近世代数复习提纲

近世代数复习提纲

群论部分

一、基本概念

1、群的定义（四个等价定义）

2、基本性质

（1）单位元的唯一性；

（2）逆元的唯一性；

（3）11111(),()ab b a a a -----==；

（4）ab ac b c =⇒=；

（5）1ax b x a b -=⇒=；1ya b y ba -=⇒=。

3、元素的阶

使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。

（1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=∀∈=。

（2）若m a e =，则

①||a m ≤；

②||a m =⇔由n a e =可得|m n 。

（3）当群G 是有限群时，a G ∀∈，有||a <∞且||||a G 。

（4）||||r n a n a d =⇒=

，其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d

。 另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而

n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以n k d ，故n k d

=。 注：1 ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（）。

2 ||,||G a G a <∞⇒∀∈<∞；但,||||a G a G ∀∈<∞⇒<∞/。

例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈∃∈∍=，则G 关于普通乘法作成群。显然，1是G 的单位元，所以a G ∀∈，有||a <∞，但||G =∞。

二、群的几种基本类型

1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。

2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。

3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。

（1）变换群的单位元是A 的恒等变换。

（2）A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。

（3）一般地，变换群不是交换群。

（4）任一个群都与一个变换群同构。

4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。

例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。

解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（1）n 元集合A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作n S 。

（2）||!n S n =。

（3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。

（4）11221()()k k i i i i i i -=。

（5）任一有限群都与一个置换群同构。

5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈，则称G 是循环群。

（1）循环群是交换群（）。

（2）素数阶群是循环群（）。

（3）循环群的子群是循环群（）。

（4）当||G =∞时，2102{,,,,,,

}G Z G a a e a a a --≅⇒==；

当||G n =时，021{,,,,}n n G Z G e a a a a -≅⇒==。

（5）||||G a =

（6）当||G =∞时，G 有且仅有两个生成元1,a a -；

当||G n =时，G 有且仅有()n ϕ个生成元，这里()n ϕ表示小于n 且与n 互素的正整数个数。且当(,)1m n =时，m a 是G 的生成元。

（7）若G 与G 同态，则 1G 也是循环群；

2 当()a a ϕ=时，()G a =；

3 G 的阶整除G 的阶。

例3（P79、3）

三、子群

1、定义：设H 是群G 的非空子集，若H 关于G 的于是也构成群，则称H 是G 的子群，记作H G ≤。

2、等价条件

（1）群G 的非空子集H 是子群,a b H ∀∈，有1,ab a H -∈

,a b H ∀∈，有1ab H -∈

（2）群G 的非空有限子集H 是子群,a b H ∀∈，有ab H ∈。

3、运算

（1）若12,H H G ≤，则1

2H H G ≤（可推广到任意多个情形）。 （2）若12,H H G ≤，则12H H 未必是G 的子群。

（3）若12,H H G ≤，则12121122{|,}H H h h h H h H =∈∈未必是G 的子群。

（4）若12,H H G ≤，则12H H -不是G 的子群。

4、陪集

设H G ≤，则G 的子集{|}aH ah h H =∈叫做H 的包含a 的左陪集；G 的子集{|}Ha ha h H =∈叫做H 的包含a 的右陪集。

（1）一般地，aH Ha ≠。

（2）1aH bH b a H -=⇔∈；1Ha Hb ab H -=⇔∈；()aH Ha H a H =⇔∈。

（3）()aH Ha G a H ≤⇔∈。

（4）()()()[()()]aH bH Ha Hb aH bH Ha Hb φφ≠≠⇔==。

（5）{|}aH a G ∈是G 的一个分类，{|}Ha a G ∈也是G 的一个分类。即

a G G aH ∈=

，且()()aH bH φ=（当aH bH ≠时）

或

a G G Ha ∈=

，且()()Ha Hb φ=（当Ha Hb ≠时）

5、指数：

群G 的子群H 的左陪集（右陪集）个数叫做H 的指数，记作[:]G H 。 当||G <∞时，有||||[:]G H G H =。

6、不变子群

设H 是群G 的子群，若a G ∀∈，都有aH Ha =，则称H 是G 的不变子群，记作H G 。 群G 的子群H 是不变子群a G ∀∈，有1a Ha H -=

,a G h H ∀∈∀∈，有1a ha H -∈。

例4（P74、1）

例5（P74、3）

1不变子群的交是不变子群。

2交换群的子群是不变子群。

3群G 的中心(){|,}C G a G x G xa ax =∈∀∈=是G 的不变子群。

4设12,H H G ≤且有一个是不变子群，则12H H G 。 7、商群 设H G ，令{|}G H aH a G =∈，,aH bH G H ∀∈，定义

则它是G H 的代数运算，叫做陪集的乘法。G H 关于陪集的乘法作成群，叫做G 关于H 的商群。