微分方程方法
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开普勒三大定律：
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
一阶微分方程：
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
设平面方程
dx1 dt
f (x1, x2 )
dx2
dt
g(x1, x2 )
（4）
的平衡点为 x1
x（1 0），x 2
x (0) 2
，记为
P0
(
x（1 0），x 2( 0 )
5
2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
如果引入向量
x
(x1, x2,, xn )T ,
f
(
f1,
f 2 ,,
f
n
)T
,
dx dt
dx1 dt
, dx2 dt
,,
dxn dt
T
则方程（2）可以写为简单的形式：
dx
f (t, x)
dt
第三章 微分方程方法
微分方程的一般理论； 微分方程的平衡点及稳定性； 案例：战争的预测与评估问题； 案例：SARS的传播问题。
2
2020年1月17日
第三章 微分方程方法
微分方程是研究函数变化规律的有力 工具，有着广泛和实际的应用。
含有微分项的方程通称为微分方程。
3
2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
x0
(t0 ) ，此处 h
min a,
b M
, M
max
( t , x )R
f
(Biblioteka Baidu, x)
。
8
2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
2. 微分方程解的存在唯一性
定理 2 如果函数 f (t, x) 在 R : t t0 a, x x0 b
上连续，且满足 Lipschitz 条件:存在 L 使得
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
如果对所有可能初值条件，方程组（2）的解
x (t) 都满足
lim
t
(t)
x0
则称平衡点 x0 是稳定的；否则是不稳定的。
问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？
14
2020年1月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
判断平衡点的稳定性有两种方法：
如果记
dix dti
yi (i
0,1,2,, n)
,则
dyn1 dt
f (t; y0, y1,, yn1)
dx
f (t, x)
dt
x(t0 ) x0
7
2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
2. 微分方程解的存在唯一性
问题：正规方程组（2）的解在 什么条件下存在，且唯一呢？
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2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
3. 微分方程的稳定性问题
微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实 际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽 略次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素。
干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持 续地起作用。
问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰 因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也 只引起对应解的微小变化？
dx dt
f
(x0 )(x
x0 )
显然 x0 也是该方程的平衡点，其稳定性取决于 f (x0 ) 符号：
若 f (x0 ) 0 ，则平衡点 x0 是稳定的； 若 f (x0 ) 0 ，则平衡点是不稳定的。
16
2020年1月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
3.平面方程的平衡点及稳定性
f (t, x(1) ) f (t, x(2) ) L x(1) x(2) ，
其 中 (t, x(1) ), (t, x(2) ) R , 则 方 程 组 （ 2 ） 满 足 初 值 条 件
x0 (t0 ) 的解是唯一的。
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
x(t0) x0
即与（1）的形式相同，当 n 1
时为（1）。
dx
f (t, x)
dt
x(t0 ) x0
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2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
对于任一高阶的微分方程
dnx dt n
f
(t;
x,
dx dt
,,
d n1x dt n1
)
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
设方程组（2）：
dx
dt
f
(t,
x)
x(t0 ) x0
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点（或奇点）。且称 x x0
为方程组的平凡解（或奇解）。
13
2020年1月17日
间接方法：首先求出方程的解 x (t) ，然后
利用定义
lim
t
(t)
x0
来判断。
直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性。
15
2020年1月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
2. 一阶方程的平衡点及稳定性
方程
dx dt
f
(x) 的平衡点 x
x0
的稳定性判断方法：
直接方法：将函数 f (x) 在 x0 点作一阶泰勒展开，即
10
2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
3. 微分方程的稳定性问题
（1）有限区间的稳定性 （2）无限区间的稳定性 （3）渐近稳定性 （4）经常扰动下的稳定性
11
2020年1月17日
第三章 微分方程方法
实际中，对于很多问题的微分方程 模型并不需要求其一般解，而是需要求 其某种理想状态下的解，这种解称为平 衡点。
定理 1（Cauchy-Peano）
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
如果函数 f (t, x) 在区域 R : t t0 a, x x0 b 上连续，
则 方 程 组 （ 2 ） 在 t t0 h 上 有 解 x (t) 满 足 初 值 条 件
（1）
其中 f (t, x) 是 t 和 x 的已知函数， x(t0 ) x0 为初始条件。
一阶的微分方程组：
dxi dt
fi (t, x1, x2 ,, xn )
(i 1,2,, n)
(2)
xi (t0 ) xi(0) (i 1,2,, n)
方程组（2）又称为一阶正规方程组。
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
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2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
一阶微分方程：
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
设平面方程
dx1 dt
f (x1, x2 )
dx2
dt
g(x1, x2 )
（4）
的平衡点为 x1
x（1 0），x 2
x (0) 2
，记为
P0
(
x（1 0），x 2( 0 )
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2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
如果引入向量
x
(x1, x2,, xn )T ,
f
(
f1,
f 2 ,,
f
n
)T
,
dx dt
dx1 dt
, dx2 dt
,,
dxn dt
T
则方程（2）可以写为简单的形式：
dx
f (t, x)
dt
第三章 微分方程方法
微分方程的一般理论； 微分方程的平衡点及稳定性； 案例：战争的预测与评估问题； 案例：SARS的传播问题。
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2020年1月17日
第三章 微分方程方法
微分方程是研究函数变化规律的有力 工具，有着广泛和实际的应用。
含有微分项的方程通称为微分方程。
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2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
x0
(t0 ) ，此处 h
min a,
b M
, M
max
( t , x )R
f
(Biblioteka Baidu, x)
。
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2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
2. 微分方程解的存在唯一性
定理 2 如果函数 f (t, x) 在 R : t t0 a, x x0 b
上连续，且满足 Lipschitz 条件:存在 L 使得
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
如果对所有可能初值条件，方程组（2）的解
x (t) 都满足
lim
t
(t)
x0
则称平衡点 x0 是稳定的；否则是不稳定的。
问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？
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2020年1月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
判断平衡点的稳定性有两种方法：
如果记
dix dti
yi (i
0,1,2,, n)
,则
dyn1 dt
f (t; y0, y1,, yn1)
dx
f (t, x)
dt
x(t0 ) x0
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2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
2. 微分方程解的存在唯一性
问题：正规方程组（2）的解在 什么条件下存在，且唯一呢？
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2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
3. 微分方程的稳定性问题
微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实 际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽 略次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素。
干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持 续地起作用。
问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰 因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也 只引起对应解的微小变化？
dx dt
f
(x0 )(x
x0 )
显然 x0 也是该方程的平衡点，其稳定性取决于 f (x0 ) 符号：
若 f (x0 ) 0 ，则平衡点 x0 是稳定的； 若 f (x0 ) 0 ，则平衡点是不稳定的。
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2020年1月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
3.平面方程的平衡点及稳定性
f (t, x(1) ) f (t, x(2) ) L x(1) x(2) ，
其 中 (t, x(1) ), (t, x(2) ) R , 则 方 程 组 （ 2 ） 满 足 初 值 条 件
x0 (t0 ) 的解是唯一的。
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
x(t0) x0
即与（1）的形式相同，当 n 1
时为（1）。
dx
f (t, x)
dt
x(t0 ) x0
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2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
对于任一高阶的微分方程
dnx dt n
f
(t;
x,
dx dt
,,
d n1x dt n1
)
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
设方程组（2）：
dx
dt
f
(t,
x)
x(t0 ) x0
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点（或奇点）。且称 x x0
为方程组的平凡解（或奇解）。
13
2020年1月17日
间接方法：首先求出方程的解 x (t) ，然后
利用定义
lim
t
(t)
x0
来判断。
直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性。
15
2020年1月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
2. 一阶方程的平衡点及稳定性
方程
dx dt
f
(x) 的平衡点 x
x0
的稳定性判断方法：
直接方法：将函数 f (x) 在 x0 点作一阶泰勒展开，即
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2020年1月17日
一、微分方程的一般理论
3. 微分方程的稳定性问题
（1）有限区间的稳定性 （2）无限区间的稳定性 （3）渐近稳定性 （4）经常扰动下的稳定性
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2020年1月17日
第三章 微分方程方法
实际中，对于很多问题的微分方程 模型并不需要求其一般解，而是需要求 其某种理想状态下的解，这种解称为平 衡点。
定理 1（Cauchy-Peano）
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
如果函数 f (t, x) 在区域 R : t t0 a, x x0 b 上连续，
则 方 程 组 （ 2 ） 在 t t0 h 上 有 解 x (t) 满 足 初 值 条 件
（1）
其中 f (t, x) 是 t 和 x 的已知函数， x(t0 ) x0 为初始条件。
一阶的微分方程组：
dxi dt
fi (t, x1, x2 ,, xn )
(i 1,2,, n)
(2)
xi (t0 ) xi(0) (i 1,2,, n)
方程组（2）又称为一阶正规方程组。