引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。
性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。
3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。
题目3：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜,求e? 解：设｜BF 1｜=m 则｜AF 2｜=2a-am ｜BF 2｜=2a-m在△AF 1F 2 及△BF 1F 2 中，由余弦定理得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2 –c 2=m(2a-c) 2(a 2-c 2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 ⇒e=23题目4：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且 ∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：由正弦定理：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜sin F 1F 2P =｜PF 2｜sin PF 1F 2根据和比性质：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜+｜PF 2｜sinF 1F 2P+sin PF 1F 2变形得： ｜F 1F 2｜ ｜PF 2｜+｜F 1P ｜ =sin F 1PF 2sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 ==2c 2a=e ∠PF 1F 2 =75°∠PF 2F 1 =15° e= sin90° sin75°+sin15° =63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2变形1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求e 的取值围？分析：上题公式直接应用。
解：设∠F 1F 2P=α，则∠F 2F 1P=120°-αe=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 = sin60°sin α+sin(120°-α) = 1 2sin(α+30°)≥12 ∴12≤e<1变形2：已知椭圆x 24+ y 24t 2 =1 (t>0) F 1F 2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）设∠PF 1F 2 =α,∠PF 2F 1 =β若13 <tan α 2< tan β2 <12 ,求e 的取值围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。
解;根据上题结论e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 =sin(α+β)sin α+sin β=2sin α+β 2 cosα+β 22sin α+β 2 cos α-β 2= cos α 2cos β 2 -sin α 2 sin β 2cos α 2cos β 2 +sin α 2 sin β 2=1- tan α 2 tan β21- tan α 2 tan β2=e∵13<1-e 1+e <12 ∴13<e<12三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e 所符合的关系式.题目5：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，求e?法一：设A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2y=x-c(a 2+b 2)x 2-2a 2cx+a 2c 2-a 2b 2=0 x 1+x 2=2a 2c a 2+b 2 y 1+y 2=2a 2c a 2+b 2-2c=-2b 2c a 2+b 2→OA +→OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)与（3，-1）共线，则 -（x 1+x 2）=3(y 1+y 2)既 a 2=3b 2e=63法二：设AB 的中点N ，则2→ON =→OA +→OB ⎩⎪⎨⎪⎧x 12a 2+ y 12b 2=1 ①x 22a 2+ y 22 b2=1 ② ① -② 得： y 1-y 2x 1-x 2 =- b 2a 2 x 1 +x 2 y 1+y 2 ∴1=-b 2a 2 (-3) 既a 2=3b 2e=63四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值围。
题目6：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆部，则e 的取值围？分析：∵→MF 1·→MF 2 =0∴以F 1F 2 为直径作圆，M 在圆O 上，与椭圆没有交点。
解：∴c<ba 2=b 2+c 2>2c 2∴0<e<22题目7：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的垂直平分线恰过F 2 点，求e 的取值围？分析：思路1,如图F 1P 与 F 2M 垂直，根据向量垂直，找a 、b 、c 的不等关系。
思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e 解法一：F 1 （-c ，0） F 2 (c,0) P(a 2c ,y 0 ) M( a2c -c 2 ,y 02 )既( b 22c , y 0 2 ) 则→PF 1 =-( a 2c +c, y 0 )→MF 2 =-( b 22c -c, y 0 2 ) →PF1·→MF 2 =0 ( a 2c +c, y 0 ) ·( b 22c -c, y 02)=0( a 2c +c)·( b 22c -c)+ y 022 =0a 2-3c 2≤0 ∴33≤e<1解法2：｜F 1F 2｜=｜PF 2｜=2c｜PF 2｜≥a 2c -c 则2c ≥a 2c -c 3c ≥a2c3c 2≥a 2则33≤e<1总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。
所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。
离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。