数学建模与数学实验：习题7

特征方程为 f I P 3 0.7 0.54 0
构造Newton迭代格式 xk1
xk
f f
xk xk
xk
xk3
0.7 3xk2
xk 0.54 0.7
,
取初值x0
1
方法二
（Matlab求解,eig,roots,charpoly,fzero,fsolve,etc）
（2）
种群稳定的年龄结构
J
diag
0, 0.4472, 0.4472,
P
0
0.2172
0.2172
1 0.0971 0.0971
谱半径 (A)=0.4472<1，主特征值有2个.
当n充分大时，X n c11n P1 c22n P2 n 0
（1）估计矩阵P模最大特征值
0 1.0801
方法一（非线性方程求近似根）
zn
18
模型求解
0.8847
0.8847
J
diag
1,,
,
P
0.4423 0.1474
0.2212 0.3831i 0.0737 0.1277i
谱半径(A)=1，主特征值有3个,且k3 1, k 1, 2,3.
h gcdk bk 0 3,故模型有3周期解。
0.8847
0.2212 0.3831i 0.0737 0.1277i
0
108
0
0
假设X 0
0
,
则X
3k
1
0
,
X 3k 2
54
,
X 3k
0
,
k
Z
18
0
0
18
(2)
模型建立
0
A
0.1
0
向量形式 X n1 AX n , n N
2.0 0
xn
0
0
0
,
Xn
yn
,
X0
100
0.2 0
zn
0
模型求解
0 0.9713 0.9713
第7章 作业
容易出现错误的内容
高阶差分方程与一阶差分方程性质类似吗？ 一阶差分方程一定有稳定分布吗？什么时候有？ 谱半径、正特征值、主特征值等价吗？唯一吗？ 主特征值等于1的一阶线性齐次差分方程一定是
Markov Chain模型吗？ Leslie模型主特征值等价于正特征值吗？ 如何保证矩阵（Leslie矩阵）主特征值唯一？ 什么是稳定的年龄结构？ Leslie模型中如何讨论种群发展趋势？
1 ,则X1
0.09
,
X2
22.5
,
X3
3.5
ห้องสมุดไป่ตู้
1
0.2
0.2
4.5
种群（周）增长率为 0 1 214%
(2) 当n充分大时，X n c1n P1 / / P1
所以各周龄昆虫数量趋向于无穷大，但比例有稳定极限值P1
（3）
当使用该除虫剂后，
A
0
0.045
100 0
150
0
,
0 0.1 0
0.9998
J
diag
2.1927,
2.0419.
0.1508 ,
P
0.0205
0.0009
0.9998 0.0220
0.0011
0.9414
0.2810
0.1864
谱半径(A)=0 =2.1927>1，主特征值只有一个0,归一化主特征向量P1 0.979 0.0201 0.0009T
n 1, 0.7, 0.28T
选择初始数据
N
n n
39600
1,0.7,0.28T
10.70.28
20000,14000,5600 T
J
diag
3.14,
2.8369.
0.3031 ,
P
0.0287
0.0317
0.2798
0.0018 0.0022 0.1846
谱半径(A)=0 =3.14>1，主特征值只有一个0,归一化主特征向量P1 0.9704 0.0278 0.0018T
1
250
39
2252.7
假设X 0
模型建立 向量形式
0 100
A
0.09 0
0 0.2
X n1 AX n , n N
150
xn
0
,
Xn
yn
0
zn
x : 0 ~ 2周龄昆虫数 y : 2 ~ 4周龄昆虫数 z : 4 ~ 6周龄昆虫数
模型求解
X k Ak X 0
(1)
0.9996 0.9995 0.9422
n
1, ,s1 s1s2 0 02
T
1, , 0.7 0.70.4 1.08 1.082
T
1,0.648,0.24 T
种群发展趋势：
（1）从数量上看，因为 0 1 ，所以最终各年龄组数量均趋向于无穷大。
（2）从比例上看，趋向于稳定的年龄结构 n。
（3）从增长率来看，单位时间内数量增长率为 0 1 8% 。
（3）+（4）
假设每个年龄组出生率控 制为原来的k倍，如果要保 持总数总数不变，则控制
0
L
0.7
k 0
1.8k
0
后的Leslie矩阵主特征值
0 0.4 0
应为1.
特征方程为f () I L 3 0.7k 0.504k 0.
根据f (1) 0可解得k 0.83.
控制后稳定的年龄结构为
当n充分大时，Xn c1nP1 / /P1
种群（周）增长率为 0 1 119%
该除虫剂只能延缓昆虫增加的速度，但不改变各周龄昆虫数目趋向无穷大 的趋势。
(1)
模型建立 向量形式 X n1 AX n , n N
0 0 6
xn
0
A
0.5
0
0
,
X
n
yn
,
X
0
0
0
1 3
0