成都市南开为明学校2020-2021学年高二上学期期中考试 数学(理)试题(含答案)

成都市南开为明学校2020-2021学年高二上学期期中考试

数学（理）试题

一、选择题:(每小题5分，共60分)

1.在直角坐标系中,直线330x y --=的倾斜角是( )

A.30°

B.120°

C.60°

D.150°

2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有50名,高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本,已知在高二年级的学生中抽取了6名,则在高一年级的学生中应抽取的人数为( ) A.6

B.8

C.10

D.12

3.圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A. ()()2

2

211x y -+-= B. ()()2

2

211x y +++= C. ()()2

2

215x y -+-=

D. ()()22

215x y +++=

4.下图是中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )

A ．84，4.84

B ．84，1.6

C ．85，1.6

D ．85，4.84

5.若,x y 满足约束条件0,+3020,x x y x y ≥??

-≥??-≤?

，,则z 2x y =+的最小值是( )

A. 0

B. 3

C. 4

D. 6

6.在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是( ) A. 310

B.

710

C. 25

D. 35

7.执行下面的程序框图，则输出的n = ( ) A.17 B.19 C.21 D.23

8.设R x ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：3

2.0946≈） A ．

3.1419 B ．3.1417 C ．3.1415 D ．3.1413

10.圆224210x y x y ++--=上存在两点关于直线()2200,0ax by a b -+=>>对称，则14a

b

+的最小

值为（ ） A ．8 B ．9

C ．16

D ．18

11.设集合()(){}()()(){}2

2

2

2

,41,,21A x y x y B x y x t y at =

-+==-+-+=，如果命题

“,t R A B ?∈?≠?”是真命题，则实数a 的取值范围是( )

A ．()4,0,3??

-∞+∞ ???

B ．403?? ???，

C ．403??????

，

D ．(]4,0,3??

-∞+∞????

12.过点()1,1P -作圆()()()2

2

:21C x t y t t R -+-+=∈的切线,切点分别为,A B ,则PA PB ?的最

小值为( )

A. 103

B. 403

C. 214

D. 223-

二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.在区间[]0,5上随机地取一个数 x ,则 x 满足2x ≤的概率为__________

14.命题“2,220x R x x ?∈-+≤”的否定为__________

15.执行如图所示的程序框图,如果输出3s =,那么判断框内应填入的条件是__________.

16.设R m ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点

(,)P x y ，则3PA PB +的最大值是__________

三、解答题：（本大题共70分）

17（10分）已知直线12:310,:30l x y l x y --=+-=, (1)直线1l 与2l 的交点P 的坐标; (2)过点P 且与1l 垂直的直线方程

18(12分）从含有两件正品,a b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率. (1).每次取出不放回. (2).每次取出后放回.

19（12分）已知直线L: 与圆C: , (1) 若直线L 与圆 相切,求m 的值; (2) 若 ,求圆C 截直线L 所得的弦长.

20（12分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[)[)[]50,60,60,70,90,100???分成5组，制成如图所示频率分直方图． （1）求图中x 的值；

（2）求这组数据的平均数和中位数；

（3）已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2

人进行座谈，求2人均为男生的概率．

21.（12分）为助力湖北新冠疫情后的经济复苏,某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价,用不同的单价在平台试销,得到如下数据:

(1)根据以上数据,求y 关于x 的线性回归方程;

(2)若该产品成本是4元/件,假设该产品全部卖出,预测把单价定为多少时,工厂获得最大利润?

(参考公式:回归方程,y bx a =+其中1

2

1

()()

,)()n

i

i i n

i

i x

x y y b a y bx x

x ==--=

=--∑∑。

22.（12分） 已知圆M 的方程为：222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N ，圆

N 内切于圆M . （1）求圆N 的方程；

（2）圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得DE 、DO 、DF 成等比数列，求

DE DF ?的取值范围；

（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A 、B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行？请说明理由.

参考答案

1.答案：C

解析：先将直线方程化为斜截式3y =-,

再根据tan k θ==[0,]θπ∈,得到倾斜角60θ=?. 2.答案：C 解析：

3.答案：A 解析：

4.答案：C

解析：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后， 所剩数据84,84,86,84,87的平均数为

8484868487

855

++++=；

方差为()()()()2222

18848584858485878555??-+-+-+-=?

?.

故选C.

5.答案：C

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

由2z x y =+，可得11

22

y x z =-+，

作出直线:20l x y +=，平移直线l ，由图可得，当直线l 平移到经过点B 的位置时，直线在y 轴上的

截距最小，此时2z x y =+取得最小值，由30

20

x y x y +-=??-=?，可得点B 的坐标为()2,1所以2z x y =+的最小值

是2214+?= 6.答案：C

解析：学生在确定选修地理的情况下,从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科的方法有(历史，政治),(历史,化学),（历史,生物）,（历史,物理）,(政治,化学),（政治,物理），（政治,生物）,（化学,生物）,（化学,物理）,（生物,物理）,共10种.其中含有生物的选择方法有:（历史,生物）,（政治,生物）,（化学,生物）,（生物,物理）,共4种.则所选的两科中一定有生物的概率42

105

P ==.故选C. 7.答案：C

解析：由程序框图知S 等于正奇数数列13

5，，，的前k 项和，其中*1

2

n k k +=∈N ，，当前k 项和大于100时退出循环，则2[1(21)]135(21)2

k k

S k k +-=+++

+-=

=，当10k =时，100S =；当11k =时，

121S =，退出循环.则输出的n 的值为211121?-=，故选C.

8.答案：B

解析：250x x -<，即05x <<，11x -<等价于02x <<， 故05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<。 故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件。 故选B 。

解析：

11. 答案：C

【详解】

解：由“,t R A B ?∈?≠?”是真命题，

即存在实数t 使得圆22(4)1x y -+=与圆22()(2)1x t y at -+-+=有交点， 则存在实数t 2≤，

即关于实数t 的不等式22(1)4(2)160a t a t +-++≤有解， 即2216(2)4(1)160a a +-?+?≥， 解得4

03

a ≤≤

，故选C.

12.答案：C 解析：

(

()()()2

22222cos 12cos 111PA PB PC APB PC APC PC PC ?

??=

∠=-?∠-=--= ???

22

2

3PC PC

+

- ∵()()22

221324108PC t t t t =++-=-+≥ ∴22

2221

38384

PC PC +-≥+-= 故选C. 13.答案：

25

解析：

14.答案：2000,220x R x x ?∈-+> 解析：

15.答案：k≤7

解析：第一步, 42log (1)log 3,213s s k k =?+==+=;

第二步, 4232log (1)log 3log 4log 4,314s s k k =?+=?==+=; 第三步, 4242log (1)log 4log 5log 5,5s s k k =?+=?==; ……

第n 步, 2(1)2log (1)log (2)log (2),2n s n n n k n +=+?+=+=+, 若输出3s =,则2log (2)3,28,6,28n n n k n +=+===+=, 说明8k =时结束,故应填7k ≤.

16.答案：解析：

17.答案：1. 解方程组31030

x y x y --=??

+-=?得1{2x y ==

∴交点()1,2.P

2.

1l 的斜率为3,故由点斜式方程得过点P 且与1l 垂直的直线方程为()21,y x -=--即370x y +-=.

解析：

18.答案：1.每次取出不放回的所有结果有()()(),,,a a a b a c ()()(),,,b c c a c b 其中左边的字母表示第一次取出的产品,右边的字母表示第二次取出的产品,共有6个基本事件,其中恰有一件次品的事件有4个,所以每次取出不放回,取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为

4263

=.

2.每次取出后放回的所有结果: ()()()(),,,,a a a b a c b a ()()()()(),,,,,b b b c c a c b c c 共有9个基本事件,其中恰有一件次品的事件有4个,所以每次取出后放回,取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为49

. 解析：

答案： 19、

解析： 试题分析:本题第(1)问,由于直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,即有 ,

只要解出m 即可;第(2)问,先求出圆心到直线的距离 ,由于原的半径为1,则由勾股定理可求出弦

长。 解:(1)

直线 与圆

相切,

圆心

到直线 的距离

,解得

当

时,直线 的方程为

,圆心

到直线 的距离

,

弦长

点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,以及点到直线的距离公式,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练运用此性质是解本题的关键.

20.答案：（1）由0.0050.010.0350.030)101x ++++?=，解得0.02x =． （2）这组数据的平均数为550.05650.2750.35850.3950.177?+?+?+?+?=． 中位数设为m ，则()0.050.2700.0350.5m ++-?=，解得540

7

m = （3）满意度评分值在[)50,60内有1000.005105??=人， 其中男生3人，女生2人．记为12312,,,,A A A B B

记“满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A 通过列举知总基本事件个数为10个，A 包含的基本事件个数为3个， 利用古典概型概率公式可知()3P A 10

=.

21.答案：（1）8828.48.68.89

8.56

x +++++==，

908483807568

806

y +++++=

=.

()()6

1

(88.5)(9080)(8.28.5)(8480)(8.48.5)(8380)i

i i x

x y y =--=--+--+--∑

+(8.68.5)(8080)(8.88.5)(7580)(98.5)(6880)--+--+--

=-14,

()6

2

2222221

(88.5)(8.28.5)(8.48.5)(8.68.5)(8.88.5)(98.5)i

i x x =-=-+-+-+-+-+-∑

=0.7,

()()

()

1

6

2

1

14

200.7

b

i

i i i

i x

x y y x

x b ==---∴=

=

=--∑∑, 80208.5250a y bx ∴=-=+?=,

所以回归直线方程为20250y x =-+. （2）设工厂获得的利润为L 万元， 则(4)(20250)L x x =--+

220(8.25)361.25x =--+，

所以该产品的单价定为8.25元时，工厂获得利润最大，最大利润为361.25万元. 解析：

22. （1）2

2

2x y +=；（2）[)1,0-；（3）平行，理由见解析.

【详解】

圆M 的方程可整理为：()()2

2

11

8x y -+-

=，故圆心()1,1M ，半径2R =.

（1）圆N 的圆心坐标为()0,0，

因为MN =

N 在圆M 内，

设其半径为r ，因为圆N

内切于圆M ，所以有：MN R r =-，

r =

，解得r =N 的方程为222x y +=； （2）由题意可知：()E 、)

F

．

设(),D x y ，由DE 、DO 、DF

成等比数列，得2

DO DE DF =?，

(

)

22x y =+，整理得22

1x y -=，

而())())

()2

22,,2DE DF x y x y x x y x y ?=--?

-=?

+-=+-

()222

1221y y y =++-=-，

由于点D 在圆N 内，故有2222

21x y x y ?+

12y <，所以，[)1,0DE DF ?∈-； （3）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -.

故直线MA 的方程为()11y k x -=-，直线MB 的方程为()11y k x -=--，

由()22

112

y k x x y ?-=-?+=?，得()()()222

121120k x k k x k ++-+--=， 因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，可得2221

1

A k k x k --=+，

同理可得：22

21

1B k k x k +-=+，所以()()111B A B A AB

MN B A B A k x k x y y k k x x x x -----====--， 所以，直线AB 和MN 一定平行. 【点睛】

本题考查圆与圆的位置关系、等差数列的性质、圆的公切线方程等知识，考查平面向量数量积的取值范围，考查直线平行的证明，解题时要将这些问题进行合理转化，难点在于计算量大，易出错.