(华师版初中数学教案全)第二十二章二次根式

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第二十二二次根式导学案华师

22.1 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程（一）复习引入：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是。

（二）提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x 2、计算：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是。

2)3(________)(2=a 43、当a为正数时指a 的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。

（三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习： x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ②223x + ③ 2、（1）若33a a ---有意义，则a 的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x 为（）。

华师大版数学九年级数学教案：22.2 二次根式的乘除

22．2 二次根式的乘除（1）a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用．教学目标：1a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简2a≥0，b≥0）并运用它进行计算；（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键1a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．2a≥0，b≥0）．a⨯3（a<0,b<0）=b．教学过程：一、设疑自探——解疑合探自探.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空：（1=____；（2=_____=________．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×________2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4，（5．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:合探1. 计算：（1，（2，（3，（4a≥0，b≥0）计算即可．合探2 化简（1，（2，（3，（4，（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展：判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2=4四、巩固练习（1）计算（生练，师评）①②×(2) 化简: ; ;五、归纳小结（师生共同归纳）本节课掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及运用．六、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1，那么此直角三角形斜边长是（）A．B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C．D．x-=）311A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．=8 B．×；C．D．×（二）、填空题：1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．（三）、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．七、反思及感想：22．2 二次根式的乘除（2）=a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标;1、a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行运算．2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程; 一、设疑自探——解疑合探自探.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空（1=____；（2；（3；（4．2．利用计算器计算填空:（1，（2=_____，（3=____，（4=_____．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评），根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．合探1．计算：（1（2 （3 （4分析：上面4a ≥0，b>0）便可直接得出答案．合探2．化简：（1 （2 （3 （4（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．二、应用拓展=，且x 为偶数，求（1+x 的值．a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x -6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．三、归纳小结（师生共同归纳）a ≥0，b>0（a ≥0，b>0）及其运用．四、作业：（写在小黑板上） (一)、选择题:1的结果是（）．A ．27； B ．27； C ； D2====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”）．A ．2B ．6C ．13D(二)、填空题 1．分母有理化:(1)=_________;(2) =________;(3)=______.2．已知x=3，y=4，z=5_______．(三)、综合提高题计算AC（1·（m>0，n>0）（2）-（a>0）五、反思及感想：22.2 二次根式的乘除(3)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标：1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键：1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）计算（1（2，（3=自探2. 观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．合探 1. 把下面的二次根式化为最简二次根式：(1) ;(2);(3)合探2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．132====6.5（cm ）因此AB 的长为6.5cm ．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，=，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+）+1）的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．五、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A（y>0） B y>0） C y>0） D ．以上都不对2．把（a -1中根号外的（a -1）移入根号内得（）．A B C ． D ． 3．在下列各式中，化简正确的是（）A ．B ．=±12C ．2D ．4的结果是（） A ．； B ．； C ．； D ．（二）、填空题1．（x ≥0）2．_________．（三）、综合提高题1．已知a不正确，请写出正确的解答过程：a·1（a-1a-的值．2．若x、y为实数，且y x y六、反思及感想：。

九年级数学上册第22章(课) 二次根式教案第1课时教学

五、应用拓展例 1 计算
学生独自完成，在全体订正答案.
1．（ x 1 ）2（x≥0） 2．（ a2 ）2 3．（ a2 2a 1 ）2
4．（ 4x2 12x 9 ）2
例 2 在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4
(3) 2x2-3
3
教师活动本节课要掌握：
学生活动
(2)若 a 1 + b 1 =0，求 a +b 2004 2004 的值．(答案: 2 ) 5
三． a （a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出（ 9 ）2=______；
a （a≥0）是一个非负数．
（ 3 ） 2= _______ ；
老师点评： 4 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义，
纵坐标相等的点的坐标是___________．
同学们独立完成这些问题：
A
问题 2：如图，在直角三角形 ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90 那
么 AB 边的长是__________．
二、例题讲解
B
C
很明显 3 、 10 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些
正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一
（5） x y
4.计算下列各式的值：
（ 18 ）2 （ 2 ）2 （ 9 ）2 （ 0 ）2 （4 7 ）2
3
4
8
1
(3 5)2 (5 3)2
时间要求
15 分钟方法认真阅读弄清二次根式的概念，认真完成预习作业
二、教学过程设计：
教师活动
学生活动
一、课堂引入
问题 1：已知反比例函数 y= 3 ，那么它的图象在第一象限横、 x

华师大九年级(上)教案第22章二次根式(全)

22．1. 二次根式（1）教学内容二次根式的概念及其运用教学目标a ≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题．教学过程回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根．当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a 是负数时，a 没有意义．概括a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例 x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．解被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．思考2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：概括:当a ≥0时，a a =2；当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．练习1.x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-；（2）23-x ；（3）2)3(-x ；（4）x x 3443-+-拓展例当x 11x +在实数范围内有意义？分析：要使+11x +在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)，求a2004+b 2004的值．(答案:25)归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．布置作业1．教材P41.222.1 二次根式（2）教学内容1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．a≥0）是一个2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．2a≥0）是一个非负数；•2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0［老师点评（略）．］二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______2=_______；2=______；2=_______；2=_______．4的算术平方根，根据算术平方根的意义，42=4．同理可得：2=2，2=9，2=3，2=13，2=72，2=0，所以例1 计算1．2 2．（23．2 4．）2分析2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32²2=32²5=45，2=56，274 ．三、巩固练习计算下列各式的值：2222（222-四、应用拓展例2 计算1．（）2（x≥0）2．（）23．（）24．2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2²2x²3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0,2=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 2+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2²2x²3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P4.3.422.1 二次根式（3）教学内容a （a ≥0）教学目标（a ≥0）并利用它进行计算和化简．（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a ≥0）的式子叫做二次根式；2a ≥0）是一个非负数；3．2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=2；=0.01；=110；=23；=0；3．7例1 化简（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2=4（3（4三、巩固练习教材P4.3.4．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，即使a>a所以a不存在；当a<0，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0＝－a的应用拓展．六、布置作业1．先化简再求值：当a=9时，求解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│22．2 二次根式的乘除第一课时教学内容a≥0，b≥0），a≥0，b≥0）及其运用．教学目标a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键a≥0，b≥0）a≥0，b ≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．a⨯，关键：a<0,b<0）=b教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．³_____，³_____，³2．利用计算器计算填空（1（2（3（4（5．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来合探1. 计算（1（2（3（4分析：a≥0，b≥0）计算即可．合探2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②³(2) 化简五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、作业设计一、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）． A．．．9cm D．27cm2．化简）．A．．3=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．．C．．二、填空题 1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．教后反思：22．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空（1=____；（2=_____；（3）=_____，=_____；（4）=________，．2．利用计算器计算填空:（1，（2，（3，（4．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．（2（3（4）合探1．计算：（1分析：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案．合探2．化简：（1（2（3 （4a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展=，且x 为偶数，求（1+x分析：a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．五、归纳小结（师生共同归纳）a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．六、作业设计一、选择题1 ）．A ．27．27C2．====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化）． A ．2 B ．6 C ．13 D 二、填空题 1．分母有理化:(1)=_________;(2)2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题计算（1²（m>0，n>0）（2）（a>0）教后反思：22.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）计算（1（2，（3自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）AC我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1)合探2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．AB==132====6.5（cm ）因此AB 的长为6.5cm ．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，32=-从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算）的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、作业设计一、选择题 1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A （y>0）B y>0）C y>0）D ．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（）．A ．． 3．在下列各式中，化简正确的是（）A ±12C 2．4 ）A ．B ．C ．．二、填空题1．（x ≥0）2．_________．三、综合提高题1．已知a 判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：²1a（a-12．若x 、y 为实数，且的值．教后反思：22.3 二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探（学生活动）：计算下列各式．（1）（2）（3（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．合探1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．合探2．计算（1）（2））+三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2+y-（x）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、作业设计一、选择题1类二次根式的是（）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①17；）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个二、填空题1是同类二次根式的有________．2．计算二次根式________．三、综合提高题1 2.236-（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．教后反思：22.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题．教学目标运用二次根式、化简解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）ACQ P（分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得：12x²2x=35 x2PBQ的面积为35平方厘米．===PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为）自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？（分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BAC2m1m4mD解：由勾股定理，得===所需钢材长度为≈3³2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材．）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展若最简根式3a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|²，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．六、作业设计一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式） A ．．．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．．．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1．2n求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（-1）2=（）2-2²12反之，）2∴）2求：（1（2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．教后反思：22.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）²zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式³单项式；（2）单项式³多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算:（1）（2）（分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．自探3.计算:（1））（（2）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展已知x b a-=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，分析=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式2=2(1)x x +-+2(1)x x+-=（x+1） =4x+2 ∵x b a-=2-x a b - ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2∴（a+b ）x=（a+b ）2∵a+b ≠0 ∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、作业设计一、选择题1．）．A ．203．23C ．23．2032）．A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题1．（-1）2的计算结果（用最简根式表示）是________．22．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若，则x2+2x+1=________．4．已知a2b-ab2=_________．三、综合提高题1的值．（结2．当果用最简二次根式表示）教后反思：。

华师大版-数学-九年级上册-22.2二次根式的乘除法(3) 教案

华师大版九年级（上）《第二十二章·二次根式》第二节22.2二次根式的乘除法（3）教案【三维教学目标】知识与技能：最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算。

过程与方法：引导-自学-探究-交流-展示（探究结果确立与班级内分享）情感态度与价值观：经历知识产生的过程，探索新知识。

教学重点：最简二次根式的运用。

教学难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式。

【课堂导入】请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）A ．计算（1，（2，（3B ．点【教学过程】A 自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。

B 交流：观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．C 探究：例1．(1)解：(1) 125=215)(2222y x y x +=xy 22y x +y例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．解：因为AB 2=AC 2+BC2 所以132====6.5（cm ）因此AB 的长为6.5cm ．例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1， BA C32=-，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+））的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．解：原式= (1)=））=2002-1=2001【课堂作业】1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A （y>0）B y>0）C （y>0）D ．以上都不对2、把（a-1a-1）移入根号内得（）．A ．．3、在下列各式中，化简正确的是（）A ±12C 2D ．4的结果是（）A ．-3 B ． C ．．5、已知a正确，•请写出正确的解答过程：a·1a=（a－16、若x、y为实数，且y=12x+，求yx+yx-的值。

九年级数学上册 22.2二次根式的乘除(1)教案华东师大版

二次根式的乘除（1）学习目标：1、经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则2、能运用二次根式的乘法法则：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）进行乘法运算3、理解积的算术平方根的意义，会用公式ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）化简二次根式学习重、难点重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用学习过程：一、课前准备：1、什么是二次根式? 已学过二次根式的哪些性质?2、计算：（1；（2（3）2)32(×2)53(与22)53()32(⨯二、探索活动1、学生计算。

2、请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？学生分小组交流。

3、概括：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。

a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）4、由以上公式逆向运用可得： ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

三、例题教学例1、计算：⑴2·32 ⑵21·8 ⑶a 2·a 8（a ≥0）例2、化简： ⑴2257 ⑵8116 ⑶12⑷3a （a ≥0） ⑸a （a ≥0，b ≥0）四、课堂练习P 练习1、2五、小结1、二次根式的乘法法则是什么？用语言叙述。

2、如何进行二次根式的化简？六、作业P 67 习题3.2 1、2七、家作：1、化简：（1（2（3（4（5 （6（7（8）（9（10 （0a ≥ 0b ≥）2、计算：⑴xy ·y x 3·2xy ⑵18·24·27（33=x 的取值范围。

4、已知等腰三角形的腰为，底边为，求这个等腰三角形的面积b=ab（a≥0，b≥0）思考：a×b×c= ？。

华师大版数学九年级上册教案：21.2二次根式乘除法教案(2)

华师大版九年级上册21.2二次根式乘除法教案（2）教学内容：二次根式除法教学目标：1、理解二次根式除法法则，会二次根式除法运算。

2、理解商的算术平方根法则，能够运算商的算术平方根的法则化简二次根式；3、理解最简二次根的概念，会把二次根式化为最简二次根式。

4、经历探索与发现的过程，培养学生的创新意识和能力。

教学重点：二次根式的除法，最简二次根式教学难点：把二次根式化为最简二次根式教学方法：探究学习教学准备：课件教学过程：一、复习与练习1、计算：（1）)62712(3- （2）)86(211- 2、化简（1）50 （2）108二、探究学习（一）二次根式的除法1、计算（1）416÷= ，4= ；（2）436÷= ，9= ；（3）4125÷= ，100= ；（4）01.064÷= ，6400= ；（5）484.4÷= ，21.1= ；2、探索与发现（1）416÷=4（2）436÷=9（3）4125÷=100 （4）01.064÷=6400（5）484.4÷=21.13、总结规律)0,0(,>≥÷=÷b a b a b a4、二次根式的除法法则（1）符号表述：)0,0(,>≥÷=÷b a b a b a（2）文字表述：二次根式的除法法则：二次根式相除，把它们的被开方数相除。

5、法则应用例1、计算：（1）2116÷ （2）212531÷ 解：（1）原式=242116==÷ （2）原式=542516212531==÷ 练习：课后练习题第1题。

（二）商的算术平方根1、商的算术平方根法则（1）符号表述：)0,0(,>≥=b a ba b a （2）文字表述：商的算术平方根，等于算术平方根的商。

2、法则的应用例2、化简（1）95 （2）2512 解：（1）359595== （2）53225122512==练习：课后练习题第2题。

华师版九年级数学(上)教案(全册)

第22章二次根式22.1 二次根式教学目标1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质、教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号错误!，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、错误!表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么？二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时，错误!表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数;2、当a是零时，错误!表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为:错误!（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，错误!（a≥0）是一个非负数，即错误!≥0（a≥0）。

问题2 (a）2（a≥0)等于什么？说说你的理由并举例验证.让学生小组讨论或自主探索得出结论：（ a )2=a（a≥0),如（错误!）2=4,（错误!）2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是（错误!)2=a（a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。

反过来，把（错误!）2＝a(a≥0)写成a=（错误!)2（a≥0）的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=(错误!)2，0。

3= （错误!)2提问：(1)0=（错误!)2对不对?（2）－5=（－5 ）2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如错误!(a≥0)的式子叫做二次根式、说明：二次根式必须具备以下特点；（1)有二次根号；（2)被开方数不能小于0.让学生举出二次根式的几个例子，并判断错误!，错误!(a<0）、错误!、错误!(a<o)是不是二次根式。

四、范例例1、要使式子错误!有意义，字母x的取值必须满足什么条件?提问：若将式子错误!改为错误!，则字母x的取值必须满足什么条件？五、课堂练习Pl0页练习1、2、六、思考提高我们已经研究了(错误!）2(a≥0)等于a，现在研究错误!等于什么、提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略？2、在错误!中，a的取值有没有限制?3、取一些数值来验证。

华师大版九年级数学上二次根式

第22章二次根式第1课时二次根式（1）教学目标:1a ≥0）的意义解答具体题目。

2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题。

教学重难点：a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；a ≥0）”解决具体问题．教学流程:一、回顾：当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根．当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a 是负数时，a 没有意义．二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例：x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．解：被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．思考2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：概括:当a ≥0时，a a =2；当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．三、练习x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-；（2）23-x ；（3）2)3(-x ；（4）x x 3443-+-板书设计：二次根式形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．例题：第2课时二次根式（2）教学目标：1a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．2a ≥0）是一个非负数，教学重难点：a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）及其运用．a≥0）是一个非负数；• 教学流程：一、复习引入：（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0有意义吗？［老师点评（略）．］二、探究新知：议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？）2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，22213，2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）22=a（a≥0）的结论解题．解：2 =32，（2=32·2=32·5=45，2=56，（）2=74=．三、巩固练习：计算下列各式的值：22（4）2）2（222-四、应用拓展：例2 计算1．2（x≥0） 2．2 3．2 4．）五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．板书设计：二次根式第3课时二次根式（3）教学目标：（a ≥0）并利用它进行计算和化简．教学重难点：a （a ≥0）．难点：讲清a ≥0a 才成立．教学流程：一、复习引入：老师口述并板收上两节课的重要内容；1a ≥0）的式子叫做二次根式；2a ≥0）是一个非负数；3．2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知：（学生活动）填空：=_______；=________=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=21102337．例1 化简（1（2（3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1（2=4（3（4 三、巩固练习：教材P4.3.4．四、应用拓展：例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a可以是什么数？五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．板书设计：二次根式第4课时二次根式的乘除法(1)教学目标:a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简教学重难点：a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．教学流程:一、复习引入:（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4（5．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知:（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．反过来例1．计算（1（2（3（4解：（1（2（3=（4三、巩固练习:（1）计算（学生练习，老师点评）①②×四、归纳小结：本节课应掌握：（1＝（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．板书设计：例题：第5课时二次根式的乘除（2）教学目标：a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．教学重难点：a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学流程：一、复习引入：（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．利用计算器计算填空:（1=_________，（2=_________，（3=______，（4=________．二、探索新知：刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：例1．计算：（1（2解：（1=2（2==×三、应用拓展：例3=，且x为偶数，求（1+x解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值=6．四、归纳小结：a≥0，b>0a≥0，b>0）及其运用．板书设计：二次根式的乘除法a≥0，b>0）例题：a≥0，b>0）第6课时二次根式的乘除(3)教学目标：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．教学重难点：重点：最简二次根式的运用．难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学流程：一、复习引入：（学生活动）请同学们完成下列各题1．计算（1（2，（3二、探索新知：观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．例1．(1)例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．解：因为AB 2=AC 2+BC 2 所以132====6.5（cm ）因此AB 的长为6.5cm ．三、巩固练习：练习2、3板书设计：二次根式的乘除法1．被开方数不含分母；例题：2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．课后反思：第7课时二次根式的加减(1)教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法．教学重难点：重点：二次根式化简为最简根式．难点：会判定是否是最简二次根式．教学流程：一、复习引入：学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x ；（2）2x 2-3x 2+5x 2；（3）x+2x+3y ；（4）3a 2-2a 2+a 3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．AC二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3（4）老师点评：因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：（1=（2+3（2（4+8三、巩固练习练习1、2．四、归纳小结：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．板书设计：二次根式的加减（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；例题：（2）相同的最简二次根式进行合并．第8课时二次根式的加减(2)教学目标：运用二次根式、化简解应用题．教学重难点：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点．教学流程：一、复习引入：上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．二、探索新知：例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）B A CQP分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米．则有PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=35x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．三、巩固练习：练习3四、归纳小结：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．板书设计：二次根式的加减例题：第9课时二次根式的加减(3)教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．教学重难点：重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学流程：一、复习引入：学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy2．计算（1）（2x+3y ）（2x-3y ）（2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知：如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）解：（）÷÷-3 2三、巩固练习练习第3题四、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．板书设计：二次根式的加减（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；例题：（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．课后反思：。

第22章二次根式(全章学案)

22.1二次根式(1)教学案学习目标：1．了解二次根式的意义；2. 会运用二次根式的定义判断二次根式是否有意义，即找出二次根式有意义的条件。

并掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；学习重点、难点：重点：(1)二次根式的意义；(2)二次根式中字母的取值范围．难点：确定二次根式中字母的取值范围．教材分析及学法指导：二次根式是在算术平方根的基础上引申出来的，因而二次根式的学习实质是平方根知识的巩固与延伸，在学习中要注意二者的结合．学习准备：1．复习提问：请思考什么叫平方根、算术平方根？2．说出下列各式的意义，并计算：，，，，3．观察上面几个式子的特点，请总结它们的被开方数的特点。

学习过程：（一）引入新课：我们已遇到的，，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出新课：二次根式。

（二）自主学习交流发现1．自学课本第二页前三段内容，并理解记忆二次根式定义。

2．对于请同学们讨论应该注意的问题，小组交流，引起重视。

选二个小组回答自己小组的观点。

3．例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？（同桌交流答案）4．练习. 判断下列各式，那些是二次根式？（学生回答）676-2-x2m5.例2 x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义？（生回答）6. 练习1.完成课本第三页练习2。

练习2.当字母取何值时，下列各式为二次根式：（学生独立完成，小组成员展示）（1）（2）(3) （4）练习3．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（小组选成员黑板展示）（1）(2)(3)（4）7. 反馈总结交流收获:本节课你的收获是————————————还有的疑惑是——————————————当堂检测：1．判断下列各式是否是二次根式2．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？课后反思：22.1.1二次根式检测（第一课时）◆随堂检测1、下列式子中，是二次根式的是（）A ．．x2、已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5BC ．15D ．以上皆不对3、2=_______； 2=______；2=_______．4＝_______． 5、若y =有意义，则x 的取值范围是． ◆典例分析(1)下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、1x x>0）1x y+x ≥0，y•≥0）．分析；第二，被开方数是正数或0．解：x>0）、x ≥0，y ≥0）；不是二次1x1x y +．点评：确定一个式子是不是二次根式关键要记住两点：a ≥0的条件(2)当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义．◆课下作业●拓展提高1、若二次根式26x -+有意义，化简│x-4│-│7-x │．2、若20092009a b ++-=0，求a 2009+b2009的值．3、已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．4、下列各式中15、3a 、21b -、22a b +、220m +、144-，二次根式的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．15、使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数6、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3●体验中考1、（2009年贵州省黔东南州）=-2)3(___________2、（2009年湖南怀化）若()22340a b c ---=，则=+-c b a ． 3、（2009年济宁市）已知a 2a -( ) A. a B. a - C. － 1 D. 0 4、(2009年鄂州市)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x >3 B 、x ≥3C 、 x >4D 、x ≥3且x ≠4随堂检测：1．A . 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0．所以选A ，而B 中根指数不是2；C 中被开方数x 也可表示负数，无意义；D 是单项式.2. B. 设正方形的边长是x，则25,0,x x x x =∴=>∴=所以选B ；3．4；13；0.主要应用公式2(0)a a =≥进行计算得出：2=4；2=13；2=0．4． 0. 因为与都是二次根式，所以22222210101110,10x x x x x x -≥-≥--∴-=-=且，因为和互为相反数，，所以=0.5. 3x >-.若y =有意义，不仅要考虑被开方数是非负数，必须考虑分式的分母不为零，则30,x +>3x >- 拓展提高：2603,40,70.474(7)3x x x x x x x x -+≥≤-∴-<->∴---=---=-1.解：由得20092009200920092009020090,20090,20090,20090,2009,2009.(2009)20090.a ab a b a b a b ++=+≥-≥∴+=-=∴=-=∴+=-+=2.解：，50505 5. 4.a a a a a b -≥≥≥≤∴=∴=-3.解：由得，由10-2得，4、B2250,505.B x x x B -≥∴-≥∴=5..解：（）），所以只有一个值，选.6..10 1.0 1. 1.0, 1.1(1) 2.C x x x x x x y y x y C -≥≥-≥≤∴=∴+=∴=-∴-=--=解：由得，由1得，所以选.1．-322(4)0,20,30,40;2,3, 4.234 3.a c abc a b c a b c -++-=∴-=-=-=∴===∴-+=-+=2.解：22223..0,0,00,0..D a a a a a D -≥∴≤≥∴=∴=解：由题意知，所以选4..30,40,3 4..D x x x x D -≥-≠∴≥≠解：由题意知且且所以选22.1二次根式(2)教学案学习目标：1≥(0)-(0)a a a a a ≥⎧==⎨<⎩的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。

2022年华师大版《二次根式》公开课教案

21.1 二次根式教学目标1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．教学重难点【教学重点】了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.【教学难点】用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系.课前准备无教学过程一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，那么它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t＝______．问题2：上面得到的式子3，S，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义例1：以下各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)〔－7〕2；(4)313；(5)15－16；(6)3－x(x≤3)；(7)－x(x≥0)；(8)〔a－1〕2；(9)－x2－5；(10)〔a－b〕2(ab≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，〔－7〕2，15－16＝130，3－x(x≤3)，〔a－1〕2，〔a－b〕2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“〞；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围例2：求使以下式子有意义的x 的取值范围． (1)14－3x ；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x. 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义； (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠x ≤3且x ≠2时，3－x x －2有意义； (3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，那么除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】例3：(1)a x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；(2)x 、y 4，求y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.那么(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得xy ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8. 方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0. 探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题例4：先观察以下等式，再答复以下问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112； ②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116； ③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数局部是1，分数局部的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120；(2)1＋1n2＋1〔n＋1〕2＝1＋1n－1n＋1＝11n〔n＋1〕(n为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.四、教学反思通过将新知识与旧知识进行联系与比照，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．第2课时利用移项解一元一次方程教学目标1．掌握移项变号的根本原那么；2．会利用移项解一元一次方程。

八年级数学第二十二章第1节二次根式华东师大版知识精讲

八年级数学第二十二章第1节二次根式华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：22.1 二次根式二. 重点、难点： 1. 重点：二次根式的概念和二次根式的基本性质． 2. 难点：二次根式的意义及性质的运用．三. 知识梳理：1. 二次根式的定义一般地，形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．；②在二次根式中，被开方数a 必须满足a ≥0．当a ＜0时，式子a 无意义，也就无法称为二次根式了；③在二次根式中，a 可以是数也可以是一个代数式；④二次根式a （a ≥0）即：非负数a 的算术平方根．总之，判断一个式子是否是二次根式，只要它具备两个特征：一是带2次根号；二是被开方数为非负数． 2. 二次根式的性质⑴a ≥0 （a ≥0）．即一个非负数的算术平方根是一个非负数．⑵2＝a （a ≥0）．即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．||a =．即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值．对二次根式基本性质的理解：①对于性质⑴，常常结合非负数性质，即“几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零”来解答相关题目．②对于性质⑵，它既可以正向应用，也可以逆向应用，正向用是化简二次根式，逆向用是对多项式在实数范围内因式分解．③对于性质⑶，即：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a ，它主要用于题目的化简和计算，特别要注意求字母取值范围时零不可丢．④注意性质⑵和⑶中，字母a 的取值范围，一个是非负数，一个是任意数．【典型例题】例1. 判断下列各式中，哪些是二次根式：⑴2)21(-；⑵x 5（x ≤0）；⑶12--a ；⑷3442+-a a ；⑸37x ．分析：判断根式是否是二次根式，应从两个方面考虑：一是被开方数是非负的，二是根指数必须是2．解：⑴∵（－21）2＞0，∴2)21(-是二次根式． ⑵∵x ≤0，∴5x ≤0，当x=0时，x 5是二次根式当x ≠0时，x 5不是二次根式 ⑶∵－a 2－1＝－（a 2＋1），a 2＋1＞0， ∴－a 2－1＜0，∴12--a 不是二次根式．⑷∵4a 2－4a ＋3＝（2a －1）2＋2，不论a 为何值时，4a 2－4a ＋3总是正数． ∴3442+-a a 是二次根式． ⑸37x 是三次根式，不是二次根式．例2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义． ⑴45-x ；⑵x x --；⑶1212-++x x ；⑷231+-x x．分析：这是一组根据二次根式的基本概念求字母的取值范围的问题，首先要搞清每个式子的含义，根据其成立的条件去解．解：⑴∵只有被开方数5x －4≥0时，二次根式45-x 才有意义，由5x －4≥0得 x ≥54． ⑵对于x 来说，只有被开方数x ≥0，二次根式x 才有意义．对于x -来说，只有被开方数－x ≥0，即x ≤0，二次根式x -才有意义．∴只有当x ＝0时，二次根式x －x -才有意义． ⑶由二次根式的定义得x ＋1≥0，x ≥－1， ∴当x ≥－1时，1+x 有意义．又根据分式有意义的条件可知，x 2－1≠0，∴x ≠±1．故当x ≠±1时，分式122-x 有意义．∴当x ＞－1且x ≠1时，式子1212-++x x 有意义． ⑷由二次根式和分式的定义可知，x 应满足⎩⎨⎧>+≥-.023,01x x ∴－32＜x ≤1．∴当－32＜x ≤1时，式子231+-x x才有意义．说明：当式中有多个二次根式时，必须使每个二次根式都有意义，如果含分式，应使分母不为零．也就是取它们的公共部分．例3. 计算 ⑴（－552）2；⑵－2)73(⨯；⑶2)13(-；⑷22)5()331(---．分析：利用二次根式的基本性质进行化简时，要特别注意被开方数为非负数，化简形如解：⑴（－552）2＝（－5）2·（52）2＝25×52＝10；⑵－2)73(⨯＝－221＝－21；⑶2)13(-＝213＝13；⑷31453153915)3()31()5()331(22222-=-=-⨯=-⋅-=---．说明：①对于⑴题，不要忘记－5也要平方．②要注意公式形式，如第⑵题不要看成是（－73⨯）2的形式，解答此题要根据算术平方根的定义．例4. 把下列多项式在实数范围内分解因式．⑴4a 2－11；⑵x 4－9x 2＋14；⑶a 4－4a 2b 2＋4b 4．分析：在实数范围内，因式分解的公式仍然成立，有些在有理数范围内不能分解的多项式，在实数范围内还可以继续分解（如第⑴小题）．此外，因式分解的结果要分解彻底，并且不能含有多重括号（如第⑶小题）．解：⑴4a 2－11＝（2a ）2－（11）2＝（2a ＋11）（2a －11）；⑵x 4－9x 2＋14＝（x 2－2）（x 2－7）＝（x ＋2）（x －2）（x ＋7）（x －7）；⑶a 4－4a 2b 2＋4b 4＝（a 2－2b 2）2＝［（a ＋2b ）（a －2b ）］2＝（a ＋2b ）2（a －2b ）2．例5. 若x 、y 为实数，且y ＝x x -+-11＋2007，求x 2004＋y 的值．分析：可根据二次根式的意义求出x 的值，从而可求出y 的值．解：∵y ＝x x -+-11＋2007，∴⎩⎨⎧≥-≥-.01,01x x 得⎩⎨⎧≤≥.1,1x x ∴x ＝1．把x ＝1代入原式得y ＝2007．∴x 2004＋y ＝12004＋2007＝2008．说明：本题还可以从另一个角度考虑，若使1-x 和x -1这两个二次根式同时有意义，则必须有x x -=-11＝0．例6. 若()332-=-a a ，则a 的取值范围是_______．分析：由a a =2可知，()332-=-a a ，又3-a ＝a －3，故a －3≥0．解：∵a －3≥0，∴a ≥3．点拨：解决该类问题的依据是a a =2，如果,2a a -=那么a ≤0．例7. 已知430a a b -+-=，求22a b +的值．分析：因为40a -≥，30a b -≥，即两个非负数的和等于零，则这两个数都等于零，从而得到40a -=，30a b -=再由零的算术平方根等于零，求得a 、b 的值．解：∵430a a b -+-=，而40a -≥，30a b -≥， ∴40a -=且30a b -=，∴4030a a b -=⎧⎨-=⎩，解得412a b =⎧⎨=⎩．则22a b +＝22412160+=．点拨：解此题的关键是：①利用二次根式的非负性；②根据几个非负数的和等于零，则这几个数都等于零，将问题转化为解方程组的问题．例8. 已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如下图所示：试化简：()2a b b --＝_________．分析：化简()2a b b --的关键是由数轴判断a b -的符号．数轴上的点所表示的实数，右边的总是大于左边的．所以a b -＞0．解：由图知，a ＜b ，则()2a b b --＝||()b b a b b a --=--＝b b a a -+=．例9. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简：分析：三角形的三边存在着如下关系：任意两边之和大于第三边，故a b c --＜0， b a c -+＞0．＝||||a b c b a c ----+ ＝()a b c b a c -++--+＝a b c b a c -++-+- ＝0．点拨：此题也可由观察得知：a －b －c 与b －a ＋c 互为相反数，则（a －b －c ）2与（b －a ＋c ）20．例10. 若x ≥2，则x ＝．分析：由若x ≥2知，x －2≥0，x －2．问题得解．解此题的关键是能够将244x x -+化成2(2)x -．解：x x x －（x －2）＝x －x ＋2＝2．例11. 已知a 2，b 2，求6分析：将被开方数化为完全平方的形式通常是化简二次根式的一般方法．由已知条件，可得a 22）2＝10＋b 2）2＝10－公式、加减运算将被开方数化成完全平方的形式．解：66－464106410--++＝6－4＝2．例12. 已知x 满足∣2006－x x ，那么x －20062的值为（）．A 、2005B 、2006C 、2007D 、2008分析：x ≥2007，从而确定∣2006－x ∣＝x －2006．解：由∣2006－x ＝x 得x －2006＝x ，2006，x －2007＝20062， x －20062＝2007．故选C ．点拨：利用二次根式的被开方数为非负数，是解代数式求值问题常用的方法之一．应将此题与∣2006－x 0相区别．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 填空题⑴当a _____时，式子35-a 有意义．⑵若2)5(--a 是二次根式，则a ＝_____．⑶计算：（－21）2＝_____，－（21）2＝_____． ⑷当a _____时，21-a 是二次根式． ⑸若式子xx -++113有意义，则x 的取值范围是_____． ⑹当x _____时，二次根式322+-x x 有意义． ⑺当x _____时，63-x 没有意义．⑻若a -1是二次根式，试化简|5－a |＝_____． ⑼若2-x ＋|y ＋3|＝0，则x ＋y ＝_____． ⑽在实数范围内分解a 4－4＝_____．二.选择题⑴下列各式3,,,||,1,15,02.0,5223x a x a +-中，一定是二次根式的有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个⑵a 是二次根式，则（）A. a 是正数B. a 是负数C. a 是非负数D. a 是非正数 ⑶当x ＝2时，下列各式在实数范围内无意义的是（） A.42-x B. x 315- C.2)2(1x - D.2)5(-x⑷当x 为任意实数时，下列各式总有意义的是（） A.x 3- B.x21C. 32+-xD. 2)1003(-x⑸式子x -5有意义时，x 的最大取值是（） A. 5 B. 4 C. 2 D. 不存在 ⑹x-94是二次根式，应满足的条件是（） A. x ≠9的实数 B. x ≤9的实数 C. x ＜9的实数 D. x ＞0且x ≠9的实数 ⑺若ba是二次根式，则a ，b 应满足（） A. a ，b 均为非负数 B. a ，b 同号 C. a ≥0；b ＞0 D.ba ≥0 ⑻若式子x-31有意义，则x 为（）A. ≠9的实数B. ＞0的实数C. ≠9的正实数D. ≠9的非负实数 ⑼当x ＜2时，下列式子无意义的是（） A.12+x B.x -2 C. 2-x D. 2||+x⑽在实数范围内，分解因式错误的是（）A. y 4－4＝（y 2＋2）（y ＋2）（y －2）B. 2x 2－1＝（2x ＋1）（2x －1）C. 16m 4－25＝（4m 2＋5）（4m 2－5）D. x 2－7＝（x ＋ 7）（x －7）三. 解答题 1. 计算：⑴（－7143）2；⑵（a 1a ）2；⑶（3245）2；⑷（5332）2； ⑸－（25241-）2；⑹－2（3）2·（31）2．2. 在实数范围内分解因式⑴x 2－5；⑵16x 4－9；⑶x 2－25x ＋5；⑷m 4－10m 2n 2＋25n 4；⑸x 2－（2＋3）x ＋ 6；⑹a 4－3a 2－10．3. 先阅读第⑴题的解法，再解答其它各题⑴已知y 2007，求xy的值；解：⑴由20080,20080,x x -≥⎧⎨-≥⎩得x ＝2008，∴y ＝2007，∴20072008y x =．⑵若x 、y 为实数，且y ＞x x -+-33＋2008，化简1|1|--y y ； ⑶如果5242--+--y x y x ＝0，求x y 52+的值．【试题答案】一. 填空题。

华师大版九年级数学上册《二次根式》教案

华师大版九年级数学上册《二次根式》教案一、教学内容二、教学目标1. 理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质与运算方法。

2. 能够正确化简二次根式，解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：二次根式的化简与运算。

教学重点：二次根式的概念、性质与运算方法。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：练习本、铅笔、直尺。

五、教学过程1. 实践情景引入以一个实际情景为例，如“计算一个正方形的对角线长度”，引导学生回顾勾股定理，进而引出二次根式的概念。

2. 教学新课（1）讲解6.1节“二次根式的概念”，让学生理解二次根式的定义。

（2）通过例题讲解，引导学生学习6.2节“二次根式的性质与运算”。

（3）进行随堂练习，巩固所学知识。

3. 课堂小结4. 课堂练习设计一些具有代表性的习题，让学生当堂完成，检查学习效果。

六、板书设计1. 二次根式的概念2. 二次根式的性质与运算3. 化简二次根式的方法4. 课堂练习题及答案七、作业设计1. 作业题目（1）化简二次根式：√18，√50，√27。

（2）计算题：计算√9 + √16 √25的结果。

（3）应用题：一个正方形的边长为a，求其对角线长度。

2. 答案（1）√18 = 3√2，√50 = 5√2，√27 = 3√3。

（2）√9 + √16 √25 = 3 + 4 5 = 2。

（3）对角线长度为a√2。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次根式的概念和性质掌握程度较高，但在运算方面还存在一些问题，需要在课后加强练习。

2. 拓展延伸：引导学生研究二次根式的更多性质和运算规律，如分母有理化等。

同时，鼓励学生运用所学知识解决生活中的实际问题。

重点和难点解析1. 教学目标中的能力培养2. 教学难点与重点的区分3. 教学过程中的实践情景引入和例题讲解4. 作业设计中的题目类型和答案解析5. 课后反思及拓展延伸的深入探讨一、教学目标中的能力培养1. 理解并掌握二次根式的概念，能够正确区分哪些表达式是二次根式。

华师大版-数学-九年级上册-22.1二次根式(1) 教案

华师大版九年级（上）《第二十二章·二次根式》第一节22.1 二次根式（1）教案【三维教学目标】知识与技能：a ≥0）判断一个式子是否是二次根式，并能确定被开方数中字母的取值范围。

过程与方法：引导-自学-探究-交流-展示（探究结果确立与班级内分享）情感态度与价值观：经历知识产生的过程，探索新知识。

教学重点：a ≥0）的式子叫做二次根式的概念。

教学难点：a ≥0）”的灵活应用。

【课堂导入】（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：什么叫有理数？什么叫无理数？什么叫实数？问题2：什么叫算术平方根？在正数、零、负数中哪些数有算术平方根？哪些数没有算术平方根？为什么？【教学过程】A 自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。

B 探究与交流：8，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根a ≥0）•的式子叫做二次根式，由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。

从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：( 1 ) 必须有二次根号；( 2 ) 被开方数不能小于0 。

（学生活动）议一议：1、４的平方根是_____；0的平方根是______； 5的平方根是______；5的算术平方根是____.2、-1有算术平方根吗？3、0的算术平方根是多少？4、当a<0有意义吗？C 探究：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式? (1)32 (2)6 (3)12- (4))0(≤-m m (5) 35 (6)12+a (7)4 (8)x xy (、y 异号)例2. x 是怎样的实数时,式子5-x 在实数范围内有意义?分析：根据二次根式的定义，被开方数a ≥0，因此要使5-x 有意义，必须要使x-5≥0即可。

例3.12+m 、2n -、2a 、2-a 、y x -．应满足什么条件时才是二次根式解：12+m ： ∵m 2≥0, ∴m 2+1>0 ∴12+m 是二次根式. 2a ： ∵a 2≥0, ∴2a 是二次根式; 2n -： ∵n 2≥0,∴-n 2≤0,∴当n=0时2n -才是二次根式； 2-a ：当a-2≥0时是二次根式,当a -2<0时不是二次根式；即当a ≥2是二次根式,当a <0时不是二次根式；y x -：当x -y ≥0时是二次根式,当 x -y <0时不是二次根式；即当x ≥y 是二次根式,当x <y 时不是二次根式.【课堂作业】1、 x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ ( 1 ) 2)1(+x ( 2 ) 11-x2、23-x ；3、x x 3443-+-4、当x 11x +在实数范围内有意义？《作业答案与解析》 1、解： ( 1 ) 由2)1(+x ≥ 0 ，解得：x 取任意实数∴ 当 x 取任意实数时，二次根式2)1(+x 在实数范围内都有意义。

华师大版-数学-九年级上册-22.2二次根式的乘除法(2) 教案

华师大版九年级（上）《第二十二章·二次根式》第二节22.2二次根式的乘除法（2）教案【三维教学目标】知识与技能：a≥0，b>0a≥0，b>0）及进行运算。

过程与方法：引导-自学-探究-交流-展示（探究结果确立与班级内分享）情感态度与价值观：经历知识产生的过程，探索新知识。

教学重点：=a≥0，b>0）a≥0，b>0）及进行计算和化简。

教学难点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的理解与运用。

【课堂导入】请同学们完成下列各题：填空：（1；（2=________；（3；（4=________．规律：（填“＜、＞、＝”）【教学过程】A自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。

B交流：让几个同学上台总结规律。

点评：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1．计算：（1（2（3（4分析：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案．=2解：（1（2==×（3==2（4例2．化简：（1（2 （3 （4a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．解：（18= （283b a =（38y = （413y = C 探究：例3．=，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，即96x x ≤⎧⎨>⎩∴6<x ≤9 ∵x 为偶数 ∴x=8∴原式=（1+x （1+x （1+x∴当x=8时，原式的值．【课堂作业】1、 3122、7563、321÷31 4、971 5、2294ab 《作业答案与解析》1.22.223. 54.34 5. a b 32 【教学反思】a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用，其中应着重强调“b>0”。

华师大版九年级数学上册《二次根式》教案

华师大版九年级数学上册《二次根式》教案一、教学内容二、教学目标1. 知识与技能：理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的乘除运算。

2. 过程与方法：通过实例引入，培养学生从实际问题中抽象出数学概念的能力；通过例题讲解和随堂练习，提高学生解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

三、教学难点与重点重点：二次根式的定义，二次根式的性质，二次根式的乘除运算。

难点：理解并运用二次根式的性质，正确进行二次根式的乘除运算。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔。

2. 学具：练习本，笔。

五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一组实际生活中的问题，如：计算平方根、求面积等，引导学生发现二次根式的概念。

2. 新知探究（3）讲解二次根式的乘除运算，并进行例题演示。

3. 例题讲解（1）计算：√9 × √16（2）计算：(√3 + √5) × (√3 √5)4. 随堂练习（1）计算：√25 × √4（2）计算：(√2 + √8) × (√2 √8)5. 小结六、板书设计1. 二次根式的定义2. 二次根式的性质3. 二次根式的乘除运算4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）计算：√49 × √9（2）计算：(√7 + √21) × (√7 √21)（3）已知一个正方形的面积为 64 平方米，求它的边长。

2. 答案：（1）21（2）0（3）8 米八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次根式的定义和性质掌握较好，但在进行乘除运算时，部分学生还存在困难。

在今后的教学中，应加强此类题目的训练。

2. 拓展延伸：引导学生思考如何将二次根式与实际问题相结合，如求不规则图形的面积等，提高学生解决问题的能力。

重点和难点解析1. 教学难点与重点的设定2. 教学过程中的实践情景引入3. 例题讲解与随堂练习的设计4. 作业设计中的题目难度与答案解析5. 课后反思及拓展延伸的深度详细补充和说明：一、教学难点与重点的设定在教学难点与重点的设定上，需要明确二次根式的定义、性质和乘除运算是本节课的核心内容。

九年级数学上册第22章二次根式复习教案华东师大版【教案】

第22章二次根式复习教案二次根式2a 的意义（一）【目的要求】1、使学生通过本章的引言了解学习的必要性，明确学习目的，增强数形结合和用数学的意识。

2、使学生了解二次根式的概念，能根据二次根式的概念，求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。

【教学重点】会求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。

【教学难点】理解二次根式的概念。

【教学方法】启发式【教学过程】复习提问:1、什么叫代数式？举出代数式的例子。

2、16是一个数吗？是一个有理数？是一个实数？是一个式子？是一个代数式？呢？3、什么是勾股定理？在直角三角形中，已知两条直角边为 3 和 4，那么斜边长为多少？新课讲解：在前一章中，我们已经遇到过16，0，a 这样的式子，知道符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。

因为在实数范围内，负数没有平方根。

所以被开方数只能是正数或0，也就是说，被开方数只能是非负数。

一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。

由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。

从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件： ( 1 ) 必须有二次根号； ( 2 ) 被开方数不能小于0 。

例1：x 是怎样的实数时，式子3 x 在实数范围内有意义？解：由x －3 ≥ 0 ，得 x ≥ 3当 x ≥ 3 时，式子3-x 在实数范围内有意义。

补充例题：例：x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ ( 1 ) 2)1(+x ( 2 )11-x解： ( 1 ) 由2)1(+x ≥ 0 ，解得：x 取任意实数∴ 当 x 取任意实数时，二次根式2)1(+x 在实数范围内都有意义。

( 2 ) 由 x －1 ≥ 0 ，且 x －1 ≠ 0 解得：x ＞ 1∴ 当 x ＞ 1时，二次根式11-x 在实数范围内都有意义。

课堂小结：这节课我们介绍了本章可以解决的一些新问题和二次根式的概念。

华东师范大学二次根式教案

课时：2课时年级：高中教材：人教版数学教学目标：1. 知识与技能：理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。

2. 过程与方法：通过观察、比较、归纳等方法，探究二次根式的性质，提高学生的逻辑思维能力和探究能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生严谨、求实的科学态度，激发学生对数学学习的兴趣。

教学重点：1. 二次根式的概念与性质2. 二次根式的运算教学难点：1. 二次根式的性质证明2. 二次根式的化简与约分教学过程：第一课时一、导入1. 复习实数的概念，引导学生回顾实数的分类。

2. 提出问题：如何表示一个数的平方根？二、新课讲解1. 二次根式的概念：如果一个实数的平方等于a（a≥0），那么这个实数就叫做a 的平方根，记作√a。

其中，正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

2. 二次根式的性质：（1）√a（a≥0）是实数；（2）√a（a≥0）的平方等于a；（3）√a（a≥0）的平方根是a。

三、课堂练习1. 判断下列各数是否为某个数的平方根：√9，√-9，√0。

2. 化简下列二次根式：√16，√25，√36。

四、小结1. 本节课学习了二次根式的概念与性质。

2. 掌握二次根式的运算方法。

第二课时一、复习导入1. 复习二次根式的概念与性质。

2. 提出问题：如何进行二次根式的运算？二、新课讲解1. 二次根式的运算：（1）二次根式的乘法：√a √b = √(ab)，其中a、b≥0；（2）二次根式的除法：√a / √b = √(a/b)，其中a、b≥0且b≠0；（3）二次根式的加减：√a ± √b = √(a ± b)，其中a、b≥0；（4）二次根式的乘方：(√a)^n = √(a^n)，其中a≥0，n为正整数。

三、课堂练习1. 计算下列二次根式的乘法：√3 √2，√5 √10。

2. 计算下列二次根式的除法：√6 / √2，√15 / √3。

3. 计算下列二次根式的加减：√3 + √2，√5 - √2。

华师大版-数学-九年级上册-22.3二次根式的加减法(3) 教案

华师大版九年级（上）《第二十二章·二次根式》第三节22.3二次根式的加减法（3）教案【三维教学目标】知识与技能：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用。

过程与方法：引导-自学-探究-交流-展示（探究结果确立与班级内分享）情感态度与价值观：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算。

教学重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律。

教学难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算。

【课堂导入】学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用。

【教学过程】A自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。

B交流：如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？例1．计算:（1）（2）（分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）解：（－）÷÷－÷－3 2例2．计算（1））（3（2）））分析：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1））（3=32+18－－（2）））=2）2 =10－7=3 C探究：例3．已知x ba-=2-x ab-，其中a、b是实数，且a+b≠0，分析））=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式22=2(1)x x +-+2(1)x x+-=（x+1） =4x+2∵x b a -=2-x a b- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2 ∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b ）+2【课堂作业】1、（-122的计算结果（用最简根式表示）是________．2、若-1，则x 2+2x+1=________．34、当（结果用最简二次根式表示）《作业答案与解析》1.2. 23.=-4. 22=222(1)()21x x x x +++⨯+=2(1)(1)1x x x x ++++= 2（2x+1）∵原式＝2（+3）+6 【教学反思】整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式。

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