工程力学(杆件弯曲受力分析计算)

教学设计三
杆件弯曲受力分析计算
在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。

问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题
梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。

我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。

由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。

（公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。

（公式8.2）
（公式8.3）
（公式8.4）
其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。

将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。

（公式8.5）分析公式8.5，其中：
为截面绕Z轴的惯性矩。

公式8.5变形为8.6。

ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ε
y
y
dx
dx
=
=
-
+
=
∆
=
dθ
dθ
dθ
dθ
y)dθ
(
⎰⋅
=
A
y
M dA
σ
ε
σ⋅
=E
ρ
ε
σ
y
E
E=
=
⎰
⎰⎰=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
⋅
=
A
A A
y
E
y
y
E
y
M dA
dA
dA2
ρ
ρ
σ
Z
A
I
y=
⎰dA2
（公式8.6）
将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7
（公式8.7）
公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。

如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。

我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。

（公式8.8）
公式8.7可以化简为极值公式8.9。

（公式8.9）
例题分析讲解 【例1】
图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。

【解】
计算悬臂梁的弯矩
计算梁截面的惯性矩
计算抗弯截面模量 计算各点的正应力
y
I
W Z
=m kN 6.488.1302
1
2⋅=⨯⨯=M 001067
.0124.02.01233=⨯==bh I 00533.012
4.02.062
2=⨯==bh W Z W
M Z =
σZ
Z I E M ⋅=
ρ
1
y I M Z
Z
=
σ
（拉）MPa 12.900533
.06
.48===
Z Z a W M σ（压）
m 9.12kN a d ⋅=-=σσ0
b =σ（压）4.55MPa 0.11067
00.06
.48b c =⨯==
y I M Z Z σ
问题二，杆件弯曲横截面剪应力计算问题
与弯曲正应力不同，在截面上各点的弯曲剪应力指向相同，不论是否在中性层的上侧还是下侧；在同一剪力段，同一层的各点剪应力大小相同。

剪应力大小跟截面尺寸和形状有关，不同截面形式在相同外力作用下产生的剪应力是不同的，下面我们学习几种截面形式下的剪应力计算公式。

矩形截面杆件截面弯曲剪应力一般计算公式8.10：
（公式8.10）
（V y 梁截面剪力；S z 计算截面形心到梁截面形心的面积矩；I z 梁截面的惯性矩，b 梁截面宽度）
与弯曲正应力相似，在截面内也存在剪应力最大值，矩形截面杆件上弯曲剪应力分布成二次抛物线状，最大值在截面中性层处，上下边缘处为零，其极值计算公式8.11：
（公式8.11）
我们再来学习下圆形截面和圆环截面的弯曲剪应力计算式 对于圆形截面计算公式8.12：
（公式8.12）
对于圆环形截面计算公式8.13：
（公式8.13）
其中：A 为圆形或圆环截面面积
b
I S V z z y y =
τbh
V
y
max .y 23⋅=τA
V
y
max .y 34⋅=τA
V y max .y 2⋅
=τ
例题分析讲解
【例3】
图8.6所示，矩形截面梁收到集中力作用，求截面D上a点处的弯曲剪应力τa和全梁的最大剪应力τmax。

【解】
画出受力分析简图，计算D截面的剪应力V D
计算截面最大剪应力：
kN
20
=
D
V
MPa
8.1
10
6
10
12
10
6
10
5.4
1
6
10
20
2
8
3
6
3
a
=
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
=
=
-
-
-
b
I
S
V
Z
a
D
τ
MPa
33
.3
10
10
6
10
20
5.1
2
3
4
3
D.max
=
⨯
⨯
⨯
⨯
=
⋅
=
-
bh
V
D
τ
V
V D=20kN
V D=20kN。