二元一次方程组考点总结及练习附答案

二元一次方程组考点解析考点一二元一次方程(组)的解的概念
【例1】已知
2,
1
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
是二元一次方程组
8,
1
mx ny
nx my
+=
-=
⎧
⎨
⎩
的解,则2m-n的算术平方根为( )
A.4
B.2
D.±2
【解析】把
2,
1
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
代入方程组
8,
1
mx ny
nx my
+=
-=
⎧
⎨
⎩
得
28,
2 1.
m n
n m
+=
-=
⎧
⎨
⎩
解得
3,
2.
m
n
=
=
⎧
⎨
⎩
所以2m-n=4,4的算术平方根为2.故选B.
【方法归纳】方程(组)的解一定满足原方程(组),所以将已知解代入含有字母的原方程(组),得到的等式一定成立,从而转化为一个关于所求字母的新方程(组),解这个方程(组)即可求得待求字母的值.
变式练习
1.若方程组
,
ax y b
x by a
+=
-=
⎧
⎨
⎩
的解是
1,
1.
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
求(a+b)2-(a-b)(a+b)的值.
考点二二元一次方程组的解法
【例2】解方程组：
1 28. x y
x y
=+
+=
⎧
⎨
⎩
，①
②
【分析】可以直接把①代入②，消去未知数x，转化成一元一次方程求解.也可以由①变形为x-y=1，再用加减消元法求解.
【解答】方法一：将①代入到②中，得2(y+1)+y=8.解得y=2.所以x=3.因此原方程组的解为
3,
2. x
y
=
=⎧
⎨
⎩
方法二：
1, 28. x y
x y
=+
+=
⎧
⎨
⎩
①
②
对①进行移项，得x-y=1.③②+③得3x=9.解得x=3.
将x=3代入①中，得y=2. 所以原方程组的解为
3,
2. x
y
=
=⎧
⎨
⎩
【方法归纳】二元一次方程组有两种解法，我们可以根据具体的情况来选择简便的解法.如果方程中有未知数的系数是1时，一般采用代入消元法；如果两个方程的相同未知数的系数相同或互为相反数时，一般采用加减消元法；如果方程组中的系数没有特殊规律，通常用加减消元法.
变式练习
2.方程组 25,7213x y x y +=--=⎧⎨⎩
的解是__________. 3.解方程组：3419,4.x y x y +=-=⎧⎨
⎩①②
考点三 由解的关系求方程组中字母的取值范围
【例3】若关于x 、y 的二元一次方程组31,33x y a x y +=++=⎧⎨⎩①②
的解满足x+y<2,则a 的取值范围为( )
A.a<4
B.a>4
C.a<-4
D.a>-4
【分析】本题运用整体思想，把二元一次方程组中两个方程相加，得到x 、y 的关系，再根据x+y<2,求得本题答案；也可以按常规方法求出二元一次方程组的解，再由x+y<2求出a 的取值范围，但计算量大.
【解答】由①+②，得4x+4y=4+a,x+y=1+4a ,由x+y<2，得1+4
a <2，解得a<4.故选A. 【方法归纳】通过观察两个方程，运用整体思想解题，这是中考中常用的解题方法.
变式练习
4.已知x 、y 满足方程组25,24,
x y x y +=+=⎧⎨⎩则x-y 的值为__________.
考点四 二元一次方程组的应用
【例4】某中学拟组织九年级师生去黄山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元.”
小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5 000元.”
小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满.”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？
【分析】（1）根据题目给出的条件得出的等量关系是60座客车每辆每天的租金-45座客车每辆每天的租金=200元，4辆60座一天的租金+2辆45座的一天的租金=5 000元；由此可列出方程组求解；（2）可根据“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满”以及（1）的结果来求出答案.
【解答】（1）设平安公司60座和45座客车每辆每天的租金分别为x 元，y 元.由题意，得
200,425000.x y x y -=+=⎧⎨⎩解得900,700.x y ==⎧⎨⎩
答：平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别为900元和700元.
（2）5×900+1×700=5 200(元）.
答：九年级师生租车一天共需资金5 200元.
1.审题：弄清已知量和未知量；
2.列未知数，并根据相等关系列出符合题意的方程；
3.解这个方程；
4.验根并作答：检验方程的根是否符合题意，并写出完整的答.
变式练习
5.如图是一个正方体的展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面.如果正方体相对两个面上的代数式的值相等,求x,y的值
.
6.在某次亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽.车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子的丝巾1 200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？
复习测试
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A.
21
2
x y
y z
+=-
+=
⎧
⎨
⎩
B.
533
23
x y
y x
-=
=+
⎧
⎨
⎩
C.
51
2
x y
xy
-=
=
⎧
⎨
⎩
D.
2
37
1
x y
x y
-=
+=
⎧
⎨
⎩
2.方程2x+y=9的正整数解有( )
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
3.方程组
32,
3211
x y
x y
-=
+=
⎧
⎨
⎩
①
②
的最优解法是( )
A.由①得y=3x-2，再代入②
B.由②得3x=11-2y，再代入①
C.由②-①，消去x
D.由①×2+②，消去y
4.已知
2
1
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
，
是方程组
4,
ax by
ax by
+=-
-=
⎧
⎨
⎩
的解,那么a，b的值分别为( )
A.1,2
B.1，-2
C.-1,2
D.-1,-2
5.A、B两地相距6 km，甲、乙两人从A、B两地同时出发，若同向而行，甲3 h可追上乙；若相向而行，1 h相遇，
A.6336x y x y +=+=⎧⎨⎩
B.636x y x y +=-=⎧⎨⎩
C.6336x y x y -=+=⎧⎨⎩
D.6336x y x y +=-=⎧⎨⎩
6.足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了( )
A.3场
B.4场
C.5场
D.6场
7.(2014·抚州)已知a 、b 满足方程组22,26,
a b a b -=+=⎧⎨⎩则3a+b 的值为( )
A.8
B.4
C.-4
D.-8
8.方程组24,31,7x y x z x y z +=+=++=⎧⎪⎨⎪⎩
的解是( )
A.221x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩
B.211x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩
C.281x y z ⎧=-==⎪⎨⎪⎩
D.222x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩
9.某车间有90名工人,每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个,已知一个螺栓配套两个螺帽,应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为( )
A.50人，40人
B.30人，60人
C.40人，50人
D.60人，30人
10.甲、乙二人收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各存5 000元(设两人剩余的钱都存入银行)，则甲、乙两人年收入分别为( )
A.15 000元，12 000元
B.12 000元，15 000元
C.15 000元，11 250元
D.11 250元，15 000元
二、填空题(每小题4分,共20分)
11.已知a 、b
12.已知2,1x y ==⎧⎨⎩是二元一次方程组7,1
mx ny nx my +=-=⎧⎨⎩的解，则m+3n 的立方根为__________.
13.孔明同学在解方程组,2y kx b y x =+=-⎧⎨⎩
的过程中,错把b 看成了6,他其余的解题过程没有出错,解得此方程组的解为1,2,
x y =-=⎧⎨⎩又已知3k+b=1,则b 的正确值应该是__________. 14.已知|x-8y|+2(4y-1)2+|8z-3x|=0，则x=__________，y=__________，z=__________.
15.一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为__________.
三、解答题(共50分)
16.(10分)解方程组：
(1)251x y x y +=-⎧=⎨⎩，①；② (2)1151.x y z y z x z x y +-=+-=+-⎪⎨=⎧⎪⎩
，①，②③
17.(8分)吉林人参是保健佳品.某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参，甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元.王叔叔用1 200元在此特产商店购买这两种人参共15棵，求王叔叔购买每种人参的棵数.
18.(9分)已知方程组
53,
54
x y
ax y
+=
+=
⎧
⎨
⎩
与方程组
25,
51
x y
x by
-=
+=
⎧
⎨
⎩
有相同的解,求a，b的值.
19.(11分)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
20.(12分)某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电冰箱，已知该厂家生产三种不同型号的电冰箱，出厂价分别为：甲种每台1 500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元.
(1)某商场同时购进其中两种不同型号电冰箱共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)该商场销售一台甲种电冰箱可获利150元，销售一台乙种电冰箱可获利200元，销售一台丙种电冰箱可获利250元，在同时购进两种不同型号的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？
参考答案
变式练习
1.把1,1x y ==⎧⎨⎩代入方程组,ax y b x by a +=-=⎧⎨⎩，得1,1.
a b b a +=-=⎧⎨⎩ 整理，得1,1.
a b a b -=-+=⎧⎨⎩ ∴(a+b)2-(a-b)(a+b)=12-(-1)×1=2.
2.13
x y ==-⎧⎨⎩， 3.由②，得x=4+y.③
把③代入①，得3(4+y)+4y=19.解得y=1.
把y=1代入③，得x=4+1=5.
∴原方程组的解为51.x y ==⎧⎨⎩
， 4.1
5.根据题意,得25,5 1.x y x y -=-=+⎧⎨⎩
解得3,1.x y ==⎧⎨⎩ 6.设应分配x 名工人生产脖子上的丝巾，y 名工人生产手上的丝巾，由题意得 70,120021800.x y x y +=⨯=⎧⎨⎩解得30,40.
x y ==⎧⎨⎩ 答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾. 复习测试
1.B
2.D
3.C
4.D
5.D
6.C
7.A
8.C
9.C 10.C
11.6 12.2 13.-11 14.2
14 34 15.35 16.（1）①+②，得3x=6.解得x=2.
把x=2代入②，得y=1.
所以原方程组的解为21.x y ==⎧⎨⎩
， （2）①+②+③，得x+y+z=17.④
④-①，得2z=6,即z=3.
④-②，得2x=12,即x=6.
④-③，得2y=16,即y=8.
所以原方程组的解是683.x y z ⎧⎪=⎩
==⎪⎨，，
17.设王叔叔购买甲种人参x 棵，乙种人参y 棵.根据题意，得
15x y +=⎧⎨，解得5x =⎧⎨，
答：王叔叔购买甲种人参5棵，乙种人参10棵.
18.解方程组53,25x y x y +=-=⎧⎨⎩，得1,2.x y ==-⎧⎨⎩
将x=1,y=-2代入ax+5y=4,得a=14.
将x=1,y=-2代入5x+by=1,得b=2.
19.设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意得
100,23270.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得30,70.x y ==⎧⎨⎩
答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶.
20.(1)①设购进甲种电冰箱x 台，购进乙种电冰箱y 台，根据题意，得
50,1500210090000.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得25,25.
x y ==⎧⎨⎩ 故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电冰箱各25台.
②设购进甲种电冰箱x 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得
50,1500250090000.
x z x z +=+=⎧⎨⎩解得35,15.x z ==⎧⎨⎩ 故第二种进货方案是购进甲种电冰箱35台，丙种电冰箱15台. ③设购进乙种电冰箱y 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得 50,2100250090000.y z y z +=+=⎧⎨⎩解得87.5,37.5.y z ==-⎧⎨⎩
不合题意，舍去. 故此种方案不可行.
(2)上述的第一种方案可获利：150×25+200×25=8 750(元)，
第二种方案可获利：150×35+250×15=9 000(元)，
因为8 750<9 000，故应选择第二种进货方案，
即购进甲种电冰箱35台，乙种电冰箱15台.。