人教版高中数学选修课程课件选修2-1空间向量性质
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人教A版高中数学选修2-1课件3.1.1空间向量及其加减运算2.pptx
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第三章空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减运算
空间向量及其运算(一)
这是什么? 向量
如:力、位移等.
问题 1: C 向上 如图:已知 OA=6 米,
B AB=6 米,BC=3 米,
正北
O 正东 A
? 那么 OC=
F3
已知F1=2000N,
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们 可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们。
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
(a+b)+c=a+(b+c)
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBc
b Bc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
加法交换律 rr rr ab ba 加法结合律: rr r r rr (a b) c a (b c)
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第三章空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减运算
空间向量及其运算(一)
这是什么? 向量
如:力、位移等.
问题 1: C 向上 如图:已知 OA=6 米,
B AB=6 米,BC=3 米,
正北
O 正东 A
? 那么 OC=
F3
已知F1=2000N,
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们 可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们。
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
(a+b)+c=a+(b+c)
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBc
b Bc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
加法交换律 rr rr ab ba 加法结合律: rr r r rr (a b) c a (b c)
人教版数学高二选修2-1课件空间向量与平行关系
B.l⊂α
C.l⊥α
D.l⊂α或l∥α
解析 ∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α.
解析答案
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是 _②__③__.(填序号) ①A→B；②A—A→1；③B—1→B；④A—1—C→1. 解析 ∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC， ∴A—A→1与B—1→B可以作为平面 ABC 的法向量.
12345
2.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标
平面( C )
A.xOy平行
B.xOz平行为A→B＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.
解析答案
12345
3.若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A )
解析答案
返回
当堂检测
12345
1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1∥l2， 则( D )
A.x＝6，y＝15 C.x＝3，y＝15
B.x＝3，y＝125 D.x＝6，y＝125
解析 由 l1∥l2 得，23＝4x＝5y，解得 x＝6，y＝125.
解析答案
第三章 § 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
学习 目标
1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行 问题. 2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.
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知识梳理
知识点一 直线的方向向量和平面的法向量
《空间向量及其运算》课件10(新人教A版选修2-1)
2答案
练习 3⑴.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,求证: D1F 平面ADE .
证明: 设正方体的棱长为1,
1 则 AD ( 1,0,0), D1F (0, , 1), 1 2 AD D1F (1,0,0) (0, , 1) 0. 2 1
1 B C c a ， C O （ ab ）, 证明：设 C1 B1 a ， , 则 C1 D1 b ， C1C c 1 1 2 1 OD OD1 c （ ba ） c ,若存在实数 x , y ,使得 B1C xOD yOC1成立， 2
1 1 1 y （ ab ） （x y ） a （x y ） b xc 2 2 2
引入
知识要点
练习1
练习2
练习 3
本课小结
z
以 i , j , k 为单位正交基底
P ( x, y, z )
k
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p xi y j zk
i , j , k 为基底 ( x, y, z ) p
x
i
O
y
j
y 记
p ( x, y, z )
x
OP ( x, y, z ) P( x, y, z )
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
思考2
思考 2(课本 P95 思考) B、 C, 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 B、 C 是否共面? x y z 1 )的点 P 与点 A 、
高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.1 空间向量及其加减运
(4)向量的减法是由向量的加法来定义的:减去一个向量就等于加 上这个向量的相反向量. 由此可以推出向量等式的移项方法,即将其中任意一个向量变号 后,从等式一端移到另一端,等式仍然成立.例如,由a+b+c=d,得 a+b=d-c. (5)向量减法的作图法:因为(a-b)+b=a+[(-b)+b]=a+0=a,所以求 a-b就是求这样一个向量,它与b的和等于a,从而得出a-b的作图法.
题型一
题型二
空间向量的加减运算
【例 2】 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算的结果为 向量������������1 的共有( ) ①(������������ + ������������ ) + ������������1 ; ②(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 ; ③(������������ + ������������1 ) + ������1 ������1 ; ④(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
题型一
题型二
【变式训练1】 下列命题中,假命题是(
)
A.向量������������与������������的长度相等 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 解析:选项 A中, ������������与������������为相反向量,长度相等; 选项B中,∵两个相等向量的起点相同,∴必有终点相同; 选项C中,由零向量的定义可知|0|=0; 选项D中,共线的单位向量,有可能方向相反,故选D. 答案:D
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.2
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3.如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于 AB，AM＝FN.求证：MN∥ 平面BCE.
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-1
到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结
合具体图形，通过化简、计算得出a＝λb，从而得到a∥b.
(2)a∥b表示a与b所在的直线平行或重合两种情况．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(1)关于向量共面的几点认识
①共面向量不一定在同一平面内，但可以平移到同一平
面内；
②空间任意的两个向量都是共面的；
③共面向量定理及其推论可以用于解决空间中四点共面
的问题．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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人教版高中数学选修课程课件选修2-1空间向量
D` A`
C` B`
出 AB AD AA`,
D
C
AB AA` AD表示
A
的向量.从中你能体
B
图3.1 6
会向量加法运算的
交换律及结合律吗?一般地,三个不共面的向
量的和与这三个向量有什么关系?
OB OA AB a b,CA OA OC a b. 空间向量的加法运算满足交换律及结合律:
a b b a,a b c a b c.
你能证明空间向量的交换律及结合律吗?证明结 合律时,与证明平面向量的结合律有什么不同?
探究 如图3.1 6, 在四棱柱ABCD A`B`C `D`中, 分 别 标
角形钢板所受的三个力F1, F2, F3,正方体的三条
棱 所 表 示 的 三 个 向 量OA, OB, OC都 是 空 间 向 量.
与 平 面 向 量 一 样,空 间 向 量 也
B
用 有 向 线 段 表 示.有 向 线 段 的 长 度 表 示 向 量 的 模.如 图3.1 3,向 量 的 起 点 是A,终 点 是B,则
F3
F1
F2
C
A
O
C
A
B
500kg
图3.3 1
O
B
图3.3 2
图3.3 1中的三个力F1, F2, F3是既有大小又有方向 的量,它们是不在同一平面内的向量.因此, 解决这
个问题需要空间向量的知识.事实上,不在同一平 面 内 的 向 量 随 处 可 见.例 如, 正 方 形 中 过 同 一 顶 点
第三章 空间向量与立体几何
向量是一种重要的数学工具 ,它不仅在解决几何 问题中有着广泛的应用,而且在物理学、工程 科 学 等 方 面 也 有 着 广 泛 的应 用. 向 量 是 近 代 数 学 的 基本概念之一,它的初步知识及其应用, 早已列入 近代数学的基础部分. 通过学习平面向量, 我们知道,平面上的点、直线 可以通过向量及其运算表示出来,它们之间的关 系 , 如 平 行 、 垂 直 、 夹 角 、距离 等可 以 通过 向 量 运算而得到, 从而有关平面图形的问 间向量,学习空间向量的概念、运算、坐标表示, 并利用空间向量的运算解决有关立体几何问题.
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的基本定理
2
=12
������������ + ������������
+ ������������ − 1
2
������������ + ������������
=12
������������
+
1 2
������������
+
������������
−
1 2
������������
−
1 2
������������
自主练习
1．下列命题中正确的个数是( D )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面
③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb
A．1
B．2
C．3
D．0
自主练习
2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是( C )
A. ������������＝3������������－2������������－������������
【答案】������������=−
1 2
������
−
1 2
������
+
1 2
������，
������������=−������
−
1 2
������
+
1 2
������，
������������=−������
+
1 2
������
+
1 2
������，
������������=12 ������.
则������������
=
������������1
=12
������������ + ������������
+ ������������ − 1
2
������������ + ������������
=12
������������
+
1 2
������������
+
������������
−
1 2
������������
−
1 2
������������
自主练习
1．下列命题中正确的个数是( D )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面
③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb
A．1
B．2
C．3
D．0
自主练习
2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是( C )
A. ������������＝3������������－2������������－������������
【答案】������������=−
1 2
������
−
1 2
������
+
1 2
������，
������������=−������
−
1 2
������
+
1 2
������，
������������=−������
+
1 2
������
+
1 2
������，
������������=12 ������.
则������������
=
������������1
(人教)高中数学选修2-1课件：第3章空间向量与立体几何3.1.3
•3.1空间向量及其运算•3.1.3空间向量的数量积运算自主学习新知突破目标导航•1.掌握空间向量的数量积的概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律.•2.能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直.入门答疑•为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为5 000 kg,在它的顶点处分别受大小相同的力件，F2,耳并且每两个力之间的夹角都是60°.（其中g=10N/kg）•［问题1］向量“和一巧夹角为多少？•［提示1］120°.•［问题2］每个力最小为多少时，才能提起这+41汩宦丄土皿片o块混凝土构件？［提示2］每个力大小为IFol,合力为IFI, .•.IFI2=(F1+F2+F3)-(F1+F2+F3)=(F1+F2+F3)2=6IF O I2・•・ \F\=y［6\F0\走进教材空间向量的夹角互相垂直日丄b•如果〈°,方〉=,那么向量a, b ___________ 记作❹思维启迪〕对空间向量夹角的认识⑴通常规定OW〈a, b) W TT,这样两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a, b) = {b, a}.(2)作向量。
与〃的夹角时，必须使力，亦为同起点的向量，例如：在正四面体ABCD中，＜AB, AC) =60°,而〈赢BC) =120°.空间向量的数量积❶思维启迪〕•对空间向量的数量积的理解-(1)数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零；•(2＞力二Ooa丄〃(a , 〃为非零向量)；•(3)向量a , 〃的夹角(a f b)与点的坐标(a z 6不同；•(4)a力的几何意义:a与方的数量积等于a的长度⑷与〃在a的方向上的投影血cos 0的乘积・自主练习1.下列各命题中，不正确的命题的个数为（②加(加)•方=(mX)a・b(m,久W R)；③a・(b+c) = e+c)・a；®(Tb—lra.A・4 B・3C・2D・1•解析:•答案:命题①②③正确/④不正确•2・在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是（）A.历与dZB.石与cFC.布与4彷D.旋与B G解析：<AB, A f C f ) = {AB, AC) =45°,〉=180°- <AB, AC) =135°,〈赢4'力〉=〈赢AD) =90°,〈赢B f~A f〉= 180°・答案：B7T 7T3.设a丄b,〈a, c} =y {b, c) =g,且lal=l, I方1=2, lcl = 3,则向量a+b+c的模是 __________________ .解析：因为la+b+cF = (a+b+c)2= \a\2-\-\b\2~\~\c\2-\-2(a-b~\~a-c-\~b-c)( 1 、问)= l+4+9 + 2^0+lX3X-+2X3X^j= 17 + 6^3, 所以la+b+cl =寸17+6寸§.答案：寸17+6帝• 4・如图所示，平行六面^ABCD-A i B i C i D i 中，AB=l, AD=2, AA] = 3, ABAD—90° ,/BAA]=z£>AAi=60° ,求AC】的长.解析：因^AC X=AB+M)+AA X,所以AC\=(^+AD+AA^=葫+必+荷+2(ikib+葫萬+巫彼). 因为ZBAD=90°, ZBAAi = ZDAAi = 60。
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
人教A版高中数学选修2-1课件教学空间向量(2)
相同或相反的非零向量叫做共线向量(或平 行向量),记作 零向量与任意向量共线.
2.平面向量共线定理:
一、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 零向量与任意向量共线.
2.空间共线向量定理:对空间任意两个
向量 数使 的
C B
解：
A
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简：
A
D G B M
C
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边 的中点,化简：
A
(2)原式
D
G B M
C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
1.下列说法正确的是：D
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
E.在平面内,任意两个向量一定共线
推论:如果 为经过已知点A且平行
已知非零向量 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 其中向量 叫做直线 的方向向量.
P
a
B
P
A
以上叫向量参数表示式
中点公式： 若P为AB中点, 则
O
推论给出了点P在直线AB上的三个充要条件:
中点公式：若P为AB中点, 则
此推论应用于证明三点共线
2.若对任意一点O，
，
则x+y=1是P、A、B三点共线的： D
A.充分不必要条件
2.平面向量共线定理:
一、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 零向量与任意向量共线.
2.空间共线向量定理:对空间任意两个
向量 数使 的
C B
解：
A
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简：
A
D G B M
C
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边 的中点,化简：
A
(2)原式
D
G B M
C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
1.下列说法正确的是：D
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
E.在平面内,任意两个向量一定共线
推论:如果 为经过已知点A且平行
已知非零向量 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 其中向量 叫做直线 的方向向量.
P
a
B
P
A
以上叫向量参数表示式
中点公式： 若P为AB中点, 则
O
推论给出了点P在直线AB上的三个充要条件:
中点公式：若P为AB中点, 则
此推论应用于证明三点共线
2.若对任意一点O，
，
则x+y=1是P、A、B三点共线的： D
A.充分不必要条件
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习(共24张PPT)教育课件
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
些
计
划
，
有
的
计
划
《
几
乎
不
去
做
或
者
做
了
坚
持
不
了
多
久
。
其
实 我
成
功
的
关
键
是
做
很
坚
持
。
上
帝
没
有
在
我 是
们
出
生
的
时
候
给
我
们
什
么
额
外
的
装
备
， 算
也
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
•
•
•
•
•
•
《
极
，
那有 就些 在人 于经 坚常 持做 。一
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习课件(共24张PPT)
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2பைடு நூலகம்
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋1c， 2
∴|AC→′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 5|a|. 2
AC→′·C→E＝(－a＋c)·（b＋1c）＝1c2＝1|a|2， 2 22
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
1|a|2 2
＝ 10.
2· 5|a|2 10
2
即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10. 10
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴C→E＝b＋1c，A→′D＝－c＋1b－1a，
2
22
∴C→E·A→′D＝－1c2＋1b2＝0. 22
∴C→E⊥A→′D，即 CE⊥A′D．
空间向量的数量积及其应用
【训练 3】 如图，在直三棱柱 ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
人教A版高中数学选修2-1课件《31空间向量的基本定律》
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复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
.平面向量的基本定理
如果，e1 是e平2 面内两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量， 有且只a 有一对实数t1，t2使
a1 t1e1 t2 e2
e2
M
a
O N
C 对向量a进行分
解：
e1 OC OM ON
t1e1 t2 e2
二、空间向量的基本定理
如果三个向量不a共,面b，,那c么对空间任一 向量，存在一个唯一p的有序实数对x、y、 z，使
p E
bp
O
xa yb zc 思路：作
A AB//b, BD// a, BC// c
正方形，G为PDC重心，AB i , AD j , AP
k , 试用基底 i , j , k 表示向量PG、BG、AG.
P
A
B B
G D
N C
练习 1.已知向量{a , b , c} 是空间的一个基底，从
a , b , c中选哪一个向量，一定可以与向量 p a b， p a b构成空间的另一个基底？
D c p OB BA
C
B
OC OD OE
a
xa yb zc
推论：设点O、A、B、C是不共 面的四点，则对空间任一点P，都 存在唯一的有序实数对x、y、z使
OP xOA yOB zOC
注：空间任意三个不
O
P
共面向量都可以构成
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复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
.平面向量的基本定理
如果，e1 是e平2 面内两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量， 有且只a 有一对实数t1，t2使
a1 t1e1 t2 e2
e2
M
a
O N
C 对向量a进行分
解：
e1 OC OM ON
t1e1 t2 e2
二、空间向量的基本定理
如果三个向量不a共,面b，,那c么对空间任一 向量，存在一个唯一p的有序实数对x、y、 z，使
p E
bp
O
xa yb zc 思路：作
A AB//b, BD// a, BC// c
正方形，G为PDC重心，AB i , AD j , AP
k , 试用基底 i , j , k 表示向量PG、BG、AG.
P
A
B B
G D
N C
练习 1.已知向量{a , b , c} 是空间的一个基底，从
a , b , c中选哪一个向量，一定可以与向量 p a b， p a b构成空间的另一个基底？
D c p OB BA
C
B
OC OD OE
a
xa yb zc
推论：设点O、A、B、C是不共 面的四点，则对空间任一点P，都 存在唯一的有序实数对x、y、z使
OP xOA yOB zOC
注：空间任意三个不
O
P
共面向量都可以构成
人教A版高中数学选修2-1课件空间正交基向量
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
2019/5/25
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
a (a1,a2,a3),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
（2）由于可视为与0任意一个非零向量共线，与任意两
个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们
都不是。 0
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
OP xOA yOB zOC.
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
（金戈铁骑 整理制作）
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
2019/5/25
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
a (a1,a2,a3),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
（2）由于可视为与0任意一个非零向量共线，与任意两
个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们
都不是。 0
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
OP xOA yOB zOC.
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
高中数学人教A版选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标运算(系列三)
∴O→E＝12(O→A＋O→B)， C→G＝2C→E＝2(O→E－O→C)
33 ∴O→G＝O→C＋C→G＝ O→C＋2(O→E－O→C)＝
3 13(O→A＋O→B＋O→C) ∴λ＝3.
答案：3
5．如图 2，四棱锥 P—OABC 的底面为一矩形， 设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E、F 分别是 PC 和 PB 的中点，用 a，b，c 表示B→F、B→E、A→E、E→F.
D．既不充分也不必要条件
解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底， 否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为 非零向量．
答案：B
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b， q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b
有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量组成的集合 就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个集合可以看作是由 向 量 a 、 b 、 c 生 成 的 ， 我 们 把 {a ， b ， c} 叫 做 空 间 的 一 个 基 底．a、b、c叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构 成空间的一个基底．
人教版 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
空间向量的正交分解及其坐标 表示
学习目标
1.了解空间向量的正交分解的含义． 2．掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理
解决一些简单问题． 3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出
向量的坐标.
新知导入
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在
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请同学们体会用向量表示直线,并用向量的数量
积运算推证垂直关系的过程.
3.1. 3 空间向量的数量积运算
在几何中,夹角与长度是两个最基本 的几何量.下面我们探讨如何用空间 向量的数量积表示空间两条直线的 夹角和空间线段的长度.
动画解释向量a, b的夹角.
a
aA
a
b Ob B
b
图3.1 11
A a
Ob B
如图3.1 11,已知两个非零向量a,b,在空
间任取一点O,作OA a,OB b,则AOB 叫做向量a,b的夹角,记作 a,b .
类比平面向 量, 你 能 说 出 a b的几何意 义吗?
零向量与任何向量的数量积为0. 特别地, a a | a || a | cos a,b | a |2 .
空间向量的数量积 满足如下的运算律:
ab a b;
a b b a交换律;
a b c a b a c
分配律.
你能证明这些运 算律吗?证明分配 律时,与证明平面 向量数量积的分 配律有什么不同?
b
a
a k 或b k ?也就是说,向量有除法吗?
b
a
3. 对于三个均不为零的数a,b, c,有abc abc. 对于向量a,b, c, a bc ab c成立吗?向量的数
量积满足结合律吗?
例2 在平面内一条直线,如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直.
这个命题叫做三垂线定理.
所以l PA.
你 能 用 向 量 方 法 证 明" 在 平 面 内 的 一 条 直 线, 如 果
和这个平面的一条斜线垂直 ,那么它也和这条斜
线 在 平 面 内 的 射 影 垂 直."吗 ?
这个命题叫做三垂线定理的逆定理.
例3 如图3.1 14, m, n是平面内两条相交直
线.如果l m,l n,求证 : l .
l
m
n
n
mg
不平行.由向量共面的充要条
图3.1 14
件知,存在惟一的有序实数对x, y,使g xm yn.
将上式两边与向量l作数量积,得l g xl m yln.
因为l m 0,ln 0 为什么?.所以l g 0, 所以l g.
即l g . 这就证明了直线l垂直于平面内任意一条 直线,所以 l .
分析 要证明l ,就
l
是要证明l 垂直于内
的任何一条直线g (直
l
m
n
n
线和平面垂直的定义). m g
如果我们能在g和m, n 图3.1 14
之间建立某种联系,并
由l m,l n,得到l g,就能解决此问题.
证明 在内作任一条直线g,
l
分别在l, m, n, g上取非零向量 l,m,n,g. 因为m与n相交, 所以向量m,n
通常规定0 a,b .这样,两个向量的夹角
是惟一确定的,且 a,b b, a .
如果 a,b
2
,
那 么 向 量a, b互 相 垂 直,
记作a b.
已 知 两 个 非 零 向 量a,b,则 | a || b | cos a,b 叫做 a,b 的
数量积inner product,
记 作a b. 即 a b | a || b | cos a,b .
PA,又已知l OA, PO , 命题容易得证.
证明 如图3.1 13 ,在直线
P
l上取向量a,同时取向量PO,
Al
OA. 因为l OA,所以a OA
O
a
0.因为PO ,且l ,所
图3.1 13
以l PO,因此a PO 0
又因为a PA a PO OA a PO a OA 0,
已知: 如图3.1 12.PO, PA分别是
P
平面的垂线、斜线, AO是PA在
Al
平面内的射影,l , 且l OA, O
求证 :l PA. 分析 用向量方法证明这个命
图3.1 12
题 时, 只 需 证 明 直 线l上 的 任 意 向 量a与PA的 数 量 积
为0.由于PA与OA, PO构成一个三角形, 且PO OA
思考 1. 对于三个均不为零的数a,b, c,若ab ac,
则b c.对于向量a,b, c,由a b a c,能得到b c吗?
如 果 不 能, 请 举 出 反 例.
2. 对于三个均不为零的数a,b, c,若 ab c,则a
c 或b c .对于向量a,b,由a b k,能不能写成