最新离散数学期末考试试题配答案
离散数学期末考试题及详细答案
离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。
B. 如果今天是周一，则明天不是周二。
答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。
这种性质称为函数的______。
答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。
如果一个图的直径为1，则该图被称为______。
答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。
布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。
答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。
答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。
例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。
2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。
答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案1.选择题（每题3分，共30分）1. 下列命题中，属于复合命题的是：A. 3是一个奇数，且2是一个偶数B. 如果2是一个素数，那么4也是一个素数C. 不是所有奇数都是素数D. 存在一个整数x，使得x>5且x是一个偶数答案：D2. 已知命题p：草地是绿的，命题q：天空是蓝的。
下列表述可以表示p ∧ ¬q 的是：A. 草地是绿的，天空是蓝的B. 草地不是绿的，天空是蓝的C. 草地是绿的，天空不是蓝的D. 草地不是绿的，天空不是蓝的答案：B3. 设命题p表示“这个数是偶数”，q表示“这个数大于10”。
那么“这个数既是偶数又大于10”可以表示为：A. p ∧ qB. p ∨ qC. ¬p ∧ qD. ¬p ∨ q答案：A4. 下列以下列集合的方式描述，其中哪个是空集∅：A. {x | 0 ≤ x ≤ 1}B. {x | x是一个自然数，x > 10}C. {x | x是一个正偶数，x < 2}D. {x | x是一个负整数，x < -1}答案：C5. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，C = {a, c, e}。
则(A ∪ B) ∩ C等于：A. {a, b, c, d, e}B. {a, c, e}C. {c}D. 空集∅答案：B6. 假设U是全集，A、B、C是U的子集。
则(A ∪ B) ∩ C 的补集是：A. A ∩ B ∩ C的补集B. (A ∪ B) ∩ C的补集C. A ∪ (B ∩ C)的补集D. (A ∩ C) ∩ (B ∩ C)的补集答案：D7. 若关系R为集合A到集合B的一种映射，且|A| = 7，|B| = 4，则R包含的有序对数目为：A. 4B. 7C. 11D. 28答案：D8. 设A={1,2,3}，B={4,5,6}，则从A到B的映射总数为：A. 3B. 9C. 6D. 18答案：C9. 设A={a,b,c,d,e}，则集合A的幂集的元素个数是：A. 2B. 5C. 10D. 32答案：D10. 若f：A→B为满射且g：B→C为单射，则(g ∘ f)：A→C为：A. 双射B. 满射C. 单射D. 非单射且非满射答案：A2.简答题（每题10分，共20分）1. 请简要解释什么是关系R的自反性、对称性和传递性。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，空集表示为：A. {0}B. {1}C. {}D. Ø答案：D2. 命题逻辑中，下列哪个是合取命题的真值表？A. P | Q | P ∧ QB. P | Q | P ∨ QC. P ∧ Q | P ∨ QD. P ∧ Q | ¬(P ∨ Q)答案：A3. 函数f: A → B是单射的，那么f的逆函数：A. 一定存在B. 一定不存在C. 可能存在D. 以上都不对答案：C4. 关系R是自反的，那么对于所有a∈A，以下哪个命题一定为真？A. (a, a) ∈ RB. (a, a) ∉ RC. (a, a) ∈ R或(a, a) ∉ RD. (a, a) ∈ R且(a, a) ∉ R答案：A5. 在图论中，下列哪个不是图的基本术语？A. 顶点B. 边C. 子集D. 路径答案：C6. 命题p: “如果x是偶数，则x能被4整除”的否定是：A. 如果x是偶数，则x不能被4整除B. 如果x不是偶数，则x不能被4整除C. 如果x不是偶数，则x能被4整除D. 如果x是偶数，则x不能被4整除或x不是偶数答案：A7. 有向图G中，如果存在从顶点u到顶点v的有向路径，则称v是u 的：A. 祖先B. 后代C. 邻居D. 连接点答案：B8. 在命题逻辑中，下列哪个命题是永真命题？A. (P ∧ ¬P) ∨ (P ∨ ¬P)B. (P ∧ ¬P) ∧ (P ∨ ¬P)C. (P ∨ ¬P) ∧ (¬P ∨ P)D. (P ∧ ¬P) ∧ (¬P ∧ P)答案：C9. 以下哪个选项是等价命题？A. P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)B. P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)C. P ∨ ¬P ≡ ¬P ∧ PD. P ∧ ¬P ≡ ¬P ∨ P答案：A10. 树是无环连通图，以下哪个是树的属性？A. 至少有一个环B. 至少有两个顶点C. 至少有一个顶点D. 至少有一个边答案：B二、填空题（每空2分，共20分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集含有__个元素。
离散数学期末考试题(附答案和含解析)
一、填空2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 (B ⊕C)-A4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图如下，则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。
//备注：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000101001012R7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如下，则R= {(a,b),(a,c), (a,d), (b,d), (c,d)} U {(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)} 。
//备注：偏序满足自反性，反对称性，传递性8．图的补图为 。
//补图:给定一个图G ,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图. 自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为 a,b,c,d ，它们的逆元分别为 a,b,c,d 。
//备注：二元运算为x*y=max{x,y}，x,y ∈A 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。
//（注：什么是格？即任意两个元素有最小上界 和最大下界的偏序）二、选择题1、下列是真命题的有（ C 、D ）A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ．}},{{ΦΦ∈Φ； D ．}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（ B 、C ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
离散期末考试题及答案
离散期末考试题及答案离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示属于关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 有限集合A和B的并集，其元素个数最多是A和B元素个数之和，这个性质称为：A. 德摩根定律B. 幂集C. 并集原理D. 子集原理答案：C3. 命题逻辑中，以下哪个命题是真命题？A. (p ∧ ¬p) ∨ qB. (p ∨ ¬p) ∧ qC. (p ∨ q) ∧ ¬pD. (p ∧ q) ∨ ¬p答案：B4. 在图论中，一个无向图的边数至少是顶点数的多少倍才能保证图中至少存在一个环？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 以下哪个算法用于生成一个集合的所有子集？A. 欧拉回路B. 哈密顿回路C. 深度优先搜索D. 子集生成算法答案：D6. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D7. 以下哪个是有限自动机的状态？A. 初始状态B. 终止状态C. 转移状态D. 所有选项答案：D8. 以下哪个是图论中的一个基本定理？A. 欧拉定理B. 哈密顿定理C. 狄拉克定理D. 所有选项答案：D9. 在命题逻辑中，以下哪个是德摩根定律的逆命题？A. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬qB. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qC. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∨ ¬qD. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∧ ¬q答案：B10. 在集合论中，以下哪个操作表示集合的差集？A. ∩B. ∪C. -D. ×答案：C二、填空题（每空3分，共30分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集包含________个元素。
国家开放大学电大本科《离散数学》2022-2023期末试题及答案(试卷号：1009)
国家开放大学电大本科《离散数学> 2022-2023期末试题及答案（试卷号：1009）一、单项选择题(每小题3分，本息共16分)1, 若集合A = <1,2,3},则下列表述正确的是〈 )•A. {1,2,3}€AB. AC(1,2}C. U,2,3}gAD. {1,2}£A2. 设 A = {1,2,3},B = (1,2,3,4},人到 B 的关系 R = {O ,>> |工 £ A ,了 £ B },则 R =().A. {<1,2>,V2,3>}B. {V1,1>,V1,2>,V1,3>,V1,4>，V1,5>}C. «1,1>,<2,1>)D. {<2,】>,V3,】>,V3,2>}3. 无向图G 的边数是10,则图G 的结点度数之和为(A. 10B. 20C. 30D. 54. 如图一所示，以下说法正确的是〈 )•A. e 是割点B. {a,e}是点割集C. (b.e}是点割集D. {d}是点割集5-设个体域为整数集，则公式Vx3y （x+y = 2）的解释可为（）.A. 任意整数工，对任意整数y 满足工+了 = 2B. 对任意整数工，存在整数y 满足工+了 = 2C. 存在一整数z,对任意整数y 满足工+了 = 2D. 存在一整数工，有整数了满足x+jr = 2则人 CHBUC ）等于 _____ .7. 设 A = {1,2},B = <2,3},C=（3,4},从 A 到 B 的函数/= （VI,2>,V2,3>},从 B到 C 的函数 g = （V2,3>,V3,4>},则 Ran （g 0/）等于 ______ .8. 设G 是汉密尔顿图，S 是其结点集的一个子集，若S 的元素个数为6,则在G-S 中的连通分支数不超过 ________ .二、填空霆（每小题3分，本题共15分）9.设G是有8个结点的连通图，结点的度数之和为24,则可从G中删去 ________ 条边后使之变成树.10.设个体域D = {1,2, 3, 4},则谓词公式（VQ A S）消去量词后的等值式为H.将语句“昨夭下雨，今天仍然下雨.”翻译成命题公式.12. 将i 吾句“我们下午2点或者去礼堂看电彩或者去教室看书.”翻译成命飓公式. 得分评卷人13. 不存在集合A 与B,使得AEB 与AQB 同时成立.14. 如图二所示的图G 存在一条欧拉回路.15. 设 A = ｛l,2,3｝,R = （<x,y>l=£A<yCA 且 1+»=4｝击=｛〈工，3>0£人，36人且 工=）｝，试求 R,S,R" ,r （S ）.16. 设图 G = <VtE>»V=（v! 试（1） 画出G 的图形表示； （2） 写出其邻接矩阵； （3） 求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形•17. 求-I （PVQ ）VR 的析取范式与主合取范式•18. 试证明门 PVQ»P -*(i (n PVn Q)〉.（仅 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.C2. D3. B二、填空题（每小题3分，本题共15分）6. {b t c)7. {3,4）（或 C ） 8.6 9.5评卷人三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）四、判断说明题（判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本题共14 分）评卷人五、计算题（每小题12分，本题共36分）评卷人六、证明题（本题共8分）10.A（1）AA（2） AA（3） AA（4）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11.设P：昨天下雨,Q：今天下雨. （2分）则命题公式为:PAQ. （6分）12.设P：我们下午2点去礼堂看电影，Q：我们下午2点去教室看书. （2分）则命题公式为门（P-Q）. （6分）注:或者（1 PAQ）V（PAi Q）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13.错误•（3分）例:设A = {a},B^{a,{a}}（5 分）则有AEB且AWB. （7分）说明:举出符合条件的反例均给分.14.正确. （3分）因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数均为偶数. （7分）如果具体指出一条欧拉回路也同样给分.五、计算题（每小题12分，本题共36分）15.解：R = {V1,3>,V2,2>,V3,1>} （3分）S = {<1,1>,<2,2>,<3,3>} （6分）7?~* = （<3,1>,<2,2>,<1,3>} （9分）r（S） = （<l,l>,<2,2>,<3,3>} （12分）说明：对于每一个求解项，如果部分正确，可以给对应1分・16.解：（1）（2）邻接矩阵10 0.(3)deg(pi) = 2deg(v2)=2deg(v3)=Odcg(vj = 2 (9 分)(4)补图(12 分)17.解门(PVQ)VR«=>(-, PA-i Q)VR 析取范式(5分)PVR)A(n QVR) (7分)«((n PVK)V(QA-i Q))A(-| QVR) (9分) E((I P VK) V(QA-i Q))A((n QV^>V(P An P)) (10分)«(-i PVR VQ) A(" VR Vi Q) A(i QVk VP)A(i QVRV") ⑴分) «(PV-i QVR)A(i PVQVR)A(rPVi QVR) 主合取范式(12 分)六、证明题(本题共8分)18.证明：(Di PVQ P(1 分)<2)P P(附加前提) (3分)(3)Q T(l)(2)/ (5 分)(4)PAQ T(2)(3)/ (6 分)(5)n(i PV-i Q) T(4)E (7 分)(6)P^n (n PV-i Q) CP 规则(8 分)说明：(D因证明过程中，公式引用的次序可以不同，一般引用前提正确得1分，利用两个公式得出有效结论得1或2分，最后得出结论得2或1分.(2)可以用真值表验证.采用反证法可参照给分.。
离散数学期末考试试题与答案
12. (8分) (G, · )是一个群，取定u ∊ G. ∀g1,g2∊G，定义： g1*g2= g1· u-1· g2. 证明: (G,*)是群。
证明: (1) 封闭性 (2) 可以结合性 (3) 幺元 e*=u. 事实上, g*e*=g*u=g· u-1· u=g· e=g e**g=u*g=u· u-1· g=e· g=g (4) 逆元 对于∀g∊G, 在代数运算*下的逆元记为g*-1 于是, g*-1=u· g-1· u 这里, g-1是在代数运算· 下的逆元
13. (5分) G是一个群,H,K是G正规子群. 证明: H∩K是G正规子群.
证明: (1) (3分) a,b HK,就有a,b H, a,b K， 因为H, K是群G的子群， 所以，a*b-1H，a*b-1K，因此a*b-1 HK。故 HK是G的子群。 (2) (2分) 对于a HK, gG, 就有a H，aK。 因为H，K是群G的正规子群，所以 g*a*g-1H, g*a*g-1K, 从而有g*a*g-1HK， 故HK是G的正规子群。
1. (6分) 已知 A={{a},a,b}, B={{b}, a}, 求 A×B, AB, P(A). 解: A×B={({a},{b}), ({a},a), (a, {b}), (a, a), (b, {b}), (b, a)} AB=(A-B) ∪(B-A)={{a}, b, {b}} P(A)={Ø, {a}, a, b, {{a}, a}, {{a},b}, {a,b}, A}.
2. (4分) 已知R1,R2是A上的对称关系, R1∘R2对称吗? 证明或 举反例说明.
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是图的边数与顶点数的关系？A. 边数小于顶点数B. 边数等于顶点数C. 边数大于顶点数D. 边数与顶点数无固定关系答案：D2. 有限自动机的英文缩写是什么？A. FAB. PDAC. TMAD. NFA答案：A3. 布尔代数中，德摩根定律是指什么？A. ¬(A ∧ B) 等于¬ A ∨ ¬ BB. ¬(A ∨ B) 等于¬ A ∧ ¬ BC. A ∧ B 等于¬(A ∨ B)D. A ∨ B 等于¬(¬ A ∧ ¬B)答案：B4. 在命题逻辑中，以下哪个符号表示蕴含？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C5. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A ∪ B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 3, 4}答案：A6. 以下哪个选项是正确的递归定义？A. 一个数是偶数当且仅当它是2的倍数B. 一个数是偶数当且仅当它不是2的倍数C. 一个数是偶数当且仅当它是另一个偶数加1D. 以上都是正确的递归定义答案：A7. 有向图和无向图的主要区别是什么？A. 有向图的边有方向，无向图的边没有方向B. 有向图的顶点有方向，无向图的顶点没有方向C. 有向图的边可以相交，无向图的边不可以相交D. 有向图可以有环，无向图不可以有环答案：A8. 在命题逻辑中，以下哪个公式是矛盾的？A. A ∧ ¬ AB. A ∨ ¬ AC. A → BD. A ∧ B ∧ ¬ A答案：A9. 以下哪个是图的同义术语？A. 网络B. 矩阵C. 树D. 以上全部答案：A10. 以下哪个命题逻辑公式是有效的？A. (A → B) ∧ (B → A)B. (A ∧ B) → AC. (A ∨ B) → AD. (A ∧ B) → B答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 在命题逻辑中，_________ 表示一个命题是真的，而 _________ 表示一个命题是假的。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个选项不是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 乘法答案：D2. 命题逻辑中，以下哪个命题不是基本的逻辑连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 等于（=）答案：D3. 在图论中，一个图的度数之和等于边数的几倍？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 以下哪个是布尔代数的基本定理？A. 德摩根定律B. 布尔代数的分配律C. 布尔代数的结合律D. 所有选项都是答案：D5. 以下哪个不是组合数学中的计数原理？A. 加法原理B. 乘法原理C. 排列D. 组合答案：C6. 在关系数据库中，以下哪个操作不是基本的数据库操作？A. 选择B. 投影C. 连接D. 排序答案：D7. 以下哪个是有限自动机的组成部分？A. 状态B. 转移C. 输入符号D. 所有选项都是答案：D8. 以下哪个命题逻辑表达式是真命题？A. (p ∧ ¬p) ∨ qB. (p ∨ ¬p) ∧ qC. (p → q) ∧ (q → p)D. (p → q) ∧ (¬p → ¬q)答案：D9. 以下哪个是归纳法证明的基本步骤？A. 基础步骤B. 归纳步骤C. 反证法D. 所有选项都是答案：B10. 以下哪个是图的遍历算法？A. 深度优先搜索（DFS）B. 广度优先搜索（BFS）C. Dijkstra算法D. 所有选项都是答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述命题逻辑中的德摩根定律。
答案：德摩根定律是命题逻辑中描述否定命题的两个重要定律。
它们分别是：- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q2. 解释什么是图的连通分量，并给出一个例子。
答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图。
大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)
大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)一、选择题1. 离散数学的主要研究对象是（）。
A. 连续的数学结构B. 有限的数学结构C. 数学的综合应用D. 数学的哲学思考2. 命题逻辑是离散数学的一个重要组成部分，它主要研究（）。
A. 命题之间的真假关系B. 变量之间的关系C. 函数之间的关系D. 集合之间的关系3. 集合的基本运算包括（）。
A. 并、交、差、补B. 加、减、乘、除C. 包含、相等、不等、自反D. 大于、小于、等于、不等于二、填空题1. 若集合A={m|2m-1>3}，则A中的元素为______。
2. 有一个集合A={1，2，3}，则集合A的幂集为______。
3. 若命题p为真，命题q为假，则复合命题“p∧q”的真值为______。
三、解答题1. 请写出离散数学中常用的数学符号及其含义。
2. 请解释命题逻辑中的充分必要条件及其符号表示，并给出一个例子。
3. 请定义集合的笛卡尔积，并给出两个集合进行笛卡尔积运算的例子。
四、问答题1. 离散数学在计算机科学中有着重要的应用，请列举三个与计算机科学相关的离散数学应用领域并简要介绍。
2. 请简要解释归纳法在离散数学中的作用，并给出一个使用归纳法证明的例子。
3. 什么是有向图？请给出一个有向图的例子，并解释该图中的关系。
参考答案：一、选择题1. B2. A3. A二、填空题1. A={m|2m-1>3}2. {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}3. 假三、解答题1. 常用数学符号及含义：- ∪：并，表示集合的合并操作。
- ∩：交，表示集合的交集操作。
- ∖：差，表示减去一个集合中的元素。
- ⊆：包含，表示一个集合包含于另一个集合。
- =：相等，表示两个集合具有相同的元素。
2. 充分必要条件是指一个命题的成立与另一个命题的成立互为必要条件，若A是B的充分必要条件，那么当A成立时B一定成立，且当A不成立时B也一定不成立。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的子集个数是：A. 3B. 4C. 8D. 2^3答案：C2. 命题逻辑中，命题p∧(q∨¬p)的真值表中，真值个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 函数f: A→B中，若A={1, 2}，B={a, b}，则f是单射的必要条件是：A. |A| ≤ |B|B. |A| < |B|C. |A| = |B|D. |A| > |B|答案：B4. 以下哪个图是无向图？A. 有向图B. 无向图C. 完全图D. 树答案：B5. 在图论中，一个图的生成树是：A. 包含图中所有顶点的最小连通子图B. 包含图中所有边的最小连通子图C. 包含图中所有顶点和边的连通子图D. 包含图中所有顶点和边的无环子图答案：A6. 以下哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数B. 所有整数都是偶数C. 所有奇数都是整数D. 所有整数都是奇数答案：A7. 在布尔代数中，以下哪个运算符表示逻辑与？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B8. 有限状态机中，状态的转移是由以下哪个决定的？A. 当前状态B. 输入符号C. 当前状态和输入符号D. 输出符号答案：C9. 以下哪个是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 动态规划D. 分治算法答案：A10. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的交集？A. ∪B. ∩C. ×D. ÷答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的幂集是{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}，其中包含元素个数最多的子集是_。
答案：{1, 2, 3}2. 在命题逻辑中，如果p和q都为真，则p∨q的真值为_。
答案：真3. 函数f: A→B中，若A={1, 2}，B={a, b, c}，则f是满射的必要条件是_。
《离散数学》期末练习题考试卷和答案
a , b, c , d , e, f , g，那么 所对应的 19. 设集合 A a , b , c , d , e , f , g ， A 上有一个划分
等价关系 R 应有（ ）个序偶。 ）。
20. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*： a * b a b ab ，则 Q , * 的幺元是（
等价关系 R 应有（ ）个序偶。 ）。
25. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*： a * b a b ab ，则 Q , * 的幺元是（
26. 一个（
）称为布尔代数。
27．P Q P Q 的主析取范式是
。(写出一般
5
表示形式即可) 28．设集合 A a , b , c , d ， R 是 A 上的二元关系，且 R a , b , b , a , b , c , c , d , a , c ， 则 R 的传递闭包 t R 。
C． x x是正整数, x 5
D． x x是有理数, x 5
。
6．下面有关集合之间的包含和属于关系的说法，正确的是 Ⅰ． Ⅲ．
Ⅱ． , ,
Ⅳ．
a, b a, b, a, b
B．Ⅰ和Ⅲ
a, b a, b, a, b, c
二、填空题 1．设 A 为非空集合，且 A n ，则 A 上不同的二元关系的个数为 为 。 时， P Q 的真值为 1。 ， A 上不同的映射的个数
2．设 P 、 Q 为两个命题，当且仅当
3. 在运算表中的空白处填入适当符号，使 a , b , c, * 成为群。 *
a a
a b c
4. 当 n 为 数时， K n n 3 必为欧拉图。
国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号：1009)
国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号：1009)一、单项选择题(每小题3分，本题共16分)若集合A = {1,2,3,4},则下列表述不正确的是( ).A.{2,3)€AB.AU{1,2,3,4}C. <1,2,3,4)QAD. 16A2.若无向图G的结点度数之和为20,则G的边数为( ).A.10B. 20C. 30D. 53.无向图G是棵树，结点数为10,则G的边数为( ).A. 5B. 10C.9D. 114.设A(x)：x是人,B(x)：x是学生，则命题“有的人是学生”可符号化为( )•A.Vx)(A(x)-*B(x»B.(3x)(A(x)AB(x))C.(Vx)(A(x)AB(x»D.-«(3x)(A(x)A -B(x»5.下面的推理正确的是( ).A.(l)(Vx)F(x)->G(x) 前提引入(2)F(>-)-*G(y) US(1).B.(1)( 3 x)F(x)-*G(x) 前提引入(2)F(y)-*G(y) US(1),C.(l)(3x)(F(x)->G(x»前提引入(2)F(y)-*G(x) ES(1).D.(l)(3x)(F(x)-*G(x)) 前提引入(2)F(y)-*G(y) ESQ).二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.设A = {1,2),H = {1,2,3},则A到B上不同的函数个数为________________ .7.有&个结点的无向完全图的边数为 ____________ .8.若无向图G中存在欧拉路但不存在欧拉回路，则G的奇数度数的结点有________ 个.9.设G是有10个结点的无向连通图，结点的度数之和为30,则从G中删去条边后使之变成树.10.设个体域£> = {1,2,3,4},则谓词公式(*)人(了)消去量词后的等值式为三、逻辑公式翻译(每小题6分，本息共12分)11.将语句“昨天下甬“翻译成命题公式.12.将语句“小王今天上午或者去看电彩或者去打球”翻译成命JS公式.四、判断说明题(判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本黑共14分)13.存在集合A与B,使得A6B与AUB同时成立.14.完全图K<是平面图.五、计算题(每小题12分，本题共36分)15.设偏序集VA,R>的哈斯图如下,B为A的子集，其中B = 试(1)写出R的关系表达式；(2)画出关系R的关系图；(3)求出B的最大元、极大元、上界.16.设图G — <V,E>,V={vj f v it v t,Vi»v s)»(v2, v3)»(v3»vs)}»试(1)画出G的图形表示；(2)写出其邻接矩阵；(3)求出每个结点的度数；(4)画出图G的补图的图形，17.求P TQ代R)的合取范式与主合取范式.六、证明题(本题共8分)18.设A.B是任意集合，试证明：若AXA=BXB,^ A = B.M答杖松标准(仅辩者)一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. A2. A3. C4.B5. D二、填空题(每小题3分，本题共］5分)6.97.”3 — 1)/2(或庆)8.210. A(l) VA(2) V A(3) V A(4)三、 逻辑公式翻译（每小题6分，本题共】2分）H,设P ：昨天下雨. 则命题公式为:P ，12. 设P ：小王今天上午去看电影 Q ：小王今天上午去打球 则命题公式为：r （PiQ ）. 或者（rPAQ ）V 〈PA rQ ）四、 判断说明题（每小题7分，本题共14分）13. 正确.例：设 A = {a} t H — {a,{a}） 则有且ACI3.说明：举出符合条件的例均给分. 14. 正确.完全图K 〈是平面图， 如K,可以如下图示嵌入平面.（7分）五、计算题（每小题12分，本题共36分）15. （l ）R = {Va ，a>,Vb,Q>,Vc,c>,Vd,d>・Va0>・Va ・c>，V&，d>，VQ,d >}. （4 分）（2）关系图(8分)（3）集合B 无最大元，极大元为6与c.无上界. 16, 解: （1）关系图（2分） （6分）（2分）（6分）（3分） （517. P TQAR) 5PV(QAR) 0(rPVQ 〉A(rPVR)合取范式<=>(-PVQ)V(K A rR)A(rPVR) 0("VQ)V(& A rR)A(" VR)V(QA -Q)D(rPVQVR)A(rPVQVA("VR VQ) A(-、PVR V -Q) c=>(-PVQV7?)A(-'PVQV-R)A(-PV-QVR) 主合取范式 六、证明题（本意共8分）18. 证明：V2（2）邻接矩阵bioir 101001001 1 00 0（6分）(3) deg(vi)=,3deg(v t )—2 <ieg(v 3)~2 deg顷)=1 deg(v s )=2 (4) 补图（9分）（】2分）（2分） （5分）（7分〉设x€A,则Vx,x>€AXA,（1 分）因AXA = BXB,故V X,X>€BXB,则有xGB, （3 分）因此AGB. （5分）设xQB,则Vx,x>€BXB,（6 分）因AXA-BXB,故Vx,x>eAXA,则有因此BWA. （7 分）故得A=B. （8分）。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案：B2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是（）。
A. 若x≤0，则x≤1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤1，则x≤0答案：B3. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A4. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A5. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A6. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。
A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C7. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A8. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A9. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A10. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。
A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=______。
答案：{1,2,3,4}2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是：若x≤1，则x≤0。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，表示两个集合A和B的并集的符号是：A. ∩B. ∪C. ⊂D. ⊆2. 以下哪个命题逻辑表达式是真命题，当P为真，Q为假时？A. ¬PB. P ∧ QC. P ∨ QD. P → Q3. 如果函数f: A → B是一个单射，那么它不能是：A. 满射B. 双射C. 恒等函数D. 逆函数4. 在图论中，一个图G是连通的，当且仅当：A. G是无向图B. G是简单图C. G是完全图D. 对于任意两个顶点，都存在一条路径5. 以下哪个不是组合数学中的计数原理？A. 加法原理B. 乘法原理C. 排列D. 组合二、简答题（每题10分，共30分）6. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。
7. 描述什么是有向图和无向图的区别。
8. 什么是等价关系，它有哪些性质？三、计算题（每题15分，共30分）9. 给定集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {a, b, c}，定义函数f: A → B，其中f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = a。
判断f是否是单射、满射或双射，并给出理由。
10. 计算以下命题逻辑表达式的真值表：(P ∧ Q) → (¬P ∨ R)，其中P、Q、R是命题变量。
四、证明题（每题20分，共20分）11. 证明：如果一个图G是连通的，那么它的任意子图也是连通的。
答案一、选择题1. B2. C3. A4. D5. D二、简答题6. 二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它将第一个集合中的每个元素与第二个集合中的元素相关联。
例如，如果A是人名的集合，B是年龄的集合，关系R可以是“比...年长”，那么(Alice, 30) ∈ R表示Alice比30岁年长。
7. 有向图由顶点和有向边组成，每条边都有一个方向，表示从一个顶点指向另一个顶点。
无向图由顶点和无向边组成，边没有方向。
(完整word版)离散数学期末考试试题及答案
离散数学试题(B卷答案1）一、证明题（10分）1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。
证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D， (C∨D)→⌝E，⌝E→(A∧⌝B)， (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明：(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2)，I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I(6) C∨D P(7) R∨S T(5)，I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I(6)Q(y) T(5)，I(7)R(a) T(5)，I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。
离散数学期末考试试题及答案
离散数学试题(B卷答案1）一、证明题（10分）1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。
证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D， (C∨D)→⌝E，⌝E→(A∧⌝B)， (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明：(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2)，I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I(6) C∨D P(7) R∨S T(5)，I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I(6)Q(y) T(5)，I(7)R(a) T(5)，I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个概念不是布尔代数的基本元素？A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案：D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题？A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案：D3. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 以下哪个图不是无向图？A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个命题的逆否命题为真，则原命题的________为真。
答案：逆命题2. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为________图。
答案：完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。
答案：子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合，那么这个函数被称为________函数。
答案：有限三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的欧拉路径。
答案：欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。
2. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。
答案：二元关系是指定义在两个集合之间的关系，它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。
例如，小于关系就是一个二元关系。
3. 请说明什么是递归函数，并给出一个简单的例子。
答案：递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。
例如，阶乘函数就是一个递归函数，定义为：n! = n * (n-1)!，其中n! = 1当n=0时。
四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算以下逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ ¬R答案：首先计算P ∧ Q，然后计算¬R，最后计算两者的逻辑或。
2. 给定集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B。
答案：A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)。
最新资料离散数学期末考试试题(配答案)
一．填空题（每小题2分，共10分）1. 谓词公式的前束范式是__∃x∃y¬P(x)∨Q(y)__________。
2. 设全集则A∩B =__{2}__，_{4,5}____，__{1,3,4,5} _____3. 设，则__{{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} __________，_____Φ_______。
4. 在代数系统（N，+）中，其单位元是0，仅有1有逆元。
5．如果连通平面图G有个顶点，条边，则G有___e+2-n____个面。
二．选择题（每小题2分，共10分）1. 与命题公式等价的公式是（）（A）（B）（C）（D）2. 设集合,A上的二元关系不具备关系( )性质（A）(A)传递性(B)反对称性(C)对称性(D)自反性3. 在图中,结点总度数与边数的关系是( )(A) (B)(C)(D)4. 设D是有n个结点的有向完全图,则图D的边数为( )(A) (B) (C) (D)5. 无向图G是欧拉图,当且仅当( )(A)G的所有结点的度数都是偶数(B)G的所有结点的度数都是奇数(C)G连通且所有结点的度数都是偶数(D) G连通且G的所有结点度数都是奇数。
三．计算题（共43分）1. 求命题公式的主合取范式与主析取范式。
（6分）解：主合取方式：p∧q∨r⇔(p∨q∨r)∧(p∨¬q∨r)∧(¬p∨q∨r)=∏0.2.4主析取范式：p∧q∨r⇔(p∧q∧r) ∨(p∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r) ∨(¬p∧¬q∧r) ∨(p∧¬q∧r)=∑1.3.5.6.72. 设集合上的二元关系R的关系矩阵为,求的关系矩阵，并画出R，的关系图。
（10分）3 无向图G有12条边，G中有6个3度结点，其余结点的度数均小于3，问G中至少有多少个结点？（10分）解：∵G（V,E），| E |=V，d（Vi）<3,设至少有x个节点，由握手定理得：2×12=∑d（Vi）<6×3+(x-6)×32<(x-6) =＞x>8故G中至少有9个节点。
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精品文档院术师范学广东技模拟试题
科目：离散数学
120 分钟考试时间: 考试形式：闭卷
姓名：学号：系别、班级：
2分，共10分）一．填空题（每小题__________。
?x?y?P(x)∨Q(y) 1. 谓词公式的前束范式是
__)xxQ(?xP(x)????????____，，2. 设全集A?_{4,5}B =__则A∩
{2}__,,?E?1,2,3,4,55,A?21,,32,B_____
__ {1,3,4,5}??BA????b,c}} __________，则3. 设__ ，
b?,c,b,a,A?Ba???B(A)?)(_____Φ_______。
???)(AB()?4. 在代数系统（N，+）中，其单位元是0，仅有_1___ 有逆元。
ne条边，则G有___e+2-n____个面。
5．如果连通平面图G有个顶点，二．选择题（每小题2分，共10分）
P?(Q?R)等价的公式是（1. 与命题公式）
（A）（B）（C）（D）R?P?Q)()?R)R?(QPP?(Q?R?Q)(P??????b?b,?a,aA??a,b,cR?,不具备关系( 2. 设集合上的二元关系,A)性质
（A）(A)传递性(B)反对称性(C)对称性(D)自反性
G??V,E?中,结点总度数与边数的关系是3. 在图( )
??E?Edeg(v)deg(v)?2deg(v)?Evdeg()?2E(A)(C)(B) (D) iiiiVv?Vv?4. 设D是有n个结点的有向完全图,则图D的边数为( )
n(n?1)n(n?1)n(n?1)/2n(n?1)/2(A)(B)(D)(C)
5. 无向图G是欧拉图,当且仅当( )
(A)G的所有结点的度数都是偶数(B)G的所有结点的度数都是奇数
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(C)G连通且所有结点的度数都是偶数(D) G连通且G的所有结点度数都是奇数。
三．计算题（共43分）
p?q?r的主合取范式与主析取范式。
（1. 求命题公式6分）
解：主合取方式：p∧q∨r?(p∨q∨r)∧(p∨?q∨r)∧(?p∨q∨r)= ∏0.2.4
主析取范式：p∧q∨r?(p∧q∧r) ∨(p∧q∧?r)∨(?p∧q∧r) ∨(?p∧?q∧r) ∨(p∧?q∧r)=∑1.3.5.6.7
1000????0111?????Md,A?a,b,c,的上的二元关集2. 设合系R关系矩阵为求
??R0000????1000??)tR(),(RsRr()(),(),(rRsRtR),的关系图。
R的关系矩阵，并画出分）10（，
3 无向图G有12条边，G中有6个3度结点，其余结点的度数均小于3，问G中至少有多少个结点？（10分）
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解：∵G（V,E），| E |=V，d（Vi）<3,
设至少有x个节点，由握手定理得：
2×12=∑d（Vi）<6×3+(x-6)×3
2<(x-6) =＞x>8
故G中至少有9个节点。
4 求下面两个图的最小生成树。
（12分）
(z,?)是否为格？说明理由。
5. 试判断（5分）
解：（Z,≤）是格，理由如下：
对于任意a∈Z，a≤a成立，满足自反性；
对于任意a∈Z，b∈Z，若a≤b且b≤a，则a=b，满足反对称性；
对于任意a，b，c∈Z，若a≤b，b≤c，则a≤c，满足传递性；
而对于任意a，b∈Z，a≤b，b为最小上界，a为最大下界，故（Z，≤）是格。
（注：什么是格？）精品文档．
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四．证明题（共37分）
A?B,(?B?C)??C,?(?A?D)??D。
（10分）1. 用推理规则证明
证明：
编号公式依据
前提（?B∨C）∧?C（1）
（1）（2） ?B∨C，?C
（2 ）（3 ） ?B
（3 ）（4） A→B
（3 ）（4） ?A （5）
前提） D ?（?A∧）（6 ）（7 （ 6 ） A∨?D
（5）（ 8（） 6 ?D ）
f和gab?a,b):R?R?R,g(b(:fR?R?R,fa,b)?a?g求证：是实数集，，。
设2. R都是满射，但不是单射。
（10分）
证明：要证f是满射，即?y∈R,都存在（x1，x2）∈R×R，使f（x1，x2）=y，而f（x1，x2）=x1+x2，可取x1=0，x2=y，即证得；
再证g是满射，即?y∈R，,都存在（x1，x2）∈R×R，使g（x1，x2）=y，而g（x1，x2）=x1x2，可取x1=1，x2=y，即证得；
最后证f不是单射，f（x1，x2）=f（x2，x1）取x1≠x2，即证得，同理：g（x1，x2），即证得。
≠x2x1x1x2=g（，），取
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3. 无向图G有9个结点，每个结点的度数不是5就是6，求证：G中至少有5个6度结点或6个5度结点。
（10分）
证明：设G中至多有4个6度结点且5个5度结点，
∴d（Vi）=49不是偶数，
故它不是一个图，矛盾。
（下面只供参考，个人答案）
4. 设平面上有100个点，期中任意两点间的距离至少是1，则最多有300对点距离恰好为1。
（7分）
证明：设任意两点间的读书和恰好为1，则满足：
∑d（Vi）=2e
d（Vi）≤6
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∴6×100≥2e
e≤300
故最多只有300条边，即300对点距离恰好为1.
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