第3章 排队模型分析法-3-

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第三章 排队模型1014

第三章 排队模型1014

(二)生灭过程状态变化的性质
(1) 在无穷小t内,系统或生长1个;或灭亡1个;或既
不生长又不灭亡(概率:1- n(t ) -n(t ) );
(2)系统生长一个的概率n(t )与t有关,而与t无 关; 与系统当前状态n有关,而与以前的状态无关; (3)系统灭亡一个的概率n(t )与t有关,而与t无 关; 与系统当前状态n有关,而与以前的状态无关;
第三章 排队论
排队现象与排队系统; 排队模型与系统参数; 排队系统时间参数分布规律; 排队系统的生灭过程与状态转移方程; 排队系统分析; 单服务台负指数分布模型 多服务台负指数分布模型 排队系统优化分析;
1
1、排队现象与排队系统
一、排队现象 到达顾客 病 人 进港的货船 到港的飞机 电话拨号 服务内容 诊断/手术 装货/卸货 降落 通话 服务机构 医生/手术台 码头泊位 机场跑道 交换台
1个顾客的概率与t无关,仅与时间间隔
成正比 (平稳性): P 1 (t , t t ) t o(t ) (3) 对于充分小的时间பைடு நூலகம்隔 [t , t t ],2个及以 上顾客到达的概率可忽略不计 (普通性)。
18
对泊松流,在时间t系统内有n个顾客的概
率服从如下泊松分布
(t ) n t Pn (t ) e , t 0, n 0,1,2, n!
1
2 … c
1 2 … c
2 … c
8
服务台(员)为顾客服务的顺序: a)先到先服务(FCFS); b)后到先服务(LCFS); c)随机服务; d)优先服务;
9
排队模型与系统参数 一、排队模型 (一)排队模型表示方法
1、D.G.Kendall(1953)表示法

排队论模型

排队论模型

排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论,又称排队论。

排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象,例如:顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。

随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统,如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价,等等。

随机服务系统模拟,如存储系统模拟类似,就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟,以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或估价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据。

排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时,排队就会发生。

排队论就是对排队进行数学研究的理论。

在医院系统内,“三长一短”的现象是司空见惯的。

由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性,排队几乎是不可避免的。

但如何合理安排医护人员及医疗设备,使病人排队等待的时间尽可能减少,是本文所要介绍的。

一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统,病人在医院中的排队过程也是很复杂的。

如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构,都可构成一个排队系统,可见图2。

图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分:1. 输入过程其特征有:顾客源(病人源)的组成是有限的或无限的;顾客单个到来或成批到来;到达的间隔时间是确定的或随机的;顾客的到来是相互独立或有关联的;顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数(如期望值、方差等)都与时间无关或有关。

2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则:先到先服务,后到先服务,有优先权的服务(如医院对于病情严重的患者给予优先治疗,在此不做一般性的讨论),随机服务等;还有具体排队(如在候诊室)和抽象排队(如预约排队)。

排队的列数还分单列和多列。

3. 服务机构其特征有:一个或多个服务员;服务时间也分确定的和随机的;服务时间的分布与时间有关或无关。

排队模型——精选推荐

排队模型——精选推荐

排队模型一 1. 一般的排队过程为:顾客由顾客源出发,到达服务机构(服务台、服务员)前,按排队规则排队等待接受服务,服务机构按服务规则给顾客服务,顾客接受完服务后就离开。

排队过程的一般过程可用下图表示。

我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:在现实生活中的排队现象是多种多样的,对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。

它们可以是人,也可以是某种物质或设备。

排队可以是有形的,也可以是无形的。

尽管排队系统是多种多样的,但从决定排队系统进程的因素来看,它有三个基本的组成部分,这就是输入过程、排队规则及服务机构.1)输入过程:描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。

包括:顾客源中顾客的数量是有限还是无限;顾客到达的方式是单个到达还是成批到达;顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的,分布参数是什么,是否独立,是否平稳。

2)排队规则:描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。

包括:即时制还是等待制;等待制下队列的情况(是单列还是多列,顾客能不能中途退出,多列时各列间的顾客能不能相互转移);等待制下顾客接受服务的次序(先到先服务,后到先服务,随机服务,有优先权的服务)。

3)服务机构:描述服务台(员)的机构形式和工作情况。

包括:服务台(员)的数目和排列情况;服务台(员)的服务方式;服务时间是确定型的还是随机型的,分布参数是什么,是否独立,是否平稳。

2.到达和服务过程的模型2.1 到达过程的模型用表示第i 个顾客到达的时间,.i t 称为第i 个到达时间间隔.1i i T t t +=−i 我们用的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的情况是独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.12,,T T 12,,T T 如果X 服从参数为λ的指数分布.这时1()()i E T E X λ==即平均每隔1λ来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个顾客到来.称λ为到达速率. 用表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的假设下()N t ()()N t P t λ∼.除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为1()(), 0.(1)!k RxR Rx e f x x k −−=≥− 这时2(), ()i i k k E T D T R R==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.2.2服务过程的模型一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的服务时间平均为1μ. 单位时间里可以完成的平均顾客数为μ.若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ=的爱尔朗分布, 则平均服务时间为1μ, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数为1kμ的指数分布且相互独立.在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间隔或服务时间分布:M: i.i.d. 指数分布D: i.i.d. 的确定分布E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布在处理实际排队系统时,需要把有关的原始资料进行统计,确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布,然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。

第三节排队模型

第三节排队模型

s
(0.75)2 0.375 5
Lq s!(1 )2 P0
2!(1 0.375)2
11
0.27 5 0.12人 11
L Lq (0.12 0.75)人 0.87人
W L 0.87 0.29h 17.4 min
3
Wq
Lq
0.12 3
0.04h
2.4 min
14
病人必须等候的概率即系统状态 N s ( 2) 的概率:
L m (1 P0 )
Lq
m
(
)(1
P0 )
L (1
P0 )
e (m L) (1 P0 )
W L / e
Wq Lq / e
32
例5、一个工人负责照 管6台自动机床。当机床需 要加料或刀具磨损时就自动停车,等待工人照管。设 每台机床平均每小时停车一次,每次需要工人照管的 平均时间为0.1h,试分析该系统的运行情况。
37
从经济角度考虑,排队系统的费用 应该包含以下两个方面:
一是服务费用,它是服务水平的递 增函数;
二是顾客等待的机会损失(费用), 它是服务水平的递减函数。
两者的总和呈一条U形曲线。
38
系统最优化的目标就是寻求上述合 成费用曲线的最小点。
在这种意义下,排队系统的最优化 问题通常分为两类:
一类称之系统的静态最优设计,目 的在于使设备达到最大效益,或者说, 在保证一定服务质量指标的前题下,要 求机构最为经济;
0.85 ) 1 ]
2!
2!(1 0.8)
(11.6 1.28 2.49856)1 0.1568
Lq
s s!(1 )2
1 rs[1 (r s)(1 )] P0
0.8(1.6)2 0.1568 1 (0.8)52 [1 (5 2)(1 0.8)] 2!(1 0.8)2

关于排队问题的数学模型研究

关于排队问题的数学模型研究

哈尔滨师范大学学年论文题目关于排队问题的数学模型研究学生 xxx指导教师 xxx年级 xx级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院xx大学2011年6月论文提要本文通过对排队问题进行数学建模,并运用概率论的相关知识进行解答,得到了以下一系列不同类型排队模型的结论。

关于排队问题的数学模型朱彩琳摘要:本文通过对排队问题进行数学建模,并运用概率论的相关知识进行解答,得到了以下一系列不同类型排队模型的结论。

关键词:排队数学模型最优方案一、排队系统的组成(一)输入过程:1.顾客总体可以有限或无限(如流入水库的水)。

2.顾客到达系统的方式可以逐个或成批。

3.顾客相继到来时间间隔可分为确定型(比如定期航班,定期的课程表等)和随机性(比如看病的病人,候车的旅客,进港口的船舶)。

4.顾客到达系统可以是独立的或相关的,输入过程可以是平稳、马氏、齐次等。

(二)排队过程:1.排队规则可分为三种制式损失制―顾客到达系统时,如果系统中所有服务窗均被占用,则到达的顾客随即离去,比如打电话时遇到占线,用户即搁置重打或离去另找地方或过些时候再打。

等待制―顾客到达系统时,虽然发现服务窗均忙着,但系统设有场地供顾客排队等候之用,于是到达系统之顾客按先后顺序进行排队等候服务。

通常的服务规则有先到先服务,后到先服务(比如仓库中同种物品堆垒后的出库过程),随机服务,优先服务(比如邮政中的快件与特快转递业务,重危病人的急诊,交通中让救火(护)车、警车及迎宾车队优先通过)等。

混合制―它是损失制与等待制混合组成的排队系统,此系统仅允许有限个顾客等候排队,其余顾客只好离去;或者顾客中有的见到排队队伍长而不愿费时等候,当队伍短时愿排队等候服务;也有排队等候的顾客当等候时间超过某个时间就离队而去均属这种系统。

2.排队队列可具体或抽象,系统容量可以有限或无限。

3.排队队列可以单列或多列。

(三)服务窗 1.系统可以无窗口、一个窗口或多个窗口为顾客进行服务。

管理运筹学—排队模型(免费)

管理运筹学—排队模型(免费)

一、问题的描述及基本概念
1.问题的描述
在一个排队服务系统中总是包含一个或若干个“服务设施”, 有许多“顾客”进入该系统要得到服务, 服务完毕后即自离去。
倘若顾客到达时,服务系统空闲着, 则到达的顾客立即得到服务。 否则顾客将排队等待服务或离去。 怎样才能做到既保证一定的服务质量指标, 又使服务设施费用经济合理, 恰当地解决顾客排队时间及服务设施费用大小这对矛盾。 这就是研究随机服务系统的理论——排队论 所要研究解决的问题。
v1(t) 1 v0(t) (t) t ④若令 t 代表顾客到达流为泊松分布时
依次到达的两个顾客的间隔时间, 则 t 的概率密度函数f(t)为负指数分布。
2.服务时间—负指数分布
虽然在真实的排队系统中, 服务时间的概率分布可以有各种形式, 但负指数分布的服务时间是最常用的, 原因是它在数学上易于处理。
2.基本记号
根据排队系统的特征,肯达尔(Kendall)于1953年提出了 排队服务系统的分类记号:
输入/输出/并联的服务站数
M ―― 泊松输入或负指数分布的服务时间 D ―― 定长输入或定长服务时间 Ek ―― 爱尔朗分布的输入与服务时间 GI ―― 一般独立输入 G ―― 一般服务时间分布 M / M / n ―― 顾客输入为泊松分布,服务时间为负指数分布,
则有Ψ(t)=o(t)(t→0)
二.输入与服务时间的分布
1.输入─最简单流
1) 最简单流 2) 特性
3) 最简单流的性质
①参数 代表单位时间内到达顾客的平均数。
②在时间 [t, t+Δt]内没有顾客到达的概率为
v0(t) et (1 t) o(t) 1 t
③在时间[t, t+Δt] 内恰好有一个顾客到达的概率为

排队模型

排队模型

2.2制造系统的排队网络模型
对于制造系统中的排队现象 ,同样可以通过排队理论进行描 述和分析。例如 ,对于一台或一组相同功能的加工设备对相 同类型零件进行加工的情况 ,可用排队系统进行描述,对于 由多种类型设备组成的加工单元和车间对多种类型零件进 行加工的情况,则可用排队网络进行描述。 图3即为一由m台数控机床和n个夹具组成的摩托车零件数 控加工系统。由于在该系统中夹具的数量是固定的 ,加工完 一个零件空出一个夹具后 ,才能投入一个新的零件,因此系 统中最多只有n个零件。
服务机构(从机构形式和工作状况来看可分为以下几种情 况) 1服务机构可以没有服务员,也可以有一个或多个 服务员。 2在有多个服务台的情形中,它们可以是平行并列 的,也可以前后排列的,也可以是混合的。 a中是单队-单服务台的情形;b是多对-多服务台的情 形;c是单队-多服务台的情形;d是多服务台的情形(e)是 多服务台的情形
M/M/1系统的 状态转移图
其中
λ 为顾客到达速率,
μ 为服务机构的服务速率
由状态转移图 ,可写出状态转移率矩阵如下式所示
é- l êm ê Q=ê 0 ê ê 0 ê ë M
l 0 0 - (m + l ) l 0 m - (m + l ) l m - (m + l ) 0 M M M
Lù Lú ú Lú Lú ú Mú û
(1-3)
矩阵Q 的建立规则是 : Q 的元素 表示系统从状态 i 向状态 j 转移的速率,并且其行和为零。
根据以上给出的P和Q,可得PM/M/1系统状态方程的 具体形式如下:
lpn -1 - (l + m ) pn + mpn +1 = 0,
此外 ,由概率的概念可得以下补充方程:

排队模型及应用

排队模型及应用

例:某超级市场,顾客按Poisson过程到达,平均 每半小时到达6人,收款台计价收费时间服从负指 数分布,平均为4分钟,试求: (1)超市内顾客的平均数(4)
(2)超市内等待付款顾客的平均数(3.2)
(3)超市内顾客所花费时间的平均值(1/3)或(20)
(4)超市内顾客等待付款所花费时间的平均值(4/15) 或(16)
一. 排队系统的基本概念 在日常生活中,一个服务系统在工作过程中由于拥 挤而产生的排队等待现象是经常发生的。例如: 1.顾客在理发店等待理发;
2.汽车在加油站前等候加油;
3.乘客在车站前等候乘车;发生故障的机器等候修 理;进入机场上空的飞机等候降落; 4.进入雷达接收机的信号等候处理;通信系统的报 文在缓冲器上等候传送;多微机系统的处理机等 候访问公共内存;计算机网的用户等候使用某资 源;等等 我们就将这种具有排队等待现象的服务系统称 为排队系统
是生灭过程
可得
P0 1 1
2

n

, Pk P0 , /
k
即:
P0 1 , q EQ Pk (1 ),
k

1 ,
,
Tq T
q


1
(1 )


2
1
(1 )
二.排队系统的基本构成 排队系统的概率规律与以下因素有关: 1. 顾客的到达规律
2. 顾客排队和接受服务的规则
3.服务机构的结构形式、服务员个数和服务速 率
1.输入过程
输入过程是用来刻画顾客到达规律的一种数 学描述。通常有以下三种随机过程:
{ M ( t ), t 0},{ s n , n 1, 2, },{ n , n 1, 2, }

数学建模排队论模型

数学建模排队论模型

数学建模排队论模型排队论模型是一种数学建模方法,用于研究排队系统中的等待时间、服务效率和资源利用率等问题。

排队论模型可以应用于各种领域,如交通运输、医疗服务、银行业务等。

本文将介绍排队论模型的基本概念和应用。

一、排队论模型的基本概念排队论模型的基本概念包括:顾客到达率、服务率、队列长度、等待时间、系统利用率等。

顾客到达率是指单位时间内到达系统的顾客数量,通常用λ表示。

服务率是指单位时间内一个服务员能够完成服务的顾客数量,通常用μ表示。

队列长度是指系统中正在等待服务的顾客数量。

等待时间是指顾客在队列中等待服务的时间。

系统利用率是指系统中所有服务员的利用率之和。

排队论模型可以分为单队列模型和多队列模型。

单队列模型是指系统中只有一个队列,多个服务员依次为顾客提供服务。

多队列模型是指系统中有多个队列,每个队列对应一个服务员,顾客可以选择任意一个队列等待服务。

二、排队论模型的应用排队论模型可以应用于各种领域,如交通运输、医疗服务、银行业务等。

下面以银行业务为例,介绍排队论模型的应用。

在银行业务中,顾客到达率和服务率是两个重要的参数。

顾客到达率受到银行营业时间、银行位置、顾客数量等因素的影响。

服务率受到银行服务员数量、服务质量、服务时间等因素的影响。

为了提高银行的服务效率和资源利用率,可以采用排队论模型进行优化。

首先需要确定银行的顾客到达率和服务率,然后根据排队论模型计算出等待时间、队列长度、系统利用率等指标。

根据这些指标,可以制定相应的服务策略,如增加服务员数量、优化服务流程、提高服务质量等。

例如,如果银行的顾客到达率较高,服务员数量较少,导致顾客等待时间较长,可以考虑增加服务员数量或优化服务流程,以缩短顾客等待时间。

如果银行的服务率较低,导致服务员利用率较低,可以考虑提高服务质量或增加服务时间,以提高服务员利用率。

三、排队论模型的局限性排队论模型虽然可以应用于各种领域,但也存在一些局限性。

首先,排队论模型假设顾客到达率和服务率是稳定的,但实际情况中这些参数可能会发生变化。

第三章三节MM1排队模型(教学内容)

第三章三节MM1排队模型(教学内容)

(m Ls ) .
说明(进入率与状态有关):如m=5,n=3,如下图所示

乙 3

进入的或甲或乙或丙,故 3
优学课堂
16
2. 状态概率
m (m 1)
(m n 1) (m n)
0
1
2 ... n-1
n
n+1 ... m-1
m
由此列出平衡方程:
mP0 P1 (m n 1)Pn1 Pn1 [(m-n) ]Pn , n 1,, m -1
与服务率分别为 和 ,则
0
0
1
1
2
... n-1
n
n+1 ...
由此列出平衡方程:
P0 P1 Pn 1 Pn 1 ( )Pn , n 1
优学课堂
2
(2)由平衡方程解得状态概率
由平衡方程
P0 P1 Pn 1 Pn 1
( )Pn , n
1
可解得状态概率:
P0
1
Pn
( )n (1
优学课堂
18
例5: 某车间有5台机器,每台机器的连续运转时间服从负指
数分布,平均连续运转时间为15分钟。有1个修理工,每次修 理时间服从负指数分布,平均每次需12分钟。
求(1)修理工空闲的概率;(2)5台机器都出故障的概 率;(3)出故障机器的平均台数;(4)等待修理机器的平均 台数;(5)每台机器的平均停工时间;(6)每台机器的平均 等待修理时间。
n 1
n 0
n 1
Ls
其中
1。问题:为什么Ls Lq
——因为是均值。
1(而不是
1)呢?
(2)Ws与Wq
首先可证,逗留时间W 服从参数为 的负指数分布,

排 队 模 型

排 队 模 型
有效到达率λe
λe是指单位时间内进入服务系统的平均顾客 人数。 这个指标是专门针对有限等待空间排队系统 而言的。
备注:实际上,后面这五个指标也在一定
程度上能够说明服务系统的运行状况和效率。
8
三、排队模型及其应用
单服务台
排队系统
到达率服从泊松分布 服务时间服从负指数
分布
多服务台
1
2
3
4
5
6
等待空间无限 等待空间无限 等待空间有限 等待空间无限 等待空间无限 等待空间有限
离开服务系统的全部时间的平均值,包括排队等待 时间和接受服务的时间;
平均等待时间Tq是指顾客在系统中排队等待的时
间的平均值。
备注:以上两对共四个指标对顾客和管理者而言都是非
常重要的运行指标。这四个指标的值越小,就说明系统的队列 越短,顾客等候时间越短,进而说明系统的运行性能越好。为 了计算上述运行指标,还需要用到下面五个常用的数量指标。
客源总量无限 客源总量有限 客源总量无限 客源总量无限 客源总量有限 客源总量无限
M/M/1/∞/ ∞ M/M/1/∞/ m M/M/1/N/ ∞ M/M/c/∞/ ∞ M/M/c/∞/ m M/M/c/N/∞
9
例如,M/M/1/∞/∞系统 的数学模型:
P0 Ls
1 , Pn
Hale Waihona Puke ,Lq(1 ) n,n≥1
服务管理
排队模型
排队系统的标记及分类方法 衡量排队系统运行效率的工作指标 排队模型及其应用
2
一、排队系统的标记及分类方法
1957年,英国数学家肯德尔(D.G.Kendall)提出了一种对排 队系统进行标识和分类的方法:A/B/C A=相继到达的间隔时间的分布;B=服务时间的分布;C= 平行服务台的数目。 A和B是两个统计变量,可能存在不同的分布类型。我们 使用下面的符号代表不同类型的分布:

排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)

排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)

现实生活中的排队系统
序 到达的顾客 号
要求服务内容
服务机构
1 不能运转的机器 修理
修理技工
2 修理技工
领取修配零件 发放修配零件的管理员
3 病人
诊断或做手术 医生(或包括手术台)
4 电话呼唤
通话
交换台
5 文件搞
打字
打字员
6 提货单
提取存货
仓库管理员
7 驶入港口的货船 装(卸)货
装(卸)货码头(泊位)
3 6 1 5 6 7 22 3 4 6 11 45 5 2 0 4 11 9 1 2 8 26 3 10 5 12 47 4 2 3
(1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) i τi si ti wi i τi si ti wi i τi si ti wi 13 49 1 3 5 23 86 6 2 2 33 117 4 4 7
二、排队系统的特征及其组成
1、排队系统的特征即拥挤现象的共性 1)、有请求服务的人或物 2)、有为顾客服务的人或物 3)、具有随机性 4)、服务的数量超过服务机构的容量
2、排队系统的三大基本组成部分
1)、输入过程(顾客到达的方式) a、顾客的总体(顾客源)的组成可能是有限的,也
可能是无限的; b、顾客相继到达的时间间隔可以是确定的,也可以
8 上游河水进入水库 放水,调整水位 水闸管理员
2、排队论的起源与应用领域
1)、20世纪初Bell电话公司为减少用户呼叫, 研究电话线路合理配置问题;
2)、1909年丹麦工程师A.K.Erlang受热力 学统计平衡概念启发发表论文《概率论与电 话交换》,解决上述问题;

排队论模型

排队论模型

排队论模型1. 引言排队论是运筹学中的一个重要分支,研究的是排队系统中顾客的到达、等待和服务过程。

在现实生活中,我们经常会遇到排队的场景,如银行、超市、医院等。

通过排队论模型的分析,可以帮助我们优化服务过程,提高效率和顾客满意度。

本文将介绍排队论模型的基本概念和常用模型。

2. 基本概念2.1 排队系统排队系统是指顾客到达一个系统,并等待被服务的过程。

一个排队系统通常包含以下几个要素:•到达过程:顾客到达系统的时间间隔可以是随机的,也可以是确定的。

•排队规则:系统中的顾客通常按照先来先服务原则排队。

•服务过程:系统中的服务员或服务设备为顾客提供服务,服务时间也可以是随机的或确定的。

•系统容量:排队系统中通常有一定的容量限制,即同时能够容纳的顾客数量。

2.2 基本符号在排队论中,通常使用以下符号来表示不同的概念:•λ:到达率,表示单位时间内系统的平均到达顾客数量。

•μ:服务率,表示单位时间内系统的平均服务顾客数量。

•ρ:系统利用率,表示系统的繁忙程度,计算公式为ρ = λ / μ。

•L:系统中平均顾客数,包括正在排队等待服务的顾客和正在接受服务的顾客。

•Lq:系统中平均等待队列长度,即正在排队等待服务的顾客数。

•W:系统中平均顾客逗留时间,包括等待时间和服务时间。

•Wq:系统中平均顾客等待时间,即顾客在排队等待服务的平均时间。

3. 常用模型3.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一,其中M表示指数分布。

M/M/1模型满足以下几个假设:•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。

•服务率μ满足均值为μ的指数分布。

M/M/1模型的特点是顾客到达率和服务率是独立的,且符合指数分布。

根据排队论的理论分析,可以计算出系统的性能指标,如系统利用率、平均顾客数、平均等待队列长度等。

3.2 M/M/c模型M/M/c模型是M/M/1模型的扩展,其中c表示服务员的数量。

M/M/c模型满足以下假设:•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。

排队模型与模拟方法

排队模型与模拟方法

第一节 排队系统的基本概念
一、排队系统的组成 二、排队系统的主要研究内容 三、排队系统的符号表示 四、排队系统的常见分布
一、排队系统的组成
• 共同特征:
(1)请求服务的人或者物——顾客 (2)有为顾客服务的人或者物--服务台 (3)顾客到达系统的时刻是随机的,为 每一位顾客提供服务的时间是随机的, 因而整个排队系统的状态也是随机的。
各种形式的排队系统
随机服务系统
排队论所要研究解决的 问题
• 面对拥挤现象,人们通常的做法是增加服 务设施,但是增加的数量越多,人力、物 力的支出就越大,甚至会出现空闲浪费, 如果服务设施太少,顾客排队等待的时间 就会很长,这样对顾客会带来不良影响。 • 如何做到既保证一定的服务质量指标 , 又 如何做到既保证一定的服务质量指标, 使服务设施费用经济合理。 使服务设施费用经济合理。 • 恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用 大小这对矛盾,就是随机服务系统理论—— 排队论所要研究解决的问题。

ρ=
λ ,称为服务强度。 µ
ρ <1 即
λ < µ ,表明服务员有足够的能力完全
接待到来的全体顾客。可以证明排队模型是稳定的。 但这决不是说,每位顾客就不用等待了,因为在 系统运行中随机因素在起作用。
ρ >1 即
λ > µ ,表明服务员没有足够的能力接待到
来的全体顾客,从总的趋势上说,排队的顾客会越来 越多。可以证明排队模型是不稳定的。
排队系统由3 排队系统由3个部分组成
1、输入过程 2、排队规则 3、服务规则
顾客是按怎样的规律到达排 1.输入过程: 输入过程: 队系统的 (1)顾客源 指顾客的来源。 顾客源, (1)顾客源,指顾客的来源。 可以是有限的,也可以是无限的。 可以是有限的,也可以是无限的。 (2)顾客到达方式,描述顾客怎样来到系统。 (2)顾客到达方式,描述顾客怎样来到系统。 顾客到达方式 可以单个到达,也可以成批到达。 可以单个到达,也可以成批到达。 (3)顾客流的概率分布 顾客流的概率分布( (3)顾客流的概率分布(相继顾客到达时间间 隔的分布) 隔的分布) 有确定的时间间隔, 有确定的时间间隔,也有随机的时间间隔

运筹学中的排队论分析方法

运筹学中的排队论分析方法

运筹学中的排队论分析方法运筹学是应用数学的一个分支,被广泛应用于优化、决策、规划等实践问题中。

排队论是运筹学的一个重要分支,它研究客户与服务设施之间的运作规律,以及对这些规律进行优化。

排队论可以应用于许多领域,例如生产线、银行、医院、交通、电信等。

排队模型从大量的数据中挑选出有用的信息,解释客户等待时间、服务设施利用率、系统吞吐量等指标。

运营商们也通过排队论找到了减少服务时间,减少成本和增加收益的方法。

排队论模型通常包括五个元素:客户、服务设施、等待行列、受服务的规则,以及长度测量方法。

客户需求量呈随机分布,服务设施数量有限且运营时间有限,等待时间呈指数分布。

排队论可以预测某个服务系统的运作状态以及在不同服务政策下的结果变化。

排队论中最著名的模型是M/M/1模型,其中M表示到达时间和服务时间都是随机的指数分布,1表示只有一个服务设施的存在。

此模型的解答涉及到稳态等长队和队列中的平均客户数和等待时间,以及服务器的平均利用率等基本指标。

除此之外,排队论中还有其他经典模型,例如M/M/c模型,其中c表示有多个服务器可供选择。

排队论也适用于某些特殊情况的研究。

例如,当服务时间为几何分布时,M/G/1模型就成为了一种理想的情况。

在这个模型中,客户需求量和服务时间具有不同的分布。

G表示这些服务时间的分布可以是任意的。

另外,排队论也可以应用于网络中的传输分配模型,以确定网络在任何负载下的可靠性和运作状态。

排队论模型可以被用于分析较小的网络,或者对于哪些带有网络化延迟的系统。

在实际应用中,排队论分析可以帮助我们寻找优化服务设备的方法。

通过排队论可以确定提高服务速度、增加系统容量或提高等待质量等措施,以提高客户的体验和收益。

在医院中,排队论可以帮助诊所和医院合理分配资源、优化服务流程,减少等待时间、减少节约成本、节约时间等指标。

总之,排队论是运筹学的重要分支,解决了客户与服务设施之间的运作规律和优化。

它在很多领域的帮助下,解决了大量的实践问题。

《排队论模型》课件

《排队论模型》课件

《排队论模型》PPT课件
在这个PPT课件中,我们将介绍排队论模型的基本概念和应用场景,探讨排 队论在实际生活中的应用,并分享一些有趣的排队问题。
什么是排队论
排队论是一门研究人类排队行为的学科,它研究的是排队过程中顾客到达的 规律、服务时间的分布、等待时间的估算等问题。
排队论的应用场景非常广泛,包括银行、超市、机场、医院等各种服务行业。 其目的是提高服务效率、降低等待时间,并优化服务资源的利用。
多队列模型
M/M/m模型
在多队列排队模型中,存在多个 排队队列和多个服务员。M/M/m 模型是其中一种典型模型,描述 顾客以指数分布到达并分散到多 个队列中的情况。
M/D/m模型
在M/D/m模型中,顾客到达过程 仍然符合指数分布,服务时间固 定为确定值,而多个队列分散顾 客到达过程和服务时间
排队论研究中的两个基本概念,随机到达过程描述顾客到达的时间间隔和规律,服务时间描 述服务员为顾客提供服务所需的时间。
列队长度和等待时间
排队论中的列队长度指的是正在排队等待服务的顾客数量,等待时间则是顾客在队列中等待 的时间。
列队模型
排队论研究中使用的数学模型,以描述排队系统中各种因素之间的关系,包括到达过程、服 务时间、列队长度和等待时间等。
4 机场排队问题
如何优化机场的安检流程,减少旅客的等待 时间和排队长度?
总结
• 排队论模型具有广泛的应用价值,可以优化服务行业中的资源利用和顾客体验。 • 未来,随着人工智能和大数据的发展,排队论模型将进一步发展并扩展到更多领域。 • 学习和实践排队论模型可以提高我们处理排队问题的能力,为实际问题提供更优化的解决方案。
单队列模型
1
M/M/1模型
单队列排队模型中的一种典型模型,描述顾客以指数分布到达、服务时间也以指 数分布的情况下的排队系统。

排队论模型解析

排队论模型解析
服务机构工作强度=由于服务顾客的时间/服务设施总的服务时间
=1-服务设施总的空闲时间/服务设施总的服务时间
排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主要参 数的统计推断和对排队系统的结构分析,判断一 个给定的排队系统符合于哪种模型,以便根据排 队理论进行研究。 2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律 性,主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分 布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 3.最优化问题:即包括最优设计(静态优化),最优 运营(动态优化)。
i e
P{x i} i!
可计算出理论频率、理论频数及项 fi npi
( fi npi )2 npi 见下页表所示
查表知:
(k r 1) 0.05(6) 12.592 6.2815
故可接受泊松分布假设。
15
fi
pi
npi fi-npi (fi-npi)2/npi
1 5
0.015 0.063
每隔1分钟统计一次乘客到达情况,共统计100次,
其结果如表所示,问顾客是否服从普阿松流。
14
状 态 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ≥12 实 际 频 数 fi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0
解:先估计分布的参数λ,由极大似然估计法得:
ˆ x 4.2 ,并根据公式
8
排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究 排队系统运行的效率指标,估计服务质量,确定系 统的合理结构和系统参数的合理值,以便实现对现 有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。
排队问题的一般步骤: 1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分 布和服务时间分布(可实测)。 2. 研究分析排队系统理论分布的概率特征。 3. 研究系统状态的概率。系统状态是指系统中 顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有 n个顾客的概率,也称瞬态概率。

排队论模型

排队论模型

排队论模型排队论也称随机服务系统理论。

它涉及的是建立一些数学模型,藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。

现实世界中排队的现象比比皆是,如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。

排队的内容虽然不同,但有如下共同特征:有请求服务的人或物,如候诊的病人、请求着陆的飞机等,我们将此称为“顾客”。

有为顾客提供服务的人或物,如医生、飞机跑道等,我们称此为“服务员”。

由顾客和服务员就组成服务系统。

顾客随机地一个一个(或者一批一批)来到服务系统,每位顾客需要服务的时间不一定是确定的,服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队,而某些时候服务员又空闲无事。

排队论主要是对服务系统建立数学模型,研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。

一、排队论的一些基本概念为了叙述一个给定的排队系统,必须规定系统的下列组成部分:输入过程即顾客来到服务台的概率分布。

排队问题首先要根据原始资料,由顾客到达的规律、作出经验分布,然后按照统计学的方法(如卡方检验法)确定服从哪种理论分布,并估计它的参数值。

我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布,且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。

所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。

排队规则即顾客排队和等待的规则,排队规则一般有即时制和等待制两种。

所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去;等待制就是服务台被占用时,顾客便排队等候服务。

等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等,我们主要讨论先到先服务的系统。

服务机构服务机构可以是没有服务员的,也可以是一个或多个服务员的;可以对单独顾客进行服务,也可以对成批顾客进行服务。

和输入过程一样,多数的服务时间表示服务员为都是随机的,且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。

若以ξn},n=1,2,…第n个顾客提供服务所需的时间,则服务时间所构成的序列{ξn所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制,一般假定,相继的服务时间ξ1,ξ2,……是独立同分布的,并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{T n}也是独立的。

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/(k-1)
求解平稳分布
平衡方程 由正则性条件:
p1 p0 p0 2 p p p 2 2 1 2! 0 k ρ p pk-1 p0 k k k!
ρk 1 pk p0 e ρ p0 k 0 k 0 k! p0 e ρ ρk ρ pk e k! k 0,1,2,
顾客源中单个顾客的到达率为
当系统中有k个顾客的时候,顾客源中有 (m-k)个顾客,到达率为(m-k)
顾客源中的顾客数m-k (m-k)
系统内的顾客数k
0km
最大顾客数m
M/M/1/m/m的状态流图
m 0 1 (m-1) 2 (m-2) 2 m-1 m



列出状态转移平衡方程:
排队越长,进入可能性越小(令 αk=

1 k 1
);


顾客所需的服务时间序列{n,n1}独立、服从 参数为(>0)的负指数分布; 系统中只有一个服务台; 容量为无穷大,而且到达过程与服务过程彼此 独立。
2.系统状态分析
仍用N(t)表示在时刻t系统中的顾客数,令
pij(t)=P{N(t+t)=j|N(t)=i},i,j=0,1,2,… 则pij(t)的推导有
Wq(t)=P{Wq≤t}
e (t ) 1 , t0 e 1 k 1 (k 1)! j 0 j!
k 1 j
t
k 1
e 1 平均等待时间为: Wq (e 1)
5.逗留时间
类似地,顾客的逗留时间的分布函数为
W(t ) P{W t} P{Wq 0, t} P{0 W t, Wq 0}
i 1 t o( t ), j i 1, i 0 p ij( t ) t o( t ), j i 1, i 1 o( t ), | i j | 2
于是,{N(t),t0}是E={0,1,2,…}上的生灭过程,其参数为
P1 m P0 Pn 1 ( m n 1) Pn 1 (( m n ) ) Pn P P m 1 m

n0 n m -1 nm
注意到
P
n 1
m
n
1
求解顾客数概率分布
求解状态转移方程得
1 P0 m m! i ( ) i 1 ( m i )! m! n Pn ( ) P0 ( m n )!
在实际中,当服务台前出现排队时,排队的长 短往往直接影响服务员的工作效率。 比如:当排队过长时服务员会提高服务速度, 或者,对一个不熟练的服务员,当看到队长 太长时可能慌张而降低了服务率。 即,服务率会因为系统中的顾客数不同而变化。 两种服务率的情况 服务率成倍增长的情况

§3.2.1 两种服务率的情况
k 0

相反地,一个顾客到达而进入系统的概率为

a p
k 0 k

k
所以,单位时间内到达且进入系统的平均顾客数为
e a k p k (1 e )
k0
可以验证,在该系统中,Little公式成立,即
N eW,
Nq eW q
§3.2 具有可变服务率的M/M/1/
i , i0 i1 i1 i ,
顾客进入系统的概率为
1 k k 1
实际进入到排队系统的顾客输入率为
k k
状态转移图
0 1 /2 2 /3

k 1
/k k-1 k /(k+1) k+1 /(k+2)

平均等待队长
Nq ( j 1)p j jp j p j
j 1 j 1 j 1



N (1 p 0 ) e 1
4.等待时间
假定顾客是先到先服务。此处的等待时间是指到 达且进入系统接受服务的顾客的等待时间。 定理 在统计平衡下,进入系统接受服务的顾客的 等待时间分布函数为:


顾客到达为参数(>0)的泊松过程 ; 顾客所需的服务时间序列{n,n≥1}独立、服从负 指数分布,具有两种服务率1、2(0<1<2), 当队长<m(m是一个固定的正整数)时,服务 员用速率1工作,当队长≥m时,服务员用速率 2工作; 系统中只有一个服务台; 容量为无穷大,而且到达过程与服务过程彼此 独立。
M/M/1/m/m
§3.1 具有可变输入率的M/M/1/
在实际中,尽管顾客源源不断到达,但并不一 定进入排队系统接受服务。 常见的一种现象就是到达的顾客看到系统空闲 或者等待的顾客不多则进入系统接受服务,看 到前面排着长队时则产生犹豫,考虑是否排队 接受服务。 即,排队人数少时进入系统接受服务的可能性 就大,排队人数多则进入系统接受服务的可能 性就小。
0 1
m
m+1 2
2m 2 2

2m+1 3

j*m 3 j

j*m+1 (j+1)

(j+1)
§3.3 具有不耐烦顾客的M/M/1/∞
顾客在排队等候的过程中,会因为不耐烦而离开排 队系统,使系统顾客数减1,成为系统损失的顾客。
因不耐烦而离 开的顾客k 排队等候的顾客k个
§3.4 单服务窗闭合式排队模型
顾客来源是有限的:m
输入过程是简单流
服务时间服从负指数分布
排队系统容量:m 由此可见,单服务窗闭合式排队模型虽然系统内 顾客最大数有限,但是不会出现顾客损失的情况 ,所有的顾客都可以进入到排队系统等候、接受 服务。
M/M/1/m/m的到达率分析


顾客在系统中的平均逗留时间为
1 1[1 (m 1)1 m1 W p0 { (1 1 )2
m m 1
] 2 1
m 1
[m (m 1) 2 ] } 2 (1 2 )
顾客在系统中的平均等待时间为(由Little公式)
N N 1 p0 1 Wq W pj j 1 1 1 (m 2)1 (m 1)1 1 p0 { 2 (1 1 )
系统状态分析
用N(t)表示在时刻t系统中的顾客数,令
pij(t)=P{N(t+t)=j|N(t)=i},i,j=0,1,2,…
则pij(t)的推导有
t o( t ), j i 1, i 0 t o( t ), j i 1, i 0,1, , m 1 1 p ij( t ) 2 t o( t ), j i 1, i m | i j | 2 o( t ), 于是,{N(t),t0}是E={0,1,2,…}上的生灭过程,其 参数为


平均输入率
k pk
k 0

平均服务强度

损失概率(系统内已有k个顾客时,新到达的顾客不
加入队列而离去的概率为1-αk)
P损 (1 k ) pk
k 0

3.等待队长
在统计平衡的条件下,有
平均队长
j N E( N ) jp j e j 0 j 0 ( j 1)!
§3.2.2 服务率成倍增长的情况


顾客到达为参数(>0)的泊松过程 ;
顾客所需的服务时间序列{n,n≥1}独立、服从负 指数分布,服务率根据系统内顾客数成倍增长, 即当系统内顾客数为j*m+1时,服务率发生变化; 系统中只有一个服务台;


容量为无穷大,而且到达过程与服务过程彼此
独立。
状态转移流图
ˆ 1 2 j 1 t } q j (1 e t ) P{ e 1 j 1
j 1 k j 1 ( t ) [ e t (1 e t )] e 1 j1 ( j 1)! k 0 k!
j 1 k j 1 ( t ) [e 1 e t ( )] e 1 j1 ( j 1)! k 0 k !
e t j1 j (t )k 1 , t0 e 1 j 0 ( j 1)! k 0 k!
有效到达率 平均服务率
n 1,2,..., m
e (m L s )
e ( 1 P0)
目标参量

系统处于繁忙状态的概率
P忙= 1 – p0

单位时间内,完成服务的平均顾客数,即绝 对通过能力A
网络分析与测试
顾军 计算机学院网络工程系 jgu@
第3章 排队模型分析法
第1节 排队论简介
第2节 单服务窗简单排队模型 第3节 单服务窗特殊排队模型 第4节 多服务窗排队模型
第3节 单服务窗特殊排队模型
具有可变输入率的M/M/1/ 具有可变服务率的M/M/1/ 具有不耐烦顾客的M/M/1/ 单服务窗闭合式排队模型
i , i 0 i 1 , i 1,2, , m 1 , i m 2 i
状态转移流图
0 1 1
2 1

m-1
m 1
m+1 2

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2

1
1
2
2
2
顾客数小于等于m时,
采用服务率1
顾客数大于m时,

顾客进入系统接受服务的可能性大小可用一 概率表示,一般情况下是队长的函数。
因不愿排队而 损失的顾客 (1-k) k 最大顾客数
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