三角函数的图像与性质专题(含解析)

第讲三角函数的图像与性质

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一、兴趣导入

二、学前测试

1．已知角α的终边上一点的坐标为

22

(sin,cos)

33

ππ

，则角α的最小正角是（）

A、

5

6

π

B、

2

3

π

C、

5

3

π

D、

11

6

π

解析．D ［角α在第四象限且

2

cos3

3

tan

23

sin

3

π

α

π

==-］

2．若α是第二象限的角，且|cos|cos

22

αα

=-，则

2

α

是（）

A、第一象限角

B、第二象限角

C、第三象限角

D、第四象限角

解析C 22,(),,(),

2422

k k k Z k k k Z

ππαπ

παππππ

+<<+∈+<<+∈

当2,()

k n n Z

=∈时，

2

α

在第一象限；当21,()

k n n Z

=+∈时，

2

α

在第三象限；

而cos cos cos0

222

ααα

=-⇒≤，

2

α

∴在第三象限；

3已知角α的终边与函数)0

(,0

12

5≤

=

+x

y

x决定的函数图象重合，求

α

α

α

sin

1

tan

1

cos-

+= 解析:在角α的终边上取点

1255

(12,5),13,cos,tan,sin

131213

P rααα

-==-=-=

故αααsin 1tan 1cos -

+

=77

13

- 4.（湛江市实验中学2010届高三第四次月考）已知3

5

cos θ=

，且角θ在第一象限，那么2θ在（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：B 3222542cos k k ππθπθπ=

<∴+<<+，4242

k k ππθππ∴+<<+故2θ在第二象限. 三、方法培养

1．“五点法”描图

(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0)

⎝ ⎛⎭

⎪⎫32π，－1 (2π，0)

(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2，0，(2π，1)

2.三角函数的图象和性质

函数 性质

y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x

定义域 R R

{x |x ≠k π＋π

2

，

k ∈Z }

图象

值域

[－1,1]

[－1,1] R

对称性

对称轴：__ x ＝k π＋π

2

(k ∈Z )__ _； 对称中心：

_ (k π，0)(k ∈Z )__ _

对称轴：

x ＝k π(k ∈Z )___；

对称中心： _(k π＋π

2，0)

(k ∈Z )__

对称中心：_⎝ ⎛⎭

⎪

⎫k π2，0

(k ∈Z ) __

周期

2π_

2π

π

单调性

单调增区间_[2k π－

π2

，

2k π

＋

单调增区间[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) ____；

单调增区间_(k π－

π

2

，k π＋

3.f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解

周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期.

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π

|ω|

，

y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为

π

|ω|

.

4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性； 关于正、余弦函数的有界性

由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.

(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2

x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2

＋1≥1，解法错误.

5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4－2x .

☆专题1：三角函数的单调性与周期性