2.1 同余的概念与基本性质
同余的基本概念和性质
模相等的同余关系的运算性质
模相等的同余关系满足交换律和结合律 模相等的同余关系满足消去律 模相等的同余关系满足分配律 模相等的同余关系满足幂等律
同余的应用
同余在模方程中的应用
模方程的同余解法 同余在模方程中的应用实例 同余在模方程中的求解步骤 同余在模方程中的优势与局限性
同余在数论中的应用
整除理论：同余是整除理论中的重要概念，用于研究整数之间的除法关系。
● - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有传递性，即如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 ● - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的性质
模相等的同余关系
● 定义：如果两个整数a和b除以同一个正整数m的余数相同，则称a和b对模m同余，记作 a≡b(mod m)。
● 性质： - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 - 同余关 系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 - 同余关系具有传递性，即如果 a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且 b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的基本概念和性质
汇报人：XX
目录
同余的定义
同余的性质
01
02
同余的应用
同余的证明方法
03
04
同余的定义
什么是同余
同余的定义：两个整数除以某 个固定整数得到的余数相同， 则称这两个整数同余。
数论中的同余定理与模运算计算方法
数论中的同余定理与模运算计算方法数论是数学的一个分支，研究整数及其性质和关系。
同余定理与模运算是数论中的重要概念和计算方法。
本文将介绍同余定理的基本概念，同余关系的性质，以及模运算的计算方法。
一、同余定理的基本概念同余定理是指两个整数在除以同一个正整数时，如果得到的余数相等，则这两个整数被称为同余。
用数学符号表示为：若a、b、n为整数且n>0，则当n|(a-b)时，称a与b模n同余，记作a≡b(mod n)。
同余关系是一个等价关系，具有自反性、对称性和传递性。
下面分别介绍同余关系的性质：1. 自反性：对于任意整数a和正整数n，a ≡ a (mod n)，即a与自身模n同余。
2. 对称性：如果a ≡ b (mod n)，则b ≡ a (mod n)，即a与b模n同余，那么b与a也模n同余。
3. 传递性：如果a ≡ b (mod n)，b ≡ c (mod n)，则a ≡ c (mod n)，即若a与b模n同余，b与c模n同余，那么a与c也模n同余。
二、模运算的计算方法模运算是指用除法计算一个数除以另一个数的余数，常用符号为“mod”。
模运算的计算方法如下：1. 加法：若(a+b) mod n = c ，则(a mod n + b mod n ) mod n = c mod n。
2. 减法：若(a-b) mod n = c ，则(a mod n - b mod n ) mod n = c mod n。
3. 乘法：若(a*b) mod n = c ，则(a mod n * b mod n ) mod n = c mod n。
4. 除法：若(a/b) mod n = c ，则(a mod n / b mod n ) mod n = c mod n。
三、应用实例同余定理与模运算在实际应用中有广泛的应用。
以下列举两个具体的实例：1. 密码学中的应用：同余定理用于密码学中的RSA算法，其中大素数的选择和快速幂取模运算是该算法的核心步骤。
第2章 同余一
下面我们定义同余类的加法以及乘法，并揭示出其可能
的带式结构。
定义2.1.4 设a，b为模m的同余类，定义加法（“⊕”）为
a b a1 b1，其中 a1 a, b1 b ；
定义乘法（“”）为
d 1 2 4 5 10 20
a : ( a ,20)=d 1 ，3 ，7 ，9 ，11 ，13，17，19 2 ，6 ，14，18 4 ，8 ，12，16 5 ，15 10 20
定义2.1.3 n个整数 a1 , a2 , , an 叫作模n 的完全剩余系（简称 完系），是指 a1 , a2 , , an 彼此模 n 不同余。
1 1 10 10 1(mod11) × ≡×≡ ，
这意味着 1, 1 0 模11 的逆元均为本身；而 26× ≡ 34× ≡ 59× ≡ 78 1 × ≡ (mod11) ， 即 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 分成 11 3 4 2
−
= 对：2 和6 ，3 和4 ，5 和9 ，7 和8 ，
我们把形如ax =xa ≡ 1(mod m)的整数称为a模m的逆元 （简称a的逆）。
推广的Euclid算法
定理2.1.4` 设 m N ，若(a, m)=1，则a在模m的意义下 存在唯一的逆元； 若(a, m) ≠ 1，则a没有模m的逆元。
前述的性质并不十分困难，但却是重要的。我们可以 举出如下的例证： 整系数多项式同余方程 an xn a1x a0 0 mod m 是 同余理论中的一个核心课题，从前述的基本性质中，我们 至少可以推知以下的认识： (1)若 x0 为 f x 0 mod m 的解，则 y x0 mod m ，都 有 f y 0 mod m ，也就是整系数多项式同余方程的解数 是模的意义下的； (2) 一 次 同 余 方 程 ax ≡ b(mod m) ， 在 (a, m)=1 时 的 解 1 a 为 b mod m ，此时解数在模m的意义下为1； n (3)若 m, an 1，则an x a1x a0 0 mod m xn an1an1xn1 an1a1x an1a0 0 mod m 与 是同解方程； f x 0 mod ml 的解必为 f x 0 mod m 的解， (4)若 l N ， 这就为探讨解的结构提供了一种可能性。
同余的概念与性质
同余的概念与性质同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。
性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。
性质2：同余关系满足下列规律：（1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡；（2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。
性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则).(mod ),(mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++推论： 设k 是整数，n 是正整数，（1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。
（2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。
性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。
性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。
性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。
性质7：若)(mod m b a ≡，且m m |1，则)(mod 1m b a ≡。
性质8：若)(mod i m b a ≡，s i ,,2,1 =，则]),,,(mod[21s m m m b a ≡这里],,,[21s m m m 表示s m m m ,,,21 的最小公倍数。
初等数论 同余
注意：这条与前面的(5)的推论和(7)不同, 模变了. 证明： m | (a－b) => km | k(a－b)
a b m a b mt t. d d d
2013年11月13日10时5分
我喜欢数学
性质(9)
若 a ≡b (mod m1), a ≡b (mod m2), m=[ m1, m2 ], 则 a ≡ b (mod m) . 证明： 由充要条件, 有 m2 | (a－b)， m1 | (a－b)
2013年11月13日10时5分
性质的应用：
由 10≡1（mod 9），有 102≡12（mod 9）， 103≡13（mod 9），…，10n≡1n（mod 9）,
an an 1 a2 a1a0 an 10n an 1 10n 1 a1 10 a0 an an 1 a1 a0 (mod 9).
性质⑺ 同余式的“除”.
性质⑻⑼⑽
涉及模的改变！分别与a，b和m的约 数，倍数，公约数，最小公倍数有关.
性质⑾是关于a，b和m最大公约数的。
2013年11月13日10时5分
例 2
分析
今天是星期二，101000天之后的那天是星期几？
由于1乘a为a ，1n=1，先求得某数的n次幂与1对模同余 是非常方便的. 我们已知 7 | 1001, 即103 ＋1≡0 (mod 7), ， 103 ≡－1(mod 7), 得106 ≡1 (mod 7).
又23m1 2(mod 7)， 从而当且仅当
23m 2 4(mod 7),
n 3m时, 7 2n 1.
（2）由23m 1 2(mod 7)，3m 1 1 3(mod 7), 23m 2 1 5(mod 7), 2 可知，对任何正整数n, 2n 1不能被7整除.
数论中的同余与模运算
数论中的同余与模运算在数学中，同余和模运算是数论的基础概念。
同余关系在数论研究中有着重要的地位，而模运算则是在同余关系中常用的运算方式。
本文将介绍同余与模运算的概念、性质和应用。
通过学习，读者将深入理解同余与模运算的内涵，并了解它们在数论中的重要性。
一、同余的概念和性质1.1 同余的定义在数论中，两个整数a和b称为同余（记作a≡b(mod n)），当它们除以一个正整数n所得的余数相等。
换句话说，如果a和b满足(a-b)能被n整除，那么a与b就是同余的。
1.2 同余的性质同余关系具有以下性质：（1）自反性：对于任意整数a，有a≡a(mod n)；（2）对称性：如果a≡b(mod n)，则b≡a(mod n)；（3）传递性：如果a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)。
同余关系的性质使得它可以运用在数论的证明和计算中。
二、模运算的定义和性质2.1 模运算的定义模运算（记作a mod n）是指将整数a除以正整数n所得的余数。
模运算可以用符号%来表示。
2.2 模运算的性质模运算具有以下性质：（1）a mod n的结果为非负整数且小于n；（2）(a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n；（3）(a-b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n；（4）(a*b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n。
模运算的性质使得我们可以进行整数的加减乘运算，并保证结果与同余关系性质一致。
三、同余与模运算的应用3.1 同余的应用同余关系在数论中的应用非常广泛，特别是在证明和计算问题中。
其中最为常见的应用是在数的整除性质的研究中。
同余关系能够帮助我们判断一个数是否能被另一个数整除，以及计算除法的余数等。
3.2 模运算的应用模运算广泛应用于计算机科学、密码学等领域。
在计算机科学中，模运算可以用来解决整数溢出的问题，简化编程运算，并实现循环计数等功能。
同余的概念及其基本性质
学院学术论文题目: 同余的概念及其基本性质学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：摘要：初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。
它以算术方法为主要研究方法，在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。
同余概念的产生可以说大大丰富了数学的内容。
同余是数论中的一个基本概念，同余的应用，一：检查因数的一些方法；二：弃九法。
在本专题的学习中，培养我分析推理解决问题的能力，理解问题的实质。
关键字：同余整数算术Summary：The number of elementary number theory is to study the law, in particularinteger nature of the branch of mathematics. It arithmetic method as the main research methods in their daily lives, we are often not to pay attention to some integer, but these numbers with a fixed a number of removal from the remainder. I created the concept of the same can be said to have greatly enriched the content of mathematics. Number theory congruence is a basic concept of the application with more than one: Check factor of some of the ways; 2: abandoned nine law. In the topic of study, training my analysis reasoning ability to solve problems, understand the essence of the problem.Keyword ：Congruence Integer Arithmetic引言数论是研究整数性质的一门学科，它是数学中最古老的分支之一，内容极为丰富，曾被数学家说成是数学的皇后。
同余问题口诀的原理
同余问题口诀的原理（实用版）目录1.同余问题的定义与基本概念2.同余问题口诀的原理3.同余问题的解法及应用举例4.总结与拓展正文一、同余问题的定义与基本概念同余问题是指在模运算下，两个或多个整数之间的关系。
若整数 a、b 除以整数 m，所得的余数相同，则称 a、b 对模 m 同余。
同余关系用符号“≡”表示，如 a≡b(mod m)，读作“a 同余于 b 模 m”。
二、同余问题口诀的原理同余问题口诀，也被称为“同余定理”或“欧拉定理”，是数论中解决同余问题的重要方法。
其原理如下：若 a≡b(mod m)，则 a^φ(m)≡b^φ(m)(mod m)，其中φ(m) 表示模 m 的欧拉函数值，即小于等于 m 的与 m 互质的正整数的个数。
三、同余问题的解法及应用举例利用同余问题口诀，我们可以轻松地解决许多同余问题。
下面举一个典型的例子：问题：有一个自然数，用它分别去除 63、90、103，都有余数，且三个余数的和是 25。
这三个余数中最大的一个是多少？解：设这个自然数为 x，则根据题意可列出以下三个同余式：x ≡ 1 (mod 63)x ≡ 1 (mod 90)x ≡ 23 (mod 103)由同余问题口诀，我们有：x ≡ 1^φ(63) (mod 63)x ≡ 1^φ(90) (mod 90)x ≡ 23^φ(103) (mod 103)其中，φ(63) = 17，φ(90) = 18，φ(103) = 19。
因此，我们可以将原问题转化为求解以下三个同余式：x ≡ 1 (mod 63)x ≡ 1 (mod 90)x ≡ 23^19 (mod 103)解得 x = 63k + 1 = 90m + 1 = 103n + 23^19，其中 k、m、n 均为整数。
由于三个余数的和是 25，我们有：1 + 1 + 23^19 ≡ 25 (mod 103)即 23^19 ≡ 23 (mod 103)因此，最大的余数为 23。
同余关系的概念与定理
同余关系的概念与定理同余关系是离散数学中一个重要的概念，它在数论、代数和密码学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍同余关系的概念和相关定理。
一、同余关系的概念同余关系是数论中的一个基本概念，它描述了两个数之间的整除关系。
具体来说，给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相同，即a和b对m同余，记作a≡b(mod m)，则称a和b关于模m同余。
二、同余关系的性质同余关系具有以下三个性质：1.自反性：对于任意整数a，a≡a(mod m)恒成立。
即任意整数与自身关于模m同余。
2.对称性：对于任意整数a和b，若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
即若a与b关于模m同余，则b与a关于模m同余。
3.传递性：对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
即若a与b关于模m同余，且b与c关于模m同余，则a与c关于模m同余。
三、同余关系的定理1. 除法定理：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和r，使得a=qm+r，其中0≤r<m。
即任意整数a可以表示为以m为模的除法形式。
2. 模运算性质：- 同余类的性质：对于任意整数a和正整数m，a关于模m的同余类可以表示为[a]m={b∈Z | b≡a(mod m)}，其中Z表示整数集合。
同余类[a]m是所有与a关于模m同余的整数构成的集合。
- 同余的运算性质：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡a' (mod m)且b≡b' (mod m)，则有a+b≡a'+b' (mod m)，a-b≡a'-b' (mod m)，ab≡a'b' (mod m)。
3. 唯一性定理：对于给定的整数a、b和正整数m，存在整数x，使得a≡b (mod m)的充分必要条件是a和b对m的余数相同。
即a和b关于模m同余的充分必要条件是它们对m的余数相同。
4. 同余定理：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡b (mod m)，则a^n≡b^n (mod m)，其中n是正整数。
初等数论期末复习
2015年5月8日9时1分
二、剩余类与剩余系
定理2.2.1 设m为正整数，则全部整数可分成m个 集合,记作[0]，[1]，…，[m－1]，其中[r] (0 ≤ r ≤m－1)是由一切形如 mq + r (q∈Z) 的整数所组 成的，并且具有下列性质： (1)每一整数必包含在而且仅在上述的一个集合中.
(2) x3 + 2x－12≡0 (mod7)． 0, 1, …, 6逐一代入(2) 求解
定义: 如果 a , b 都是整数， m 是一个正整数，那么 当 a ≡ 0 ( mod m）时，我们把 ax ≡ b ( mod m ) 叫做 模m的一次同余方程（或同余式） . 定理 3.1.1 若设m为正整数, a , b为整数, (a，m)=1，
一次同余方程有解的解法 一、欧拉定理法解一次同余方程
定理 3.1.2 若 m 为正整数, a , b为整数, (a， m)=1，则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )的唯 m 1 一解为 x ba mod m .
二．同余变形法（系数消去法）
根据同余性质，施行适当的变形求解a≡b(modm):
第二章
同余
一、同余的概念及基本性质
1、同余的概念:
定义2. 1
设m为正整数，称为模。若用m去除两 个整数 a 和 b 所得的余数相同，则称a 和b 对模 m 同余, 记作 a ≡b (mod m). （ 1） 读作a 同余于b 模m。 若a 和b 除以m 所得余数不同，则称a， b 对模m 不同余，记作 a b (mod m).
2015年5月8日9时1分
E
New
弃九法
正整数四则运算(含乘方) 的快速验算方法
若通过计算，a、b的和与积分别是s与p. 而r1、r2、
同余的概念及其基本性质
4.证明：641 232 1 解：依次计算对模641的同余数
22 4，24 16，28 256， 216 256 256 154(mod641) 232 154 154 1(mod641) 232 1 0(mod641)
5.设a为奇数，则a2n 1(mod 2n2 ) (n 1). 解：设a = 2m 1， 当n = 1时，有 a2 = (2m 1)2 = 4m(m 1) 1 1 (mod 23)（*）成立。 设式(*)对于n = k成立，则有
a2k 1(mod 2k2 ) a2k 1 q 2k2 所以 a2k1 (1 q 2k2 )2 1 q 2k3 q2 2(k2)2 记 1 q'2k3 1(mod 2k3 ),q' Z. 这说明式(*)当n = k 1也成立。由归纳法得证.
一般地，求a bc 对模m的同余的步骤如下： ① 求出整数k，使ak 1 (mod m)；
② 求出正整数r，r < k，使得bc r (mod k)；
③ abc ar (mod m)
——减小幂指数
练习：若a Z ,证明 10|a1985 a1949 . 提示：a5 a(mod10)
一、问题的提出 1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？ 2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？
3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
信息安全数学基础 第二章 同余
性质2.2
设 m N , a b(mod m), c d (mod m), k Z
（1）ax cy bx dy(mod m)特别的： k b k (mod m) a
（2）ac bd (mod m) 特别的： ak bk(mod m) 以及： n N , a n b n (mod m)
2.2 同余的应用
凯撒密码 Caesar Cipher
移位密码、加法密码
A B C D E F Z A B C D E F W X Y Z A B C
X Y Z
A B C D E F
y≡x+3(mod 26)
仿射密码 Affine Cipher
y≡ax+b(mod26)
尝试解密：casear
2.3 剩余类（系） Residue
同余是一种等价关系 =〉可以借助同余实现 划分
m N , a Z ，令Ca={c| c Z , a c(mod m)}
定理2-1
(1)任意整数都包含于一个Cr中，0≤r≤m-1
(2)Ca=Cb <=> a b(mod m)
10002k+1≡-1(mod7), 10002k≡1(mod7) 若n=am1000m+am-11000m-1+…+a11000+a0
对于637592≡692-637=55=6(mod7)
2.1 同余的基本概念与性质
扩展：怎样快速判断一个数可以被19整除？
提示：凑成19的倍数
2位数字？
对于p=3，若p≡1(mod3)，则p+14≡0(mod3)，排除 若p≡2(mod3)，则p+10≡0(mod3)，排除
同余理论—同余的概念与同余基本性质(小学数学课件)
则有：127156 = 5056 = 5054 × 502 = 5027
2
× 502
又因为502 ≡ 58 111 ，503 ≡ 14 111 ，509 ≡ 80 111 ，
（509 ）3 ≡ 68（111）， 5027
2
× 502 ≡ 16（111）
即可得（16 + 34）28 除以111
5028 = 5027 × 50 ≡ 68 ×50（mod111）≡ 70（111）
同余基本性质在小学中的应用
例1.求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而应得到，即
437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢？
(mod m)。
1.可加性
a c b d (mod m)
；
2.可乘性
ac bd (mod m);
3.可幂性
ak ≡ bk (modm).
同余基本性质的运用
例1.今天是星期日，过20042004 天后的今天是星期几？
分析：20042004 这个数很大，我们很难直接判断7除20042004 的余数是几。现在我们想办法把
20042004 变小。首先考虑的是7除底数2004的余数是几，利用这个余数替换底数2004，然后降次，
反复进行这个过程，直至去掉指数。
解：
因为2004=7×286+2，所以2004≡ 2 7 .由同余的性质，
又20042004 ≡ 22004 (7）
而22004 = 8668 ，所以22004 ≡ 8668 (7）
又因为8 ≡1(7），所以8668 ≡ 1668 7
同余问题知识点讲解
千里之行，始于足下。
同余问题学问点讲解同余问题是数论中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
同余问题的定义是：对于给定的整数a、b和正整数m，假如a-b能够被m整除，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余问题的本质是数的剩余，即两个数除以某个正整数得到的余数相等。
通过同余问题的争辩，可以得到一些有关数的性质和关系。
同余问题有一些基本性质：1. 若a≡b (mod m) ，则对于任意的正整数k，有 a+k*m≡b+k*m (mod m) ，即同余关系对加法成立。
2. 若a≡b (mod m) ，则对于任意的正整数k，有 a*k≡b*k (mod m) ，即同余关系对乘法成立。
3. 若a≡b (mod m) ，且b≡c (mod m) ，则 a≡c (mod m) ，即同余关系对传递成立。
4. 若a≡b (mod m) ，则 a^n ≡ b^n (mod m) ，即同余关系对幂运算成立。
基于同余性质，我们可以进行一系列的运算和推导。
首先，同余问题可以用来简化计算。
例如，对于不便利计算的大数，可以通过取模运算将其转化为较小的数进行计算，而不转变其同余关系。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
同余问题还可以用来求解方程。
例如，对于形如ax≡b (mod m) 的方程，可以通过同余性质进行变形和推导，得到方程的解。
同余问题在密码学中也有重要应用。
例如，RSA算法中的模运算就是基于同余问题的。
同余问题还可以用来进行数字签名和数据加密等操作。
同余问题还与模运算有亲密的关系。
模运算是将一个数除以另一个数得到的余数，而同余问题是比较两个数的余数是否相等。
通过同余问题，可以推导出一些模运算的性质和规章。
最终，同余问题还有一些重要的定理，如中国剩余定理、费马小定理等。
这些定理在数论和密码学中有广泛的应用。
总结起来，同余问题是数论中的一个基本概念，它争辩的是两个数取模后的余数是否相等。
通过同余问题的争辩，可以推导出一些有关数的性质和关系，用来简化计算、求解方程、进行密码学操作等。
数论中的同余关系
数论中的同余关系数论作为数学的一个分支，研究的是整数及其性质。
其中，同余关系是数论中一个重要的概念。
本文将就数论中的同余关系进行探讨，以便深入理解这一概念。
1. 引言在数论中，同余是指两个整数除以一个给定的正整数所得的余数相等。
形式化定义为：对于整数a、b和正整数m，如果m|(a-b)，即m能被a-b整除，那么就称a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)，读作“a 同余于b模m”。
同余关系具有如下性质：(1) 自反性：对于任意整数a和正整数m，a≡a(mod m)；(2) 对称性：对于任意整数a、b和正整数m，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)；(3) 传递性：对于任意整数a、b、c和正整数m，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。
2. 同余关系的性质同余关系具有一些重要的性质，这些性质对于解决数论问题非常有用。
(1) 同余的基本性质：- 同余关系是等价关系。
即满足自反性、对称性和传递性。
- 设a≡b(mod m)，那么对于任意的整数k，a+km≡b(mod m)。
- 设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)和ac≡bd(mod m)。
(2) 同余的运算性质：- 加法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)。
- 减法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a-c≡b-d(mod m)。
- 乘法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)。
(3) 欧拉定理：欧拉定理是数论中的一个重要结果，描述了同余关系与指数运算之间的关系。
- 设a和m是两个互质的正整数，那么a^φ(m) ≡ 1(mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数。
3. 同余方程同余关系在解决某些问题时，经常涉及到同余方程的求解。
同余方程是指形如ax ≡ b(mod m)的方程，其中a、b和m都是整数，求解的目标是找到整数x满足这个方程。
论同余理论在生活中的应用
论同余理论在生活中的应用作者：张双红，高亚楠来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》 2017年第11期摘要：同余概念是初等数论的重要组成部分之一，同余的相关定理在初等数学中也占有重要的地位. 本文从同余的基本概念、基本性质、相关定理及同余式的解法出发，结合具体实例给出了同余式在生活的一些应用，如RSA 算法、检验判断整除等问题。
关键词：同余；孙子定理；整除doi:10.16083/ki.1671—1580.2017.11.053中图分类号：O156.1 文献标识码：A 文章编号：1671—1580（2017）11—0181—031.引言数学从古至今一路走来，伴着人类精神文明和物质文明的发展越走越广阔，越来越精深。
在这个信息交织、通讯技术高速发展的今天，数学已经不仅仅止步于是一种有效的工具和精确的语言，而是一门会令人十分着迷潜心研究的科学，更是一种先进文化的体现。
而同余理论是数论里的核心内容之一，是解决整数问题的有效手段。
十九世纪初，现代数论第一人的数学家高斯，出版了《算术研究》一书，并在其中提出了同余的概念及一次同余式组的解法，极大地丰富了数学的内容，为现代同余理论的发展奠定了牢固的基础。
［1］同余理论在初等数论中占有重要的地位，是研究整数问题的重要手段，同时，同余理论在日常生活的也有重要的地位。
［2］［3］2.同余的基本概念、性质与基本定理2. 1同余的概念定义1.1.1［4］给定一个正整数m，把它叫做模。
如果用m 去除任意两个整数a 与b 所得的余数相同，我们就说a，b 对模m同余，记作a ≡b(modm) 。
如果余数不同，我们就说a，b 对模m 不同余，记作a ?b(modm) 。
或整数a ，b 对模m 同余的充分与必要条件是m|(a -b) ，即a =b +mt ，t 是整数。
2. 2同余的基本性质［4］甲a ≡a(modm) .3. 2运用同余性质检验判断整除问题在我们过去的学习中，已经学过如何验证一个整数是否能被2 或者5 整除，即一个十进位整数的个位上的数码能被2 或者5 整除。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 同余
同余是由大数学家高斯引入的一个概念．我们可以将它理解为“余同”，即余数相同．正如奇数与偶数是依能否被2整除而得到的关于整数的分类一样，考虑除以m （≥2）所得余数的不同，可以将整数分为m 类．两个属于同一类中的数相对于“参照物”m 而言，具有“余数相同”这个性质．这种为对比两个整数的性质，引入一个参照物的思想是同余理论的一个基本出发点．
同余是初等数论中的一门语言，是一件艺术品．它为许多数论问题的表述赋予了统一的、方便的和本质的形式．
2．1 同余的概念与基本性质
定义 如果a 、b 除以m （≥1）所得的余数相同，那么称a 、b 对模m 同余，记作a ≡b （mod m ）．否则，称a 、b 对模m 不同余，记作a b ≡（mod m ）．
性质1 a ≡b （mod m ）的充要条件是|m a b －．
性质2 若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），则a ＋c ≡b ＋d （mod m ），a －c ≡b －d （mod m ），ac ≡bd （mod m ）． 证明 这些结论与等式的一些相关结论极其相似，它们都容易证明．我们只给出第3个式子的证明． 只需证明：|m ac bd －．
因为ac －bd ＝ac －bc ＋bc －bd
＝（a －b ）c ＋b （c －d ）
由条件|m a b －，|m c d －，知|m ac bd －．
说明 与同余有关的许多结论都要用到性质1，事实上，很多数论教材中利用性质1来引入同余的定义．
性质3 若a ≡b （mod m ），n 为正整数，则()mod n n a b m ≡．
性质4 若a ≡b （mod 1m ），a ≡b （mod 2m ），则a ≡b （mod ［1m ，2m ］）．
性质5 若ab ≡ac （mod m ），则()mod m b c a m ⎛
⎫≡ ⎪ ⎪⎝⎭
，． 在同余式两边约去一个数时，应将该数与m 的最大公因数在“参照物”中同时约去．
性质6 如果（a ，m ）＝1，那么存在整数b ，使得ab ≡1（mod m ）．这个b 称a 对模m 的数论倒数，记为()1mod a m －，在不会引起误解时常常简记为1a －．
证明 利用贝祖定理，可知存在整数x 、y 使得ax ＋my ＝1．
于是，|1m ax －
，即()1mod ax m ≡，故存在符合条件的b ． 说明 由数论倒数的定义，易知当（a ，m ）＝1时，()()11mod a
a m ≡－－．
例1 求所有的素数p 、q 、r （p ≤q ≤r ），使得
pq ＋r ，pq ＋2r ，qr ＋p ，qr ＋2p ，rp ＋q ，rp ＋2q 都是素数． 解：若p ＞2，则p 、q 、r 都是奇数，此时pq ＋r 是一个大于2的偶数，矛盾，故p ＝2．现在，数2q ＋r ，2q ＋2r ，qr ＋2，qr ＋4，2r ＋q ，2r ＋2
q 都是素数．
若q 、r 中有偶数，则qr ＋2为一个大于2的偶数，矛盾，故q 、r 都是奇素数．若q ＞3，则3qr ．此时，若()1mod3qr ≡，则()20mod3qr ≡＋，与qr ＋2为素数矛盾；若qr ≡2()mod3，则()40mod3qr ≡＋，与qr ＋4为素数矛盾，故q ＝3．这样，数
6＋r ，6＋2r ，3r ＋2，3r ＋4，2r ＋3，2r ＋9
都是素数．
若r ≠5，则()0mod5r ≡，但分别当1r ≡，2，3，4（mod5）时，对应地，数3r ＋2，3r ＋4，2r ＋9，6＋r 为5的倍数，矛盾，故r ＝5．
直接验证，可知它们满足条件，所求的素数为
p ＝2，q ＝3，r ＝5．
例2 设n 为大于1的正整数，且1！，2！，…，n ！中任意两个数除以n 所得的余数不同．证明：n 是一个素数．
证明：注意到，()!0mod n n ≡，而n ＝4时，有2！()3mod4≡！．因此，
如果能够证明：当n 为大于4的合数，都有()()1!0mod n n ≡－，就能依题中的条件导出矛盾，从而证出n 为素数．
事实上，若n 为大于4的合数，则可对n 作分解，变为下述两种情形．
情形一 可写n ＝pq ，2≤p ＜q ，p 、q 为正整数，这时1＜p ＜q ＜n －1，从而()|1!pq n －， 即()()1!0mod n n ≡－．
情形二 当2
n p ＝，p 为素数时，由n ＞4，知p ≥3，故11＜p ＜2q ＜（n －1），从而p · （2p ） ()|1!n －，于是，()()1!0mod n n ≡－．
综上可知，n 只能是素数．
说明 反过来，当n 为素数时，并不能保证1！，2！，…，n ！中任意两个数对模n 不同余．例如p ＝5时，()31mod5≡！！．
例3 设整数x 、y 、z 满足
()()()x y y z z x x y z －－－＝＋＋． ①
证明：x ＋y ＋z 是27的倍数．
证明：考虑x 、y 、z 除以3所得的余数，如果x 、y 、z 中任意两个对模3不同余，那么
()0120mod3x y z ≡≡＋＋＋＋，
但是()()()3x y y z z x －－－，这与①矛盾．
现在x 、y 、z 中必有两个对模3同余，由对称性，不妨设()mod3x ≡，
这时由①式知 3|x y z ＋＋，
于是 ()()2mod3z x y x x ≡≡≡－＋－，
这表明 ()mod3x y z ≡≡，
从而由①式知 27|x y z ＋＋．
例4 是否存在19个不同的正整数，使得在十进制表示下，它们的数码和相同，并且这19个数之和为1999？
解：此题需要用到一个熟知的结论：在十进制表示下，每个正整数与它的数码和对模9同余．（这个结论只需利用()101mod9k ≡即可得证）
若存在19个满足条件的不同正整数，则由它们的数码和相同（设这个相同的数码和为k ），可知()199919mod9k ≡，故()1mod9k ≡．又这19个数之和为1999，故其中必有一个数不大于199919
，即有一个数≤105，所以k ≤18．结合()1mod9k ≡，知k ＝1或10． 若k ＝1，则这19个数为1，10，100，…，和不可能为1999，所以，k ＝10．而当k ＝10时，最小的数码和为10的20个正整数是
19，28，37，…，91，109，118，127，…，190，208．
前面19个数之和为1990，故符合要求的19个正整数中必有一个≥208，此时
这19个数之和≥208＋（19＋28＋…＋91）＋（109＋118＋127＋…＋181）＝2198＞1999， 矛盾．
所以不存在19个不同的整数满足条件．
例5 设m 、n 、k 为正整数，n ≥m ＋2，k 为大于1的奇数，并且×21n
p k ＝＋为素数， 2|21m p ＋．证明：()121mod n k p ≡－．
证明：由条件知()221mod m
p ≡－，而n ≥m ＋2，故12m ＋是12n n •－的因数，所以， ()()122211mod n t n p •≡－－＝（这里22n m t n •－－＝）
． 现在，由()21mod n k p •≡－，知()()111222211mod n n n n k p ••≡－－－－＝，结合上面的结论，即可得
()121mod n k p ≡－．
说明 本题的背景是讨论费马数（形如221m m F ＝＋的数为费马数）的素因数的性质．
例6 设m 为正整数，证明：存在整数a 、b 、k ，使得a 、b 都是奇数，而k ≥0，并且
2011201122m a b k •＝＋＋． ①
证明：①式等价于（在左边不小于右边的情形下）
()20112011
2mod 2m a b ＝＋． ② 我们先证明：满足②的奇数a 、b 是存在的．
注意到，对任意奇数x 、y ，有()()111110910x y x y x x y y ⋯－＝－＋＋＋，
上式右边10910x x y y ⋯＋＋＋是11个奇数之和，它应为奇数，因此，()
111120110mod 2x y ≡－ ()2011mod 2x y ⇔≡．
这表明：在2011mod 2的意义下，数20111，20113，…，20111121（－）是 数1，3，5，…，201121－的一个排列，从而，存在奇数0b ，使得()112011021mod 2b m ≡－．
现在，取一个充分小的负奇数b ，使得 ()20110mod 2b b ≡，且11
21m b －－≥0，则 ()1111
2011021210mod 2m b m b ≡≡－－－－，于是，令()1120112112m b a b k b ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－，，＝，，，则符合①．
所以，满足条件的a 、b 、k 存在．。