重力势能和机械能守恒定律

“重力势能和机械能守恒定律”的典型例题

【例1】如图所示，桌面距地面0.8m，一物

体质量为2kg，放在距桌面0.4m的支架上．

（1）以地面为零势能位置，计算物体具有

的势能，并计算物体由支架下落到桌面过程

中，势能减少多少？

（2）以桌面为零势能位置时，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到桌面过程中势能减少多少？

【分析】根据物体相对零势能位置的高度，直接应用公式计算即得．

【解】（1）以地面为零势能位置，物体的

高度h1=1.2m，因而物体的重力势能：

Ep1=mgh1=2×9．8×1．2J=23．52J

物体落至桌面时重力势能：

Ep2=mgh2=2×9．8×0．8J=15．68J

物体

重力势能的减少量：

△Ep=Ep1-Ep2=23．52J-15．68J=7．84J

而物体的重力势能：

物体落至桌面时，重力势能的减少量

【说明】通过上面的计算，可以看出，物体的重力势能的大小是相对的，其数值与零势能位置的选择有．而重力势能的变化是绝对的，它与零势能位置的选择无关，其变化值是与重力对物体做功的多少有关．当物体从支架落到桌面时重力做功：

【例2】质量为2kg的物体自高为100m处以5m／s的速度竖直落下，不计空气阻力，下落2s，物体动能增加多少？重力势能减少多少？以地面为重力势能零位置，此时物体的机械能为多少？（g取10m／s2）

【分析】物体下落时，只受重力作用，其加速度a=g，由运动学公式算出2s末的速度和2s内下落高度，即可由定义式算出动能和势能．

【解】物体下落至2s末时的速度为：

2s内物体增加的动能：

2s内下落的高度为：

重力势能的减少量：

此时物体离地面的高度为：

h′=H－h=（100－30）m=70m

以地面为零势能位置时，物体的机械能为：

【说明】抛出后，由于物体只受重力作用，整个运动过程中只有重力做功，物体的机械能守恒．刚抛出时，物体的机械能为：

在下落过程中，重力势能的减少量恰等于动能的增加量，即

△Ek=△Ep

【例3】质量为1.0kg的物体，自空中落下，以8.0m／s2的加速度经A点到达B 点，A、B相距0.75m．若物体在B点时的动能为8.0J，那么通过AB的过程中物体动能的增加量为多少？物体克服阻力做多少功？（取g=10m／s2）

【分析】由于下落的加速度a＜g，在下落时一定受到阻力，根据牛顿第二定律，可算出阻力，于是即可得克服阻力的功．已知物体在B点的动能，可算出在B 点的速度，结合运动学公式算出A点的速度后，即可算出动能的增量．

【解】设下落中物体受到的阻力为f，由

mg－f=ma

得f=mg-ma=1.0(10-8)N=2N

物体克服阻力做功：

物体从A落到B的过程中，动能的增加量为：

△Ep=EkB－EkA=8.0J－2.0J=6.0J

【说明】物体从A落到B的过程中，势能减少：

△Ep=mgs=1×10×0.75J=7.5J

它大于物体动能的增加，可见其机械能不守恒．这是由于存在阻力的缘故．势能的减少与动能增加量之差恰等于物体克服阻力做的功，即

△Ep－△Ek=Wf

这也就是从A到B的过程中所减少的机械能．

【例4】如图所示，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r《R，有一质量m，半径比r略小的光滑小球以水平初速v0射入圆管，（1）若要小球能从C端出来，初速v0多大？（2）在小球从C端出来的瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速v0各应满足什么条件？

【分析】小球在管内运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，要求小球能从C 端射出，小球运动到C点的速度vc＞0．根据机械能守恒定律即可算出初速v0．小球从C端射出时可能有三种典型情况：①刚好对管壁无压力；②对下管壁有压力；③对上管壁有压力．同理由机械能守恒可确定需满足的条件．

【解】（1）小球从A端射入后，如果刚好能到达管顶，则vc=0，由机械能守恒

因此，要求小球能从C端出来，必须使vc＞0，所以入射速度应满足条件

（2）小球从C端出来的瞬间，可以有三种典型情况：

①刚好对管壁无压力，此时需满足条件

联立得入射速度

②对下管壁有压力，此时相应的入射速度为

③对上管壁有压力，相应的入射速度为

【例5】如图所示，劲度系数k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2栓接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2栓接，下端压在桌面（不栓接），整个系统处于平衡状态．现施力将物块1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面．在此过程中，物块2的重力势能增加了______，物块1的重力势能增加了________．

【分析】设原来两弹簧压缩量分别为x1和x2，由物体的力平衡知

当施力将物块1缓慢上提至下面弹簧刚脱离桌面时，表示下面的弹簧已恢复原长，物块2升高的高度h2=x2，所以在此过程中，物块2的重力势能增加

此时，上面的弹簧受到拉伸，设其伸长量为x'1，由物块2的力平衡条件知，

则物块1在这过程中升高的高度为

所以，物块1的重力势能增加

【例6】关于机械能是否守恒的叙述，正确的是[ ]

A．作匀速直线运动的物体的机械能一定守恒

B．作匀变速运动的物体机械能可能守恒

C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒

D．只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒

【分析】机械能守恒的条件是除重力对物体做功外，没有其它外力对物体做功，或其它外力对物体做功的代数和等于零．

当物体作匀速直线运动时，除重力对物体做功外，可能还有其他外力做功．如降落伞在空中匀速下降时，既有重力做功，又有阻力做功，机械能不守恒．

物体作匀变速运动时，可能只有重力对物体做功，如自由落体运动，此时物体的机械能守恒．

因物体所受的外力，指的是包括重力在内的所有外力，当外力对物体做功为零时，可能是处于有介质阻力的状态，如匀速下降的降落伞，所以机械能不一定守恒．【答】B，D．

【例7】某人以v0=4m／s的初速度，抛出一个质量为m的小球，测得小球落地时的速度大小为8m／s，则小球刚抛出时离开地面的高度为多少？取g=10m／

s2．空气阻力不计．

【分析】小球从抛出到落地过程中，不受阻力，只有重力做功，由小球的机械能守恒即可算出离地高度．

【解答】设小球抛出时的高度为h，落地速度为vt，取抛出和落地为始、末两状态，以地面为零势能位置，由机械能守恒定律得：

出结果，尽管答案相同，但是不正确的．这里的小球不一定作直线运动，必须根据机械能守恒求解．

【例8】如图所示，以速度v0=12m／s沿光滑地面滑行的小球，上升到顶部水平的跳板上后由跳板飞出，当跳板高度h多大时，小球飞行的距离s最大？这个距离是多少？（g=10m／s2）

【分析】小球上滑到跳板顶端的过程中，只有重力做功，机械能守恒．从跳板顶飞出，小球作平抛运动．

【解】设小球从跳板顶飞出的速度为v，由机械能守恒（取底部为势能的参考平面）

得

小球从顶端飞出后作平抛运动，其水平位移为

为了找出使水平位移s最大的条件，对上式作变换得

可见，当满足条件

小球飞出后的水平距离最大，其值为

【例9】图中圆弧轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点，轨道的切线是水平的．一质点自A点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B点时的加速度大小和刚滑过B点时的加速度大小分别为( )

A．0，g B．g，g C．2g，g D．2g，2g

【分析】质点从A到B的下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒．取过B点的水平面为零势能面，设轨道半径为R，则有

质点从A到B是作变速圆周运动，当它刚到达B点瞬间的加速度为

联立（1），（2）两式得

质点刚滑过B点，仅受重力作用，其加速度大小为

【答】C．

【说明】必须注意，物体的加速度跟所受外力是一个瞬时关系，一旦外力变化，加速度随即变化．图中质点刚到达B点时，受到轨道向上的弹力和竖直向下的重力作用，产生的加速度指向过B点竖直向上的方向，即指向圆心．刚滑过B 点，轨道支持力为零，仅受重力作用，产生的加速度竖直向下．

物体的速度则由于惯性，力图保持不变，图中质点在刚到达B

【例10】如图1所示，ABC和AD是两上高度相等的光滑斜面，ABC由倾角不同的两部分组成，且AB+BC=AD，两个相同的小球a、b从A点分别沿两侧斜面由静止滑下，不计转折处的能量损失，则滑到底部的先后次序是[ ]]

A．a球先到B．b球先到

C．两球同时到达D．无法判断

【分析】小球沿两斜面下滑过程中，都只有小球的重力做功，机械能守恒，因此，a、b两球滑到底端的速度大小一定相等，即vC=vD．

在AD斜面上取AB′=AB（图2），由于AB部分比AB′部分陡些，小球滑到B点的速度必大于滑到B′点的速度，即

vB＞vB′．

因此，两球在AB与AB′段、BC与B′D段上的平均速度的大小必然是

由于对应的斜面长度

AB=AB′，BC=B′D．

所以通过它们的时间长短必然是

tAB＜tAB′，tBC＜tB′D．

也就是说，沿ABC斜面的小球先滑到底部．

【答】A．

【说明】本题还可以画出v-t图作出更简捷的判断．如图3所示，为沿ABC和AD下滑小球a、b的v-t图．由于AB+BC=AD，则图线下方与t轴间的面积应相等，也就是图中划有斜线的两部分面积相等，显然，两球运动时间必然是ta＜tb．

图3

【例11】如图1，一个质量为m的小球拴在全长L的细线上做成一个单摆，把小球从平衡位置O拉至A，使细线与竖直方向成θ角，然后轻轻释放．若在悬点O′的正下方有一颗钉子P，试讨论，钉子在何处时，

（1）可使小球绕钉来回摆动；

（2）可使小球绕钉做圆周运动．

【分析】小球摆动过程中，只有小球的重力做功．当不考虑细线碰钉时的能量损失时，无论小球绕钉来回摆动，或绕钉做圆周运动，小球的机械能都守恒．【解】（1）小球绕钉来回摆动时，只能摆到跟开始位置A等高的地方，因此，钉子P的位置范围只能在过A点的水平线与竖直线OO′的交点上方（图2），即钉子离悬点O′的距离h应满足条件0≤h≤Lcosθ．

（2）设钉子在位置P′时刚好使小球能绕钉做圆周运动，圆半径R=P′O，设小球在最高点C的速度为vc，并规定最低处O为重力势能的零位置（图3），由A、C两位置时的机械能守恒EA=EC，即

又因为刚好能越过C点做圆运动，此时绳中的张力为零，由重力提供向心力，即

所以钉子P′离悬点O′的距离

如果钉子位置从P′处继续下移，则小球将以更大的速度越过圆周的最高点，此时可由绳子的张力补充在最高点时所需的向心力，仍能绕钉子做圆周运动．所以，能绕钉做圆运动时钉子离悬点的距离h′应满足条件

【说明】由本题的解答可知，位置P是小球能绕钉来回摆动的最纸位置；位置P′是小球能绕钉做圆周运动的最高位置．如钉子在PP′之间，则悬线碰钉后，先绕钉做圆运动，然后将在某一位置上转化为斜抛运动．

【例12】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径比细管内径略小的小球（可视为质点）．A 球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足的关系式是______．

【分析】A球运动到最低点时，由外壁对它产生的弹力NA和A球重力m1g的合力作为向心力，即

A球对外壁产生的压力NA′大小等于NA，方向沿半径背离圆心（图1）．

要求对圆管的合力为零，B球在最高点时也必须对外壁（不可能是内壁）产生一个等量的压力NB′．因此，B球在最高点有向外壁挤压的作用，由外壁对它产

生的弹力NB和球重m2g的合力作为向心力（图2）．设B球在最高点的速度为vB，据向心力公式和机械能守恒有

根据题意NA′=NB′，即要求

【例13】如图所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定有一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r／2处固定一个质量也为m的小球B．放开盘让其自由转动，问：

（1）当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？

（2）A球转到最低点时的线速度是多少？

（3）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

【分析】两小球势能之和的减少，可选取任意参考平面（零势能位置）进行计算．由于圆盘转动过程中，只有两个小球重力做功，根据机械能守恒即可列式算出A 球的线速度和半径OA最大偏角．

【解】（1）以通过O的水平面为零势能位置，开始时和A球转到最低点时两球重力势能之和分别为

∴两球重力势能之和减少

（2）由于圆盘转动过程中，只有两球重力做功、机械能守恒，因此，两球重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加．设A球转到最低点时，A、B两球的速度分别为vA、vB，则

因A、B两球固定在同一个圆盘上，转动过程中的角速度（设为ω）相同．由

得vA=2vB．

代入公式，得

（3）设半径OA向左偏离竖直线的最大角度为θ如图，该位置的机械能和开始时机械能分别为

由机械能守恒定律E1=E3，即

即2cosθ=1+sinθ．

两边平方得

4（1－sin2θ）=1+sin2θ+2sinθ，5sin2θ+2sinθ－3=0，

【例14】一个质量为m的木块，从半径为R、质量为M的1/4光滑圆槽顶端由静止滑下，在槽被固定和可沿着光滑平面自由滑动两情况下，如图，木块从槽口滑出时的速度大小之比为[ ]

【分析】槽固定时，木块下滑过程中只能有重力做功，木块的机械能守恒，木块在最高处的势能全部转化为滑出槽口时的动能．由

得木块滑出槽口的速度

槽可动时，当木块开始下滑到脱离槽口的过程中，对木块和槽所组成的系统，水平方向不受外力，水平方向的动量守恒．设木块滑出槽口时的速度为v2，槽的速度为u，则

mv2+Mu=0

又木块下滑时只有重力做功，机械能守恒，木块在最高处的势能转化为木块滑出槽口时的动能和圆槽的动能，即

联立两式得木块滑出槽口的速度

因此，两情况下滑出槽口的速度之比

【答】D．

【例15】如图，长为L的光滑平台固定在地面上，平台中央有两小物体A和B，彼此接触靠在一起，A的上表面有一半径为R（R L）、顶端距台面高h的圆槽，槽顶有一小物体C，A、B、C三者质量均为m，现使物体C由静止沿圆槽下滑，且运动过程中它始终与圆槽接触，求

1．A和B刚分离时，B的速度；

2．A和B分离后，C能达到距平台的最大高度．

【分析】物体C下滑时，C对A作用力的水平分力向右，推动A、B一起向右加速运动．当C滑至圆槽底部时，C对A作用力的水平分力为零，A、B两者向右的加速过程结束，速度达到最大．以后，C将沿圆槽上滑，C对A作用力的水平分力向左，A将开始做减速运动，而B则沿平台匀速向右．因此，C滑至圆槽底部的时刻就是A、B即将分离的时刻．

把A、B、C三个物体组成的系统作为研究对象，C下滑过程中，系统在水平方向不受外力，动量守恒．同时，整个系统无重力和弹力以外的力作功，机械能守恒．联合应用这两条守恒定律，即可得解．

【解】规定以水平向右为正方向，由C刚开始滑下和C滑至圆槽底部两时刻的动量守恒，

0=mvA+mvB－mvC．（1）

又由于整个系统无重力和弹力以外的力作功，机械能守恒，当取槽底为零势能位置时，

且vA=vB．

由（1）、（3）两式，得vC=2vB，代入（2）式，即得

2．C沿圆槽上滑，至某一最高点时，A、C两者无相对运动，设此时共同速度为v，其方向为水平向左，仍以A+B+C为研究对象，由C刚开始滑下至C、A两者相对静止两时刻动量守恒（此时B以速度vB沿平台匀速右滑），则

0=mvB－2mv．（4）

又由整个系统的机械能守恒，当取平台为零势能位置时，则

【说明】确定A、B两物体何时分离，是解答前半题的关键，此外在应用动量守恒定律时，可始终以A+B+C为研究对象，其初动量恒为零，列式较为简单．【例16】在光滑的水平面上有运动的物体A，其质量为mA，动能为Eka,另有静止的物体B，其质量为mB．在物体B的一个侧面固定一个劲度系数为k的轻质弹簧．如图所示．若物体A冲向弹簧并推动物体B，且相互作用过程中没有能损耗，问

（1）mA、mB之间的关系满足什么条件，物体A传给B的动能最大？最大值是多少？

（2）如果相互作用后，物体A、B的速率相等，那么mA∶mB=?

（3）如果相互作用后，物体A、B的动能相等，那么mA∶mB=？

（4）相互作用过程中，弹簧的最大压缩量为多少？

【分析】取物体A和B（包括弹簧）组成的系统为研究对象，物体A、B相互作用的过程中，所受到的合外力为零，因此，系统的动量守恒，且题目给定相互作用过程中没有能量损耗，这就意味着系统的机械能守恒．在运用动量守恒和机械能守恒建立方程时，要注意选择合适的两个时刻．（1）～（3）问涉及相互作用结束时物体的动能、速率，要选择相互作用始、末两状态建立方程．而（4）问中要求解弹簧的最大压缩量，当然此时刻并非是弹簧作用的结束，但可以选此时刻和初始时刻，来建立方程求解相关问题．

【解】设物体A、B相互作用前，A的速度是v0，作用后A、B的速度分别为vA′和vB′．

据动量守恒定律有

据机械能守恒定律有

联立（1）、（2）两式解得

（1）物体A传给B的动能，即相互作用后B的动能为

由此可知，当mA=mB时，E′KB取最大值，且最大值为EKA，

若vA′=vB′时，有

解得，－mA=mB，物体的质量不可能有负值，此解无意义．

若vA′=vB′时，有

解得mB=3mA，即mA∶mB=1∶3．

vA′和vB′后整理得

两解都合题意．

（4）当弹簧压缩量最大时，物体A、B间没有相对运动，即A和B的速度相等，若其速度为v．据动量守恒和机械能守恒有

联立（3）、（4）两式解得

【说明】

（1）数学是解决物理问题的工具，通常物理问题中求最大值的一类习题，实质上就是数学上求函数极值的问题．为此，第（1）问中，首先要写出动能E′KB 的函数表达式，继而根据函数的性质确定其极值．

（2）用数学方法求出的解具有更普遍的意义，这些解是否符合题意，且明确的物理意义，还必须加以分析，本题（2）问中，有一个解出现了“负质量”，这在物理中是不存在的，必须舍去．但在（3）问中，通过解方程也得到两个解，而这两个解则都合题意，则应保留．

（3）在解第（4）问时，建立动量守恒和机械能守恒的方程时，选择了相互作用的初始时刻和相互作用过程中间的一个时刻，而不是相互作用末时刻．这正是运用了动量守恒和机械能守恒是对全过程而言的性质．

[例17]小球A、B分别固定在长度均为L的轻线、轻杆的下端，杆的上端分别固定于O点，且均能绕O点无摩擦地转动。要求小球能绕过最高点，求小球在最低点的最小速度v1、v2各为多大？

[分析]线或杆对小球的弹力，在小球绕O点做圆周运动的过程中，始终与瞬时速度相垂直，所以弹力不做功，只有重力作功，小球的机械能守恒，要注意到线与杆对球约束的差异，线可受拉力不能受压力，所以A球达最高点线的拉力的最小值为零，线不可能给球以支持力，球速不能小于；杆可受拉力也可受压力，所以B球达最高点杆可以给球以支持力，球速允许等于零。

[解]要求A球作圆周运动达到最高点，并具有最小的速度，则要求线处于要松而又未松的临界状态，即拉球的弹力等于零的状态。A球在最高点受的重力提供向心力

由机械能守恒定律，设球的最低点重力势能为零，即

要求B球达到最高点，且具有最小的速度，杆可以给球支持力F，当F=mg时,v=0，由机械能守恒定律，

[说明]通过本例可看到线和杆对球约束的不同，反映到达最高点临界条件不同。

[例18]在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”，这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到

最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）。已知A、B、C三球的质量为均为m，

（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能

[分析]全部运动过程可分阶段来研究。运用动量守恒定律时，要选好相互作用的系统，注意整个过程中，能量的转化。

[解]

（1）设C球与B球粘连成D时，D的速度为v1，由动量守恒，有

mv0=(m+m)v1 ①

当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒，有

2mv1=3mv2 ②

由①、②两式得A的速度

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP，由能量守恒，有

撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧恢复到自然长度时，势能全部转变成D的动能，设D的速度为v3，则有

以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v4，由动量守恒，有

2mv3=3mv4 ⑥

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为EP’，由能量守恒，有