高一秋季第5讲.指数函数与相关复合函数.目标班.删解析

考点1：幂的运算1．根式⑴ 如果存在实数x ，使得n x a = (a ∈R ，1n >，n *∈N )，则x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 当n a 有意义的时候，n a 叫做根式，n 叫做根指数． ⑶ 根式的性质：① ()nnaa =，(1n >，且*n ∈N )；②n n a n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩，当为奇数，当为偶数2．分数指数⑴ 规定正数的正分数指数幂的意义：()01mn m na a a m n n *=>∈>N ，，，且 ⑵ 规定正数的负分数指数幂的意义：()101mnm naa m n n a-*=>∈>N，，，且3．实数指数幂的运算法则a a a αβαβ+=；()a a αβαβ= ；()ab a b ααα= （其中0a >，0b >，对任意实数α，β）．5.1 幂的运算满分晋级知识点睛第5讲 指数函数与相关复合函数函数13级函数的奇偶性（二）与周期性函数14级指数函数与相关复合函数函数15级 对数函数与相关复合函数58 第5讲·目标班·教师版【教师备案】本板块主要是化简、求值问题，可小结如下：⑴一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分 数进行运算，便于进行乘除、开方运算，以达到化繁为简的目的.⑵当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外将分数指数幂写出，然后再 利用性质运算.⑶对于计算题的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂 的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分 数指数，也不能既含有分母又含有负指数.⑷解题时要注意从整体上把握代数式的结构特点，先化简后计算 ⑸妙用公式化简指数式 ①11112222()()a b a b a b +-=-； ②111122222()2a b a a b b ±=±+； ③112112333333()()a b aa b b a b ±+=±．1. 化简：①5532562a a aa -⋅⋅⋅=_______；②851233x x--⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭_______；③()1110a b c c aa bb ca bb cc ax x x x ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_______．【解析】 ①2a ；②415x ；③1；2. ⑴化简求值：①1133151********++；②110218138-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．⑵若1232x =，则x =________；若3222x =，则x =_______．【解析】 ⑴①2；②2．⑵5-，23-．【例1】 ⑴计算下列各式（式中每个字母均为正数）经典精讲暑假知识回顾①32111334423234x y x y xy --⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②12113344128a b a b ---⎛⎫÷- ⎪⎝⎭； ③13131142422223234x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ④（目标班专用）236104322--+； ⑤（目标班专用）()()112222222211a ab ba b a b a b a b ab a b ----------+--+-+．⑵（目标班专用）已知22334a b +=，12333x a a b =+，21333y b a b =+，求()()2233x y x y ++-的值．【解析】 ⑴ ①272y -；②113216a b -； ③23-； ④32+； ⑤1； ⑵ 8；指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数．【教师备案】指数函数定义的讲解：⑴定义域：因为指数的概念已经扩充到实数，所以在底数0a >的前提下，x 可以是任意实数． ⑵规定底数0a >且1a ≠的理由是：①如果0a =，当0x >时，x a 恒等于零 ；当0x ≤时，x a 无意义；②如果0a <，比如(4)x y =-，这时对于11,, (42)x x ==等，(4)x -都无意义；③如果1a =，对于任何实数x ，11x y ==是一个常量，对它就没有研究的价值和必要了.指数函数的性质：5.2指数函数及其性质知识点睛60 第5讲·目标班·教师版图象Oy =a x (0<a <1)(0,1)yxOy =a x (a >1)(0,1)yx定义域 R 值域 (0)+∞，性质⑴过定点()01，，即0x =时，1y = ⑵在R 上是减函数 ⑵在R 上是增函数【教师备案】指数函数的图象与性质的讲解⑴ 当底数a 大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论 ⑵ 当01a <<时，x →+∞，0y →；当1a >时，x →-∞，0y → ⑶ 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快； 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增的速度越快； ⑷ 熟悉指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系 在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.考点2：指数函数的图象【例2】 ⑴已知指数函数()(0, 1)x f x a a a =>≠且的图象经过点(38)，，求(0)f ，(1)f ，(3)f -的 值．⑵函数243x y a -=+（0a >且1a ≠）必过定点___________.⑶在下图中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只能是（ ）yx-1O 1y x -1O 1y x -1O 11O -1x y【解析】 ⑴(0)1f =，(1)2f =，1(3)8f -=．⑵()2,4 ⑶ A【方法规律】当两个函数的图象在同一坐标系内，判断其正确选项时，首先要使两个函数中的字母的取值在图象上一致（矛盾的淘汰），然后如果还确定不出唯一的正确选项，再考虑各特征经典精讲数据的范围．考点3：幂的大小比较【方法总结】幂的大小比较的方法比较大小常用方法有：⑴比差（商）法：⑵函数单调性法；⑶中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小．在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：⑴ 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． ⑵ 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断． ⑶ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．⑷ 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可．1. 三个数1，20.3，0.32的大小顺序是（ ）．A ．20.30.321<<B ．20.30.312<< C ．0.32210.3<< D ．20.310.32<<【解析】 B2. 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小：①___bca a ；②1ba ⎛⎫⎪⎝⎭1ca ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③11___b ca a ；④__a abc ． 【解析】 ①>； ②<； ③<； ④>．【例3】 ⑴设 1.8112y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.62(22)y =，3322y -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >> ⑵比较下列各组数的大小．① 1.2a ， 1.1a （0a >且1a ≠）；② 2224，3333； ③ 20.8-，1343-⎛⎫ ⎪⎝⎭．④1312⎛⎫ ⎪⎝⎭，1213⎛⎫ ⎪⎝⎭⑶（目标班专用）已知0a b c >>>，试比较222⋅⋅a b c a b c 与+++⋅⋅b c c a a b a b c 的大小． ⑷（目标班专用）试比较下列各数的大小．暑假知识回顾经典精讲62 第5讲·目标班·教师版1323-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1235⎛⎫ ⎪⎝⎭，233，1225⎛⎫ ⎪⎝⎭，2332⎛⎫⎪⎝⎭，056⎛⎫ ⎪⎝⎭，2553-⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】 ⑴ D⑵ ①当01a <<时， 1.2 1.1a a <；当1a >时， 1.2 1.1a a >；②22233343<． ③13240.83--⎛⎫> ⎪⎝⎭．④1312⎛⎫> ⎪⎝⎭1213⎛⎫ ⎪⎝⎭． ⑶222⋅⋅>a b c a b c +++⋅⋅b c c a a b a b c ．⑷1225⎛⎫< ⎪⎝⎭1235⎛⎫< ⎪⎝⎭2553-⎛⎫< ⎪⎝⎭056⎛⎫< ⎪⎝⎭1323-⎛⎫< ⎪⎝⎭2332⎛⎫< ⎪⎝⎭233．考点4：指数函数图象的变换规律 【教师备案】⑴平移规律若已知x y a =的图象，则把x y a =的图象向左平移b ()0b >个单位，则得到x b y a +=的图象，把x y a =的图象向右平移()0b b >个单位，则得到x b y a -=的图象，把x y a =的图象向上平移()0b b >个单位，则得到x y a b =+的图象，向下平移()0b b >个单位，则得到x y a b =-的图象， ⑵对称规律函数x y a =的图象与x y a -=的图象关于y 轴对称，x y a =的图象与x y a =-的图象关于x 轴对称，函数x y a =的图象与x y a -=-的图象关于坐标原点对称．【铺垫】已知()2x f x =，利用图象变换作出下列函数的图象：⑴()1f x -；⑵()11f x ++；⑶()f x -；⑷()f x -；⑸()f x -．【解析】 以()2x f x =图象为依据，经过平移、对称变换画出各自的图象，如图所示：O11xyf (x )f (x 1)11xyf (x )f (x +1)+121O1xyO f (|x |)f (|x |)⑴ ⑵ ⑶经典精讲f (x ) f (x )Oy x11f (x )f (x )O y x1⑷ ⑸【教师备案】指数函数是我们在高中课本上第一次遇到有渐近线的函数，所以老师在给学生讲指数函数的图象平移的时候一定要注意渐近线，尤其是向上和向下平移的时候，有渐近线的限制，所以值域会受到限制【例4】 ⑴函数e x y =-的图象（ ）A ．与e x y =的图象关于y 轴对称B ．与e x y =的图象关于坐标原点对称C ．与e x y -=的图象关于y 轴对称D ．与e x y -=的图象关于原点对称⑵若函数1x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ） A ．01a <<且0b > B ．1a >且0b > C ．01a <<且0b < D ．0a >且0b <⑶（2013北京理5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于 y 轴对称，则()f x =（ ）A ．1e x +B ．1e x -C ．1e x -+D ．1e x --⑷（目标班专用）要得到函数122xy -=的图象，只要将函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【解析】 ⑴D ；⑵C ； ⑶D ；⑷D ；考点5：与指数函数相关的基本性质【教师备案】在暑假的时候我们只讲了外层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性的问题，秋季我们将重点讲解内层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问5.3与指数函数相关的复合函数的性质64 第5讲·目标班·教师版题，对于考点5我们不涉及与二次函数的复合，因为下边的考点6将单独研究与二次函数复合．求下列函数的定义域和值域：⑴123x y -=；⑵15x y --=．【解析】 ⑴定义域为{}2x x x ∈≠R ，且，值域为{}01y y y >≠，且． ⑵定义域为[)1+∞，，值域为(]01，．【例5】 ⑴①函数1()23x f x -=+的定义域为 ，值域为____________． ②函数()12x f x =-的定义域为 ，值域为____________；③函数1()22xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为____________．⑵设函数()17020xx f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩，，≥，若()1f a <，则实数a 的取值范围是 ． ⑶函数(]10()3(21)(1)(0)xx f x a x a x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-∈+∞⎩，，，，在()-∞+∞，上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．102⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，⑷ 若1()21x f x a =+-是奇函数，则a =_______．⑸（目标班专用）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则()1f -=（ ）A ．3B ．1C ．1-D ．3-【解析】 ⑴①R ，()3+∞，；②(]0-∞，，[)01，；③[)1-+∞，，)02⎡⎣， ⑵()31-，⑶ B ； ⑷12； ⑸ D ；经典精讲暑假知识回顾【例6】 （目标班专用）已知函数112()122xx f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．⑴ 求()f x 的定义域，值域； ⑵ 讨论()f x 的奇偶性； ⑶ 讨论()f x 的单调性．【解析】 ⑴ 定义域为()-∞+∞，．值域为112⎛⎪-⎫⎝⎭，． ⑵ 11(1)(1)45f f -==-，，∴()f x 为非奇非偶函数．⑶ 法一：用定义证明单调性设任意12x x <，则121212111122()()112222xxx x f x f x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121211322112222x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 121122x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12113022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，11202x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，21202x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴12()()0f x f x ->，12()()f x f x >， ∴()f x 为R 上的减函数． 法二：利用复合函数的单调性 3()1122xf x =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，122xu ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且2u >；31y u =-在(2)+∞，上单调递增，故它们复合后得到的()f x 在R 上单调递减．【拓展】已知函数9()93x x f x =+，则(0)(1)f f += ，若()123g k f f f k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12k f k k k -⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ≥，，则()g k = （用含有k 的代数式表示）． 【解析】 1，12k -．考点5：指数函数与二次函数的复合【教师备案】本考点重点考查外层是二次函数，内层是指数函数的复合函数，对于外层是指数函数的复合函数老师可以借助暑假知识回顾给学生讲解．1. 函数2232x x y --=的单调增区间为（ ）暑假知识回顾66 第5讲·目标班·教师版A ．(1]-∞，B ．[1)+∞，C ．[]13-，D ．(1][1)-∞-+∞，， 【解析】 B2. 求函数21212x x y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域、值域和单调区间．【解析】 定义域为()-∞+∞，，值域为14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，函数的单调减区间是(1]-∞，，函数的单调增区间是[)1+∞，．3. 求函数232xx y a -++=（0a >，且1a ≠）的单调区间．【解析】 1a >时，232xx y a -++=在32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上是增函数，在32⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭，是减函数；01a <<时，232x x y a -++=在32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上是减函数，在32⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭，是增函数．【铺垫】⑴函数()342x x f x =⋅-，求()f x 在R 上的最小值．⑵函数()342x x f x =⋅-，求()f x 在[)0x ∈+∞，上的最小值． 【解析】 ⑴()f x 在R 上最小值为112-． ⑵()f x 在[)0+∞，上最小值为2．【例7】 ⑴（目标班专用）求函数11()1([32])42xxf x x ⎛⎫⎛⎫=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，的单调区间及其值域．⑵如果函数()22101x x y a a a a =+->≠，在区间[11]-，上的最大值是14，求a 的值．⑶（目标班专用）求函数1()423x x f x a +=-⋅+()R x ∈的值域．【解析】 ⑴()f x 的递增区间为[12]，，递减区间为[31]-，，值域为3574⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． ⑵a 的值为3或13．⑶当0a ≤时，函数()f x 值域为(3)+∞，；当0a >时，函数()f x 值域为)23a ⎡-+∞⎣，．设()124()x x f x a a =++⋅∈R ，当(]1x ∈-∞，时，()f x 的图象在x 轴上方，求a 的取值范围．【解析】 本题等价于当1x ≤时，1240xxa ++⋅>恒成立()2114x x a x +⇔>-≤恒成立．经典精讲令()()221111422x x x x u x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦≤，问题等价于求()max u x ⎡⎤⎣⎦令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵1x ≤，∴12t ≥()221124u x t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上是减函数当12t =，()max 34u x =-⎡⎤⎣⎦，则34a >-即为所求．【演练1】化简：⑴11112222a b a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ；⑵112112333333a b a a b b ⎛⎫⎛⎫±+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ．【解析】 ⑴ a b -；⑵a b ±．【演练2】函数101x y =-的图象为( )11O y x -11O y x 12Oyx-1O yxA ．B ．C ．D ．【解析】 D【演练3】(2010重庆理5)函数()412x x f x +=的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于直线y x =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【解析】 D ．【演练4】若函数(2)2()1122x a x x f x x -⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪⎪⎝⎭⎩，≥，是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(2)-∞，B ．138⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．(02)，D ．1328⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 实战演练68 第5讲·目标班·教师版 【解析】 B ．【演练5】设a ∈R ，()()221x f x a x =-∈+R ，若()f x 为奇函数，则a =_____． 【解析】1．【演练6】已知12x -≤≤，求函数1()3239x x f x +=+⋅-的最大值和最小值．【解析】 ()f x 的最大值为12，最小值为24-．（2009上海高中数学竞赛第6题）不等式2223242x x x x +⋅+⋅≤的解集是 ． 【解析】 [04]，首先0x ≥，不等式转化为()()242220x x x x -⋅+≤， 所以2422x x x x +⋅=≤⇔2x x +≤(2)(1)0x x ⇔-+≤，解得04x ≤≤． 大千世界。