排列组合和二项式定理教材分析

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高中数学备课教案排列组合与二项式定理

高中数学备课教案排列组合与二项式定理备课教案：排列组合与二项式定理一、引言数学是一门复杂而又神奇的学科，它在我们的日常生活以及各个学科领域中起着重要的作用。

作为高中数学教师，我们需要深入理解和准确教授各个数学概念和原理。

本教案将重点涵盖排列组合与二项式定理的重要概念和应用。

二、排列组合1. 排列的概念排列是指从给定的元素中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。

具体来说，从n个不同元素中，取出r个元素按照顺序进行排列的个数表示为P(n,r)。

2. 组合的概念组合是指从给定的元素中取出若干个元素，不考虑其顺序的进行组合。

具体来说，从n个不同元素中，取出r个元素进行组合的个数表示为C(n,r)。

3. 排列与组合的计算公式排列和组合的计算公式是我们在解决实际问题中经常使用的重要工具。

- 排列的计算公式：P(n,r) = n! / (n-r)!- 组合的计算公式：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)三、二项式定理1. 二项式的概念二项式是指具有以下形式的多项式：(a + b)^n，其中a和b是实数或变量，n是非负整数。

2. 二项式定理的表达式二项式定理是指将二项式的幂展开的公式。

根据二项式定理，可以得出以下表达式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,r) * a^(n-r) * b^r + ... + C(n,n) * a^0 * b^n四、应用举例为了帮助学生更好地理解排列组合和二项式定理的应用，我们针对具体的例子进行练习。

例1：某班有10名学生，要从中选出5名代表参加学校的比赛，问有多少种选择方法？解析：根据组合的计算公式，我们可以计算C(10,5)，即从10名学生中选出5名学生的组合数。

根据计算公式可得，C(10,5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 252，因此选择方法的种数为252种。

2023二项式定理说课稿

2023二项式定理说课稿2023二项式定理说课稿1一、教材分析：1、知识内容：二项式定理及简单应用2、地位及重要性二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计，作知识上的铺垫。

二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的.关于多项式变形的知识。

运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

3、教学目标A、知识目标：（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开B、能力目标：（1）在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力（2）培养学生的化归意识和知识迁移的能力C、情感目标：（1）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心；（2）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会到数学内在和谐对称美；（3）培养学生的民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育。

4、重点难点：重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律；（2）能够利用二项式定理对给出的二项式进行正确的展开。

难点：二项式定理的发现。

二、教法学法分析为了达到这节课的目标：掌握并能运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键。

“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”本节课的教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探索为主。

创设一个以学生为主体，师生互动、共同探索的教与学的情境。

通过复习引入，引申设疑，实验猜想，归纳推广等环节进行对此定理的探索。

不仅重视知识的结果，而且重视知识的发生、发现和解决的过程，贯切新课程理念。

计数原理,排列、组合,二项式定理复习教案

国规教材
教育学生数据真实性与诚信、社会责任与公共利益、团队协作
教学流程图
4知识点检测：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选出两名同学，一名担任班长，一名担任副班长，有多少种不同的选法？
（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加上午和下午的活动，有多少种不同的方法？
1.组织学生在了解的基础上理解排列的概念，掌握排列数公
1.组合的概念
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列与组合的区别：排列是从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，与m个元素的排列顺序有关；组合是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素组成一组，与m个元素的排列顺序无关.
2.组合数
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，
用符号表示.
5、知识点检测：
某天上午共4节课，排语文、数学、体育、计算机课，其中体育课不排在第一节课，那么这天上午课表的不同排法种数是（）
1.引导并组织学生根据信息进行讨论.区别排列与组合。

国主义情怀.
1.二项式定理的内容
设 a.,b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
2.二项展开式的通项公式
3.二项式系数与二项展开式中某项的系数
3.知识点检测：
组织学生运用二项式定理的相关内容解决实际问题.。

沪教版高中高三数学《排列组合与二项式定理》说课稿

沪教版高中高三数学《排列组合与二项式定理》说课稿一、课程背景与思考随着社会变革的快速发展，数学作为一门必修学科，对学生的培养具有重要意义。

而高中阶段的数学教育更加注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本节课讲授的《排列组合与二项式定理》是高中数学中的一大难点，对学生来说是一个较为抽象且具有挑战性的内容。

因此，本课旨在通过深入浅出、生动有趣的教学方法，帮助学生理解与掌握这一重要概念，培养其逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学目标1.理解排列组合与二项式定理的基本概念和思想；2.掌握排列组合与二项式定理的基本计算方法；3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力；4.培养学生的合作与交流能力。

三、教学重难点1.排列组合与二项式定理的基本概念和思想；2.排列组合与二项式定理的基本计算方法；3.如何培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

四、教学方法本节课注重学生的主体性，采用任务型教学法和课堂讨论相结合的教学方法。

任务型教学法可以有效激发学生的学习兴趣和主动性。

在教学前，根据学生的实际情况设计一些生活实际问题，通过任务的形式引导学生思考，培养其解决问题的能力。

在教学过程中，教师可组织小组合作学习，让学生共同探索，互相合作，提高学生的合作与交流能力。

课堂讨论是培养学生逻辑思维能力的有效途径。

教师可以设计一些开放性问题，引导学生进行分析和讨论。

通过学生之间的思想碰撞，激发学生的思维活动，培养其逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

五、教学过程及内容安排1. 导入与热身（5分钟）•引发学生思考：在我们的日常生活中，你们有没有遇到过一些需要进行选择和组合的情况？请举例说明。

•通过引发学生思考，激发学生对排列组合与二项式定理的学习兴趣。

2. 排列组合概念解释与示例讲解（10分钟）•提供一个简单的例子，引导学生理解排列与组合的概念，并解释其严格定义。

•通过具体的例子帮助学生理解排列组合的基本思想和计算方法。

高一数学排列组合二项式定理及其应用分析总结归纳

02
二项式定理及其应用
二项式定理的展开式
二项式定理：(a+b)^n = a^n + n*a^(n-1)*b + n*(n-1)/2*a^(n-2)*b^2 + ... + b^n 展开式特点：每一项的系数是n的阶乘除以(n-k)的阶乘展开式应用：求解组合问题、概率问题、数列问题等展开式计算：利用公式进行计算，注意系数和指数的变化规律
多项式定理的应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用
多项式定理的证明：通过数学归纳法进行证明
多项式定理的推广：将二项式定理推广到更高阶的多项式
二项式定理的扩展形式
二项式定理的推广：从n次方推广到任意次方二项式定理的拓展：从整数推广到实数二项式定理的推广和拓展：从二项式定理推广到多项式定理二项式定理的推广和拓展：从二项式定理推广到组合定理
用
期望值：二项式定理在期望值计算中的应
用
方差：二项式定理在方差计
算中的应用
在统计学中的应用
概率计算：二项式定理可以用于计算概率，例如计算抛硬币、掷骰子等事件的概率。统计推断：二项式定理可以用于统计推断，例如进行假设检验、参数估计等。统计模型：二项式定理可以用于建立统计模型，例如建立线性回归模型、逻辑回归模型等。数据分析：二项式定理可以用于数据分析，例如进行数据清洗、数据可视化等。
计算期望：二项式定理可以用来计算期望，如 E(X) = Σ[k * P(X=k)]
在代数中的应用
求解多项式方程：利用二项式定理求解多
项式方程
求函数值：利用二项式定理
求函数值
求极限：利用二项式定理求
极限
求导数：利用二项式定理求

中职数学5--排列组合和二项式定理排列定义及排列数公式

教学目标：知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题. 教学重点：排列、排列数的概念教学难点：排列数公式的推导教学内容师生互动设计意图教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法二、讲解新课： 1问题：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？解决这一问题可分两个步骤：图 1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。

中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，师：分类，分步的解决问题的区别？生：应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制师分析：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分复习巩固，为引出排列的概念做准备一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3×2=6 种．问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2=24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．由此可写出所有的三位数：123，124, 132, 134, 142, 143，213，214, 231, 234, 241, 243，312，314, 321, 324, 341, 342，412，413, 421, 423, 431, 432 。

数学教案-排列、组合、二项式定理-基本原理_高三数学教案_模板

数学教案－排列、组合、二项式定理-基本原理_高三数学教案_模板教学目标（1）正确理解加法原理与乘法原理的意义，分清它们的条件和结论；（2）能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理；（3）正确区分加法原理与乘法原理，哪一个原理与分类有关，哪一个原理与分步有关；（4）能应用加法原理与乘法原理解决一些简单的应用问题，提高学生理解和运用两个原理的能力；（5）通过对加法原理与乘法原理的学习，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯。

教学建议一、知识结构二、重点难点分析本节的重点是加法原理与乘法原理，难点是准确区分加法原理与乘法原理。

加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。

这两个原理是学习排列组合内容的基础，贯穿整个内容之中，一方面它是推导排列数与组合数的基础；另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有许多直接应用。

两个原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法种数是多少的问题，其区别在于：运用加法原理的前提条件是，做一件事有n类方案，选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的；运用乘法原理的前提条件是，做一件事有n个骤，只要在每个步骤中任取一种方法，并依次完成每一步骤就能完成此事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的。

简单的说，如果完成一件事情的所有方法是属于分类的问题，每次得到的是最后结果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是属于分步的问题，每次得到的该步结果，就要用乘法原理。

三、教法建议关于两个计数原理的教学要分三个层次：第一是对两个计数原理的认识与理解．这里要求学生理解两个计数原理的意义，并弄清两个计数原理的区别．知道什么情况下使用加法计数原理，什么情况下使用乘法计数原理．（建议利用一课时）．第二是对两个计数原理的使用．可以让学生做一下习题（建议利用两课时）：①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数；③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等．第三是使学生掌握两个计数原理的综合应用，这个过程应该贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理，每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解，另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现．教师要引导学生认真地分析题意，恰当的分类、分步，用好、用活两个基本计数原理．教学设计示例加法原理和乘法原理教学目标正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：加法原理和乘法原理．难点：加法原理和乘法原理的准确应用．教学用具投影仪．教学过程（）设计（一）引入新课从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．今天我们先学习两个基本原理．（二）讲授新课1．介绍两个基本原理先考虑下面的问题：问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法．这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子——加法原理）：加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法．请大家再来考虑下面的问题（打出片子——问题2）：问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条（见下图），从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法．一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N ＝m1×m2×…×mn种不同的方法．2．浅释两个基本原理两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别？两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．看下面的分析是否正确（打出片子——题1，题2）：题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法．题2中的合数是4，6，8，9，10这五个，其中6既含有因数2，也含有因数3；10既含有因数2，也含有因数5．题中的分析是错误的．从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．（此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力）进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理．也就是说：类类互斥，步步独立．（在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质）（三）应用举例现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．例1 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？（让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法）（1）从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据加法原理，得到的取法种数是N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据乘法原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2×m3=3×5×6=90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．（3）从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种．例2 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．答：可以组成100个三位整数．教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.（四）归纳小结归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：分类时用加法原理，分步时用乘法原理．应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．（五）课堂练习P222：练习1～4．（对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示）（六）布置作业P222：练习5，6，7．补充题：1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？（提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数）2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．（提示：需要按三个志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）种填写方式）3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？（提示：可以用下面方法来求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数）4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，（1）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？（2）从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？（提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．（1）N=5＋2＋3；（2）N=5×2＋5×3＋2×3）教学目标（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

排列组合二项式定理的精品教案

排列组合二项式定理的精品教案一、教学设计思想目前教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的凸现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力．二项式定理这部分内容比较枯燥，是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心．一是从名人、问题引入课题。

采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．这里体现了新课程的数学应用意识的理念.让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，也让学生体会数学语言的简洁和严谨。

二是从特殊到一般。

观察发现二项式定理的基本内容．遵循学生的认知规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．三是采用小组合作、探究的方式。

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主作用；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．四是教师的启发与学生的探究恰当结合。

本节课的难点在于确定二项展开式中，每一项的二项式系数，对于普通班的学生，真正能独立归纳出来，有一定的困难，教师在此时的引导启发，就显得尤为重要．本节课，学生通过对=1，2，3，4，…时二项展开式的观察，归纳、猜想到为任意正整数时的二项式定理内容，并真正理解二项式系数的意义。

这样设计的目的是为了让学生参与知识的发生、发展、深化的过程，学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思维方法的过程，提高数学修养．本节课对二项式定理特点及规律的总结和归纳，有利于学生对二项式定理的识记，同时还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美．二、学生情况分析学生为普通班学生，有一定的数学基础．学生理解组合及组合数的概念，掌握了多项式乘法的运算法则，有一定的归纳猜想能力，能顺利完成课时计划内容．学生有过探究、交流的课堂教学的尝试．三、教学诊断分析在本节内容的学习中，学生容易了解的内容是二项展开式的项数、指数和系数的规律，即项数：项；指数：字母，的指数和为，字母的指数由递减至0，同时，字母的指数由0递增至；二项式系数：下标为，上标由递增至；容易产生误解的内容是：通项指的是第r+1项；通项的二项式系数是，与该项的系数是不同的概念。

排列组合二项式定理的教案

排列组合二项式定理的教案一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目。

三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系==n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：=n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：Cnm==；（3）组合数的性质①Cnm=Cnn-m；②；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

第十章排列组合和二项式定理教案

第十章排列组合和二项式定理教材分析一、内容分析：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理三、考点诠释（1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理）分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘.（2）两个概念（排列、组合）排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n 个不同元素中任取m 个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误.（3）两类基本公式排列数公式 !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+=- 规定：0！=1 组合数公式 )!(!!m n m n A A C m m m n mn-== 特别地：10==n n n C C （4）两类基本性质排列性质：11-++=m n m n m n mA A A组合性质：性质1.m n n m n C C -=, 性质2.11-++=m n m n m n C C C在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质.解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即由)!(!!m n m n -写出m n C . 排列数m n A 与组合数m n C 里的m 、n 的关系是 )(N n m n m ∈≤、牢记：0！=1；.1;!;;;1;11100======n n n n n n n n C n A n C n A C A组合数派生性质：k n n k n n k k k C C C C C -+-++=++++1221101121++++=++++k n k n k k k k k k C C C C C（5）排列组合的综合应用排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关.组合与顺序无关，或者说与一种顺序有关.例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有34A 个，而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题有34C 个不同的三位数.按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义.处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出来后，再进行排列在排列问题中，某几个元素必须在某几个固定位置，某几个元素不能在某几个位置，某几个元素必须在一起，某几个元素互不相邻等，是排列中的几种基本类型.在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一个在内，某些元素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几种基本类型.（6）二项式定理的有关概念第一、对通项要注意以下几点:①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定.②公式表示的是第r+1项，而不是第r 项.③公式中a 、b 的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.第二、要注意区分，展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起.（7）二项式系数的性质①展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项即第12+n 项的二项式系数最大；若二项式系数的幂指数是奇数，则展开式的中间两项即第（121+-n ）项和第（121++n ）项的二项式系数相等且最大. ③展开式的所有二项式系数的和等于n 2.即n n n n n n C C C C 2210=++++④展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即+++=+++531420n n n n n n C C C C C C =12-n注意：①用二项式定理进行幂的近似计算时，首先要将幂的底数拆成两项，构造二项式；其次要根据题设的精确度选取展开的项数.②利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要.③赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解决.四、教学建议1.在深刻理解的基础上，严格要求按照两个原理去做分类计数原理和分步计数原理是两个基本原理，它们既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.从以上的分析可以看出，分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础.2. 指导判定与顺序有无关系，分清排列与组合排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.下面几种方法可供参考.(1) 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.(2) 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.(3) 学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.3. 引导联系现实情景，正确领会问题的实质排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.4.倡导一题多解优化解法，交流合作互相启发排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法.排列与组合方法数比较多，无法逐一进行验证.为了防止重复、避免遗漏，除了一题多解之外，另一种切实有效的办法是倡导同学之间的交流与合作.排列、组合问题的分析与解答的过程不长，且逻辑性强，特别有利于语言交流.交流与合作不仅仅是解出题目、对答案，还要根据自己的理解说明分类还是分步的理由，每类或每步中.m n A 、m n C 及n 、m 取值的理由，不断反思自己的思考过程，让别的同学能在你思考的基础上进一步的思考，看清问题的其他方面.这样相互启发、多角度的考虑，定会加深对问题的理解，激发学习的兴趣.。

二项式定理教材分析

二项式定理教材分析
一、教材地位与作用
《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2---3第一章第三部分第一节的内容。

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础，具有较高应用价值和思维训练价值。

在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，是计数原理的一个应用。

另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

同时二项式系数是一些特殊的组合数，有二项式定理可推导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识起到了很好的促进作用。

可见二项式定理是一个承上启下的内容。

二、教学目标
1．知识技能：
（1）能利用计数原理证明二项式定理；
（2）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式，并能简单应用。

2．过程与方法：
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及转化化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

3．情感、态度、价值观：
通过体验二项式定理的发现和创造历程，培养学生自主探究意识，合作精神，体验探究问题的乐趣。

三、教学重点、难点
重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。

难点：二项式定理的发现。

数学教案-排列、组合、二项式定理-基本原理

数学教案－排列、组合、二项式定理-基本原理一、引言本教案主要介绍数学中的排列、组合和二项式定理的基本原理。

通过学习，学生能够了解到排列、组合和二项式定理的概念、性质和应用，提高数学思维和解决实际问题的能力。

二、排列与组合2.1 排列排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列的方法数。

排列的计算公式为：其中，n为总元素个数，m为需要取出的元素个数，“！”表示阶乘运算。

2.2 组合组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行无序组合的方法数。

组合的计算公式为：其中，n为总元素个数，m为需要取出的元素个数，“！”表示阶乘运算。

2.3 示例例如，从数字1、2、3中取出2个数字进行排列，使用排列公式计算有：即有6种排列方法。

再例如，从数字1、2、3中取出2个数字进行组合，使用组合公式计算有：即有3种组合方法。

三、二项式定理3.1 基本概念二项式定理是指任意一个二项式的幂展开后各项系数的规律。

二项式定理的公式表达为：其中，a、b为任意实数，n为非负整数，C为组合的计算公式。

3.2 使用方法二项式定理可以应用于多个方面，如多项式展开、概率计算等。

在多项式展开中，可以通过二项式定理将一个多项式化简为一系列项的和。

3.3 示例例如，将二项式展开为更多项的和：即：通过二项式定理，我们可以快速求解幂次较高的多项式。

四、总结本教案主要介绍了数学中的排列、组合和二项式定理的基本原理。

排列和组合是数学中常见的计数方法，可以用于解决实际问题中的选择和排列情况；二项式定理则是多项式展开中的重要工具，可以化简复杂的多项式表达式。

通过对这些概念和公式的学习和应用，可以提高数学思维能力和解决实际问题的能力。

希望通过本教案的学习，学生能够掌握排列、组合和二项式定理的基本原理，并能够应用于实际问题中，提升自己的数学能力。

排列组合二项式定理解读

排列组合二项式定理解读本章主要内容是排列、组合、二项式定理。

这部分内容，不论其思考方法和解题都有特殊性，概念性强、抽象性强、灵活性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，并且数目较大，无法一一检验，因此给学生带来一定困难。

解决这些问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，因此必须注重本章节的知识点，并加以整理，使之系统化和条理化及其内涵的数学思想和数学方法。

一、知识要点1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理。

它们是推导排列数公式和组合数公式的基础，其应用贯穿本章始终。

（1）分类计数原理完成一件事可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同办法，在第二类办法中有2m 种不同办法，……，在第n 类办法中有 n m 种不同办法，，那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同方法。

（2）分步计数原理完成一件事可以有n 步办法，在第一步办法中有1m 种不同办法，在第二步办法中有2m 种不同办法，……，在第n 步办法中有n m 种不同办法，那么完成这件事共有 12n N m m m =⋅⋅⋅ 种不同方法。

（3）区别：分类计数原理与分类有关，分步计数原理与分步有关。

2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全体元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题。

（1）排列从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素（被取出的元素各不相同），按照一定顺序排成一列，叫从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列数从n 个不同元素中，任取m 个元素所有排列的个数，叫从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

用符号m nA表示，排列数公式为(1)(2)(1)m nn n n n m A=---+ . 自然数1到n 的连乘积，叫n 的阶乘，用n! 表示，规定0!=1，排列数公式还可写成!()!m nn n m A=-，当n=m 时，!n nn A= 即全排列数公式。

高二数学排列组合和二项式定理教材分析

高二数学排列组合和二项式定理教材分析10、1加法原理和乘法原理约2课时10、2排列约4课时10、3组合约5课时10、4二项式定理约4课时小结与复习约2课时一、内容分析本章从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理在此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫随后研究的二项式定理，在本章中起着承上启下的作用：它不仅将前面的组合的学习深化一步，而且为学习后面的独立重复试验，二项分布作了准备本章还为部分学有余力的学生安排了阅读材料《从集合的角度看排列、组合和概率》，通过这篇材料，可以看到排列、组合与概率这两类看上去并无共同之处的概念间的内在联系例如，求组合数及其相应的等可能性事件的概率，可分别看成是在一个全集下的某个子集到数的集合的不同的映射，可见从集合的角度去认识这些概念，可加深对其本质和内在联系的认识，此外，由于集合及其关系可用图形表示，便于将一些较复杂的问题分析清楚，因此运用集合的方法可以较为顺利地求解一些较为复杂的应用题二、教学要求1、掌握加法原理与乘法原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题2、理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用问题3、掌握二项式定理和二项展开式的性质并能用它们计算和证明一些简单的问题三、考点诠释（1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理）分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步、分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘、（2）两个概念（排列、组合）排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n个不同元素中任取m个不同元素、但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求、若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误、（3）两类基本公式排列数公式规定：0！=1组合数公式特别地：（4）两类基本性质排列性质：组合性质：性质1、, 性质2、在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质、解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，要求选择公式的形式就不同、排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即由写出、排列数与组合数里的m、n的关系是牢记：0！=1；组合数派生性质：（5）排列组合的综合应用排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关、组合与顺序无关，或者说与一种顺序有关、例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有个，而组成的三位数中个位、位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题有个不同的三位数、按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义、处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出来后，再进行排列在排列问题中，某几个元素必须在某几个固定位置，某几个元素不能在某几个位置，某几个元素必须在一起，某几个元素互不相邻等，是排列中的几种基本类型、在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一个在内，某些元素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几种基本类型、（6）二项式定理的有关概念第一、对通项要注意以下几点:①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r确定，该项也随之确定、②公式表示的是第r+1项，而不是第r项、③公式中a、b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n、第二、要注意区分，展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起、（7）二项式系数的性质①展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等、②若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项即第项的二项式系数最大；若二项式系数的幂指数是奇数，则展开式的中间两项即第（）项和第（）项的二项式系数相等且最大、③展开式的所有二项式系数的和等于、即④展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和、即 =注意：①用二项式定理进行幂的近似计算时，首先要将幂的底数拆成两项，构造二项式；其次要根据题设的精确度选取展开的项数、②利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要、③赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解决、四、教学建议1、在深刻理解的基础上，严格要求按照两个原理去做分类计数原理和分步计数原理是两个基本原理，它们既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终、搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性、分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类、分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事、分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事、从以上的分析可以看出，分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步、在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题、只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础、2、指导判定与顺序有无关系，分清排列与组合排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题、排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关、与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要、排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系、下面几种方法可供参考、 (1)指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序、教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通、 (2)能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别、 (3)学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列、在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题、3、引导联系现实情景，正确领会问题的实质排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述、也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程、据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）、要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题、久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高、4、倡导一题多解优化解法，交流合作互相启发排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法、若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解、教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法、排列与组合方法数比较多，无法逐一进行验证、为了防止重复、避免遗漏，除了一题多解之外，另一种切实有效的办法是倡导同学之间的交流与合作、排列、组合问题的分析与解答的过程不长，且逻辑性强，特别有利于语言交流、交流与合作不仅仅是解出题目、对答案，还要根据自己的理解说明分类还是分步的理由，每类或每步中、、及n、m取值的理由，不断反思自己的思考过程，让别的同学能在你思考的基础上进一步的思考，看清问题的其他方面、这样相互启发、多角度的考虑，定会加深对问题的理解，激发学习的兴趣、。

沪教版高中高三数学《排列组合与二项式定理》教案及教学反思

沪教版高中高三数学《排列组合与二项式定理》教案及教学反思教学目标本节课的教学目标包括：1.了解排列和组合的概念；2.掌握排列和组合的定义和公式；3.学习二项式定理及其应用；4.提高学生的解决实际问题的能力；5.培养学生的逻辑思维能力和数学抽象能力。

教学重点和难点本节课的教学重点为二项式定理及其应用，教学难点为排列和组合问题的解决。

教学内容排列和组合在学习排列和组合之前，我们先来了解一下“阶乘”的概念。

将正整数n及比n小但不小于1的正整数依次相乘所得的积，叫做n的阶乘，表示为n!。

例如，$5!=5\\times4\\times3\\times2\\times1=120$。

排列和组合是离散数学中常见的问题，它们的区别在于“有序”的概念。

排列是指从n个不同元素中取m个元素（$m\\leq n$），并按照一定的顺序排列。

根据排列的定义，从n个不同元素中取m个元素排列的情况数为$A_n^m=\\frac{n!}{(n-m)!}$。

与排列不同，组合是不考虑元素顺序的选择方式。

组合是指从n个不同元素中取m个元素（$m\\leq n$），并按照任意顺序排列。

根据组合的定义，从n个不同元素中取m个元素组合的情况数为$C_n^m=\\frac{A_n^m}{m!}=\\frac{n!}{m!(n-m)!}$。

二项式定理接下来我们学习二项式定理。

二项式定理是初中数学的重要知识点。

它描述了两个数之和的n次方的展开式式子。

二项式定理可以表示为：$$(a+b)^n=\\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$$其中，a,b为任意实数，n为正整数。

二项式定理与排列组合的应用通过上述知识，我们可以得出以下结论：$$\\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n$$这一结论在解决排列组合问题中非常有用。

例如，在一个班级里，男生有m个，女生有n个。

我们要从这m+n个人中选出k个人，其中男生数是偶数，女生数也是偶数。

该如何求出方案数？根据二项式定理，我们可以将(1+1)m和(1−1)n展开为：$$(1+1)^m=\\sum_{k=0}^mC_m^k$$$$(1-1)^n=\\sum_{k=0}^nC_n^k(-1)^k$$将以上两个式子相乘，并利用排列组合的知识，可得：$$\\sum_{k=0}^{n/2}C_m^{2k}\\cdot C_n^{2k}=2^{m+n-2}$$这个结论告诉我们，在上述条件下，组合方案数只与男生和女生的数量有关，并且可以用上述公式进行计算。

排列、组合、二项式定理的精品教案3篇

排列、组合、二项式定理的精品教案排列、组合、二项式定理的精品教案精选3篇（一）教案主题：排列、组合、二项式定理教学目标：1. 了解和理解排列、组合的概念和特点；2. 学习排列、组合的计算公式；3. 通过实际问题应用排列、组合的知识；4. 理解和应用二项式定理。

教学准备：1. PowerPoint演示文稿；2. 排列、组合的计算示例；3. 计算器。

教学流程：一、导入（5分钟）1. 引出学生对于排列、组合的了解，以及他们对于二项式定理的了解。

2. 引出排列、组合涉及到的实际问题，如抽奖、排座位等。

二、讲解排列（15分钟）1. 讲解排列的概念：从n个元素中选取r个元素进行排列，一共有多少种不同的排列方式。

2. 讲解排列的计算公式：P(n, r) = n!/(n-r)!。

3. 讲解排列的特点：次序有关，一个元素不能重复选取。

三、讲解组合（15分钟）1. 讲解组合的概念：从n个元素中选取r个元素进行组合，一共有多少种不同的组合方式。

2. 讲解组合的计算公式：C(n, r) = n!/[(n-r)!r!]。

3. 讲解组合的特点：次序无关，一个元素不允许重复选取。

四、讲解二项式定理（15分钟）1. 讲解二项式定理的概念：将一个二项式表达式展开后的结果。

2. 讲解二项式定理的公式：(a+b)^n = C(n, 0) a^n b^0 + C(n, 1) a^n-1 b^1 + ... + C(n, n-1) a^1 b^n-1 + C(n, n) a^0 b^n。

3. 讲解二项式定理的应用：展开二项式表达式，求特定项的值。

五、练习与应用（20分钟）1. 给出一些排列、组合的计算问题，让学生自主计算并回答。

2. 提供一些实际问题，让学生应用排列、组合的知识进行解决。

六、总结与延伸（5分钟）1. 对排列、组合和二项式定理进行简要总结。

2. 探讨一些延伸问题，如多项式展开、二项式系数等。

教学反思：1. 教学内容安排合理，从概念到计算公式，再到实际应用，能够让学生逐步理解和掌握知识。

高中高三数学《排列组合与二项式定理》教案、教学设计

（3）学生对于二项式定理的理解不够深入，难以灵活运用。
（二）教学设想
针对以上重难点，我设想以下教学策略：
1.创设情境，激发兴趣：
2.分层次教学，注重个体差异：
针对学生的不同水平，设计不同难度的题目，使学生在解决问题的过程中逐步提高。对于基础薄弱的学生，重点讲解排列组合的基本概念和计算方法；对于基础较好的学生，引导他们探索二项式定理的推导过程，提高解决问题的能力。
1.讲解排列组合的基本概念，如排列、组合的定义，以及它们之间的区别。
2.通过实例，引导学生掌握排列数、组合数的计算方法，并强调在实际问题中的应用。
3.介绍二项式定理的推导过程，让学生理解定理的含义，并学会运用定理进行计算。
4.结合典型例题，讲解排列组合与二项式定理在解决问题时的应用方法。
（三）学生小组讨论
2.在解决实际问题时，学生可能难以把握问题的实质，不能将问题转化为排列组合问题进行求解；
3.对于二项式定理，学生可能对其推导过程理解不深，难以灵活运用定趣和积极性有所差异，影响学习效果。
针对以上情况，教师在教学过程中应关注学生的个体差异，设计有针对性的教学活动，引导学生积极参与，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服困难，提高解决问题的能力。同时，注重培养学生的数学思维，提高他们对数学学科的认识，为高考数学复习打下坚实基础。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
（1）排列组合的基本概念及其在实际问题中的应用；
（2）排列数、组合数的计算方法；
（3）二项式定理的推导过程及其应用。
2.教学难点：
（1）学生对于排列组合概念的混淆，难以区分排列与组合的计算方法；
（2）学生在解决实际问题时，难以将问题转化为排列组合问题；

高中高三数学教案：排列、组合、二项式定理-基本原理

高中高三数学教案：排列、组合、二项式定理-基本原理教学目标：1. 理解排列、组合和二项式定理的基本概念和原理。

2. 能够应用排列、组合和二项式定理解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

教学准备：1. 教学资料：教科书、课件、习题集等。

2. 教学媒体：投影仪、电脑等。

教学过程：Step 1：引入和导入（5分钟）教师通过问题启发学生思考，引导学生认识到排列、组合和二项式定理在日常生活中的应用。

例如，从一副扑克牌中选出5张牌，有多少种不同的组合方式？Step 2：概念讲解（15分钟）2.1 排列的概念教师给出排列的定义，即从n个元素中取出m个元素，按照一定顺序排列的方式的总数。

教师讲解排列的计算公式及推导过程，并通过示例演示如何应用排列解决问题。

2.2 组合的概念教师给出组合的定义，即从n个元素中取出m个元素，不考虑顺序的方式的总数。

教师讲解组合的计算公式及推导过程，并通过示例演示如何应用组合解决问题。

2.3 二项式定理的概念教师给出二项式定理的定义，即(a+b)^n的展开公式。

教师讲解二项式定理的公式及推导过程，并通过示例演示如何应用二项式定理解决问题。

Step 3：练习和讨论（20分钟）教师出示一些具体问题，让学生自己尝试解答。

然后让学生分享自己的解题思路，并进行讨论。

教师对学生的解题思路进行指导和引导，帮助学生巩固理解和应用排列、组合和二项式定理的能力。

Step 4：拓展应用（10分钟）教师出示一些与排列、组合和二项式定理有关的实际问题，让学生尝试解答。

教师鼓励学生灵活运用所学知识解决问题，并引导学生思考如何将所学知识应用于其他领域。

Step 5：总结和归纳（5分钟）教师对本课内容进行总结和归纳，强调排列、组合和二项式定理的基本原理和应用。

同时，鼓励学生通过课后练习巩固和提高自己的能力。

Step 6：课堂小结（5分钟）教师向学生总结本节课的重点内容，并预告下节课的内容。

教学反思：本节课通过讲解排列、组合和二项式定理的相关概念和原理，并通过例题和实际问题的训练，培养了学生的逻辑思维和数学推理能力。