第13讲 几何不等式 深圳中学 周峻民

·竞赛专题

几何不等式

深圳中学 周峻民

一、知识与方法

几何不等式，顾名思义是研究几何图形中有关元素的数量不等关系，较多的涉及到三角形或多边形的边长、面积等方面的不等式．处理方法一般分为纯几何方法和转化为代数方法、三角方法加以解决，可寻找解题规律，但没有固定的解题模式，要善于抓住主要矛盾解决问题。其知识往往涉及到平面几何的重要定理、公式，代数（三角）的基本等式和不等式以及相关知识。

1．将几何问题转为代数问题

（1）利用三角形三边关系化为代数式：若三角形三边长为,,a b c ，则b c a +>，

c a b +>，a b c +>，由此，可设2y z a +=

，2z x b +=，2

x y

c +=，即x a b c =-++ 0>，0y a b c =-+>，0z a b c =+->，将含有边长,,a b c 的不等式（三角形几个重要

元素，如，外接圆半径R 、内切圆半径r 、面积、中线、高线、角平分线等）化为含有正数

,,x y z 的代数不等式.

（2）利用正弦定理：2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===将含有边长,,a b c 的不等式化为三角函数不等式.在化为三角函数不等式时应注意以下等式的应用：

2

2

2

cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=；

222222444

2(sin sin sin sin sin sin )sin sin sin B C C A A B A B C ++--- 2

2

2

64sin sin sin A B C =；

tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； cot cot cot cot cot cot 1B C C A A B ++= 等等。

2．几何方法

利用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式：

（1）抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系．事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙； （2）与面积有关的几何不等式也占有重要地位．其内容丰富，涉及面宽，富于智巧．证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识．

下面给出几个重要的几何不等式：

·Ptolemy （托勒密）不等式

若ABCD 为四边形，则AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≤⋅，等号成立当且仅当ABCD 四点共圆．

·Erdös-Mordell （埃尔多斯-莫德尔）不等式

设P 是ABC ∆内的任意一点，P 到三边BC ，CA ，AB 的距离分别是

,,PD p PE q PF r ===，并记,,PA x PB y PC z ===，则()2x y z p q r

++≥++，等

号成立当且仅当ABC ∆是正三角形且P 为此三角形的中心．

·Weitzenberk （外森比克）不等式

设ABC ∆的边长和面积分别为c b a ,,和S ，则S c b a 342

22≥++，当且仅当ABC ∆为正三角形时等号成立．

·Euler （欧拉）不等式

设ABC ∆的外接圆与内切圆的半径分别为R 、r ，则2R r ≥，当且仅当ABC ∆为正三角形时等号成立．

·Fermat （费马）问题

在ABC ∆中，使PA+PB+PC 为最小的平面上的P 点称为费马点．当120BAC ∠≥︒时，A 点为费马点；当每个内角均小于120︒时，则与三边张角为120︒的P 点为费马点．

·三角嵌入不等式

设,,x y z R ∈，(21)A B C k π++=+，k Z ∈，则

C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．

二、范例选讲

例题1． 设P 是ABC ∆内的一点，求证：,,PAB PBC PCA ∠∠∠中至少有一个小于或等于

30︒．

B

C

B

C

证明1：连接AP 、BP 、CP ，并延长交对边于D 、E 、F ，则

1PBC PCA PAB

ABC ABC ABC

S S S PD PE PF AD BE CF S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=． 设,,PAB PBC PCA αβγ∠=∠=∠=，则

sin sin sin PF PD PE PD PE PF

y PA PB PC PA PB PC

αβγ≤⋅⋅=⋅⋅=． 令123,,PD PE PF

x x x AD BE CF ===，那么1231x x x ++=，且PD PE PF y PA PB PC =

⋅⋅312123

111x x x x x x =⋅⋅---31

2233112

x x x x x

x x x x =

⋅⋅+++1

8

≤=，当且仅当12313x x x ===时

取等号，所以1sin sin sin 8αβγ≤，由此推出sin ,sin ,sin αβγ中至少有一个不大于1

2

． 不失一般性，设1

sin 2α≤

，则30α≤︒或150α≥︒．当150α≥︒时，,30βγ<︒，命题也成立．当1

sin sin sin 8

αβγ=时，点P 既是ABC ∆的重心，又是ABC ∆的垂心，此时ABC

∆是正三角形．

证明2：（反证法）设30,,120PAB PBC PCA ︒<∠∠∠<︒，则sin sin30PD

PAB PA

=∠>︒，即2PD PA >；同理2PE PB >，2PF PC >．于是有

()2PD PE

PF PA PB PC ++>++，这与Erdös-Mordell 不等式矛盾．

例题2． 求证：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线之和不小于4+ 证明：设四边形ABCD 是任一面积为1的凸四边形（如图1），于是有

()11sin 2eg gf fh he α=+++()1

2eg gf fh he ≤+++()()12e f g h =

++2

122e f g h +++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

，即对角线之和为e f g h +++≥

另一方面，有

1111

22sin sin sin sin 2222

ABCD S ab A bc B cd C da D ==

+++四边形