曲线的参数方程PPT课件

合集下载

第二讲：曲线的参数方程

1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。

椭圆双曲线抛物线的参数方程课件

y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
AB (2 p( t t ), 2 p( t 2 t1 ))
2 2 2 1

因为 OA OB , 所以 OA OB 0, 即 (2 pt1t 2 )2 (2 p)2 t1t 2 0, 所以t1t 2 1...........(8)

因为 OM AB, 所以 OM OB 0, 即
2 sin( ) 4
所以当 =

4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
抛物线的参数方程
y
M(x,y)

o
(
x

, ) 2 2
设抛物线的普通方程为 y 2 2 px ...........(5) 因为点M 在的终边上，根据三角函数的 y 定义可得 tan ..................................(6) x 2p x tan 2 由(5),(6)解出x , y，得到 ( 为参数） y 2p tan 这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程

经典常见曲线的参数方程.ppt

y
a(sint
t
cos t)
y
M (x,y)
a
t
0
a
试由这.精些品课关件.系推出曲线的方程
t x
.
27
7.狄卡儿叶形线 x 3 y 3 3axy 0 (a 0)
分析 1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
3. 令 y = t x, 得参数式
当 t , ( x, y) (0,0) 当 t 0, 也有( x, y) (0,0)
a
.精品课件.
x
3
.
来看动点的慢动作
.精品课件.
x
4
参数方程
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
2a at
0
a
.精品课件.
a
2a
x
.
5
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OM sin t y OC OM cos t
故在原点，曲线自身相交.
x
3at t3 1
y
3at 2 t3 1
(- t , t -1)
4. 当 t 由 ,
动点由(0,0) (,-) 当 t 由 ,
动点由( ,) (0,0)
当 t 由 ,
动点由 (0,0) (0,0)
依逆时针方向画出叶形线.
.精品课件.
28
y
0
x

曲线关于 y= x 对称
常见曲线的参数方程
.精品课件.
1

第2讲-1-曲线的参数方程第1课时

课时作业
菜
单
新课标 ·数学选修4-4
课前自主导学
x＝1＋2cos α，已知直线 y＝x 与曲线 y＝2＋2sin α，
(α 为参数)相交于
当堂双基达标
两点 A 和 B，求弦长|AB|.
【解】
x＝1＋2cos α，由 y＝2＋2sin α， x－1＝2cos α，得 y－2＝2sin α.
数．圆的参数方程中，其中参数 θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度.
课时作业
菜
单
新课标 ·数学选修4-4
参数方程的概念
课前自主导学
x＝1＋2t 已知曲线 C 的参数方程是 2 y ＝ at
(t 为参数，
当堂双基达标
3＝1＋2t， 2 － 1 ＝ t ，
课时作业
这个方程组无解，因此点 Q 不在曲线 C 上．
菜
单
新课标 ·数学选修4-4
课前自主导学
点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上． (1)对于曲线 C 的普通方程 f(x，y)＝0，若点 M(x1，y1)在
因此点 A(2,0)在曲线 C 上，对应参数 θ＝0，同理，把 B(－
课前自主导学
3 3，2)代入参数方程，得－ 3＝2cos θ， 3 ＝3sin θ. 2 3 cos θ＝－ 2 ， ∴ sin θ＝ 1. 2
当堂双基达标
课堂互动探究
菜单
课时作业

一、曲线的参数方程

参数方程与解析几何的关系
参数方程是解析几何的基本工具之一
在解析几何中，参数方程被广泛应用于描述几何图形，它提供了比直角坐标方程更加灵活和方便的描述方式。
参数方程与极坐标方程的转换
在某些情况下，可以将参数方程转换为极坐标方程，以便利用极坐标的性质来研究曲线的性质。
THANKS FOR WATCHING
参数方程导数的计算方法
通过对方程中的参数求导，并利用链式法则和乘积法则进行计算。
参数方程的积分
参数方程的积分定义
参数方程的积分是表示曲线与坐标轴围成的面积的数学工具。
参数方程积分的几何意义
参数方程的积分表示曲线与坐标轴围成的面积，即曲线在某一区间上的长度。
参数方程积分的计算方法
通过对方程中的参数进行不定积分，并利用微积分基本定理进行求解。
通过参数t将曲线上的点与实数轴上的点一一对应起来。
参数方程的表示形式
显式参数方程
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)的形式，其中 x、y、z是参数t的函数。
隐式参数方程
通过方程F(x,y,z)=0表示，其中F是参数t的函数。
参数方程与直角坐标方程的转换
直角坐标方程
01
通过x、y、z来表示曲线上点的坐标。
一、曲线的参数方程
目录
• 参数方程的基本概念 • 参数方程在曲线表示中的应用 • 参数方程的物理意义 • 参数方程的微积分性质 • 参数方程的几何意义
01 参数方程的基本概念
参数方程的定义
参数方程
由参数t表示的方程组，其中x、y是参数t的函数。
参数方程的一般形式
x=x(t)，y=y(t)。
参数方程的特点
详细描述

解析几何第二章轨迹与方程PPT课件

①由 r t x te 1 y te 2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0at0 b 通过r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定
那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为 xyxytt,at b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
一、曲面的方程
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步可省）；
2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出等式；
4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简得方程；
5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定
《》
－Chapter 2
§1 平面曲线的方程
Contents
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
函数关系. 注意空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
二、曲面的参数方程
x xu,v,

2.2 2~3双曲线的参数方程抛物线的参数方程课件(人教A选修4-4)

[答案] (1)(0，± 3)；(2)y＝x2. 4
返回
(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参
数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义． (2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是 sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ，则焦点在y轴上．
返回
返回
4．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动
点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求
点M的轨迹方程．
返回
解：根据条件，设点 M， B 的坐标分别为(x， (2pt2， A， y)， 1 2pt1)，(2pt2，2pt2)(t1≠t2，且 t1· ≠0)，则 t2
返回
返回
则：(|F1P|· 2P|)2 |F ＝[(sec θ＋ 2)2＋tan2θ]· [(sec θ－ 2)2＋tan2θ] ＝(sec2 θ＋2 2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2 2sec θ＋2＋tan2θ) ＝( 2sec θ＋1)2( 2sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1，由此得|F1P|· 2P|＝|OP|2. |F
x＝btan φ，数方程是 y＝asec φ.
返回
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px
x＝2pt2，的参数方程为 y＝2pt
t∈R.
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
返回
[例 1]
x＝2 3tan (1)双曲线 y＝6sec α
返回
返回
1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b

参数方程的概念(课件)

对于参数方程 x = a*cos(t), y = a*sin(t) (其中 t 为参数)，可以通过分离参数 t，得到简单方程 tan(t) = y/x，进而求解 x 和 y。
参数代入法
01 总结词
通过将参数方程中的参数代入到已知的函数或表达式中，求解未知数。
02
详细描述
参数代入法的基本思想是将参数方程中的参数代入到已知的函数或表达式中，从而得到一个关于未知数的简单方程。这个简单方程通常比较容易求解，从而得到原参数方程的解。
在计算机图形学中，参数方程被广泛应用于动画制作和游戏开发等领域。
在经济学中的应用
在经济学中，参数方程可以用来描述经济数据的趋势和变化规律。
在生物学中的应用
在生物学中，参数方程可以用来描述生物种群的增长规律和生态系统的平衡状态。
03
参数方程的求解方法
消去参数法
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程，从而求解未知数。
通过参数的变化，可以描述曲线的几何性质和动态变化。
x=x(t), y=y(t) 或 x=x(t), y=y(t), z=z(t)，其中 t 是参数。
参数方程的表示形式
平面参数方程
在平面直角坐标系中，如果用参数 t 表示曲线上点的横坐标和纵坐标，则平面参数方程可以表示为 x=x(t), y=y(t)。
2. 通过代数方法消去参数 t；
3. 得到直角坐标方程。
02
参数方程的应用
在几何图形中的应用
描述平面曲线
参数方程可以用平面曲线的几何性质和形状，通过参数的变化来描述曲线上的点。
旋转和放缩
通过参数方程，我们可以方便地实现图形的旋转和放缩，从而得到不同角度和大小的图形。

圆锥曲线的参数方程课件

椭圆的参数方程及应用
将参数方程yx＝＝35scionsθθ (θ 为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
【思路探究】根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
【自主解答】
由yx＝＝35scionsθθ
得csionsθθ＝＝3y5x，，

两式平方相加，得x522＋3y22＝1.
抛物线的参数方程
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交点 M 的轨迹方程．
【思路探究】解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)，当 t≠0 时，直线 OP 的方程为 y＝1t x， QF 的方程为 y＝－2t(x－p2)，它们的交点 M(x，y)由方程组
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，焦点坐标为 F1(4,0)
和 F2(－4,0)．
椭圆的参数方程yx＝＝bacsionsθθ，， (θ 为参数，a，b 为常数，且 a>b>0)中，常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．
若本例的参数方程为yx＝＝53scionsθθ ，(θ 为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？
它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2，
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan b2＋a2
φ| ·
|absec φ－abtan φ| b2＋－a2
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．

直角坐标系中曲线的参数方程

参数方程的参数范围和周期性
参数t有一个特定的取值范围，表示曲线上点的运动轨迹。当参数t超出其取值范围时，曲线上的点会重复出现。
对于具有周期性的曲线，其参数方程可能具有周期性，即当参数t增加一个特定的值时，曲线上的点会重复出现。这种周期性可以通过观察曲线的形状和参数t的变化规律来识别。
04
参数方程的求解方法
参数方程用于描述曲线的形状和变化规律，通过设定参数的变化范围，可以绘制出完整的曲线图形。
参数方程简化了曲线绘制的计算过程，使得绘制复杂的曲线变得相对简单。
参数方程在解决物理问题中的应用
在物理问题中，很多物理量是随时间变化的，参数方程可以描述这种变化过程，帮助我们理解物理现象和规律。
例如，振动和波动的问题可以用参数方程来描述，通过求解参数方程，可以得到物理量的变化规律。
利用三角函数求解参数方程
总结词
利用三角函数求解参数方程是一种常见的方法，适用于参数方程中含有三角函数的情况。
详细描述
当参数方程中含有三角函数时，可以利用三角函数的性质和恒等式来求解。例如，如果参数方程中包含正弦函数和余弦函数，可以利用三角恒等式将它们转换为单一的三角函数形式，从而简化求解过程。此外，还可以利用三角函数的周期性和对称性等性质来简
05
参数方程的应用实例
地球的运动轨迹描述
要点一
总结词
参数方程在描述地球的运动轨迹时，可以精确地表示地球绕太阳的椭圆轨道。
要点二
详细描述
参数方程通过引入两个参数（通常是时间和角度）来表示地球在直角坐标系中的位置，能够精确地描述地球绕太阳的椭圆轨道，包括地球的近日点和远日点。
摆线的参数方程表示
参数方程与直角坐标方程的转换

参数方程课件(共29张PPT)

解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝
sin cos
θθ－－12的最大值与最小值,就转化为求动点
P
与定点(2,1)
连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知,当直线 PM
和圆相切时,分别得到其最大值与最小值.设直线 PM 的斜
率为 k,所以,其方程为:y－1＝k(x－2),即 kx－y＋1－2k＝0.
2α(0＜α＜2π),M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程;
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的
轨迹是否过坐标原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α).
2π).
(1)x2＋y2＝(－1＋2cos θ)2＋( 3＋2sin θ)2 ＝4( 3sin θ－cos θ)＋8＝8sin(θ－π6)＋8, ∴当 θ－π6＝π2,即 θ＝23π时,(x2＋y2)max＝16. (2)x＋y＝2(sin θ＋cos θ)＋ 3－1 ＝2 2sin(θ＋π4)＋ 3－1, ∴当 θ＋π4＝32π,即 θ＝54π时, (x＋y)min＝ 3－2 2－1.
变式训练
1.(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为yy＝＝2t＋t 1， (t 为参数),曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1 (t 为参数),由 x＝t＋ 1,得 t＝x－1,代入 y＝2t,得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2 ＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－1 ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,－ 1).

2.1曲线的参数方程第二课时课件(人教A版选修4-4)

1．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆
x a rcos ， y b rsin (θ为参数)的圆心位于(
B)
A．第一象限 C．第三象限 A．(－1＋cos θ，sin θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ)
B．第二象限 D．第四象限 B．(1＋sin θ，cos θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动
时，求点M的轨迹方程．
解析：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则 1 1 |AM|· d＝ |OA|· |OM|· sin ∠AOM， 2 2 1 1 |QM|· d＝ |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 |AM| |OA| 2 → 2 → 又∵∠AOM＝∠QOM，∴ ＝＝ .∴AM＝ AQ. |QM| |OQ| 1 3 ∵点 Q 是圆 x2＋y2＝1 上的点， ∴设点 Q 的坐标为(cos θ， sin θ)，M(x，y)，得 2 (x－2，y－0)＝ (cos θ－2，sin θ－0)， 3 2 2 2 即 x－＝ cos θ，y＝ sin θ. 3 3 3 2 4 2 2 两式平方相加，得x－3 ＋y ＝， 9 2 4 2 2 ∴点 M 的轨迹方程为x－3 ＋y ＝ . 9
∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2，即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)．这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|
把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形．分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的一致性．

2.1.曲线的参数方程PPT课件

6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考虑到＝ t ，也可以取为参数，
y
于是有{xy rrcso ins(为参数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其中参数的几何意义是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
27
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？
？救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程

4-4第二讲双曲线、抛物线的参数方程经典课件

题组一：写出下列双曲线的参数形式： 2 2 x y 1、 1 9 16 2 2 y x 2、 1 9 7 2 2 x y 3、 1 36 64 2 2 4、 3 x y 75
题组二：已知双曲线的参数形式，写出普通式： 1
２
３
x 2sec y 3tan x 5sec y 7 tan 1 x sec 3 y tan
(0, )
y
x 2 py
2
o
x
令t tan
x 2 pt x 2 pt (t为参数) 2 y 2 pt (t R) y 2 pt2
﹒ ﹒ ﹒
y
图形
o
焦
点
准
线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
例1：如图，O是直角坐标原点，A、B 是抛物线y2=2px (p>0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM ⊥AB并与AB 相交于点M，求点M的轨迹方程 y
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
a
y

A B' o B
•M
A' x
M
x
2 2 a2(sec2 -tan2 ) = sin2 = a tan a b ab . 4cos2 2 2 a 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，(3) -----抛物线的参数方程

高中数学人教A版选修4-4课件：2.1曲线的参数方程

因为 θ∈ 0,

2
所以 sin θ +

4
,所以 θ+ ∈

4
∈
2
,1
2
3
,
4 4

4
Hale Waihona Puke ..,即 2sin θ +
故 x+y 的最大值是 2,最小值是 1.

4
∈ 1, 2 .
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
关系比较明显,容易列出方程.
首页
1
2
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
3
思考 2 求曲线参数方程的步骤是什么?
提示:第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图
时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos φ+ysin φ-2=0 的距离
2
1
d= =2.因为圆的半径为 2,所以直线与圆相切.
答案:C
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
x = 1 + 2θ,
3.将参数方程
HONGDIAN NANDIAN
1
2
1.与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是(