成人高考高等数学
成人高考专升本高等数学公式大全
成人高考专升本高等数学公式大全1.代数基本公式：-平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$-三角恒等式：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$- 正弦余弦定理：$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$- 二项式定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$2.函数与极限公式：-导数的四则运算：- $(u \pm v)' = u' \pm v'$- $(uv)' = u'v + uv'$- $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$- 泰勒公式：$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)(x - a)^2}{2!} + \cdots$-常用极限：- $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$- $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$- $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x = e^k$- $\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{x}{n})^n = e^x$3.微分公式：-求导法则：-$(c)'=0$- $(x^n)' = nx^{n-1}$-$(e^x)'=e^x$- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$-高阶导数：-$(f(x)g(x))''=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)$-$(f(g(x)))''=f''(g(x))(g'(x))^2+f'(g(x))g''(x)$-微分运算法则：- $\frac{d(u \pm v)}{dx} = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}$ - $\frac{d(kv)}{dx} = k\frac{dv}{dx}$- $\frac{d(uv)}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$- $\frac{d(\frac{u}{v})}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} -u\frac{dv}{dx}}{v^2}$4.积分公式：-不定积分法则：- $\int k \,dx = kx + C$- $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, (n \neq -1)$- $\int e^x \,dx = e^x + C$- $\int \frac{1}{x} \,dx = \ln ，x， + C$-定积分法则：- $\int_a^b kf(x) \,dx = k\int_a^b f(x) \,dx$- $\int_a^b [f(x) + g(x)] \,dx = \int_a^b f(x) \,dx +\int_a^b g(x) \,dx$- $\int_a^b (f(x) - g(x)) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx -\int_a^b g(x) \,dx$5.级数公式：-等比级数求和：$S_n = \frac{a(1-q^n)}{1-q}$，其中 $S_n$ 是前n 项和，a 是首项，q 是公比。
成人高考专升本高等数学一答题技巧
成人高考专升本高等数学一答题技巧高等数学是成人高考专升本考试中的一门重要科目，对于许多考生来说，高等数学可能是一个难点。
为了帮助考生在高等数学一科中取得更好的成绩，以下是一些答题技巧供考生参考。
1.充分理解题目：在开始解答问题之前，首先要仔细阅读并理解问题的要求。
清楚题目中所给出的条件和要求，确定解题目标，避免在解答过程中偏离题目的方向。
2.画图分析：对于需要进行几何分析的问题，画图可以帮助我们更好地理解问题。
只要能够合理地反映题目中给出的条件，画图可以使问题变得更加具体，从而更容易找到解题思路。
3.查找相关公式和定理：高等数学中有许多公式和定理，熟练掌握并正确运用它们对于解答问题非常重要。
在做题之前，可以提前整理相关公式和定理，以备不时之需。
4.分析解题思路：在实际解答问题之前，要先分析解题思路。
可以将问题分解为更小的子问题，分析每个子问题的解决方法，确定解题的整体思路。
这样可以使问题更加清晰，有针对性地进行解答。
5.步骤清晰有序：在解答问题的过程中，要使步骤清晰有序。
先列出所给条件和问题要求，然后根据问题的特点选择合适的方法和步骤。
如果需要，可以画出解题思路的流程图，有助于理清思路。
6.注意计算细节：在解答问题时，要注重计算的细节。
小数点、符号等方面的疏忽可能导致最后结果的偏差，因此要仔细核对计算过程，确保答案的正确性。
7.注意题目中的要求：在解答问题时，要特别注意题目中给出的要求。
有些题目可能需要写出详细的证明过程，有些题目可能需要将结果进行化简，而有些题目可能只需要问答形式的简要解答。
确保按照题目要求进行答题，避免由于不注意而失分。
8.多做题目，多进行练习：高等数学的学习需要不断的练习和实践。
通过多做题目，可以熟悉各类问题的解题思路和方法，加深对知识点的理解，提高解题的速度和准确性。
9.对错反思，总结经验：在做完一道题目后，要对答案进行反思，并找到解题中的错误和不足之处。
及时进行总结和归纳，以免在类似的问题上再次出现相同的错误。
2023年成人高考专升本高等数学(一)试题及答案详解
2023年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学(一)本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间150分钟.第I卷(选择题，共40分)一、选择题(1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.当x→0时，5x-si n5x是x的【】A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D.低阶无穷小量2.设y=√2x+1,则y'=【】A.B.C.D.3.设y=e*,则d y=】【A.er d x B.-e^d x C.e'd x D.一e'd x~4.设函数在x =0处连续，则b=【】A.2C.0B.1D.—15.【】A.s i nx+CB.—s i n x+CC.c o s x+CD.—c o s x+C6.【】A.2B.1C.D.0【】7.设,则D.A.C.8.幂级数【】的收敛域是D.[-1,1]B.(-1,1)C.(-1,1)A.(-1,1)【】在平面3x-2y+z-7=0上，则k=9.已知直线A.0B.1C.2D.3【】10.微分方程y"+y=e²r的一个特解是A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题，共110分)(t为参数),二、填空题(11～20小题，每小题4分，共40分)贝12.设13.设y=x+e²,则y”=14.设y=x+s i n x,则y'=15.16.17.设z=e²,则d z=18.过点(0,1,1)且与直线垂直的平面方程为19.设区域D=((x,y)|O≤x≤2,-l≤y≤1},则20.微分方程xy'+y=0满足初始条件y(1)=1的解为y=三、解答题(21～28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤)21.(本题满分8分)计算22.(本题满分8分)计23.(本题满分8分)求微分方程的通解.25.(本题满分8分)求函数f(x)=x²e*的单调区间和极值.26.(本题满分10分)设D是由曲线y=1-x²(x≥0),x=0,y=0所围成的平面图形.(1)求D的面积S;(2)求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.,其中D是由曲线y=√1-x²,y=x,y=-x所围成的闭区域.计28.(本题满分10分)已知函数f(x)连续，且满参考答案及解析一、选择题1.【答案】A【考情点拨】本题考查了高阶无穷小量的知识点.【应试指导】,故5x-sin5x是x的高阶无穷小量.2.【答案】D【考情点拨】本题考查了复合函数求导的知识点.【应试指导】3.【答案】B【考情点拨】本题考查了微分的知识点.【应试指导】dy=(e*)'dx=-e*dx,4.【答案】B【考情点拨】本题考查了分段函数连续性的知识点.【应试指导】因f(x)在x=0处连续，则有b=1.5.【答案】D【考情点拨】本题考查了不定积分的知识点.【应试指导】6.【答案】C【考情点拨】本题考查了洛必达法则的知识点.【应试指导】7.【答案】B【考情点拨】本题考查了偏导数的知识点.【应试指导】8.【答案】D【考情点拨】本题考查了幂级数收敛域的知识点.【应试指导】收敛半径,所以幂级数的收敛区间为(-1,1).当x=-1时，级数为收敛的p级数.故该级数的收敛为收敛的交错级数；当x=1时，级数域为[-1,1].9.【答案】C【考情点拨】本题考查了直线与平面的位置关系的知识点.【应试指导】由题可知直线的方向向量s=(k,1,-4),平面的法向量n=(3,-2,1).由于s上n,因此有3k-2-4=0,故k=2.10.【答案】A【考情点拨】本题考查了二阶常系数线性非齐次微分方程特解的知识点.【应试指导】可验证，四个选项中只有A项满足微分方程，故其特解为.二、填空题11.【答案】e²【考情点拨】本题考查了两个重要极限的知识点.【应试指导】12.【答案】3【考情点拨】本题考查了参数方程求导的知识点.【应试指导】13.【答案】e'【考情点拨】本题考查了高阶导数的知识点.【应试指导】y'=1+e²,故y”=e².14.【答案】1+c o s x【考情点拨】本题考查了导数的运算的知识点.【应试指导】y'=(x+sinx)'=1+cosx.15.【答案】【考情点拨】本题考查了不定积分的计算的知识点.【应试指导】16.【答案】【考情点拨】本题考查了反常积分的计算的知识点.【应试指导】17.【答案】e²>(y d x+x d y)【考情点拨】本题考查了全微分的知识点.【应试指导】dz= de^>=e²d(x y)=e*(y dx+xdy).18.【答案】x+2y+z-3=0【考情点拨】本题考查了平面点法式方程的知识点.【应试指导】由题意，平面法向量为n=(1,2,1),又过点(0,1,1),故方程为x+2(y-1)+(z-1)=0,即x+2y+z-3=0.19.【答案】4【考情点拨】本题考查了二重积分的知识点.【应试指导】20.【答案】【考情点拨】本题考查了一阶线性齐次微分方程的知识点.【应试指导】由xy+y=0得,通解为,将y(1)=1代入通解，得C=1,故所求的解为三、解答题21.=1.２２．２３．由题可知２４．２５．ｆ（ｘ）的定义域为（－α，＋ｏ），ｆ＇（ｘ）＝２ｘｅ＋－ｘ２ｅ＋＝ｅ＊（－ｘ２＋２ｘ），令ｆ＇（ｘ）＝０，得ｘｊ＝０，ｘ２＝２．列表如下：２０（０，２）（２，＋ｏ）x（－α，０）y０＋０极小值极大值y由表可知，函数的单调增区间为（０，２）；单调减区间为（一～，０），（２，＋ｏ）．极大值为ｆ（２）＝４ｅ２，极小值为ｆ（０）＝ ０．；２７．积分区域用极坐标可表示为２８．由两边同时求导得（１＋ｘ２）ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎｘ＋ｘｃｏｓｘ，所以。
成人高考专升本《高等数学二》公式大全
成人高考专升本《高等数学二》公式大全1.函数的导数公式：1）常数函数求导：(C)'=02）幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1), 其中n为常数3）指数函数求导：(a^x)' = a^x * ln(a), 其中a>0且a≠14）对数函数求导：(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a)), 其中a>0且a≠15）三角函数求导：(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x), (cot(x))' = -csc^2(x)6）反三角函数求导：(arcsin(x))' = 1 / sqrt(1 - x^2), (arccos(x))' = -1 / sqrt(1 - x^2), (arctan(x))' = 1 / (1 + x^2)2.高等数学中的极限公式：1）常数函数极限：lim(C) = C, 其中C为常数2）多项式函数极限：lim(a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... +a_1*x + a_0) = a_n*x^n, 其中n为正整数，a_n为非零常数3）指数函数极限：lim(a^x) = 1, 其中a>0且a≠14）对数函数极限：lim(log_a(x)) = log_a(1) = 0, 其中a>0且a≠15）三角函数极限：lim(sin(x) / x) = 1, lim((1 - cos(x)) / x) = 0, 当x趋近于0时3.定积分公式：1）换元积分法：∫f(g(x)) * g'(x)dx = ∫f(u)du, 其中u = g(x) 2）分部积分法：∫u * dv = u * v - ∫v * du3）凑微分法：∫f(x)dx = ∫f(x) *1dx = ∫f(x) *[g'(x)/g'(x)]dx = ∫(f(x) * g'(x))/g'(x)dx4.微分方程公式：1）一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x), y = e^(-∫P(x)dx) * ∫[Q(x) * e^(∫P(x)dx)]dx2）一阶齐次线性微分方程：dy/dx = f(y/x), 令v = y/x, 可得dv = [(f(v) - v)/x]dx5.级数公式：1）等比数列前n项和：S_n=a(1-q^n)/(1-q),其中a为首项，q为公比2）调和级数：∑(1/n)是发散级数3）幂级数展开：e^x = ∑(x^n)/n!, sin(x) = ∑[(-1)^n *(x^(2n+1))/(2n+1)!], cos(x) = ∑[(-1)^n * (x^(2n))/(2n)!]。
成人高考数学知识点
成人高考数学知识点成人高考数学知识点。
成人高考高等数学知识点11.知识范围向量的概念向量的定义，向量的模，单位向量，向量在坐标轴上的投影，向量的坐标表示，向量的方向余弦。
(2)向量的线性运算向量加法、向量减法和向量乘法。
(3)向量的数量积两向量夹角和两向量垂直度的充要条件(4)两个向量叉积和两个向量平行的充要条件。
2.要求(1)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，求单位向量、方向余弦和向量在坐标轴上的投影。
(2)熟悉向量的线性运算，向量积和叉积的计算方法。
(3)熟悉两个向量平行和垂直的充要条件。
成人高考高等数学知识点二1.知识范围(1)导数的概念导数、左导数和右导数的定义，一个函数在一个点上可导的充要条件，几何意义与物理意义的关系，可导性与连续性。
(2)导数的推导规则和基本公式导数的四种运算、反函数的导数和导数的基本公式。
(3)推导方法复合函数、隐函数和对数函数的求导由参数方程决定。
函数求导与分段函数求导。
(4)高阶导数高阶导数的定义和计算(5)微分微分的定义，微分与导数的关系，微分法则一阶微分形式的不变性。
2.要求(1)理解导数的概念及其几何意义，理解可导性与连续性的关系，掌握通过定义求函数在某一点的导数的方法。
(2)求曲线上某一点的切线方程和法向方程。
(3)掌握导数的基本公式、四大算术规则和复合函数的求导方法，就能求出反函数的导数。
(4)掌握隐函数的求导方法、对数求导方法和参数方程确定的函数求导方法，就可以求出分段函数的导数。
(5)如果理解了高阶导数的概念，就会发现简单函数的一阶导数。
(6)理解函数的微分概念，掌握微分规律，了解可微性与可微性的关系，求函数的一阶微分。
成人高考高等数学知识点31.知识范围(1)不定积分，原函数和不定积分的定义，原函数的存在定理和不定积分的性质。
(2)基本积分公式(3)代换积分法、第一代换法(微分法)和第二代换法。
(4)部分集成(5)一些简单有理函数的积分2.要求(1)理解原函数与不定积分的概念和关系，掌握不定积分的性质，理解原函数的存在定理。
成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷与参考答案
成人高考成考高等数学(二)(专升本)自测试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))在区间[-2, 2] 上的最大值为：A、2B、4C、6D、82、已知函数(f(x)=e x lnx)，则该函数的定义域是：A.((0,+∞))B.((−∞,0))C.((0,1))D.((1,+∞))3、设函数f(x)=x3−3x2+2在区间[−1,3]上的最大值为M，最小值为m。
则M−m 的值是：A. 4B. 6C. 8D. 10)，则该函数的间断点是：4、设函数(f(x)=11+x2A.(x=0)B.(x=1)C.(x=−1)D.(x)无间断点5、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则该函数在区间 [-2, 2] 上的最大值为：A、4B、3C、2D、16、设函数f(x)=x3−6x2+9x+1，则该函数的极值点为：A.x=1B.x=2C.x=3D.x=47、若函数(f(x)=ln(x2+1))，则(f(x))在(x=1)处的导数(f′(1))是：)A、(12B、1C、2)D、(238、设函数(f(x)=x3−6x2+9x+1)，则函数的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 39、设函数(f(x)=3x2−4x+5)，则该函数的对称轴为：A.(x=1))B.(x=−13)C.(x=23D.(x=2)10、在下列函数中，连续函数为：（）)（x∈R）A.(f(x)=1x3)（x∈R）B.(f(x)=√xC.$( f(x) =)$D.(f(x)=|x|)（x∈R）)，则(f′(0))的值为：11、已知函数(f(x)=1x2+1A. 0B. 1C. -1D. 不存在)，求(f′(x))。
12、设函数(f(x)=2x+3x−1)A.(2(x−1)2B.(2x2−1)C.(2(x+1)(x−1))D.(1x−1)二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数(f(x)=e ax+b)，其中(a,b)为常数，若(f(x))的单调递减区间为((−∞,1a))，则(a)的取值范围为______ 。
历年成人高考专升本高等数学真题及答案汇总
第一章 函数与极限一. 基础题1. 设映射:,,.f X Y A X B Y →⊂⊂证明 (1) ()()();f A B f A f B ⋃=⋃ (2) ()()().f A B f A f B ⊂证 (1)(),y f A B x A B ∈⇔∃∈ 使得()y f x =x A ⇔∈或x B ∈,且()y f x =()y f A ⇔∈或()y f B ∈()()y f A f B ⇔∈ .(2)(),y f A B x A B ∈⇒∃∈ 使得()y f x =x A ⇒∈且x B ∈, ()y f x =()y f A ⇔∈且()y f B ∈()()y f A f B ⇒∈ .2. 设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数,若()f x 在(0,)l 内单调增加,证明()f x 在(,0)l -内单调增加.证 设120l x x -<<<,则120x x l <-<-<,由()f x 在(0,)l 内单调增加得21()()f x f x -<-.又()f x 为(,)l l -内的奇函数,故21()()f x f x -<-,从而21()()f x f x >,即()f x 在(,0)l -内单调增加.3.设()ln(f x x =,讨论它的奇偶性. 解 显然()f x 的定义域是(,)-∞+∞.又因为()ln[ln(f x x x -=-+=-+ln=ln(()x f x ==-+=-.所以()f x 为奇函数.4. 设1(1),21xf x x +-=-求()f x . 解 设1,u x =-得1x u =-,于是()()()11221112u uf u u u+--==---,从而()212x f x x -=-.5. 设数列{}n x 的一般项为1sin 3n n x n π=.问lim n n x →∞=?求出N 使当n N >时n x 与其极限之差的绝对值小于ε.当0.001ε=时,求出N .解 lim 0n n x →∞=.我们证明如下:0,ε∀>为使110sin 3n n x n n πε-=≤<,只需1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,就有0n x ε-<.当0.001ε=时, 取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1000==1000,此时只要1000n >,就有00.001n x -<.6. 用极限定义证明:(1)1n →∞=; (2)lim0.99991n n→∞= . (3) 21214lim 2;21x x x →--=+(4)lim 0x =证 (1)0,ε∀>为使1a nn nε=≤=<,只需an ε>.取aN ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,1ε-<,即lim 1n n→∞=.(2) 0ε∀> (不妨设1ε<),为使10.9999110n nε-=<,只需1lg n ε>.取1lg N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,就有0.99991nε-< ,即 lim0.99991n n→∞=. (3) 因为11,22x x →-≠- 0ε∀>,为使214121222()212x x x x ε--=--=--<+,只需1()22x ε--<.取2εδ=,则当10()2x δ<--<时,就有214221x x ε--<+.故21214lim 2;21x x x →--=+ (4) 因为,x →-∞所以0x <.又10x-≤≤=-,为使0ε-<只需1x ε<-.所以0ε∀>,取1X ε=,则当x X <-时, 就有0ε-<.故21214lim 221x x x →--=+. 7. 设2()f x x =.问2lim ()x f x →=?求出δ使当2x δ-<时()f x 与其极限之差的绝对值小于ε.当0.001ε=时,求出δ.解 22lim 4x x →=.我们给出如下证明.0,ε∀>由于2,x →不妨设13x <<.为使2()44(2)(2)52f x x x x x ε-=-=+-≤-<,只需25x ε-<.取5εδ=,则当2x δ-<时,就有()4f x ε-<.当0.001ε=时, 取0.0002δ=,此时只要20.0002x -<,就有()40.001f x -<. 8.证明函数()f x x =当0x →时极限为零.证明 0,ε∀>为使()000f x x x x ε-=-==-<,只需取5εδ=,则当0x δ-<时,就有0x ε-<,即0lim 0x x →=.9.求(),()x xf x x x xϕ==当0x →时的左、右极限,并说明它们的极限是存在. 解 000l i m ()l i m l i m 11,x x x x f x x +++→→→=== 000l i m ()l i m l i m 11.x x x xf x x ---→→→=== 由于0lim ()x f x +→=0lim ()x f x -→1=知0lim ()1x f x →=；0000lim ()lim lim lim11,x x x x x x x x x ϕ++++→→→→====0000lim ()lim lim lim 1 1.x x x x x x x x x ϕ----→→→→-==-=-由于lim ()x x ϕ+→≠0lim ()x x ϕ-→1=知0lim ()x x ϕ→不存在． 10．根据定义证明： （１）21(1)sin (1)y x x =--为当0x →时的无穷小； （２）12xy x+=为当0x →时的无穷大．问x 应满足什么条件，能使410y >． 证（１）0,ε∀>为使22110(1)sin 0(1)sin 1(1)(1)y x x x x x ε-=--=-≤-<--,只需取δε=,则当01x δ<-<时,就有21(1)s i n 0(1)x x ε--<-,即21(1)sin(1)y x x =--为当0x →时的无穷小. （２）0M ∀>，为使121122x M x x x +=+≥->，只要12M x->，即12x M <+． 因此，取1,2M δ=+当00x δ<-<时，就有12xM x +>．故12x y x +=为当0x →时的无穷大．当410,M =取4112102M δ==++时，就能使41210xy x +=>．11．求极限21lim x x x →∞+并说明理由．解 21lim x x x →∞+＝1lim(2)2x x→∞+=．理由：令()2f x α=+，其中1xα=．因为x →∞时，x 是无穷大，由无穷大与无穷小的关系知1xα=为无穷小．再由无穷小与极限的关系得1lim(2)2x x →∞+=．12. 计算下列极限:(1) 220()lim h x h x h→+-; (2) 22468lim 54x x x x x →-+-+;(3) 2468lim 31x x x x x →∞++-+; (4) 2lim(21)x x x →∞-+;(5) 32121lim()82x x x →---; (6)12(1)lim [()()()]n a a n ax x x n n n n→∞-++++++ ;解 (1) 22222000()2limlim lim(2)2h h h x h x x xh h x x h x h h →→→+-++-==+=. (2) 2244468(4)(2)22lim lim lim 54(4)(1)13x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+---.(3) 223443416868lim lim031311x x x x x x x x x x x→∞→∞++++==-+-+ (4) 因为22211lim lim 011212x x x x x x x→∞→∞==-+-+,所以2lim(21)x x x →∞-+=∞.(5) 2332222121122(2)(4)lim()lim lim 828(2)(42)x x x x x x x x x x x x x →→→---+-==----++ 2241lim 422x x x x →+==++. (6) 原式=1lim [(1)(12(1)]n an x n n n →∞-++++-=1(1)lim [(1)]2n a n n n x n n →∞--+=2ax +. 13.利用有界变量与无穷小之积仍为无穷小计算下列极限:(1)201lim cosx x x →; (2)arctan lim x xx→∞.解 (1) 因为0,x →所以2x 0→,1cos 1x≤.故201lim cos 0x x x →=.(2) 因为,x →∞所以1x 0→,arctan 2x π<.故arctan 1limlim arctan 0x x x x xx →∞→∞==. 14.利用两个重要极限计算下列极限:(1) 0sin lim(0,0)x xxααββ→≠≠; (2) 20tan(1)lim 2x x x x →-+-;(3) 20cos 7cos5lim sin 3x x x x →-; (4) lim 2sin (2nn n x x →∞为不等于零的常数) (5)120lim(13)x x x →-; (6) 21lim()xx x x→∞+. 解 (1) 00sin sin limlim .x x x x x x x x ααααβαββ→→== (2) 2000tan(1)tan(1)tan(1)11lim lim lim 2(1)(2)122x x x x x x x x x x x x →→→---==∙=+--+-+. (3) 20cos 7cos5lim sin 3x x x x →-202sin 6sin lim sin 3x x xx→-=2220sin 6sin (3)642lim 6sin 3(3)3x x x x x x x x x x →⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. (4) 22sin 2lim 2sin lim 22n n n n x x x x x →∞→∞⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.(5) 120lim(13)x x x →-=1(3)13232lim (13)e x xxx x ---→⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦.(6) 21lim()x x x x →∞+=221lim e xx x x →∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 15.当0x →时,无穷小(1)x π-和(1)31x -,(2)sin x π是否同阶?是否等价?解 (1)因为322111(1)(1)lim lim lim 1(1)(1)13x x x x x x x x x x x ππππ→→→--===--++++,所以当0x →时,无穷小(1)x π-和31x -同阶,但不等价.(2) 因为111sin sin (1)sin (1)lim lim lim 1(1)(1)(1)x x x x x x x x x ππππππ→→→---===---,所以当0x →时,无穷小(1)x π-和sin x π是等价的.16.利用等价无穷小的性质,求下列极限:(1)0sin lim (,(sin )nm x x n mx →为正整数); (2)30sin tan lim sin x x x x→-;(3)0x →. 解 (1)000,,sin limlim 1,,(sin ).n n m m x x n m x x n m x x n m →→>⎧⎪===⎨∞<⎪⎩ (2) 因为332000sin tan sin (1sec )1sec lim lim lim sin sin sin x x x x x x x xx xx →→→---==,而2220002sin 1sec 1cos 112lim lim lim 1cos cos ()222x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 所以 233220000sin tan sin (1sec )1sec 12lim lim lim limsin 2x x x x x x x x x x x x →→→→----====-.(3)0x →=0x →201sin x x →=+ =201cos x x x →- =1114612-+=-. (21cos 12x x - ). 17.讨论下列函数的连续性:(1).()(11)f x x x =+-; (2) {,11,()1,1 1.x x f x x x -≤≤=<->或 解 (1) 222,1,(),1,,1.x x x f x x x x x ⎧-<⎪==⎨>⎪⎩当1x <或1x >时()f x 为初等连续函数,所以连续;当1x =时,有221111lim ()lim 1(1),lim ()lim(2)1(1),x x x x f x x f f x x x f ++--→→→→====-== 因此()f x 在1x =连续函数,故()f x 在定义域(,)-∞+∞内连续. (2) 显然()f x 在(,1)-∞-与(1,)-+∞内连续.而在1x =-11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==- ,但 11lim ()lim 11,x x f x --→-→-== 即 11lim ()lim ()x x f x f x +-→-→-≠.故()f x 在1x =-间断. 18.试确定,a b ,使函数1sin ,0,(),0,1sin .0.x x x f x b x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续.解 显然()f x 在(,0)-∞与(0,)+∞内连续.而在分断点0x =处,由于1lim ()lim sin 0.x x f x x x++→→== , 001lim ()lim (sin )1,x x f x x a a x--→→=+=+ 根据 0lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→==, 得 10,a b +== 即 1,0a b =-=.19.求下列函数的间断点,并确定其类型.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1) 1e ,0,()0,0,1arctan .0.x x f x x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪>⎪⎩(2) ()tan x f x x =; (3)221()lim1nnn x f x x x →∞-=+. 解 (1)()f x 为分段函数,当0x ≠时, ()f x 显然连续.当0x =时,因为11lim ()lim e 0,lim ()lim 2xx x x x f x f x arctan x π--++→→→→====. 所以0x =是()f x 的第一类间断点(跳跃间断点). (2) ()f x 的无定义点为(0,1,2,)2x k x k k πππ=+==±± 和.对0x =, 因为0lim 1,tan x xx→=所以0x =是()f x 的第一类间断点,且为可去间断点,重新定义函数:1,,,(0,1,2,)tan 2()1,0,x x k k k x f x x πππ⎧≠+=±±⎪⎪=⎨=⎪⎪⎩则1()f x 在0x =处连续. 对(0,1,2,)2x k k ππ=+=±± ,因为2lim0,tan x k xxππ→+=所以2x k ππ=+(0,1,k =±2,)± 是()f x 的第一类间断点,且为可去间断点,重新定义函数:2,,,tan 2()(0,1,2,)0,,2xx k k x f x k x k πππππ⎧≠+⎪⎪==±±⎨⎪=+⎪⎩.则2()f x 在(0,1,2,)2x k k ππ=+=±± 处连续.对(0,1,2,)x k k π==±± ,lim,tan x k xxπ→=∞所以(0,1,2,)x k k π==±± 是()f x 的第二类间断点(无穷间断点)(3) 221()lim1n nn x f x x x →∞-=+,1,0,1,,1.x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪<⎩为分断函数. 在分断点1x =-处,因为1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-,11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠.所以1x =-为()f x 的第一类间断点(跳跃间断点).在分断点1x =处,因为1111lim ()lim 1,lim ()lim()1x x x x f x x f x x --++→→→→===-=-,11lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠. 所以1x =为()f x 的第一类间断点(跳跃间断点).20.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求极限03lim (),lim ()x x f x f x →→-及2lim ()x f x →.解 因为()f x 在123,2x x =-=点无意义,所以123,2x x =-=这两个点为间断点.故函数()f x 的连续区间为(,3),(3,2),(2,)-∞--+∞.32200331lim ()lim 62x x x x x f x x x →→+--==+-.32222333333(1)(3)(1)8lim ()lim lim lim 6(3)(2)(2)5x x x x x x x x x x f x x x x x x →-→-→-→-+---+-====-+-+--. 32222222233(1)(3)(1)lim ()lim lim lim 6(3)(2)(2)x x x x x x x x x x f x x x x x x →→→→+---+-====∞+-+--. 21.设函数()f x 与()g x 在点0x 处连续,证明函数{}{}()max (),(),()min (),()x f x g x x f x g x ϕψ==在点0x 处也连续.证 因为 {}1()max (),()[()()()()]2x f x g x f x g x f x g x ϕ==++-, {}1()m i n (),()[()()()()]2x f x g x f x g x f x g x ψ==+--, 而连续函数的绝对值、和、差仍连续，故(),()x x ϕψ在点0x 处也连续.22.利用复合函数的极限与连续定理计算下列极限(1) 1lim1x x →- (2)sin sin limx a x a x a →--;(3)lim x →+∞;(4) x →∞(5); ()()(2)()()lim ()x a x b x a b x x a x b x a b ++++→+∞++++;(6)0x →; 解(1) 12x x →→==.(2)2sin cos sinsin sin 222lim lim lim limcos cos 2x a x a x a x a x a x a x a x a x a a x a x a x a →→→→-+--+==⋅=---.(3) lim limx x →+∞=1lim2x==. (4)因为x x →∞=,而lim lim1x x →+∞==lim lim1x x →-∞==-故x →∞不存在.(5) ()()(2)()()lim ()x a x b x a b x x a x b x a b ++++→+∞++++()()()()()()lim lim ()()x a x b x a x b x x x a x b x a b x a b ++++→+∞→+∞++=⋅++++()()()()1111lim lim lim lim (1)(1)(1)(1)b a x x x x x a x b x a x b b ab a b a x a x b x a x b →+∞→+∞→+∞→+∞++++=⋅=⋅⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦()11e .e ea b b a-+==(6) 00x x →→=0s i n l i m n x x x →=00s i n l i m l nx x x x x →→→=⋅=22220011)11112lim lim 1)2sin 2sin 22x x x x x x →→=⋅=. 23.证明方程sin x a x b =+,其中0,0a b >>,至少有一正根,并且它不越过a b +. 证 令()sin f x x a x b =--.显然()f x 在闭区间[0,]a b +上连续,(0)0,f b =-< ()[1sin()]f a b a a b +=-+.当sin()1a b +<时,()0f a b +>.由零点定理知,存在(0,)a b ξ∈+.使()0f ξ=,即ξ为原方程小于a b +的正根;当sin()1a b +=时, ()0f a b +=,a b +为原方程的正根.综合之, 方程sin x a x b =+至少有一正根,并且它不越过a b +.24.设函数()f x 对于闭区间[,]a b 上的任意两点,x y ,恒有()()f x f y L x y -≤-,其中L 为正常数,且()()0f a f b ⋅<.证明:至少有一点(,),a b ξ∈使得()0f ξ=.证 任取0(,),0,x a b ε∈∀>取00min ,,x a b x Lεδ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭,则当0x x δ-<时,依假设有00()()f x f x L x x L δε-≤-<≤.所以()f x 在0x 点连续.由0x 的任意性知, ()f x 在(,)a b 内连续. 当0x a =或0x b =时,取Lεδ=,当0x a δ<-<或0b x δ<-<时,有()()()f x f a L x a L x a L δε-≤-=-<≤.或 ()()()f x f b L x b L b x L δε-≤-=-<≤.故()f x 在x a =右连续, ()f x 在x b =左连续,从而()f x 在闭区间[,]a b 上连续.再借助()()0f a f b ⋅<及零点定理知,存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=.25. 若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,12n a x x x b <<<<< , 1,2,,n C C C 为任意正数,1(,)n x x 内至少有一点ξ, 使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .证 因()f x 在闭区间[,]a b 上连续,又1[,][,]n x x a b ⊂,所以()f x 在1[,]n x x 上连续.设{}{}11max (),min ()n n M f x x x x m f x x x x =≤≤=≤≤.则有 112212()()()n n nC f x C f x C f x m M C C C +++≤≤+++ .若上面不等式为严格不等号,则由介值定理知, 存在1(,)n x x ξ∈,使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .若上面不等式中出现等号,如112212()()()n n nC f x C f x C f x M C C C +++=+++ ,则有1122[()][()][()]0n n C M f x C M f x C M f x -+-++-= . 于是 12()()()n f x f x f x M ==== .此时任取121,,,n x x x - 中任一点为ξ,即有1(,)n x x ξ∈,使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .同理可证112212()()()n n nC f x C f x C f x m C C C +++=+++ 的情形.26.证明:若()f x 在(,)-∞+∞内连续,且lim ()x f x →∞存在,则()f x 必在(,)-∞+∞内有界.证 设lim (),x f x A →∞=则给定10ε=>,可存在0X >,当x X >时,有()1f x A ε-<=.从而()()1f x f x A A ≤-+<+.由假设,显然()f x 在[,]X X -上连续,故()f x 在[,]X X -上有界,即存在K ,使[,]x X X ∀∈-,有().f x K ≤取 {}max ,1M K A =+,则(,)x ∀∈-∞+∞,有()f x M ≤.二. 提高题1. 设1,1,()0, 1.x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()e xg x =，求[()]f g x .解 因为当0x ≤时，()e 1x g x =≤；当0x >时，()e 1xg x =>．所以1,0,(())0.0.x f g x x ≤⎧=⎨>⎩2. 计算下列极限.(1)n →∞; (2)2352limsin 53x x x x→∞++; (3)1101e lim ex x xx +→-+; (4)2013sin coslim (1cos )ln(1)x x x x x x →+++;(5) x →+∞;(6))n →∞);(7) 0lim x +→(8) 11lim ln x x x x x →- (9) 120e e e lim()x x nx x x n→+++ ; (10) 2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求a ;(11)(0lim xx π+→;解(1)n→∞=limn→∞n==(2)当x→∞时, 有22sinx x.因此223523526lim sin lim53535x xx xx x x x→∞→∞++=⋅=++.(3)1111001e e1lim lim1e e1x xx xx xx x++-→→---==-++.(4)21 0013sin1 3sin cos cos3 lim lim(1cos)ln(1)2(1cos)ln(1)x xxxx x xx x xx xx x→→++== ++++.(5) 原式= limx→+∞lim0x→+∞==.(6))2) 1.n n nnπ→∞→∞→∞===(7) 由于当0x+→时,12x- ,21cos2xx- ,所以(200001cos1lim lim lim lim2122x x x xxxx++++→→→→-====⋅⋅+.(8) 由于当1x→时,lne1lnx x x x- ,所以xlnx1111e1lnlim lim lim1ln ln lnxx x xx x xx x x x x x→→→--===. (9) 当0x→时, 有ln(1),e1kxx x kx+-,于是22001e e e1e e elim ln lim ln(1)x x nx x x nxx xnx n x n→→++++++-=+22001e e e1(e1)(e1)(e1) lim ln lim lnx x nx x x nxx xnx n x n→→+++--+-++-==2121lim(1).2xx x nx nnnx n→++++++===+故12e e elim()x x nxxx n→+++=1(1)2e n+.(10) 因为333233l i m l i m1l i m1ex a a xx xa x aax x xx a a ax a x a x a-⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以328l i m exaxx ax a→∞+⎛⎫==⎪-⎝⎭,故ln2a=.(11) ()00lim lim11)x xx xππ++→→⎡⎤=+⎣⎦2lim11)e.xπ+-→⎡=+=⎣3.比较下列无穷小:(1).当0→时，xxx++是x的几阶无穷小？(2).已知当x→1时，)(xf是1-x的等价无穷小，则)]()(1ln[xxfxf+-是1-x的几阶无穷小？解：(1)81limxxxxx++→=1lim2141++→xxxxx=1所以当x→0时，xxx++是x的81阶无穷小.(2)当x→1时，)(xf 1-x,所以)]()(1ln[xxfxf+-=)()1(1ln[xfx-+ )1(-x)(xf 2)1(-x即当1x→时，)]()(1ln[xxfxf+-是1-x的二阶无穷小.4．根据条件，解答下列各题：(1)当x0→时，1)1(31-+ax与1cos-x是等价无穷小，求a；(2)已知)1(lim2baxxxx--+→=0，（ba,为常数），求ba,;(3)设)(25)(22bkxxxxxf+-+--=，若)(lim xfx∞→=0，求k与b的值；(4)已知1)sin)(1ln(lim0-+→xx axxf=3,(),1,0≠>aa求2)(limxxfx→；(5)若xx xxfx1))(1(lim++→＝e，求xx xxf1))(1(lim+→；解(１)当0→x时，1)1(312-+ax≈23xa，1cos-x≈221x-，则当213-=a即a=23-时，两者是等价无穷小．(２因为1)()1(lim2+-+--∞→xbxbaxax＝０，所以1=a，1-=-=ab．(３)由)(lim xfx∞→＝2)2)(()5(lim2+++---∞→xxbkxxxx＝225)21()1(lim2+--++--∞→xbxbkxkx＝０．得01=-k，3,121-==⇒=++bkbk（４）由已知有,xxxfxx))(1ln(lim++→＝３，所以0sin)(lim=→xxfx．从而=-+→1)sin)(1ln(lim0xx axxfaxxxfx lnsin)(lim→＝axxfx ln)(lim2→＝３，故2)(limxxfx→＝aaaxxfxln3lnln)(lim2=⋅→．（５）由若xx xxfx1))(1(lim++→＝3e，得()ln(1)lim3xf xxxx→++=．所以 0()lim()0x f x x x→+=．从而 00()()ln(1)limlim 3x x f x f x x x x x x x→→+++==．故 0()lim 2x f x x x→=，因此 0()lim0x f x x →=． 由是()1()2()()lim 1lim 1e f x x x x f x x x x x f x f x x x →→⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦．5.求下列函数的间断点,并判断其类型:(1)22(4),0,sin ()(1)0,,1x x x x f x x x x x π⎧-⎪<⎪=⎨+>⎪⎪-⎩ (2)11().1e xxf x -=- 解 (1)当0x <时,()f x 在1,2,x =-- 无定义.对于2x =-,28lim ()x f x π→-=,所以2x =-为()f x 的可去间断点.易验证1,3,4,x =--- 是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点.当0x >时, ()f x 在1x =无定义,且1lim ()x f x →=∞,所以1x =是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点.当0x =时,由于220000(1)(4)4lim ()lim 0,lim ()lim 1sin x x x x x x x x f x f x x x ππ++--→→→→+-====--,所以0x =是()f x 的第一类间断点且为跳跃间断点.(2)0,1x x ==是()f x 的间断点.因为0011lim ()lim ,1e x x x x f x →→-==∞-所以0x =是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点; 又11111111lim ()lim 1,lim ()lim 01e 1e x xx x x x x xf x f x ++--→→→→--====--,所以1x =是()f x 的第一类间断点且为跳跃间断点.6.设2122()lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+是连续函数,求,a b 的值.解 当1x <时,有lim 0n n x →∞=,从而21222()lim 1n n n x ax bx f x ax bx x -→∞++==++. 当1x >时,有lim nn x →∞=∞,从而21222212211()lim lim 111n n n n n n na b x ax bx x x x f x x x x---→∞→∞++++===++. 当1x =时,11(1),(1)22a b a bf f ++-+-=-=. 因为()f x 是连续函数,所以11lim ()lim ()(1),x x f x f x f +-→→==即112a ba b ++=+=.及11lim ()lim ()(1),x x f x f x f +-→-→-==- 即 112a ba b -+--=-=, 解之得0,1a b ==. 7．试确定,a b 的值，使e ()()()x bf x x a x b -=--有无穷间断点x e =，可去间断点1x =．解 因为x e =是()f x 无穷间断点，所以a e =或b e =．若a e =，e ()()()x bf x x e x b -=--，再由1x =为间断点知1b =．此时11e 1lim ()lim ,()(1)x x x f x x e x →→-==∞--即1x =是()f x 无穷间断点，这与假设矛盾． 若b e =，e ()()()x ef x x a x e -=--，再由1x =为间断点知1a =．此时11e e lim ()lim ,lim ()lim ()(1)1()(1)x x x x x ex e e e ef x f x x e x e x e x →→→→--====∞-----． 因此地当1,a b e ==时， ()f x 有无穷间断点x e =，可去间断点1x =．三. 考研试题１．（９０，３分）设函数,1,1,0,1)(>≤⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f 则)](([x f f ＝ ．解 由)(x f 的定义知，当1≤x 时，有1)(=x f ．又1)1(=f ，于是当1≤x 时，复合函数1)](([=x f f ．当1>x 时，有0)(=x f ．又1)0(=f ，于是当1>x 时，复合函数1)](([=x f f ． 因此，对任意),(+∞-∞∈x ，有1)](([=x f f ．２．（03，4分）设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ，1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则必有（Ａ）n n b a <对任意n 成立． (B) n n c b < 对任意n 成立． (C)极限0lim =∞→n n n c a 不存在． (D ）极限0lim =∞→n n n c b 不存在．解 因为由数列极限的不等式只能得出数列“当n 充分大时”有相应的不等式，而不能得出“对于任意n ”成立的不等式，所以(A)、（B ）不对．又因为“无穷小与无穷大之积”是未定型，极限可能存在也可能不存在，故（Ｃ）也不对．因此应选（Ｄ）．３（92，3分）．当1→x 时，函数112e 11---x x x 的极限 （Ａ）等于2． （Ｂ）等于0．（Ｃ）为∞． （Ｄ）不存在但不为∞解 因为002e )1(lim e 11lim 1111121=⋅=+=---→-→--x x x x x x x ， ∞=+=---→-→++1111121e )1(lim e 11lim x x x x x x x ．所以当1→x 时，函数112e 11---x x x 的极限不存在，也不为∞．故应选（Ｄ）． ４．（00，5分）求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x xx x sin e 1e 2lim 410．解 当0→x 时，对x1e 与x ，都必须考虑左、右根限．110sin e 1e e 2lim sin e 1e 2lim 4340410=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---→→++x x x x xx x x x x x ， 110102sin e 1e 2lim sin e 1e 2lim 410410=-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--→→x x x x xx x x x x ． 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x x x x sin e 1e 2lim 410＝１． 5.（93，5分）求xx xx )1cos 2(sin lim +∞→．解 )11cos 2(sin 1cos sin 1)11cos 2(sin 1[lim )1cos 2(sinlim -+⋅-+∞→∞→-++=+x x x xx x x x xx x x ． 而 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x x x 111cos 12sin lim 111cos 2sin lim)11cos 2(sin lim2021212sinlim 2=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→x x xx x ． 故 2)11cos 2(sin 11cos 2sin 1e )11cos 2(sin 1[lim )1cos 2(sinlim =-++=+-+⋅-+∞→∞→x x x xx x x x xx x x ．６．（０３，４分）21ln(1)lim(cos )x x x +→=解 因为)1ln(1cos 1cos 10)1ln(1)]1(cos 1[lim )(cos lim x x x x x x x x +-⋅-→+→-+=．而212lim )1ln(1cos lim 22020-=-=+-→→x x x x x x ．故 )1ln(1cos 1cos 10)1ln(122)]1(cos 1[lim )(cos lim x x x x xx x x +-⋅-→+→-+==21e-．７．（９７，３分）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→． 解 注意到,1)1ln(lim ,1sin lim00=+=→→xx x x x x 则 23)1ln()cos 1(1cossin 3lim )1ln()cos 1(1cos sin 3lim20=+++=+++→→x x x x x x x x x x x x x x ． 8．（97，3分）设{=)(x f 0,0,)(cos 2=≠-x a x x x 在0=x 处连续，求a 的值．解 1e e lim )(cos lim )(lim 0cos ln 022=====-→-→→xxx x x x x x f a ．9．（95，3分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++∞→n n n n n n n n 22222211lim ． 解 记=n x n n n nn n n +++++++++22222211 ，则)21(11)21(2122n n x n n n n ++++≤≤++++ ． 故由夹逼法则得21)21(11lim )21(21limlim 22=++++=++++=∞→∞→∞→n n n n n x n n n n ．四.测试题１．单项选择题：（１）设22(),(())2,x f x x f x ϕ==则()()x ϕ=（Ａ）．2x （).2x B （Ｃ）2.log x （Ｄ）．22log x ．（２）函数()log ((1)a f x x a =+>为（ ）（Ａ）．有界函数 （).B 偶函数 （Ｃ）．奇函数 （Ｄ）．非奇非偶函数（３）011lim(sin sin )()x x x x x →+=．（Ａ）．０ （B ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）．不存在．（４）0lim (xx x a x a →⎛⎫ ⎪+⎝⎭为常数)等于（ ） （Ａ）．e a - （Ｂ）．e a （Ｃ）．1e a - （Ｄ）． 1e a-（５）0ln(1sin )lim()x x x→-= （Ａ）．e Ｂ．e - Ｃ．1 Ｄ． 1- （６）设()232xxf x =+-，则当0x →时，有（ ）（Ａ）．()f x 与x 是等价无穷小 （Ｂ）()f x 与x 同阶但非等价无穷小 （Ｃ）．()f x 是比x 高阶的无穷小 （Ｄ）．()f x 是比x 低阶的无穷小２．填空题（１）设函数()f x 的定义域为[1,1]-，则(ln )f x 的定义域为 ．（２）若214lim3,1x x ax x →-+=--则a = ． （３）设22,11(),1x bx x x f x a x ⎧++≠⎪-⎪=⎨=⎪⎪⎩，在点1x =处连续，则 b = ，a = ．３．计算题 （１）cos sin lim(0)cos sin 2n nn n n θθπθθθ→∞-≤≤+； （２）11021lim21xx x →-+； （３）10lim (0,0,0)3x x xxx a b c a b c →⎛⎫++>>>⎪⎝⎭； （４）()tan 2lim sin xx x π→. ３．设()lim e x x xxxn n n f x n n ---→∞-=+，研究()f x 的连续性． ５．证明下列各题：（１）设()f x 在[,]a b 连续，且a c d b <<<a c d b <<<，证明：在[,]a b 上至少存在一点ξ，使()()()()pf c qf d p q f ξ+=+其中,p q 为任意正常数．（２）设()f x 在[0,1]上连续，又设()f x 只取有理数，且1()22f =，试证()f x 在[0,1]上处处为()2f x =．测试题解答１．（１）（Ｂ）；（２）（C ）；(3) （B ）；(4) (A)；(5) （D ）；(6) （B ）. 2．（１）1[,e]e；（２）5a =；（３）1a =，3b =-；３．（１）当04πθ≤≤时，有sin limlim tan 0cos n nn n n θθθ→∞→∞==，从而 sin 1cos sin os lim lim 1sin cos sin 1os n n n n n n n n n n c c θθθθθθθ→∞→∞--==++； 当4πθ=时，有sin cos 2θθ==，从而cos sin lim 0cos sin n n n n n θθθθ→∞-=+； 当42ππθ<≤时，有cos lim lim cot 0sin n nn n n θθθ→∞→∞==，从而os 1cos sin sin lim lim 1os cos sin 1sin n n n n n n n n n n c c θθθθθθθθ→∞→∞--==-++． (2) 因为11100111212lim lim 1,11212x x x x x x++→→--==++1102101lim 10121x x x -→--==-++,所以11021lim 21x x x →-+不存在. (3) 因为1111()1333003lim lim 133x x x x x x a b c x x xxxx x x x xa b c x x a b c a b c ---++++-→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++-⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,而3303lim 1e 3xxx x x xab c x a b c ++-→⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭,000111limln ,lim ln ,lim ln x x x x x x a b c a b c x x x→→→---===. 故1111()1333003lim lim 133x x x x x x a b c x x xxxxx x x xa b c x x a b c a b c ---++++-→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++-⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11(ln ln ln )33e()a b c abc ++==.(4) 因为()()1tan (sin 1)tan sin 122lim sin lim 1(sin 1)xx x x x x x x ππ⋅-⋅-→→=+-()(sin 1)tan 1sin 12lim 1(sin 1)x xx x x π-⋅-→⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦.而 ()1s i n 12l i m 1(s i n 1)ex x x π-→+-=, 222sin (sin sin )2lim(sin 1)tan lim(sin 1)tan limsin()2x x x x x x x x x x πππππ→→→--=-=+2222sincos22limsin 222sin cos 22x x x x x x πππππ→-+=⋅++=2sin()24lim sin 0sin()24x x x x πππ→-=⋅=+. 故()tan 2lim sin 0xx x π→=.５．0x >时，有221()lim e lim e e 1x x x x x xx x xn n n n n f x n n n -------→∞→∞--===++；当0x =时，有11()lim e lim e 011x x x xxx n n n n f x n n ----→∞→∞--===++； 当0x <时，有221()lim e lim e e 1x x x x xx xx x n n n n n f x n n n -----→∞→∞--===-++． 故e ,0()0,0e ,0x xx f x x x --⎧-<⎪==⎨>⎪⎩．而0lim ()lim e 1,lim ()lim e 1x x x x x x f x f x --++--→→→→=-=-==，所以()f x 在(,)-∞+∞内除0x =为第一类间断点外，其余各点都连续．５．证（１）令()()()()()F x p q f x pf c qf d =+--，则()F x 在[,]c d 上连续，且()()()()()[()()]F c p q f c pf c qf d q f c f d =+--=-． ()()()()()[()()]F d p q f d pf c qf d q f d f c =+--=-．则当()()0f c f d -=时，可知,c d 均可取作ξ；而当()()0f c f d -≠时，又0,p >0q <，于是有2()()[()()]0F c F d p q f c f d =--<，由零点定理知，至少存在一点[,][,]c d a b ξ∈⊂，使()0F ξ=，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+．（２）设0x 为[0,1]上异于12的任意一点，因为()f x 在[0,1]上连续，如果01()()22f x f ≠=，则由介值定理知，()f x 必取得介于0()f x 与2之间的任何值，包括有理值和无理值．这与()f x 只取有理值矛盾，故01()()22f x f ==，因此在[0,1]上()2f x ≡.。
成人高考专升本高等数学公式(含特殊三角函数值)
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222212211cos 12sin udu dx x tg u uu x uu x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx xtgx a xxln 1)(logln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aC x ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec sec cscsinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxCctgx x xdx Ctgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Ca x ax a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn arcsin22ln 22)ln(221cos sin22222222222222222222220ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos2sin sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xx arthx x x archx x x arshx ee e e chxshx thx ee chx ee shx xxx x xxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln 21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim==+=∞→→e xx x xx x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：R Cc Bb Aa 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k nn uvvuk k n n n v un n v nuv uvuCuv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
2023年成人高考《高数一》真题及答案解析
2023年成人高考《高数一》真题及答案解析2023年成人高考《高数一》真题及答案解析考生回忆版成人高考高等数学一和高等数学二的区别高等数学(一)主要是以《高数》为重点，包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分等;高等数学(二)是经济类、管理类的必考科目，主要考两个内容，分别是线性代数和概率统计。
高等数学(一)主要是以《高数》为重点，包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、空间解析几何与向量代数七章内容，主要贯穿微分学和积分学这条主线，考生复习的重点也是微分学、积分学。
高等数学(二)是经济类、管理类的必考科目，主要考两个内容，分别是线性代数和概率统计，试题主要包含两部分，一部分为高等数学内容，约占92%;另一部分是概率论初步，约占8%。
成人高考数学一难吗?成人高考数学并不是很难，考的都是一些很基础的知识。
文史类数学考试的知识内容共四大部分，即代数、三角、平面解析几何及概率与统计初步。
其中代数部分在考试中约占55%的比例，三角部分约占15%的比例，平面解析几何部分约占20%的比例，概率与统计初步部分约占10%的比例。
理工类数学考试内容共五个部分，前四个部分与文科数学大致相同，但多出了立体几何部分。
理科数学的代数部分，在考试中约占45%的比例，三角部分约占15%的比例，平面解析几何部分约占20%的比例，概率与统计初步约占10%的比例，立体几何部分约占10%的比例。
成人高考没收到录取书是怎么回事?如果你通过教育考试院公布的渠道发现自己已经被录取，但没有收到录取通知书，教务老师认为可能有以下几点：1.录取期间请保持您的个人通信畅通，学校也可能会通过电话或短信提醒您直接到学校指定地点领取。
2.可能是你填错了地址信息等，所以你要注意报考学校的官方信息，看你是否在通知单退回的名单上。
3.如果超过一个月没有收到，可以直接联系所报考大学的成人招生办。
成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷及解答参考
成人高考成考高等数学(二)(专升本)复习试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=2x−3x)，则函数的零点个数是：A. 1B. 2C. 3D. 02、设函数(f(x)=e x sinx)，则该函数的导数(f′(x))为：A.(e x(sinx+cosx))B.(e x(sinx−cosx))C.(e x cosx)D.(e x sinx)3、设函数f(x)=x3-6x2+9x，若函数在x=1处取得极值，则该极值是：A. 4B. 0C. -4D. 84、下列函数中，定义域为实数集的有（）A、f(x) = √(x^2 - 1)B、g(x) = 1/xC、h(x) = |x| + 1D、k(x) = √(-x)5、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))的极值点为：A.(x=−1)和(x=1)B.(x=−1)和(x=2)C.(x=0)和(x=1)D.(x=0)和(x=2)6、设函数(f(x)=3x2−4x+1)，则该函数的图像开口方向是：A. 向上B. 向下C. 水平D. 垂直)，其定义域为((−∞,0)∪(0,+∞))，则函数(f(x))在(x=0)处7、设函数(f(x)=1x的极限值为：A. -∞B. +∞C. 0D. 不存在8、若函数(f(x)=x3−3x2+4x+1)在点(x=1)处可导，且其导数的反函数为(g(x))，则(g′(1))等于：B. -1C. 0D. 29、若函数(f(x)=11+x2)的定义域为(D f)，则(D f)为：A.((−∞,+∞))B.((−∞,−1)∪(−1,+∞))C.((−∞,−1]∪[−1,+∞))D.((−1,1]∪[1,+∞))10、设函数f(x)=1xlnx，则f(x)的导数f′(x)为：A.−1x2lnx+1x2B.1x2lnx−1x2C.1x lnx−1x2D.−1x lnx+1x211、设函数(f(x)=11+x2)，则(f′(0))的值为：A.(−1)B.(0)C.(12)D.(11+02)12、设函数f(x)=x 3−3xx2−1，则f′(1)的值为：A. 1C. 0D. 无定义二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数f(x) = x² - 3x + 2，若f(x)在x=1处的导数为0，则f(x)的极值点为______ 。
成人高考专升本高等数学一答题技巧
成人高考专升本高等数学一答题技巧随着社会的不断发展，成人高考已经成为许多人实现再次升学的重要途径。
而在成人高考的数学考试中，高等数学一作为重要的科目之一，备受考生关注。
本文将从答题技巧的角度，为大家介绍成人高考专升本高等数学一的答题技巧，希望能够帮助广大考生顺利应对考试。
1. 熟悉考纲，掌握重点考生需要充分了解高等数学一的考试大纲，明确考试范围和重点。
在备考过程中，要有意识地将重点知识和难点知识进行重点强化。
在复习的时候，可以通过总结梳理笔记的方式，帮助自己更好地掌握知识要点。
2. 多做练习，提高解题能力在备考过程中，多做高等数学一的练习题是非常重要的。
通过不断地做题，可以加深对知识的理解，提高解题能力。
考生还可以结合历年考题，了解考试出题的规律，从而有针对性地进行复习。
3. 注意审题，确保答案准确在考试过程中，考生需要特别注意审题，确保理解题意，不要匆忙做题，导致答案错误。
有些题目可能会采用反证法、归纳法等较为复杂的解题方法，考生需要仔细分析题目，选择合适的解题方法，确保答案准确。
4. 算术准确，步骤清晰在解题过程中，考生需要保持算术的准确性，避免因计算错误导致整体答案错误。
在书写解题步骤时，要尽量清晰、规范，避免出现混乱的情况，影响阅卷老师的批改。
5. 灵活运用方法，提高效率对于一些较为复杂的题目，考生可以灵活运用不同的解题方法，提高解题效率。
有些题目可以通过换元法、待定系数法等方法进行简化或者转化，提高解题效率。
高等数学一作为成人高考专升本考试的重要科目，需要考生在备考过程中充分重视。
通过熟悉考纲，多做练习，注意审题，算术准确，步骤清晰，灵活运用方法等答题技巧的综合运用，相信考生能够顺利应对高等数学一的考试，取得满意的成绩。
希望本文提供的答题技巧能够为广大考生在成人高考的备考过程中提供帮助。
祝愿大家考试顺利，取得优异成绩！6. 解题思路的培养在备考高等数学一的过程中，除了熟练掌握知识点和解题技巧外，培养解题思路也是非常重要的。
成人高考专升本《高等数学》复习考点
成人高考专升本《高等数学》复习考点函数、极限和连续函数、极限和连续(一)函数1.知识范围(1)函数的概念函数的定义函数的表示法分段函数隐函数(2)函数的性质单调性奇偶性有界性周期性(3)反函数反函数的定义反函数的图像(4)基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数(5)函数的四则运算与复合运算(6)初等函数2.要求(1)理解函数的概念。
会求函数的表达式、定义域及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。
(2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
(3)了解函数与其反函数之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。
(4)熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
(5)掌握基本初等函数的性质及其图像。
(6)了解初等函数的概念。
(7)会建立简单实际问题的函数关系式。
(二)极限1.知识范围(1)数列极限的概念数列数列极限的定义(2)数列极限的性质唯一性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理(3)函数极限的概念函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限函数极限的几何意义(4)函数极限的性质唯一性四则运算法则夹通定理(5)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的阶(6)两个重要极限2.要求(1)理解极限的概念(对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”等形式的描述不作要求)。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量代换求极限。
(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
(三)连续1.知识范围(1)函数连续的概念函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点及其分类(2)函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性(3)闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值与最小值定理介值定理(包括零点定理)(4)初等函数的连续性2.要求(1)理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法。
2024成人高考专升本《高等数学二》复习教程
2024成人高考专升本《高等数学二》复习教程高等数学二是成人高考专升本考试中的一门重要科目，也是考生普遍认为难度较大的科目之一、在备考过程中，合理安排时间、有针对性地进行复习是非常关键的。
下面是一份2024成人高考专升本《高等数学二》复习教程，供考生参考。
一、了解考纲和考题分布在开始复习之前，首先要了解考试的考纲和考题分布。
了解考纲可以明确要学习哪些内容，了解考题分布可以有针对性地进行复习。
根据考纲和考题分布，合理安排复习时间。
二、整理知识框架在开始复习之前，可以整理一份《高等数学二》的知识框架。
通过整理知识框架，可以将复杂的知识点归类整理，形成一个清晰的知识体系。
这样有助于理清思路，提高学习效率。
三、系统学习教材在复习《高等数学二》的过程中，首先要系统地学习教材。
对于不同的章节，需要花费不同的时间进行学习。
可以根据自己的学习进度，制定学习计划。
在学习教材的过程中，要注重理解概念、掌握基本原理和定理，一定要完成练习题。
四、重点突破难点在学习教材的过程中，会遇到一些理解困难、计算复杂的难点。
对于这些难点，要多花时间进行理解和巩固。
可以通过请教老师、参加辅导班、阅读相关参考书等方式，加深对难点的理解。
可以将难点整理成思维导图或笔记，方便查漏补缺。
五、多做试题《高等数学二》考试注重考察考生的解题能力。
在复习过程中，要多做试题，熟悉考试的题型和解题思路。
可以从历年考试真题、模拟题中选择一部分进行练习。
在做题过程中，要注意时间控制和解题方法的选择。
六、合理安排复习时间在复习《高等数学二》的过程中，要合理安排时间。
每一天的复习时间要有节奏，不能太过于松散或过于紧张。
可以制定一个每周的复习计划，按照计划进行复习。
可以将每天的复习内容分为多个阶段，分别进行复习和休息。
七、加强答题技巧在考试过程中，掌握一些答题技巧可以提高答题的准确性和效率。
例如，注意审题，理解题目的要求；合理运用公式和定理，简化计算过程；注意四舍五入和单位换算；注意检查和审题。
成人高考高等数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4，求f'(x)的值。
A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 3x + 4C. 6x^2 - 3x - 4D. 6x^2 + 3x - 42. 已知数列{an}满足an = 3an-1 - 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，求a3的值。
A. 4B. 5C. 6D. 73. 设函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f'(x)在x = 1时的值。
A. 0B. 1C. 2D. 34. 设函数f(x) = e^x + sin(x)，求f'(x)的值。
A. e^x + cos(x)B. e^x - cos(x)C. e^x + sin(x)D. e^x - sin(x)5. 设函数f(x) = ln(x)，求f'(x)的值。
A. 1/xB. -1/xC. xD. -x二、填空题（每题5分，共25分）6. 设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4，则f'(x) = _______。
7. 数列{an}满足an = 3an-1 - 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，则a3 = _______。
8. 设函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f'(1) = _______。
9. 设函数f(x) = e^x + sin(x)，则f'(x) = _______。
10. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = _______。
三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限：lim(x→0) (x^2 - 1) / (x^3 + 2x^2 + 3x + 4)。
12. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1的导数。
13. 求函数f(x) = e^x + sin(x)在x = π/2时的导数值。
成人高考高等数学试题
成人高考高等数学试题一、选择题1. 设函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 1, 则f(x)的最小值是：A) -7 B) 1 C) -15 D) 02. 已知函数f(x) = 2x + 3, g(x) = x^2 - 1，则f(g(2)) = ？A) 5 B) 9 C) 7 D) 113. 在平面直角坐标系中，点A(2, -1)和点B(-3, 4)的距离是：A) 根号15 B) 根号18 C) 5 D) 74. 下列方程的解为rational number（有理数）的是：A) x^2 = 2 B) x^2 + 2 = 0 C) x^2 + 5x - 2 = 0 D) x^2 -3 = 05. 若M是x轴上的动点，则动点M到定点A(2, 0)的距离大于等于3的轨迹方程是：A) x^2 = 9 B) y^2 + 4 = 9 C) x^2 + y^2 = 9 D) x^2 + y^2 = 3二、填空题6. 根号（-4）的实数解是_________________.7. 所有平面上的元过一定点的直线总称为________________.8. (3 + 4i)(3 - 4i) = ___________________.三、解答题9. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1与x轴交点的个数。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2, 求函数g(x) = f(f(x))。
四、应用题11. 设一直角三角形的直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
12. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，从A地出发到B地需要4小时。
若汽车的速度增加到每小时80公里，行程时间将减少多少？13. 水库A的容量是水库B的2倍，水库B的容量是水库C的3倍。
如果水库C的容量为1000立方米，求水库A的容量。
14. 小明加入了一个体育俱乐部，每次练习田径跑步，他每分钟的速度为200米，他练习3分钟，它跑了多少米？以上为成人高考高等数学试题，题目涵盖了选择题、填空题、解答题和应用题，共计14题。
成人高考数学知识点
成人高考数学知识点成人高考数学是指成人参加高等教育自学考试（成人高考）中的数学科目。
成人高考数学内容涵盖了初等数学、线性代数、高等数学等多个方面的知识点。
下面将详细介绍成人高考数学的知识点，包括初等数学、线性代数和高等数学。
一、初等数学（约占总分的60%）初等数学是成人高考数学的基础，主要包括整式、分式、代数式、方程与不等式、函数与图像、平面向量、立体几何、数列等内容。
具体知识点如下：1. 整式与分式：整式的概念和运算，分式的概念、四则运算及其应用。
2. 代数式：代数式的概念，项、因式、倍式和因式分解，最大公因式和最小公倍数。
3. 方程与不等式：一元一次方程与一元一次不等式的解法，二次方程的解法，二元一次方程组与不等式组的解法。
4. 函数与图像：函数的概念，一元函数的表示方法及其图像，函数的奇偶性和周期性，函数的运算、复合函数和反函数。
5. 平面向量：向量的概念，向量的表示、模长和方向角，向量的运算和数量积、几何应用。
6. 立体几何：多面体的性质，棱柱、棱锥、圆台、圆锥、球体等的表面积和体积计算。
7. 数列：数列的概念，等差数列和等比数列的通项公式、前n项和等差中项等计算。
二、线性代数（约占总分的20%）线性代数是成人高考数学的重要组成部分，主要包括矩阵与行列式、向量空间和线性映射等内容。
具体知识点如下：1. 矩阵与行列式：矩阵的概念，矩阵的运算、转置、逆矩阵及其应用，行列式的概念、性质和计算方法。
2. 向量空间：向量空间的定义，线性相关性与线性无关性，基和维数，线性变换和线性方程组。
3. 线性映射：线性映射的概念和性质，线性映射的矩阵表示，特征值和特征向量。
三、高等数学（约占总分的20%）高等数学是成人高考数学的核心内容，主要包括微积分、数理方程和级数等内容。
具体知识点如下：1. 微积分：函数的极限与连续性，导数与微分，高阶导数，不定积分和定积分，微分方程。
2. 数理方程：一阶常微分方程的解法，高阶常微分方程的解法，常系数线性齐次常微分方程的解法。
全国成人高考专升本高等数学(一)考点汇编
第一章极限和连续【考点1】极限的三大性质1.唯一性2.局部保号性3.局部有界性【考点2】极限的四大运算法则若lim f (x )=A ,lim g (x )=B ，那么1.lim f (x )士g (x )=lim f (x )士lim g (x )=A 士B2.lim f (x ).g (x )=lim f (x ).lim g (x )=A .B3.limf g x x =l l i i m m f g x x =AB(B 子0)4.lim f (x )g (x )=lim f (x )lim g (x )=A B (A >0)【考点3】夹逼准则若数列{xn },{y n },{z n }满足y n <x n <z n ，且l n y n =lnz n =a ，则数列的极限存在，且l nx n =a若函数f (x ),g (x ),h (x )满足g (x )<f (x )<h (x )，且lim g (x )=lim h (x )=A ，则lim f (x )存在，且lim f (x )=A 【考点4】无穷小量与无穷大量的比阶是在同一自变量变化过程中的无穷小，且a 子0若lim=0，则β是a 的高阶无穷小，记为β=o (a )；若lim =父，则β是a 的低阶无穷小；若lim =c 产0，则β是a 的同阶无穷小；若lim =1，则β是a 的等价无穷小，记为β~a ；若lim=c 产0(k >0)，则β是a 的k 阶无穷小。
【考点5】无穷小量的性质无穷小乘有界函数仍为无穷小；有限个无穷小的和仍为无穷小；有限个无穷小的乘积仍为无穷小。
【考点6】两个重要极限1.lim =1x →0x (1)x2.lx1+x )|=e 【考点7】连续与间断(|l x|l l x=lx=f (x 0)若f (x 0+0),f (x 0−0)均存在，则x 0是第一类间断点f (x 0+0)=f (x 0−0)产f (x 0)时，x 0为可去间断点f (x 0+0)产f (x 0−0)时，x 0为跳跃间断点若f (x 0+0),f (x 0−0)至少有一个不存在，则x 0是第二类间断点极限不存在且为无穷大时，x 0为无穷间断点极限不存在且为振荡时，x 0为振荡间断点sin x 连续：〈第二章一元函数微分学【考点1】导数的概念与几何意义增量式：f '(x 0)=ix,f '(x )=ix（证明用）差值式：f '(x 0)=lx（计算用）切线方程：y −f (x 0)=f '(x 0)(x −x 0)法线方程：y −f (x 0)=−(x −x 0)(f '(x 0)士0)【考点2】导数的计算C '=0(x a)'=axa −1(cos x )'=−sin x (tan x )'=sec 2x(sec x )'=sec x tan x (csc x )'=−csc x cot x (e x)'=ex(log a x )'=(arcsin x )'=(arccos x )'=−(arccot x )'=−(ln (x +))'=(u 土v )'=u '土v '(Cu )'=Cu '(uv )'=u 'v +uv '1.复合函数求导2.反函数求导3.隐函数求导4.幂指函数求导5.参数方程求导6.分段函数求导(sin x )'=cos x (cot x )'=−csc 2x(a x)'=axln a(ln x )'=(arctan x )'=(ln (x +))'='=(v 士0)1−x1−x【考点3】微分中值定理1.罗尔定理：设f (x )在[a ,b ]内连续，(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )，则二ξe (a ,b )，使得f '(ξ)=0.2.拉格朗日中值定理：设f (x )在[a ,b ]内连续，(a ,b )内可导，则二ξe (a ,b )，使得f '(ξ)=f (b )−f (a ).【考点4】洛必达法则若lim f (x )=0(伪/?),lim g (x )=0(伪)，f (x ),g (x )在点x 0的某去心邻域内可导，且limf '(x )存在或为无穷大，则limf (x )=limf '(x )x →x 0g '(x )x →x 0g (x )x →x 0g '(x )【考点5】单调性与极值1.单调性设函数y =f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导如果在(a ,b )内f '(x )之0，且等号仅在有限个点成立，则y =f (x )在上单调递增；如果在(a ,b )内f '(x )<0，且等号仅在有限个点成立，则y =f (x )在上单调递减；2.极值f (x )在x =x 0处连续，且在x 0的某去心邻域内可导若x e (x 0−δ,x 0)时，f '(x )<0，x e (x 0,x 0+δ)时，f '(x )>0，则x 0为极小值点若x e (x 0−δ,x 0)时，f '(x )>0，x e (x 0,x 0+δ)时，f '(x )<0，则x 0为极大值点【考点6】凹凸性与拐点b −ax →x 0x →x 0设y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导若f''(x)>0，则称y=f(x)为凹函数；若f''(x)<0，则称y=f(x)为凸函数2.拐点若f(x)在x0处连续，在x0的某去心邻域二阶可导，f''(x)在点(x0,f(x0))两侧变号（f'(x)单调性相反），则点(x0,f(x0))为y=f(x)的拐点【考点7】曲线的渐近线1.铅直渐近线：若x mx0f(x)=伪，则x=x0为一条铅直渐近线(x→x+0)(x→x−0)2.水平渐近线：若lx=b，则y=b为一条水平渐近线第三章一元函数积分学【考点1】原函数与不定积分的概念1.原函数的定义：如果F(x)在区间I上可导，而且对v x=I，都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数2.原函数存在定理①连续函数必有原函数②含有跳跃、可去、无穷间断点的函数一定没有原函数③含有震荡间断点的函数可能有也可能没有原函数3.原函数之间的关系：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数，其中C为任意常数，这说明，原函数若存在，不唯一。
成人高考高等数学一考试大纲
成人高考高等数学一考试大纲
一、《高等数学（一）》科目考试内容及要求
1.适用科目
本大纲适用于工学、理学（生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类四个一级学科除外）专业的考生.
2.总要求
①考生应按本大纲的要求，了解或理解高等数学中极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；
②学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法.应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；
③应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；
④能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题.
⑤本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”“掌握”和“熟练掌握”三个层次.
二、《高等数学（二）》科目考试形式及试卷结构
1.试卷总分：150分。
2.考试时间：150分钟。
3.考试方式：闭卷考试，纸笔作答。
成人高考专升本——高等数学函数基本公式
高等数学函数基本公式１. 基本初等函数求导公式函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=２. 双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分表达式:d ()d y f x x '=可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分．因此，可得如下的微分公式和微分运算法则． 1． 基本初等函数的微分公式由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，列表于下：2．函数和、差、积、商的微分法则由于函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则．为了便于对照，列成下表（表中)(),(xvvxuu==都可导）．现在我们仅证明乘积的微分法则.3. 复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性）一阶微分形式不变性：设f是可微函数，)(ufy=，则无论u是自变量，或是另一个变量x的可微函数，都同样有d()dy f u u'=．4．例题例3)12sin(+=xy，求d y．例42ln(1e)xy=+，求d y．例513e cosxy x-=，求d y．例6在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立．(1)()d d x x=;(2)()d cos d t tω=.。
成人高考专升本《高等数学(一)》通关资料
(特殊情况：对数求导法时，先两边同时取对数， 再求解）
一、求导方法
（七）对数函数求导法
利用对数函数的运算性质可以将原来的函数两边同时取对数后化简 然后利用隐函数求导法或复合求导法求导，因此称为对数求导法 通常解决函数类型为：
y u( x)v( x) 步骤为： （1）两边同时取对数得 ln y vx.lnu( x)
0,则函数f (x)在区间(a, b)内是递增的 0,则函数f (x)在区间(a, b)内是递减的 0不影响f (x)的单调性.
五、导数的应用
（四）函数的极值
1.极值的第一充分条件
设f (x)在x0的某领域内可导.
1 若x x0 时，f"(x) 0，x 0 x ，" f (x) 0时则0 称x 为极大值点，0f (x )为极大
在连续的曲线上的凹弧与凸弧之间的分界点称为曲线的拐点。
五、导数的应用
（六）曲线的水平渐近线与铅直渐近线
定义：
若 lim f (x) A或 lim f (x) A或 lim f (x) A，
dt
三、导数
（六）隐函数的求导
解析法表示函数通常有两种： （1）.y f（x）来表示的，称之为显函数。
如y sinwx，y xe ln（x 1 2 x ） （2）.x与y之间的函数关系是由一 个方程F（x，y）
这种称之为隐函数，
0来确定
如2x y3 -1 0，xy -x e y e 0 对于隐函数的求导通常做法： 可直接在方程F（x，y） 0的两端同时对x求导，而把y 视为中间变量，利用复合函数求导法即可。
M (x0，f (x0 ))的切线方程为：
y - f (x ) "f (x )(x x )
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成人高考高等数学（一）复习方法考生复习高等数学(一)时，可遵循以下复习方法：
1.深刻理解考试大纲要求掌握的内容及相关的考核要求，将主要知识点进行横向与纵向的梳理，分析各知识点之间的内在联系，形成知识网络。
高等数学(一)的知识网络图如下：
把握住这个知识网络，即可把握高等数学(一)的基本内容。
2.对复习内容要分清主次，突出重点，系统复习与重点复习相结合。
“极限”是高等数学中一个极为重要的基本概念，无论是导数，还是定积分、广义积分、曲线的渐近线，乃至无穷级数等概念无不建立在极限的基础上，根限是研究微积分的重要工具。
但极限的概念与理论只是高等数学的基础知识，并不是复习的重点，复习的重点是高等数学的核心内容——微分学与积分学，特别是一元函数的微积分，对微分与积分的基本概念、基本理论、基本运算和基本应用要多下功夫。
考生应深刻理解高等数学中的基本概念，特别是导数与微分的定义、原函数与不定积分的定义、定积分的定义等概念。
要熟练掌握基本方法和基本技能，特别是函数极限的计算，函数的导数与微分的计算，不定积分与定积分的计算，这是高等数学中一切运算与应用的基础。
复习中应当狠抓基本功，从熟记基本公式做起，如基本初等函数导数公式，不定积分基本公式。
要熟练掌握导数的四则运算法则及复合函数求导法则。
要熟练掌握计算不定积分与定积分的基本方法，特别是凑微分法及分部积分法。
考题中会有相当数量的关于导数与微分，不定积分与定积分的基本计算题，试题并不难，考生只要达到上述要求，都能正确解答这些试题。
同时，要高度重视导数与定积分的应用，如利用导数讨论函数的性质和曲线形状，利用导数的几何意义求曲线的切线方程与法线方程，利用函数的单调性证明不等式，利用
定积分的换元积分法证明等式，利用定积分的几何应用求平面图形的面积和平面图形绕坐标轴旋转得到的旋转体的体积，以及二元函数的无条件极值与条件极值等。
3.讲究学习方法，追求学习效益。
要加强练习，注重解题思路和解题技巧的训练，对基本概念、基本理论、基本性质进行多侧面、多层次、由此及彼、由表及里的辨析。
如由导数与微分的概念推广到偏导数与全微分的概念，由不定积分与定积分的概念推广到二重积分的概念，比较它们之间的异同，分析它们之间的内在联系与本质区别。
只要把这些关系理清，则可从掌握导线与微分的运算上升到掌握偏导数与全微分的运算，从掌握不定积分与定积分的运算上升到二重积分的运算。
学习无穷级数时要注意以极限为工具，判断无穷级数的收敛性是以limn→∞Sn是否存在为依据的，数项级数收敛的必要条件是limn→∞un=0.此外，正项级数收敛性的判定，极限形式的比较判别法、达朗贝尔比值法，以及求幂级数的收敛半径、收敛区间，都涉及到极限的计算。
常微分方程可看作是积分的应用，求解可分离变量的微分方程时，在分离变量后需两边同时积分，用公式法或常数变易法求解一阶线性微分方程时也需求不定积分。
4.加强练习，熟悉考题中的各种题型，掌握选择题、填空题和解答题等不同题型的解题方法与解题技巧。
对基本公式、基本方法、基本技能要进行适度、适量的练习，在做题的过程中熟悉运算公式和运算法则，在练习的过程中加强理解与记忆。
理解和记忆是相辅相承的，在理解中加深记忆，记忆有助于更深入地理解，理解愈深，记忆愈牢。
练习中应注意分析与类比，掌握思考问题和解决问题的正确方法。
学会总结与归纳，寻求一般性的解题规律及解题方法，提高解题能力。
如何复习专升本《高等数学》
1.考生要在成人高考中取得好成绩，必须深刻理解《复习考试大纲》所规定的内容及相关的考核要求，在知识内容上要分清主次、突出重点。
在考核要求方面，弄清要求的深度和广度。
要全面复习、夯
实基础，要将相关知识点进行横向和纵向的梳理，建立知识网络，对考试大纲所列知识点，力求做到心中有数、融会贯通。
2.注意以《大纲》为依据，弄清《高等数学》（一）和《高等数学》（二）在知识内容及相关考核要求上的区别。
这种区别主要体现在两个方面：其一是在共有知识内容方面，同一章中要求掌握的知识点，或同一知识点要求掌握的程度不尽相同。
如在一元函数微分学中，《高等数学》（一）要求掌握求反函数的导数、掌握求由参数方程所确定的函数的求导方法，会求简单函数的n 阶导数，理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，但上述知识点对《高等数学》（二）并不做要求；又如在一元函数积分学中，《高等数学》（一）要求掌握三角换元求不定积分，其中包括正弦变换、正切变换和正割变换，而《高等数学》（二）对正割变换不做考核要求。
其二是在不同的知识内容方面，《高等数学》（一）考核内容中有二重积分，而《高等数学》（二）对二重积分并不做考核要求；再有《高等数学》（一）有无穷级数、常微分方程，高数（二）均不做要求。
从试卷中可以看出，高等数学（一）比《高等数学》（二）多出来的这部分知识点，在考题中大约能占到30%的比例。
共计45分左右。
所以理科、工科类考生应按照《大纲》的要求全面认真复习。
3.考生要加强对高等数学中基本概念、基本方法和基本技能的理解和掌握，要努力提高运用数学知识分析问题和解决问题的能力，特别是综合运用知识解决实际问题的能力。
4.要在学习方法上追求学习效益。
加强练习，注重解题思路和解题技巧的培养和训练，对基本概念、基本理论、基本性质能进行多侧面、多层次、由此及彼、由表及里的思索和辨析，对基本公式、基本方法、基本技能要进行适度、适量的练习，在练习中加强理解和记忆，理解和记忆是相辅相承的，理解中加深记忆，记忆有助于更深入地理解，死记硬背是暂时的，只有理解愈深，才能记忆愈牢。
5.加强练习，熟悉考试中各种题型，要掌握选择题、填空题和解答题等不同题型的解题方法与技巧。
练习中要注意分析、总结、归纳、类比，掌握思考问题和处理问题的正确方法，寻求一般性的解题规律，从而提高解题能力。
在专升本考试中，《高等数学》是一门重要的公共基础课程，也是考试成绩上升空间较大的一门课程。
学好数学同学好其他学科一样，都要付出辛勤的汗水和艰辛的努力。
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限
极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单
调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续
函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间
上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）。