人教版高中数学选修课程课件选修2-1空间向量性质

PA,又已知l OA, PO , 命题容易得证.
证明 如图3.1 13 ,在直线
P
l上取向量a,同时取向量PO,
Al
OA. 因为l OA,所以a OA
O
a
0.因为PO ,且l ,所
图3.1 13
以l PO,因此a PO 0
又因为a PA a PO OA a PO a OA 0,
3.1. 3 空间向量的数量积运算
在几何中,夹角与长度是两个最基本 的几何量.下面我们探讨如何用空间 向量的数量积表示空间两条直线的 夹角和空间线段的长度.
动画解释向量a, b的夹角.
a
aA
a
b Ob B
b
图3.1 11
A a
Ob B
如图3.1 11,已知两个非零向量a,b,在空
间任取一点O,作OA a,OB b,则AOB 叫做向量a,b的夹角,记作 a,b .
l
m
n
n
mg
不平行.由向量共面的充要条
图3.1 14
件知,存在惟一的有序实数对x, y,使g xm yn.
来自百度文库
将上式两边与向量l作数量积,得l g xl m yln.
因为l m 0,ln 0 为什么?.所以l g 0, 所以l g.
即l g . 这就证明了直线l垂直于平面内任意一条 直线,所以 l .
已知: 如图3.1 12.PO, PA分别是
P
平面的垂线、斜线, AO是PA在
Al
平面内的射影,l , 且l OA, O
求证 : l PA. 分析 用向量方法证明这个命
图3.1 12
题 时, 只 需 证 明 直 线l上 的 任 意 向 量a与PA的 数 量 积
为0.由于PA与OA, PO构成一个三角形, 且PO OA
请同学们体会用向量表示直线,并用向量的数量
积运算推证垂直关系的过程.
b
a
a k 或b k ?也就是说,向量有除法吗?
b
a
3. 对于三个均不为零的数a,b, c,有abc abc. 对于向量a,b, c, a bc ab c成立吗?向量的数
量积满足结合律吗?
例2 在平面内一条直线,如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直.
这个命题叫做三垂线定理.
思考 1. 对于三个均不为零的数a,b, c,若ab ac,
则b c.对于向量a,b, c,由a b a c,能得到b c吗?
如 果 不 能, 请 举 出 反 例.
2. 对于三个均不为零的数a,b, c,若 ab c,则a
c 或b c .对于向量a,b,由a b k,能不能写成
分析 要证明l ,就
l
是要证明l 垂直于内
的任何一条直线g (直
l
m
n
n
线和平面垂直的定义). m g
如果我们能在g和m, n 图3.1 14
之间建立某种联系,并
由l m,l n,得到l g,就能解决此问题.
证明 在内作任一条直线g,
l
分别在l, m, n, g上取非零向量 l,m,n,g. 因为m与n相交, 所以向量m,n
通常规定0 a,b .这样,两个向量的夹角
是惟一确定的,且 a,b b, a .
如果 a,b
2
,
那 么 向 量a, b互 相 垂 直,
记作a b.
已 知 两 个 非 零 向 量a,b,则 | a || b | cos a,b 叫做 a,b 的
数量积inner product,
记 作a b. 即 a b | a || b | cos a,b .
类比平面向 量, 你 能 说 出 a b的几何意 义吗?
零向量与任何向量的数量积为0. 特别地, a a | a || a | cos a,b | a |2 .
空间向量的数量积 满足如下的运算律:
ab a b;
a b b a交换律;
a b c a b a c
分配律.
你能证明这些运 算律吗?证明分配 律时,与证明平面 向量数量积的分 配律有什么不同?
所以l PA.
你 能 用 向 量 方 法 证 明" 在 平 面 内 的 一 条 直 线, 如 果
和这个平面的一条斜线垂直 ,那么它也和这条斜
线 在 平 面 内 的 射 影 垂 直."吗 ?
这个命题叫做三垂线定理的逆定理.
例3 如图3.1 14, m, n是平面内两条相交直
线.如果l m,l n,求证 : l .