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分式及分式方程复习讲义汇总
分式及分式方程教学目标：1 •掌握分式概念、性质及运算.2 •掌握分式方程的概念、解法、及增根问题.一、知识回顾知识点1:分式及分式概念分式：分母还字母的代数式：易辨错的分式有: 分式方程：分母含字母的方程叫分式方程.知识点2:分式性质易错点1约分，找 公因式，同时约去分子分母的公因式•用的是分式的除法性质 易错点2通分，找 最简公分母，化异分母为同分母，用的是分式的乘法性质.知识点3:解分式方程1 •思路：去分母，变分式方程为整式方程求解，记得验根.2 .易淆点(1) 把分子分母中的分数，小数变成整数时，是分子分母同时扩大多少倍，用的是分式的性质； (2) 去分母，方程的每项同乘分母的最简公分母，用的是等式性质； 3.增根问题增根的概念：是 整式方程的根，同时又使最简公分母为 0的根叫增根，必须满足这两个条件. 常考题型：求含参数的增根问题. ♦课前热身1. 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式?分式： ______________________ ；整式 _____________________ ；2. 当x ___________ 时，分式 土N 有意义；当x ____________ 时，分式 ：_2无意义.x —3 x 一42x — 43. 若分式 ------- 的值为0,那么 _______________ .X +1-1等. x①x '②:’③為’④写’⑤亡’⑥2x 2x1 x 2 -2x 12⑦c" a-b ，⑧—，⑨(x-1)，x27a1 =2a1a 1a 1； 2a -4 a — 28.下列关于x 的方程，是分式方程的是（）2 xc 3 xx-1 cx a b x(x-1)2彳A._3 一 B. ------- =3—XC.=— ——D.15 67 a a ba bX -1x - a 3 9. 若关于x 的分式方程 ----- - 一=1有增根，则a= ____________x -1 xx 510. 解下列分式方程：1 ；2x —5 5—2x分式部分 二、例题辨析的值为正数，则x 的取值范围是（）xA. x >0B. x >-4C.x M0 D. x >-4 且 x M0如果把分式 中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ x+yA .不变B .变大3倍C .缩小3倍 D.无法确定(1 )当 x_____________ 时，分式 的值为负数. 12 —6x 4.填空（1）3x 2 x 22x()x 2(2)（—）；（x y ）2(3)a 2 - ab a - b ab ( ______ )5.化简:3a 2b 3 -12ab 23a 2b(m -1) 29ab (1 - m)(3)2m - 2m 1 1 -m 26.计算:6a 2y 2 8y 3a 7a 2 1 _a —2 a 2 2a练习1 1⑵2x 求练习 2a例4例3)的值. 2 —X化简求值：若x 二上33-3x 3(xx -2计算 (1)(1) a2 —2 —ax -3 3 x 2 -1 1 - x化简求值(一a-a —b a —2ab +b八其中 a ^,b _3.(2 )不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数1 2 x y ① 2__3： 1 1x y 3 4_ 0.2a _0.03b② ^40-^x -3 x 3练习: 2x(1)把分式中的x 和y 都扩大3倍，分式值x + y7二・：1.区别分数与分式：分数是一个具体的数，是整式•分式的分母一定含有字母，是分式,2. 分数与分式在形式上相近，性质上也类似，所以由熟悉的分数来类比学习和理解分式的性质和运算3. 分式的运算中，分子分母能因式分解的要先分解因式四、拓展延伸11 1 a b例5 1.如果分式_ •一 =——，那么_ . _的值为（a b a b b aA.1B.-1C.2D.-22.已知：一」=5 ,求2x —3xy 2y的值.提示：整体代入，①x • y =3xy，②转化出一」.x y x+2xy+y x y2 2a b a ab b1.若实数a、b满足:2 r 2的值为b a a24ab b21已知x2 -3x ^0,求X4•飞的值.x若x+ 一 =3,求的值.x x+x+1分式方程部分提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根若关于x 的分式方程 —=1 -旦有增根，求m 的值.x —3x —36 x 十51.若分式方程一6 有增根，则增根是(x —1 x (x —1)A. x = 1B. x = 1 和 x = 0C. x = 0D.无法确定解下列分式方程(1)0.2 0.1x -0.3丄=0 ；(3)「亠=1x —1 x -1(2)亠 _2= °4x~3 0・1x~0・32.若关于x 的方程x 1 2x -x1 3x有增根，求增根和 k 的值.五、作业与思考x • 7 x ■ 9 x 10 x 6 x 6 x 8x 9 x 5提示：（1）换元法，设—y ；（ 2）裂项法,x +13. m 为何值时，关于 x 的方程mx2x -2 x 「4会产生增根?(1) x 4x - 4----- + --------x 1 x。
分式讲义
《分式》讲义一．考点解析考点1：分式的运算1．分式：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B为分式． 注：（1）若B ≠0，则A B 有意义；（2）若B=0，则A B 无意义；（2）若A=0且B ≠0，则A B =0 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为：（其中M≠0）3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算． 分式的加、减法法则c a ±c b =c b a ±，b a ±d c =bd ad ±bd bc =bdbc ad ±. 6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．分式的乘、除法法则b a ·dc =bd ac ，d c b a ÷=b a ·c d =bcad . 7. 分式的乘方法则：分式的乘方就是把分子、分母各自乘方分式的乘方法则nb a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b a (n 为正整数) 8通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．9分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．10于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．考点2：分式方程及其应用1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l 增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．4.解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：① 去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；② 解这个整式方程；③ 验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.5.列分式方程解应用题的一般步骤：（1） 审：审清题意；（2） 设：设未知数；（3） 找：找出等量关系；（4） 列：列出分式方程；（5） 解：解这个分式方程；（6） 验：既要验证根是否为原分式方程的根，又要检验根是否符合题意；（7） 答：写出答案.二、经典考题剖析：例１ 当x 取何值时，下列分式有意义？(1)51-x ； (2))2)(5(2+-+x x x ； (3)3||92+-x x ； (4)x111+． 解 (1)要使分式51-x 有意义，必须x －5≠0, ∴ x ≠5.∴ 当x ≠5时，分式51-x 有意义． (2)要使分式)2)(5(2+-+x x x 有意义，必须 (x －5)(x ＋2)≠0, ∴ x ≠5且x ≠－2, (3)要使分式3||92+-x x 有意义，必须|x|＋3≠0.∵ |x|＋3＞0, ∴ x 取任意数时，分式3||92+-x x 都有意义． (4)要使分式x 111+有意义，必须1＋x 1≠0, x ≠－1, x ≠0, x ≠0.∴ 当x ≠－1且x ≠0时，分式x111+有意义． 例２ (1)x 为何值时，分式62||2-+-x x x 的值为零；(2)x 为何值时，分式512-+x x 的值为－1. 解 |x|－2＝0, …… ① x 2＋x －6≠0,…… ②解①式得x ＝±2，解②式得(x －2)( x ＋3)≠0,即x ≠2且x ≠－3.∴ x ＝－2.当x ＝－2时，分式62||2-+-x x x 的值为零． 2x ＋1＝－(x －5), …… ① x －5 ≠0, …… ②由①得 2x ＋1＋x ＝5,即x ＝34， 由②得x ≠5，∴ x ＝34时，分式512-+x x 的值为－1. ∴ (2) 由题意得 (1) 由题意得例３ 若分式xx x +-||1||的值为零，求x 的值． 解 ∵ 分式xx x +-||1||的值为零， |x|－1＝0, …… ① |x|＋x ≠0, …… ②由①式得|x|＝1, ∴ x ±1．当x ＝1时，|x|＋x ＝|1|＋1＝2≠0,满足②式；当x ＝－1时，|x|＋x ＝|－1|－1＝0,不满足②式；∴ x ＝1.例４ 若分式xx +-12的值为负数，试确定x 的取值范围． 分析 分式xx +-12值为负数，即分式的分子2－x 与分母1＋x 的符号相反． 解 ∵ xx +-12＜0, ∴ 分子2－x 与分母1＋x 的符号相反，2－x ＞0, 2－x ＜0, 1＋x ＜0， 1＋x ＞0.x ＜2, x ＞2, x ＜－1, x ＞1．∴ x ＜－1或x ＞2,∴ x 的取值范围是x ＜－1或x ＞2．例５ 不改变分式的值，把下列各式中的分子、分母的各项系数都化为整数． (1)x y y x 31413251-+； (2)b a b a +-2.05.03.0． 解 (1)x y y x 31413251-+＝60)3141(60)3251(⨯-⨯+x y y x ＝x y y x 20154012-+； (2)b a b a +-2.05.03.0＝10)2.0(10)5.03.0(⨯+⨯-b a b a ＝ba b a 10253+-. 说明 解决这类问题，一般用下列方法：若分子、分母中各项系数都为分数，则分子、分母都乘以各项系数中分母的最小公倍数；若分子、分母中各项系数都是小数，则分子、分母同时乘以10n ；若分子、分母中各项系数有分数，又有小数，则把小数化为分数，再把分子、分母同时乘以各项系数分母的最小公倍数。
分式复习讲义
分式★ 知识精要1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称 A B为分式． 若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B＝0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的 ．用式子表示为 .3．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的________约去，这样的分式变形叫做分式的约分．约分的关键是确定分子与分母的__________．约分的结果应化为最简分式．4．通分：根据分式的基本性质，分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值．把几个异分母的分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的 ．最简公分母用下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的 ；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；(3) 相同字母的幂的因式取指数 的.特别注意：为了确定最简公分母，通常先将各分母分解因式．5．分式的运算⑴ 加减法法则：①同分母的分式相加减， 不变，把 相加减② 异分母的分式相加减，先 ，化为同分母的分式，然后再按同分母的分式相加减法则进行计算.用式子表示为：① a b a b c c c±±=； ② a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±= ⑵ 乘法法则：把 相乘的积作积的分子，把 相乘的积作积的分母. 用式子表示为：a c a c b d b d⋅⋅=⋅． ⑶ 除法法则：把除式的 颠倒位置后再与被除式相乘. 用式子表示为：a c a d a db d bc b c ⋅÷=⋅=⋅ （4）乘方法则：分式的乘方， 分别乘方. 用式子表示为：()nn n a a b b=． (5) 分式的混合运算分式的混合运算，关键是弄清楚运算顺序．进行运算时要先算______，再算_______，最后算__________；有括号要先算括号里面的；计算结果可能为____________★典例精析例1 （1）当x________________________时，分式2122---x x x 有意义；（2）当x________________________时，分式)2)(3(2+-+x x x 无意义； （3）当x ________________________时，分式2122---x x x 的值为零。
分式讲义
一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a+⨯=（m n 、是正整数） ⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸n nna ab b⎛⎫=⎪⎝⎭（n是正整数）⑹1nnaa-=（0a≠，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
分式总复习讲义
《分式》知识点回顾及考点透视一、知识总览本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．二、考点解读考点1：分式的意义例1．（1）当x 时，分式11+x 有意义． 分析：要使分式有意义，只要分母不为0即可 当x ≠-1时，分式11+x 有意义． （2）（2006年浙江省义乌市）已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1± 分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点：（1）分子为零；（2）分母不为零，当x=1时，分子等于零，分母不为0，所以，当x=1时，原分式的值等于零，故应选C ．评注：在分式的定义中，各地中考主要考查分式AB在什么情况下有意义、无意义和值为0的问题。
当B ≠0时，分式A B 有意义；当B=0时，分式AB无意义；当A=0且B ≠0时，分式AB 的值为0练习1.各式中，31x+21y, xy1 ,a +51 ,—4xy , 2x x , πx 分式的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2．在b a b a x x x b a -+++-,5,3,2π，a12+中，是分式的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3.（1）当 x ≠___ 时，分式22+x x有意义； （2）当 x ____ 时，分式11-+x x 有意义；（3）分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义，当____=x 时，分式的值为零；（4）当 x _____ 时，分式142-x 有意义。
（5）当________________x 时，分式8x 32x +-无意义；（6） 当x = 时，分式33x x --无意义． （7）当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A.23x + B.212x - C.1xD. 211x +（8）. 能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是（ ）A 0=xB 1=xC 0=x 或1=xD 0=x 或1±=x （9）已知当2x =-时，分式ax bx -- 无意义，4x =时，此分式的值为0，则a b +的值等于（ ） A ．－6 B ．－2 C ．6 D ．2考点2：分式的基本性质 1．如果把分式22a ba b+-中的a ，b 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ） A ．是原来的3 倍 B ．是原来的 5 倍 C ．是原来的13D ．不变2．如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ）A 扩大5倍B 不变C 缩小5倍D 扩大4倍3、若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A 、y x 23B 、223y xC 、y x 232D 、2323y x考点3：分式的符号处理1．不改变分式的值. 使分子、分母都不含不含负号：(1)23x -= ；(2)x yz -- = ；(3)2ab---；(4)5yx --- = ．考点4：分式的化简求值 一）约分1、把下列各式分解因式（1）ab+b 2(2)2a 2-2ab (3)-x 2+9 (4)2a 3-8a 2+8a 2、 约分（16分）（1） 2912x xy (2) a b b a --22 (3) 96922+--x x x (4) aba b a +-2223 、 约分（1）22699x x x ++-= ；（2）882422+++x x x = ；二）分式的乘除运算 1．化简：=⋅÷xy x x 12．计算2332n n mm m n ÷⋅-的结果是（ ）A ．22m nB ．33m n-C ．3n m -D ．3m n -3．计算：(1)4223()4a b ac b a c-⋅÷； (2)22222111(1)m m m m m m m m -++÷⨯--- 三)通分1、分式,21x xyy 51,212-的最简公分母为 。
《分式》单元复习与巩固(基础)知识讲解.docx
《分式》单元复习与巩固（基础）撰稿：李爱国责编：杜少波【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件;2.了解分式的基木性质，掌握分式的约分和通分法则；3.掌握分式的四则运算；4.能用分式解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，拿握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.【知识网络】~►约分・一►嚴简分式＞分式的基本性质--------------- ►分式的乘除--- ►通分分式——►分式的加滅►可以化成一元一次方程的分式方程【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1.分式A一般地，如果A、B表示两个報式，并且B屮含有字母，那么式了一叫做分式.其屮AB叫做分子，B叫做分母.分式中的分母表示除数，由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当BH0时, A分式仝才有意义.B2.分式的基本性质A AxM A（M为不等于0的整式）.3.最简分式分子与分母小没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.公因式包括了两部分：一是系数的最人公约数，二是相同字母的最低次幕.要点二、分式的运算1.约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的约分（约分的依据是：分式的基本性质）.2.通分利用分式的基木性质，异分母分式口J以化为分别与原来分式相等的同分母分式，这一过程称为分式的通分•（也可理解为：把分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把开分母的分式化为同分母的分式）.通分小要寻找各个分母的最简公分母，分式的最简公分母包括了三部分：一是系数的最小公倍数；二是相同字母的最高次幕；三是对于单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式.3.基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下：(1)加减运算d h a + /?-±- = ^^ ；同分母的分式相加减，分母不变，只把分子相加减.C C C总±号=弋辰:界分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.b a oa(2)乘法运算(1 (' (ic---- ---- ，英中a、b、c、d是整式，bd H 0.b d bd两个分式札I乘，把分了札I乘的积作为积的分了，把分母相乘的积作为积的分母.(3)除法运算= —• — = —,其屮d、b、c、d 是整式，bed 0.b d hc he两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.4.分式的混合运算顺序先算乘除，再算加减，冇括号先算括号里面的•加法和乘法的运算律同样适用于分式的运算. 要点三、分式方程1.分式方程的概念分母屮含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.3.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程木身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根一一增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0,如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量” 等关键坏节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质紗1、在丄，丄,**+D,如，丄,a +丄中，分式的个数是( )x 2 x 7i x+ y mA. 2B. 3C. 4D. 5【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含冇字母，如果含冇字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.特别注意n不是字母，是常数，所以也不是分式，是整式.71【答案】C；1 x （x2 +1） 31【解析】二 --------- ，丄是分式. x x x+ym 【总结升华】判断分式的依据是看分母屮是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含 有字母则不是分式.紗2、当兀为何值时，分式的值为0?x + 3【答案与解析】解：要使分式的值为0,必须满足分了等于0且分母不等于0. f y 2 -9 = 0由题意，得彳 ~ '解得x = 3.兀+ 3工0.兀_ _9・・・当x = 3时，分式的值为0. x + 3【总结升华】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0,当它 分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值.举一反三：【变式】（1）若分式土兰的值等于零，则兀= ___________ ； x-2（2）当％ ______ 时，分式丄没冇意义.x-l【答案】（1）由兀2_4=0,得x = ±2.当兀=2时X —2 = 0,所以x=-2；类型二、分式运算 十（-1）2°+弘 + 2x +4x+4 X-1【思路点拨】给出的分式的分了和分母是多项式的，首先要分解因式，分解因式的冃的在于 约分.所以在进行分式计算与化简时，首先把每一项进行因式分解，变除法为乘法，再约分, 最后再进行运算.【答案与解析】（1 + 无）（1一兀） 1（x + 2）2 （x-l ）2 （兀+1）2（X+2）（—1尸（2）当兀一 1 = 0,即兀=1时，分式丄没有意义. x-1解:1-F x 2 +4x + 4 七一1产 x-l（兀+2）（兀+ 1）计算:r 2+ 3 r + ? 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把(X-1)2和~ 先约分;x~\二是将(1-X )和(兀-1)约分后的结果错认为是1.因此正确掌握运算顺序与符号法 则是解题的关键.举一反三：2 / 2 4 、【变式】计算：(1)』一口 — ----------------a + 2a (d —2 Q —2 丿 6a 3-a 【答案】乔％+ 2) = a ；a(a + 3)- a(a -3) 口 3 - a(a + 3)(a — 3) 6a6a 匚 3-a (cz + 3)(cz— 3) 6a___1a + 3类型三、分式方程的解法 紗4、解方程亠-1= —.x — 1 兀+尢—2【思路点拨】分式方程的解法，先去分母化成整式方程，再解这个整式方程，注意验根.解 题过程：去分母化整式方程，解整式方程，最后要把整式方程的解代入最简公分母进行检验, 当最简公分母不为0时，才是原分式方程的解，当最简公分母为0时，原分式方程无解.【答案与解析】x-1 (兀一 1)(兀+ 2)方程两边同乘以(x-l)(x + 2),得(2)解：(1)a 2 4 2 n ci + 2a (a — 2 Q — 2 丿a 2 n a 2-4 a 「(d + 2)(d-2) --------- U ------- = ------- U a{a + 2) a-2 a + 2 --------- a-2 (2)兀（兀+ 2）-（兀一 1）（兀+2） = 3:.x = \检验：当兀=1时，最简公分母（兀―1）（兀+ 2）=0,Ax = 1不是原方程的解.・・・原方程无解.【总结升华】分式方程一定要记得检验.举一反三:] 2兀一 3 【变式]-—- 2（兀一4） x — 4【答案】解：方程两边同乘以2（无-4）,得1 = 2（兀一4） —2（2兀一3）・_ 3• •X =— 23 检验：当x = -|时,最简公分母2（兀-4）工0,3 AX = --是原方程的解. 2类型四、分式方程的应用❾5、某质检部门分别抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，测得甲厂有合格的 产甜48件，乙厂有合格的产品45件，甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%,问甲厂的合格 率是多少？【答案与解析】解：设质检部门抽取了兀件进行检测，贝IJ ：解方程得:x=60.・•・甲厂的合格率是：— = 80%・ 60答：甲厂的合格率是80%.【总结升华】木题若直接设未知数，解题过程非常繁琐，间接设未知数则较简单.举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王 老师家的路程为3 km,王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明的父母战斗在抗震救灾 第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速 度是他步行速度的3倍，每大比平时步行上班多用了 20 min,王老师步行的速度和骑自行48 45 5%.车的速度各是多少？【答案】解：设王老师步行的速度为兀km/h,则他骑自行车的速度为3Xkm/h.2x3 + 0.5 0.5 20根据题意得:= --- 13x x 60解得：x = 5.经检验x = 5是原方程的根R符合题意.当x = 5时，3x = 15・答：工老师步行的速度为5km/h,他骑自行车的速度为15km/h.。
分式方程复习课件
详细描述
排除法是一种基于逻辑推理的解题技巧，适 用于一些具有明显限制条件的分式方程。通 过对分式方程的解进行逐一检验或分析，排 除一些不可能的解，从而缩小解的范围。这 种方法需要仔细分析方程的特点和限制条件 ，并熟练掌握解的检验方法。
05
分式方程的易错点解析
忽视分母的合法性
总结词
在解分式方程时，常常会忽视分母的合法性 ，导致解不准确。
详细描述
换元法是解分式方程的一种常用方法，通过引入新的变量进 行换元，将分式方程转化为整式方程。在应用换元法时，需 要注意新变量的取值范围以及换元后方程的等价性。
消去法解分式方程
总结词
通过消去分式方程中的未知数，将其 化为一个常数或0的形式进行求解。
详细描述
消去法是解分式方程的一种常用方法 ，通过消去分式方程中的未知数，将 其化为一个常数或0的形式。在应用 消去法时，需要注意消元的顺序以及 等价变换的原则。
详细描述
观察法是一种基于经验和直观的解题技巧，适用于一些具有明显形式特征的分式方程。通过对分式方 程的形式进行观察，可以快速判断出解的可能范围或直接得出解。这种方法需要熟练掌握分式方程的 各种在分式方程中的应用
总结词
通过对方程进行变形和化简，将其转化 为更易于解决的形式，再求解。
03
分式方程的应用
分式方程在物理中的应用
01
02
03
速度与距离
在匀速直线运动中，速度 、时间和距离之间的关系 可以用分式方程来表示。
浮力与压力
在流体动力学中，浮力和 压力的关系可以用分式方 程来表示。
电容与电阻
在电路分析中，电容和电 阻之间的关系可以用分式 方程来表示。
分式方程在化学中的应用
初中八年级数学分式专题辅导讲义.doc
九年级数学分式辅导讲义对分式进行通分的关键是： ___________________________ .最简公分母： _____________________________________________________ . 分母如果是多项式，应该先 __________________ ，再 _________________ ・ 【例】1、如果把分式2xy中的兀和y 都扩大3倍，那么分式的值()x+ yA 、扩大3倍2、填空B 、缩小3倍C 、缩小6倍D 、不变2y _ 2/ 2-m 1 -aa 21 + y ~( 14-m 2()'1-^-()3、约分1+2兀X^r xy 2 2 兀-yX 2-94X 2+4X + 1 ? b-1'3x 2 +6A >, + 3}?29 — 6x + x~4、 一!—,，―^ 的最简公分母是 ______________________________（无+ l ）y 4兀~ 6xy^z 5、 通分【知识点3】分式的加减：1、 同分母的分式相加减：分母 _____________ ,分子 _______________2、 异分母的分式相加减：先 _______________ ,后 _________________1 1 I?2 2h 2【例】计算：（1） —+ —-— （2） -4= ------- —（3） a + b-^-y — x 2y — 2x nV —9 m-3a + b【知识点4］分式的乘除1、 分式乘分式， __________________ 做积的分子， ____________ 做积的分母。
2、 分式除以分式，先 ___________________________ ,再 _____________________ o 【例】计算：（1）（丄-1）子〒：2兀+ 1（2）（ —一三亠x + 2J T-4（J T-4X + 4 x + 2 丿 x-2【知识点5]分式方程1、 分式方程： __________ 中含有未知数的 ___________ 叫做分式方程2、 解分式方程的步骤： ______________________________________________________________ ;3、 在方程的两边同时乘 _________________ ，可以将分式方程转化为一元一次方程求解。
《分式》复习讲义.doc
(3) 1+2 一斗+x x-2丿兀+ 4 x2-2x课时一：初中数学《分式》复习讲义知识考点：分式运算是初中代数计算的综合运用，它与整式运算相比，步骤增多，符号变化复杂, 方法比较灵活。
了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，并能灵活运用它进行分式的约分、通分及计算是解题的关键。
精典例题：【例1】(1) ----------------------------------------------------当兀为何值时，分式有意义?兀.-x-2兀-1(2)当兀为何值时，分式厂三的值为零?分析：①判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式；②在A A A A分式仝中，若B = 0,则分式仝无意义；若BHO,则分式空有意义；③分式仝的值为零B B B B的条件是A=0且BHO,两者缺一不可。
答案：(1)兀H2 且兀 H —1； (2) X = \【例2］计算:(1)X2(2) ------------ x-2x — 2分析：(1)题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；(2)题把-匕+ 2)当作整体进行计算较为简便；(3)题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。
答案:(1) (2) (3) —a —2 兀一2 x — 1【例3】计算:2 2 (3兀兀一丿x/、1 12 4 (2) ---------- 1 ------- 1 ------ r- + ----- —\ — X 1 + X 1 +兀 1 + 兀 分析：对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。
(1)题可以 将-X-y 看作一个整体-& +然后用分配律进行计算；(2)题可采用逐步通分的方1 I2 法，即先算——+——,用其结果再与——相加，依次类推。
1 — X 1 + X1 + x~9 Y Q答案：(1) —2_； (2) — x-y 1-x 8 探索与创新：【问题】先阅读下列文字，再解答下列问题：初中数学课本中有这样一段叙述：“要比佼a 与b 的大小，可先求出。
(完整word)分式复习教案
一．教学知识回顾分式：一般地,如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式。
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
db c a d c b a ••=• 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.cb d acd b a d c b a ••=•=÷ 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法法则：同分母分式想加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分,变为同分母的分式，再加减。
二．教学过程/例题精讲1、对于分式122x x -+（1)当________时，分式的值为0 (2）当________时，分式的值为1 （3）当________时，分式无意义 （4）当________时，分式有意义2．化简（1)6425633224a b c a b c= (2）224488a b a b -=-(4） b a ab a --2; （5） 2242xx x ---244)4(824)6(2222-+-•-÷-+-a a a a a a a3．将下列各式通分（1）1a ，234a b ,216ab c（2）12x +，42x -（3)122x -，21(1)x - (4）1()()a b b c --，2()()b c a c --4、计算：（1）223a 2y 4y 3a⋅ （2）22122a a a a +⋅-+（3）2222335010a b a b ab a b -⋅- （4)22432a b ab ab a b -⋅-（5）2222324ab a b c cd -÷ （6）2233y xy x-÷(7）2()x y xy x xy --÷ （8)222244(4)2x xy y x y x y -+÷--5、试一试：2323a b c-（） 解:原式==⋅⋅=333333)()()()()()(（1）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23y x ；（2）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3322y x ；(3）=⎪⎭⎫ ⎝⎛41ab ； 6。
分式方程讲义
学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 八年级 课时数：3学员姓名： 辅导科目： 初中数学 学科教师：课 题分式 授课时间： 备课时间：教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容【基本知识点】1、分式的概念：形如A/B ，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式(fraction)。
其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
2、分式的四则运算(1).同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c(2).异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： bdbc ad d c b a +=+ (3).分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：bdac d c b a =⨯ (4).分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.bcad d c b a =÷ (2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:bc ad c d b a d c b a =⨯=÷ 3、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，区别分式方程与整式方程最好的方法就是看分母是否含有未知数，例如38735=++x a x ，当x 是未知数时，它是整式方程，不是分式方程，当a 是未知数时，它是分式方程。
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分式复习知识点复习1. 分式的概念（1）如果 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有未知字母，那么式子AB叫做分式。
（2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。
2. 分式有意义的条件：分式的分母不能为 0，即AB中， B ≠ 0 时，分式有意义。
3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于A B ，即00A B =⎧⎨≠⎩时，AB = 0 .4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。
A A MB B M ⋅=⋅, A A MB B M÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分（1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母;（3）通分后的各分式的分母相同; （4）通分后的各分式分别与原来的分式相等. 6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母①取各分母系数的最小公倍数。
②凡出现的字母（或含字母的式子）因式都要取。
③相同字母（或含字母的式子）的幂因式取指数最大的。
④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。
（2）将各分式化成相同分母的分式。
7. 分式的约分（1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。
（3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。
8. 分子的变号规则分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。
用式子表示为：a a ab b b -==--；a a a a b b b b---=-==-- 9. 分式的乘除法则乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
10. 分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即na b ⎛⎫⎪⎝⎭=11. 分式的加减（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
a b c c ±= a cb d±== 12. 分式的混合运算原则（1）先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。
（2）同级运算，按运算顺序进行。
（3）运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律。
（4）结果化为最简分式或整式。
bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;13. 整数指数幂(m,n 为整数)(1) m na a ⋅= （2）()nm a= （3）()nab = ，（4）mna a ÷= （a ） （5）na b ⎛⎫⎪⎝⎭=(6) 零指数幂的性质：0a = ( )，负指数幂的性质：na- = ( )引入负整数指数幂后，正整数指数幂的运算法则对负整数指数幂一样适用 14. 分式方程 ：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
整式方程 ，如 3x +3 = 4 x -2 分式方程 , 如12123x x =+- 15．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 16. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； ② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值； ④ 检验作答. 17．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 18．易错知识辨析：（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值考点讲解考点 1. 分式的概念和性质例 1代数式中，分式的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例 2（1）已知分式11x x -+ 的值是零，那么 x 的值是______ （2）当 x________时，分式11x - 没有意义．例 3 下列各式从左到右的变形正确的是（ D ）A 、0.20.2a b a b ++=22a b a b ++B 、11x x x y x y +--=--C 、a b a b a b a b +-=-+D 、1212x yx y -+ =22x y x y -+例 4填写出未知的分子或分母：（1）. 例 5把分式22x yx y+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ A ）A ．不变B ．扩大2倍C ．扩大4倍D ．缩小2倍 考点 2：分式的化简与计算 ：例 1 计算24111a aa a++--的结果是________． 例 2 已知 31=-x x ，则221xx + ＝ .例 3（08芜湖）已知，则代数式的值为 .例4 已知,03=-y x 则=++-22223yx y xy x . 例 4 计算2224222a a a a a a ⎛⎫⋅- ⎪+--⎝⎭ 例 5 化简11x x x x -⎛⎫÷- ⎪⎝⎭21,,,13x x ax x x π+2223()11,(2)21()x y x y x y y y +==+-++113x y -=21422x xy y x xy y----考点 3：分式条件求值 ： 例 1（08资阳）（212x x -－2144x x -+）÷222x x -，其中x ＝1．例 2 先化简，再求341651231222+-++-++-x x x x x x 的值，其中x=5例 3 先化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．考点 4：可化为一元一次方程的分式方程、方程的增根。
例 1 以下是方程1211=--xx x 去分母、去括号后的结果，其中正确的是（ C ） A ．112=--x B.112=+-x C.x x 212=+- D.x x 212=-- 例 2 解方程：21133x x x-=---例3 解方程12112-=-x x 会出现的增根是（ A ） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=x D.2=x例 4 若关于x 方程x x x m 2132=--+无解，则m 的值是 221或-=m ． 例 5 若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.例6 若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.例7 若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .考点5：分式方程的应用例 1 某市今年1 月1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12 月份的水费是18 元，而今年5 月份的水费是36 元．已知小明家今年5 月份的用水量比去年12 月份多6 立方米，求该市今年居民用水的价格．例2．在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）施工费用最低？解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，由题意得方程组：24241,1818101x yx y x⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解之得：x=40，y=60．（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成．由（1）知，乙工程队30天完成工程的301 602=，∴甲工程队需施工12÷140=20（天）．最低施工费用为0．6×20＋0．35×30=22.5（万元）．答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是22.5万元．评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维．自我检测1、填空题.（1）使分式234x a x +-的值等于零的条件是_________．x =-2a 且a ≠-83（2）x 时,分式225x x ++ 的值为正数;(3)2)(2b a +，22aa b -最简公分母是2. 下列各分式中，最简分式是( B )A 、()()y x y x +-8534B 、2222xy y x y x ++C 、y x x y +-22D 、()222y x y x +- 3. 下列各式中，从左到右的变形正确的是( B ) A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-=--+- C 、y x y x y x y x -+=--+- D 、yx yx y x y x +--=--+- 4．将分式2x x y+中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（ A ）A 、扩大2倍；B 、缩小2倍；C 、保持不变；D 、无法确定；5．不改变分式52223x yx y -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（D ）A ．2154x y x y -+ B ．4523x y x y -+ C ．61542x y x y-+ D ．121546x yx y -+6. 某种感冒病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法表示为_____________ 米．7．某农场原计划用m 天完成A 公顷的播种任务，如果要提前a 天结束，那么平均每天比原计划要多播种_________ 公顷．()aAm m a -8、工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及 时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72④372=-xx上述所列方程，正确的有（ ）个A 1B 2C 3D 4 9．函数y=2(3)12x x-+--中，自变量x 的取值范围是___________．x ≥-12且x ≠12，x ≠310．计算1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭的结果是_________．-211. 若关于x 的方程mx x +=-133有一个正数解，求m 的取值范围3,1-≠-<m m ． 12.5-13. 已知5210732-+-=+-x Bx A x x x ，则A= ，B= ． 14. 若分式方程()1516-+=-x x x x 有增根，则增根是（ A ） A. x ＝1 B. x ＝1和x ＝0 C. x ＝0 D. 无法确定15、若方程xx x a x 4)2(23+-=-有增根，则a= 6 8 16. 已知ba b a +=+111，则b a a b +的值为（ C ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、017.（2013•日照）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项 工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A.8B.7C.6D.518.（1）()22226993671025x x x x x x x x x -+-+÷⋅---+- （2）2233a b a ba b a a b a a ⎡+⎤-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦（3）222321a b a b a ab b ab a ab a b ⎛⎫-⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭ （4）3223232222214⎪⎭⎫ ⎝⎛+•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x x x x x x x x x x(5) (3-π)0 +（－y x 2）2·（－x y 2）3÷（－xy ）-419. 解方程:23222x x x -=+-21.某一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？22.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。