一元二次函数辅导讲义
【VIP专享】一元二次函数讲义(下)
(4)一次函数 y kx nk 0的图像 l 与二次函数 y ax2 bx ca 0的图像 G 的交
点，由方程组
y y
kx ax
n 2 bx
c
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点;
②方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点；
2
例 8、已知二次函数 y 2x2 4x 6 ． (1)将其化成 y a(x h)2 k 的形式； (2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； (3)求图象与两坐标轴的交点坐标； (4)根据(1)(2)(3)的结果画出其图象；（图象上要标出顶点、与坐标轴交点的坐标） (5)说明其图象与抛物线 y＝2x2 的关系； (6)当 x 取何值时，y 随 x 增大而减小； (7)当 x 取何值时，函数 y 有最值?其最值是多少?
③方程组无解时 l 与 G 没有交点.
知识点 5 二次函数的应用： (1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一
般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的 x 即为顶点横坐标值， 最大(小)值也就是顶点纵坐标值。 (2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二 次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
题型 4 用待定系数法求二次函数的解析式 知识归纳：用三种方法：
1．已知抛物线过三点，设一般式为 y ax 2 bx c 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式 y＝ a ( x －h)2＋ k ． 3．已知抛物线与 x 轴有两个交点（或已知抛物线与 x 轴交点的横坐标），设两根 式： y＝ a ( x － x 1)( x － x 2) ．（其中 x 1、 x 2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标） 如果是给出的图象，通过观察，找出图象上最适合用上述三种方法之一的点，再 求。
一元二次函数高一数学精品课件
知识点二 一元二次函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 (1) 函 数 y ＝ a(x － h)2 ＋ k 的 图 象 是 一 条 __抛 __物 __线 __ ， 顶 点 坐 标 是 __(h_，__k_)__，对称轴是直线_x_＝__h____；
解析：由题意得抛物线的对称轴是 y 轴且开口向下，顶点为(0,1)， 故该抛物线为 y＝－x2＋1.故选 A. 答案：A
2．已知一元二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点 P(2,0)，则这个一元二次函数的解析式为________．
解析：设所求一元二次函数的解析式为 y＝a(x－h)2＋k，则其顶点 坐标为(h，k)．∵顶点坐标为(1，－3)，∴h＝1，k＝－3， 即所求的一元二次函数为 y＝a(x－1)2－3. 又∵图象经过点 P(2,0)，∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴这个一元二次函数的解析式为 y＝3(x－1)2－3，即 y＝3x2－6x. 答案：y＝3x2－6x
(2)当 a>0 时，抛物线开口向__上____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而__减__小____；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自 变量 x 的增大而___增__大___；函数在 x＝h 处有最____小____值，记作 __ym_i_n＝__k__． 当 a<0 时，抛物线开口向__下____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而___增__大___；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自
一元二次函数解法__辅导讲义
公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑
能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
6
x1Βιβλιοθήκη 2, x21. 3
（3）用公式法解:
49 . 36
解:移项,得 3x2 5x 2 0（ 这里 a=3,b=-5,c=-2）
b2 4ac 52 4 3 (2) =49
x (5) 49 5 7
23
6
2
本先教育教案
x1
2, x2
1. 3
总结： 1、解一元二次方程的方法：
例题：x 2 -6x=-8
1
本先教育教案
练习：(1)3x 2 +6x-4=0
(2)2x 2 -5x+2=0
④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2 +bx+c=0(a≠0).
2.b 2 -4ac≥0. 例题：X2+2x-3=0
练习： -2m2+4=-3m
31
a2-a- =0
24
8y2-2y-15=0
△ 用三种方法解方程： 3x2 5x 2
（1）用因式分解法解:
解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零）
方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成 A`B=0 的形式）
即 x-2=0 或 3x+1=0（A=0 或 B=0）
2022年九年级数学上册《用一元二次方程解决问题》教材预习辅导讲义(附解析)
初中数学《用一元二次方程解决问题》教材讲义及过关练列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).【点拨】列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低教材知识总结后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金；利息：银行付给顾客的酬金叫利息；本息和：本金和利息的和叫本息和； 期数：存入银行的时间叫期数；利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率。
讲义精品一元二次方程讲义精品
讲义精品一元二次方程讲义精品(总9页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。
针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
一元二次函数PPT教学课件
y=2x2+5x+3
160 140 120 100 80 60 40 20
0 -5 0 x 5
數列1 10
一元二次函數圖像和系數的關 係
✓ 右圖顯示的是函數
y =- 2x2-5x+3 的圖像
它和前述的y=2x2+5x+3 比較，有二個符號不一 -10 樣。
✓ 但這兩條曲條的拐點同 樣在 y-軸的左邊，可見
y=-2x2+5x+1
y=-2x2+5x-2
10
10
10
0
0
0
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-20
-20
-20
-30 y
-40
數列1
-30
y
-40
-30
數列1 y
-40
數列1
-50
-50
-50
-60
-60
-60
-70
-70
-70
攀禽类：啄木鸟、杜鹃、鹦鹉
4、哪种喙和脚适于在水中捞食水草？
游禽类：天鹅、野鸭、鸬鹚、鸳鸯、鸊鹈
5、哪种喙和脚适于在水中捕鱼？
涉禽类：丹顶鹤、白鹭、黑颧
6、哪种喙和脚适于扒土寻食？鸡、绿孔雀
项目 形态特点 生活习性 代表种
类群
鸣禽类
喙细而尖 足短而细 三趾向前 一趾向后
体态轻捷 善于鸣啭 巧于营巢
別， ，但曲線向上開口，
可見開口端是曲系數a
-10
的符號决定的，a 是正
數、向上，a 是負數、
y=2x2-5x+3 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -5 x0 5
4.1一元二次函数4.2一元二次不等式及其解法课件(北师大版)
{x|x≠- }
R
[例1] 解不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
2
解:(1)方程 2x -3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.
2
画出一元二次函数 y=2x -3x-2 的图象[如图(1)],结合图象得不等式
2
2x -3x-2>0 的解集是{x|x<- ,或 x>2}.
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)当Δ>0时,讨论相应一元二次方程两根的大小.
简记为“一a,二判(Δ),三大小(两根)”.
最后对系数中的参数进行完全分类,即将(-∞,+∞)分成若干个区间,根
据相应一元二次函数在各个区间的值,写出一元二次不等式的解集.
备用例题
[例题] 已知函数f(x)=x2-4ax,x∈R,a∈R.
(1)若f(x)<b的解集为(1,3),求a,b的值;
与系数的关系可知 a,b,c 之间的关系.
2
①如果不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|d<x<e},则说明 a<0,x1=d,x2=e 分别为方程
2
ax +bx+c=0 的两根,即 d+e=- ,d·e= ;若解集为{x|x<d,或 x>e},则说明 a>0,
2
x1=d,x2=e 分别为方程 ax +bx+c=0 的两根,即 d+e=- ,d·e= .
拓展探索素养培优
含参数的一元二次不等式的解法
[典例] 解关于x的不等式x2-ax-2a2<0.
北师大版141一元二次函数课件(47张)
k
m≤h≤n
h＝m＋2 n
a(m－h)2＋k 或a(n－h)2＋k
k
m＋2 n<h≤n
a(m－h)2＋k
k
[练习 3]求函数 y＝x2－2x＋3 在区间[0，a]上的最值，并求此时 x 的值．
解：函数图象的对称轴为直线 x＝1，抛物线开口向上， 当 0<a≤1 时，在[0，a]上函数值随 x 的增大而减小， ∴当 x＝0 时，ymax＝3；当 x＝a 时，ymin＝a2－2a＋3. 当 1<a<2 时，在[0,1]上函数值随 x 的增大而减小，在[1，a]上函数值随 x 的增大而增 大， ∴当 x＝1 时，ymin＝2；当 x＝0 时，ymax＝3. 当 a≥2 时，在[0,1]上函数值随 x 的增大而减小，在[1，a]上函数值随 x 的增大而增大， ∴当 x＝1 时，ymin＝2； 当 x＝a 时，ymax＝a2－2a＋3.
任意一元二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，都可由 y ＝ax2 的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．
[练习1]画出一元二次函数y＝12x2－6x＋21的图象，并说明它是如何经过y＝21x2平移得 到的．
解：∵y＝12x2－6x＋21＝12(x－6)2＋3， ∴抛物线的顶点坐标为(6,3)，对称轴为x＝6. 令x＝0，求得y＝21，它与y轴交点为(0,21)，此交点距顶点太远，画图时利用不上； 令y＝0，12x2－6x＋21＝0. ∵Δ＜0，方程无实数解， ∴抛物线与x轴没有交点． 因此，画此函数图象，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对 称点，然后描点、画图即可．
a＝－2， 解这个方程组得b＝8，
c＝－5.
2022年九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教材预习辅导讲义(附解析)
初中数学《一元二次方程的根与系数的关系》教材讲义及过关练一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【点拨】利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定的值； ③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【点拨】（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆c b a .,ac b 42-ac b 42-()002≠=++a c bx ax ⇒ac b 42-⇒ac b 42-⇒ac b 42-ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21acx x =21教材知识总结也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②； ③；④； ⑤；⑥；⑦⑧； ⑨； ⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=2212121212()x x x x x x x x +=+2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=22121212()()4x x x x x x -=+-12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x 120x x >120x x >120x x +>120x x >120x x +<120x x <120x x <120x x +>当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．【点拨】（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．【例题1】设方程2320x x --=两个根为1x 、2x ，则2212x x +=（ ）A ．922+B ．922-C ．92+D ．92-【例题2】若1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根，则12x x ⋅的值是（ ） A ．3B ．-3C ．5D ．-5【例题3】已知一元二次方程2202210x x -+=的两个根分别为12,x x ，则21202212x x -+的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．2022- D ．2021-一、单选题1．若关于x 的方程250x x a -+=有一个根是2，则另一个根是（ ） A ．6B ．3C ．3-D ．7-2．已知1x 、2x 是一元二次方程2630x x -+=的两个实数根，则1211+x x 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-3．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，则代数式(m +n )2022的值为（ ） A ．1B ．0C ．20223D ．202274．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣4，2，小明看错了一次项系数p ，得到方程两个根是4，﹣3，则原来的方程是（ ） A ．x 2+2x ﹣8＝0B ．x 2+2x ﹣12＝0C ．x 2﹣2x ﹣12＝0D ．x 2﹣2x ﹣8＝05．已知方程220x mx ++=的一个根是1，则它的另一个根是（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．36．关于方程2320x x -+=的根的说法中，正确的是（ ） A ．没有实数根B ．两实数根的和为2-C ．有两个不相等的实数根D ．两实数根的积为3二、填空题120x x <120x x +<∆a b +a b -a b 看例题，涨知识课后习题巩固一下7．已知m ，n 是一元二次方程2320x x --=的两个根，则22m n mn +=_______．8．写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2，这个一元二次方程是________． 9．已知方程2210x x --=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为_________． 10．若一元二次方程2320x x --=的两个实数根为a ，b ，则a ab b -+的值为_______． 三、解答题11．已知，关于x 的一元二次方程()22210x a x a a --+-=，(1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程两根的绝对值相等，求a 的值．12．已知12,x x 是一元二次方程23260x x +-=的两个根，求1233x x +的值． 13．已知关于x 的方程22x 2mx m 90-+-=． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为1x ，2x ，若126x x +=，求m 的值．14．已知关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求a 的取值范围；(2)若1x ，2x 满足22121216x x x x +-=，求a 的值．1.3 一元二次方程的根与系数的关系答案解析一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆教材知识总结（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【点拨】利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定的值； ③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【点拨】（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②； c b a .,ac b 42-ac b 42-()002≠=++a c bx ax ⇒ac b 42-⇒ac b 42-⇒ac b 42-ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21acx x =21222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧； ⑨； ⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．【点拨】（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．【例题1】设方程2320x x --=两个根为1x 、2x ，则2212x x +=（ ）A ．922+B ．922-C ．92+D ．92-【答案】A2212121212()x x x x x x x x +=+2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=22121212()()4x x x x x x -=+-12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x 120x x >120x x >120x x +>120x x >120x x +<120x x <120x x <120x x +>120x x <120x x +<∆a b +a b -a b 看例题，涨知识【分析】()2221212122x x x x x x +=+-，由韦达定理可知，123x x +=，122x x =-，代入即可求解． 【解析】()2221212122x x x x x x +=+- 由韦达定理可知，123x x +=，122x x =-则2212x x +=(2322922-⨯-=+故选A ．【例题2】若1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根，则12x x ⋅的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算求值即可； 【解析】解：∵1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根， ∴12551x x -==-， 故选：D ．【例题3】已知一元二次方程2202210x x -+=的两个根分别为12,x x ，则21202212x x -+的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．2022- D ．2021-【答案】B【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得21120221x x =-，121x x ⋅=，再代入通分计算即可求解．【解析】∵方程2202110x x -+=的两根分别为1x 、2x ，∴211202210x x -+=，121x x ⋅=， ∴21120221x x =-，∴21220221x x -+=121220221202x x --+ =12222202212022x x x x x ⋅--+ =222022120221x x ⨯--+=221x x -+ 11=-+0=故选：B ．一、单选题1．若关于x 的方程250x x a -+=有一个根是2，则另一个根是（ ） A ．6 B ．3 C ．3- D ．7-【答案】B【解析】解：设另一个根为m ，由根和系数的关系有：25m += 解得3m = 故选：B ．2．已知1x 、2x 是一元二次方程2630x x -+=的两个实数根，则1211+x x 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．12D ．12-【答案】A【分析】通分：21121212121211x x x x x x x x x x x x ++=+=⋅⋅⋅，根据韦达定理：一元二次方程根与系数的关系：12b x x a+=-，12cx x a⋅=可得出答案． 【解析】解： 由韦达定理：12bx x a +=-，12c x x a⋅=可得211212*********23x x x x x x x x x x x x ++=+===⋅⋅⋅， 故选：A ．3．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，则代数式(m +n )2022的值为（ ） A ．1 B ．0C ．20223D ．20227【答案】A【分析】直接利用根与系数的关系得出两根之和，进而得出答案．【解析】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ， ∴1+n =-m ， 解得：m +n =-1， 故（m +n ）2022=1． 故选：A ．4．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣4，2，小明看错了一次项系数p ，得到方程两个根是4，﹣3，则原来的方程是（ ） A ．x 2+2x ﹣8＝0 B ．x 2+2x ﹣12＝0C ．x 2﹣2x ﹣12＝0D ．x 2﹣2x ﹣8＝0【答案】B课后习题巩固一下【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系，从而得出符合题意的方程． 【解析】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p ＝-4+2=﹣2，αβ＝q ＝4×（-3）=﹣12， 原来的一元二次方程是x 2+2x ﹣12＝0． 故选：B5．已知方程220x mx ++=的一个根是1，则它的另一个根是（ ） A ．1 B ．2 C ．2- D ．3【答案】B【分析】设方程的另一个根为x 1，根据两根之积等于ca，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】解：设方程的另一个根为x 1，根据题意得：11x ⨯ =2，解得 x 1=2． 故选:B ．6．关于方程2320x x -+=的根的说法中，正确的是（ ） A ．没有实数根B ．两实数根的和为2-C ．有两个不相等的实数根D ．两实数根的积为3【答案】C【分析】根据一元二次方程的判别式得到根的情况，根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和与两根之积，最后对四个选项进行判断即可． 【解析】解：∵2320x x -+=， ∴2(3)41210∆=--⨯⨯=>． ∴该方程有两个不相等的实数根． 故A 选项不符合题意，C 选项符合题意． ∵2320x x -+=有两个不相等的实数根， ∴两实数根之和为331--=，两实数根之积为221=． 故B 选项不符合题意，D 选项不符合题意． 故选：C ． 二、填空题7．已知m ，n 是一元二次方程2320x x --=的两个根，则22m n mn +=_______． 【答案】6-【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知：m +n =3，mn =-2，由此即可求解． 【解析】解：由题意得，m +n =3，mn =-2，∴()()22326m n mn mn m n +=+=⨯-=-，故答案为：-6．8．写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2，这个一元二次方程是________． 【答案】2420x x -+=【分析】设此一元二次方程为()200++=≠ax bx c a ，根据两根之和是4，两根之积是2，利用a 表示b ，c ，即可得出一元二次方程．【解析】解：设此一元二次方程为()200++=≠ax bx c a ，且1x ，2x 为一元二次方程的两个根，∵它的两根之各是4，两根之积是2 ∴124bx x a +=-=，122c x x a==， ∴4b a =-，2c a =，代入一元二次方程得：()24200ax ax a a -+=≠，即2420x x -+=， 故答案为：2420x x -+=．9．已知方程2210x x --=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为_________． 【答案】14【分析】由根与系数的关系122bx x a+=-，即可求出答案． 【解析】解：∵方程2210x x --=的两根分别是1x ，2x ， ∴12112224b x x a -+=-=-=⨯； 故答案为：14． 10．若一元二次方程2320x x --=的两个实数根为a ，b ，则a ab b -+的值为_______． 【答案】5【分析】先根据根与系数的关系得到3,2,a b ab +==-然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：根据题意得3,2,a b ab +==-()32 5.a ab b a b ab -+=+-=--=故答案为：5. 三、解答题11．已知，关于x 的一元二次方程()22210x a x a a --+-=，(1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程两根的绝对值相等，求a 的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)12【分析】（1）只需证明0∆>即可；（2）利用根与系数的关系列出两根之和的表达式，因为两根互为相反数，故由两根之和等于0即可求出a 的值．【解析】(1)解：[]22(21)4()10a a a ∆=----=>， ∴该方程有两个不相等的实数根．(2)解：12x x ≠，且12x x =，∴12x x =-，即120x x +=，∴210a -=，解得12a =． 12．已知12,x x 是一元二次方程23260x x +-=的两个根，求1233x x +的值． 【答案】1 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x 1+x 2=-23，x 1x 2=-2的值，将所求式子变形后，代入即可求出值．【解析】解：∵x 1，x 2是一元二次方程3x 2+2x -6=0的两个根，∴x 1+x 2=-23，x 1x 2=63-=-2， ∴()121212333x x x x x x ++= 23312⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-． 13．已知关于x 的方程22x 2mx m 90-+-=．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为1x ，2x ，若126x x +=，求m 的值．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系可得122x x m +=即可找出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】(1)根据题意可知：22(2)4(9)360m m ∆=--=>，∴方程有两个不相等的实数根；(2)有题意得：122x x m +=∴1226x x m +==，解得3m =14．已知关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求a 的取值范围；(2)若1x ，2x 满足22121216x x x x +-=，求a 的值． 【答案】(1)3a <；(2)1a =-【分析】（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；（2）由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可．【解析】(1)解：∵关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根，∴()()2221420a a a ∆=----->⎡⎤⎣⎦，解得：3a <；(2)解：∵关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=， ∴()1221x x a +=-，2122x x a a =--，∵22121216x x x x +-=， ∴()21212316x x x x +-=，即()()22213216a a a ----=⎡⎤⎣⎦，十字相乘因式分解得：11a =-，26a =， ∵3a <，∴1a =-．。
一元二次辅导讲义(全面)
杭州教育辅导讲义21xx的形式，然后利用根与系数的关系代入求值．要特别注意如下公式：（1）()2122122212xxxxxx-+=+；（2）21212111xxxxxx+=+；（3）()()212212214xxxxxx-+=-；（4）()()212132132313xxxxxxxx+-+=+；（5）()21221214xxxxxx-+=-；（6）()21221214xxxxxx-+±=-；（7）()2121221221xxxxxxxx++=+；（8）()21212212122xxxxxxxx+-+=+．五、实际应用：1、知识结构2、知识要点归纳由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.（1）加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.（2）加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.（3）加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.3解一元二次方程的数学应用题的一般步骤（1）找——找出题中的等量关系（2）设——设未知数（3）列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式（4）解——解出所列的方程（5）验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验（6）答——作答下结论4、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.考点回放1考察一元二次方程概念1．下列方程不是整式方程的是（）年我省森林覆盖率为家庭轿车将达到多少辆（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个试写出所有可能的方案.11．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台12..(2009年潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽． （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为1O 和2O ，且1O 到AB BC AD 、、的距离与2O 到CD BC AD 、、的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．24.已知m,n 是一元二次方程0719992=++x x 的两个根，求)82000)(61998(22++++n n m m 的值。
二次函数辅导讲义（学生版）
⼆次函数辅导讲义（学⽣版）⼆次函数辅导讲义⼀、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为⼆次函数．2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax2 (a≠0）；当a＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。
⑵⼆次函数，顶点为（－，），对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开⼝向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增⼤⽽增⼤，x＜－，y随x的增⼤⽽减⼩；当a＜0时，抛物线开⼝向下，图象有最⾼点，且x＞－，y随x的增⼤⽽减⼩，x＜－，y随x的增⼤⽽增⼤．解题⼩诀窍：⼆次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。
3．图象的平移：⼆次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。
平移的简记⼝诀是“上加下减，左加右减”。
⼀、经典考题剖析：【考题1】在平⾯直⾓坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后⼆次函数的关系式是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．⼆次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A． B. C. D.4．已知⼆次函数(a≠0）与⼀次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所⽰，能使y1＞y2成⽴的x取值范围是_______5．已知直线y=x 与⼆次函数y=ax 2 －2x －1的图象的⼀个交点 M 的横标为1，则a 的值为（）A 、2B 、1C 、3D 、 46．已知反⽐例函数y= x k 的图象在每个象限内y 随x 的增⼤⽽增⼤，则⼆次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象⼤致为图1－2－3中的（）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发⽣变化．例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即③④。
(完整版)一元二次方程讲义——绝对经典实用
一元二次方程基础知识1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。
如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。
2）计算式子b ac 24-的值。
3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．7、韦达定理的逆定理2一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a =，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a -<，则此方程的两根均为负根． 更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m >③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑵ 2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)11、一元二次方程的应用1．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。
1.4一元二次函数与一元二次不等式课件(北师大版)
横轴上方y为正,根间根外想谨慎.
即时巩固
(1)不等式x2-2x>0的解集为( D )
A.{x|x>0}
B.{x|x<2}
C.{x|0<x<2}
D.{x|x<0或x>2}
(2)求不等式-x2+2x-3>0的解集.
解:不等式可化为x2-2x+3<0.因为Δ=-8<0,所以方程x2-2x+3=0无实数根.
3
(2)该函数的对称轴为x=2,所给区间[2,3]在对称轴的同侧,都在右侧,
又二次项系数为1>0,所以在[2,3]上该函数为随x的增大而增大,
所以当x=2时,函数值最小,最小值为-9,当x=3时函数有最大值,最大值为-7.
反思感悟
求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出二次函数相关的部分简图,利用数形结
1
解:(1)因为方程2x2-3x-2=0的判别式Δ=9+4×2×2=25>0,所以该方程的解是x1=- 2,x2=2.
因为该函数的图象是开口向上的抛物线,
1
所以原不等式的解集是ቄ < − 2 , 或 > 2 .
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0.
3
3
因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以该方程的解是x1=1- 3 ,x2=1+ 3 .
因为该函数的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是ቄ 1 −
3
3
< <1+
3
一元二次函数讲解教案
一元二次函数讲解教案一、教学目标1.理解一元二次函数的定义、图像和性质。
2.掌握一元二次方程的求解方法。
3.能够运用一元二次函数解决实际问题。
二、教学重点与难点1.教学重点：一元二次函数的定义、图像和性质，一元二次方程的求解方法。
2.教学难点：一元二次函数图像的变换，一元二次方程的求解技巧。
三、教学过程一、导入1.回顾一元一次函数的定义、图像和性质。
2.提问：一元二次函数与一元一次函数有什么区别？二、新课讲解1.定义介绍一元二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数称为一元二次函数。
2.图像开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
对称性：一元二次函数的图像关于其对称轴对称。
顶点：一元二次函数的图像有唯一的顶点，顶点坐标为（-b/2a，4ac-b²/4a）。
3.性质介绍一元二次函数的性质：当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增。
当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
函数的最大值或最小值出现在顶点处。
4.一元二次方程介绍一元二次方程的求解方法：公式法：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a因式分解法：将一元二次方程分解为两个一次因式的乘积，然后求解。
配方法：将一元二次方程转化为完全平方形式，然后求解。
三、案例分析1.分析几个典型的一元二次函数图像，让学生找出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标等。
2.分析几个一元二次方程，让学生运用所学方法求解。
四、巩固练习1.让学生独立完成几个一元二次函数的图像绘制和性质分析。
2.让学生独立求解几个一元二次方程。
五、课堂小结3.强调一元二次函数在实际问题中的应用。
六、课后作业1.绘制几个一元二次函数的图像，并分析它们的性质。
2.求解几个一元二次方程。
3.选取一个实际问题，运用一元二次函数解决。
通过本节课的学习，希望同学们能够掌握一元二次函数的基本知识，为后续学习打下坚实基础。
(2021年整理)一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义
一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义）的内1、认识一元二次方程2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法.容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义的全部内容。
1、一元二次方程解法重点、难点2、会解一元二次方程，并能熟练运用四种方法去解考点及考试要一元二次方程的四种解法求教学内容第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m m x ++-=-的一个根是0，求m 的值。
3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+;4.已知实数a 满足2280a a+-=，求)3)(1(12)1)(1(31a 12+++-⨯+-+-+a a a a a a a 的值。
新课标第一网课前检测5。
已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值.一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式:2()x a b +=举例:解方程：29(1)25x += 解：方程两边除以9，得: 225(1)9x +=1251352581,13333x x x ∴+=±∴=-==--=-二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解。
一元二次方程讲义模板
龙文教育学科教师辅导讲义课 题 方程与不等式（组）（二） 一元二次方程 教学目标1. 理解一元二次方程的概念。
2. 掌握解一元二次方程的方法和技巧。
3. 学会列一元二次方程解应用题。
重点、难点本节的重点是熟练掌握解一元二次方程的方法和技巧；会列一元二次方程解应用题是本节教学的难点。
考点及考试要求教学内容一、主要知识点回顾：二、一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0） 其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项；ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项。
例1：关于y 的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是___________ ,它的二次项系数是_____,一次项是_____, 常数项是_____例2：下列各等式是否是关于的一元二次方程？为什么？ （1） （2） （a 为常数） （3）一元二次方程一元二次方程的定义 一元二次方程的解法一元二次方程的应用（增长率问题、成本利润与数量问题）把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程一般形式：ax ²+bx+c=0（a ≠0）直接开平方法：适应于形如（x-k ）² =h （h ≥0）型配方法： 配方:方程两边同加一次项系数一半的平方 公式法：因式分解法:适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程2(1)51x x x +=-260x ax +=243x y =230ax x -+=（4）（5） （6）22(1)0m x mx m +-+=例3：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
（关于x 的一元二次方程）253x x -= 230x =三、一元二次方程的解法：1. 一元二次方程的解：满足一元二次方程成立的未知数的取值。
例1：若关于x 的一元二次方程x 2＋p x ＋5＝0的一个根是－1，求p 的值。
一元二次函数辅导讲义
一元二次函数解法讲义【知识梳理】：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x yc bx ax y ++=2()0≠a 配方得：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 44,22-=-=：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向： (1)当时，开口向上；顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，当abx 2-= ,y 值最小，最小值为a b ac 442-(2)当时，开口向下；顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，当abx 2-= ,y 值最大，最大值为a b ac 442-(3)a 相等，抛物线的开口大小、形状一样. ②平行于y 轴〔或重合〕的直线记作.特别地，y 轴记作直线.:几个不同的二次函数，如果二次项系数一样，那么抛物线的开口方向、开口大小完全一样，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法〔1〕公式法：ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=， ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=. 〔2〕配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2)(的形式，得到顶点为),(k h ，对称轴是直线.〔3〕运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进展验证，才能做到万无一失.的作用中，c b a c bx ax y ,,2++=〔1〕决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的完全一样.〔2〕和共同决定抛物线对称轴的位置:由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故： ①时，对称轴为轴 ②ab>0〔即、同号〕时，对称轴在轴左侧 ③0<ab〔即、异号〕时，对称轴在y 轴右侧. 〔3〕的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当y x 时，0=c =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点〔0，〕：①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.轴右侧，那么0<ab.〔1〕一般式：c bx ax y ++=2.图像上三点或三对y x ,的值，通常选择一般式. 〔2〕顶点式：()k h x a y +-=2.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.〔3〕交点式：图像与轴的交点坐标21,x x ，通常选用交点式：))((21x x x x a y --=. 〔1〕轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为),0(c . 〔2〕与轴平行的直线与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(,).〔3〕抛物线与轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与轴的两个交点的横坐标21,x x ，是对应一元二次方程轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点〔顶点在轴上〕抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.〔4〕平行于轴的直线与抛物线的交点：同〔3〕一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，那么横坐标是的两个实数根.〔5〕一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图像G 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点； ③方程组无解时与没有交点. 〔6〕抛物线与轴两交点之间的距离：假设抛物线c bx ax y ++=2与轴两交点为)0,(),0,(21x B x A ，由于21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x -=•-=+2121,经典例题：【例1】二次函数c bx ax y ++=2的图像如下图，那么abc 、ac b 42-、b a +2、c b a +-24这四个代数式中，值为正的有〔 〕A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个解析：∵abx 2=＜1 ∴b a +2＞0答案：A评注：由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。
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一元二次函数解法讲义【知识梳理】1．定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x y2。
二次函数c bx ax y ++=2()0≠a 配方得:()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 44,22-=-=3。
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向： （1）当时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大,当abx 2-= ,y 值最小，最小值为a b ac 442-（2）当时，开口向下;顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随ｘ的增大而减小，当abx 2-= ,y 值最大,最大值为a b ac 442-（3）a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作．特别地,ｙ轴记作直线.4.顶点决定抛物线的位置：几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1)公式法：ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=, ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=． （２）配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2)(的形式，得到顶点为),(k h ,对称轴是直线.(３）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失．6.抛物线的作用中，c b a c bx ax y ,,2++=（１）决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的完全一样.(２）和共同决定抛物线对称轴的位置：由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故: ①时,对称轴为轴 ②ab＞0（即、同号）时,对称轴在轴左侧 ③0<ab（即、异号）时,对称轴在y 轴右侧. （3）的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。
当y x 时，0=c =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，）:①，抛物线经过原点； ②,与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴。
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立。
如抛物线的对称轴在轴右侧，则0<ab. ７.用待定系数法求二次函数的解析式（１）一般式：c bx ax y ++=2。
已知图像上三点或三对y x ,的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(３)交点式:已知图像与轴的交点坐标21,x x ，通常选用交点式:))((21x x x x a y --=． ８。
直线与抛物线的交点 (１）轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为),0(c . （2）与轴平行的直线与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(,）．(3）抛物线与轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与轴的两个交点的横坐标21,x x ,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的 判别式判定:①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.(4）平行于轴的直线与抛物线的交点:同(3)一样可能有0个交点、１个交点、2个交点。
当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根。
（5）一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图像G 的交点，由方程组的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点； ②方程组只有一组解时与只有一个交点； ③方程组无解时与没有交点。
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与轴两交点为)0,(),0,(21x B x A ，由于21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故acx x a b x x -=•-=+2121,经典例题：【例1】二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么abc 、ac b 42-、b a +2、c b a +-24这四个代数式中,值为正的有（ )A 、4个B 、3个 Ｃ、2个 Ｄ、1个解析:∵abx 2=＜１ ∴b a +2＞0答案:Ａ评注:由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。
由抛物线与x 轴的交点个数判定ac b 42-的符号,若x 轴标出了1和-1，则结合函数值可判定b a +2、c b a ++、c b a +-的符号。
【例2】已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2向下平移1个单位,再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是(—2，０）,求原抛物线的解析式。
分析：①由0=++c b a 可知:原抛物线的图像经过点（１,０)；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线.解：可设新抛物线的解析式为2)2(+=x a y ，则原抛物线的解析式为1)52(2+-+=x a y ，又易知原抛物线过点（１,0）∴1)521(02+-+=a ，解得41-=a ∴原抛物线的解析式为：1)3(412+--=x y 评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用.另外,还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动,常见的几种变动方式有:①开口反向（或旋转1800）,此时顶点坐标不变,只是a 反号;②两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 反号;③两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称； 探索与创新：yx例 1 图-1 1O【问题】已知，抛物线22)1(t t x a y +--=(a 、t 是常数且不等于零)的顶点是Ａ,如图所示,抛物线122+-=x x y 的顶点是B.（1)判断点A 是否在抛物线122+-=x x y 上，为什么？（２）如果抛物线22)1(t t x a y +--=经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点Ａ能否构成直角三角形?若能，求出它的值；若不能，请说明理由。
yx问题图OB解析:（1)抛物线22)1(t t x a y +--=的顶点A （1+t ，2t ）,而1+=t x 当时，222)11()1(12-+=-=+-=x x x x y ＝2t ，所以点Ａ在抛物线122+-=x x y 上。
（2)①顶点B （1，０），0)11(22=+--t t a ,∵0≠t ，∴1-=a ；②设抛物线22)1(t t x a y +--=与x 轴的另一交点为Ｃ，∴Ｂ(1，０）,C （12+t ，0），由抛物线的对称性可知,△ＡBC 为等腰直角三角形，过A 作ＡD ⊥x 轴于D ，则A Ｄ＝ＢＤ。
当点C 在点B 的左边时,)1(12+-=t t ，解得1-=t 或0=t （舍）；当点C 在点B 的右边时，1)1(2-+=t t ,解得1=t 或0=t （舍）。
故1±=t 。
评注：若抛物线的顶点与x 轴两交点构成的三角形是直角三角形时,它必是等腰直角三角形,常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半"这一关系求解有关问题。
针对练习: 一．填空题 1.把抛物线221x y -=向左平移２个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个单位,得抛物线 .2。
函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3。
正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么ｙ与x 之间的函数关系是 。
4。
二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 ．5.二次函数c ax y +=2（c 不为零)，当x 取ｘ1，x 2（x 1≠x 2）时,函数值相等，则ｘ1与x 2的关系是 。
6．抛物线c bx ax y ++=2当ｂ=0时,对称轴是 ，当ａ,b 同号时，对称轴在y轴 侧,当a,b 异号时,对称轴在y 轴 侧.7。
抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 。
如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 。
8。
若a <0,则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限;当ｘ>4a-时，函数值随x 的增大而 。
9。
二次函数c bx ax y ++=2（ａ≠0）当a >0时,图象的开口ａ<0时，图象的开口 ,顶点坐是 。
１０．抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称是 ． 11。
二次函数)()(32+-=x y 的图象的顶点坐标是(1，-2）． 12.已知2)1(312-+=x y ，当ｘ 时，函数值随x 的增大而减小． 13．已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 。
14．用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 。
15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 。
二、选择题:１6。
在抛物线1322+-=x x y 上的点是( )Ａ。
（0，－1） B 。
⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21Ｃ.（-1，５） D 。
（３，4) 17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A ．0个 Ｂ.1个 C.2个 D ．互相重合的两个 18.关于抛物线c bx ax y ++=2（ａ≠０）,下面几点结论中,正确的有（ )① 当ａ>0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边ｙ随x 的增大而增大，当a <0时，情况相反．② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与ｘ 轴 交点的横坐标。
A.①②③④ B 。
①②③ C ． ①② D.① 1９。
二次函数y=（x+1）(x —3)，则图象的对称轴是（ ）A ．x=1B 。
ｘ=-2C 。
x=3 D.x=-3 20。
图象的顶点为（-2，-２ )，且经过原点的二次函数的关系式是( ） Ａ.ｙ=12（x+2 )2 —２ B ．ｙ＝12(ｘ-２ ）２ —２ C ． y = 2(x+２ )2—２ Ｄ． y ＝ 2（ｘ-2 ）2-221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=ba( ） A 。