高一数学对数的运算法则
对数的幂次方运算法则
对数的幂次方运算法则1.对数的乘法法则当计算两个数的乘方时，可以将其表示为对数相加的形式。
即log(a*b) = log(a) + log(b)2.对数的除法法则当计算两个数的除法时，可以将其表示为对数相减的形式。
即log(a/b) = log(a) - log(b)3.对数的乘幂法则当计算一个数的乘幂时，可以将其表示为对数乘以指数的形式。
即log(a^b) = b * log(a)4.对数的换底法则当计算以不同底数的对数之间的运算时，可以通过换底公式进行转换。
即log(a, b) = log(c, b) / log(c, a)，其中c是我们选择的一个底数。
5.对数的幂函数法则当计算以对数为幂的函数时，可以将其表示为以底数为底的对数函数的形式。
即a^log(a, b) = b以上是对数的幂次方运算法则的一些基本规则。
下面我们将通过一些实际例子来进一步说明这些法则的应用。
二、应用实例2. 实例二：计算log(1000/10)根据对数的除法法则，我们知道log(1000/10) = log(1000) -log(10) = 3 * log(10) - log(10) = 2 * log(10)3. 实例三：计算log(100^2)根据对数的乘幂法则，我们知道log(100^2) = 2 * log(100) = 2 * log(10^2) = 2 * 2 * log(10) = 4 * log(10)4. 实例四：计算log2(8)由于我们所熟悉的是以10为底的对数，因此我们可以通过换底法则将log2(8)转化为以10为底的对数。
即log2(8) = log(8) / log(2)5. 实例五：计算9^log3(9)根据对数的幂函数法则，我们知道9^log3(9) = 9^(log(9)/log(3)) = (10^log(9))^(1/log(3)) = 10^(log(9)/log(3))通过以上几个实例，我们可以看到对数的幂次方运算法则在简化运算中的重要作用。
高一数学对数的运算法则
证明： 设 loga M p, 则
a M,
p
M n (a p ) n a pn
loga M n n loga M
巩固练习
1．计算
(1) log9 3 log9 27
1 (3) lg 2 lg 5 4
(2) lg 5 100
(4) log2 (4 4)
lg100000 (5) lg100
课题：对数的运算法则
教学目标
1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对 数的性质和运算法则解题． 2．通过法则的探究与推导，培养从特殊到一般的概 括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力． 3．通过法则探究，激发学习的积极性．培养大胆探 索，实事求是的科学精神．
教学重点难点
重点是对数的运算法则及推导和应用； 难点是法则的探究与证明．
证明：设 loga M p, loga N q 则 由指数运算法则得：
a p M , aq N
ap M p q a q N a
M p q log a M log a N ∴ log a N
例2：计算
(1) lg 10 100
(2) lg 20 lg 2
新问题： loga M n ? (a 0, a 1, M 0)
了五十岁之后,各方面都开始衰退了,俺…是有心无力啊！" "是啊！" 夜白虎也跟着幽幽一叹说道："俺们三人二十年前就已经突破了圣人境,现在却还是修炼到二重,这成神之路,太难了.看着不咋大的寒子不咋大的语她们一些顶个实力飙升,马上就要追上俺们了,俺都感觉老脸发烫啊！" "能有什么 办法呢?这修炼道路越年轻境界越高,成神の几率就越高.但是年轻の时候能达到像不咋大的寒子の境界の大陆以前有吗?老祖宗当年突破圣人境好像也到了三十多岁吧?俺说你呀们两人别想太多,这种机缘可遇不可求.俺反正是看开了,该玩の玩过了,该享受の享受了,也没什么遗憾了.这最后一步能不 能迈出,就看天意了,至少俺们努力过了,入土之前也不会后悔,不是吗?"夜青牛性格大大咧咧の,说起话来也很无所顾忌,有些东西几多看得开. "说得好,管他了！命中该有の跑不掉,不该有の强求不得,还有几十年の寿元,最后拼搏一把啊！"夜天龙古板刚毅の脸上露出一丝苦笑,夜青牛没遗憾,他却 有.只是他一直不善表达出来而已.月惜水,一直是他心口永远不能抚平の伤. "咻！" 就在这时,远处传来一阵破空声.三人都同时停止了谈论,而后全部笑意盈盈の站了起来,朝门外走去. "白重炙拜见三位爷爷！" 来人正是白重炙和夜轻舞,白重炙带着她一路直接飞来,降落在阁楼前,微微一笑行了 一些礼. "拜见三位爷爷,哎呀！爷爷,你呀这么受伤了?严重吗?"夜轻舞刚刚准备行礼,却看到夜青牛浑身包裹の白布,一张俏脸顿时吓得花容失色,连忙顾不得行礼,朝夜青牛扑过了去过,担忧の上下查探起来. "丫头,大惊不咋大的怪什么.都嫁了人了,怎么还这么不稳重?身为练家子,受伤是常事,有 什么奇怪の?你呀爷爷是谁?堂堂一圣人境高手,这点不咋大的伤,修养几天就好了！"夜青牛鼓着一双牛眼,佯装训斥,但是眉眼中却是一片の慈祥之意.他显然不想,在夜天龙和夜白虎以及白重炙面前丢了脸面. "青牛爷爷,这是十瓶绝品の疗伤菜你呀这の伤势,抹上去,一日便可好！"白重炙早有准备, 从鹿老那要了十瓶神界の疗伤良菜递了过去.他知道夜轻舞如果看到夜青牛の伤势恐怕会担心の不得了,到时候怕是又要闹着停留几日了. "爷爷,快进去,俺给你呀抹上！"夜轻舞接过瓶子,想到马上就要离去,眼角都是泪水,扶着夜青牛往里边走去. 一番忙活,这疗伤菜果然神奇,一抹上,伤口便迅速 以肉眼可见の速度变好了.夜天龙和夜白虎在白重炙の坚持下也无奈之好也抹了一遍. 最后三老回归大厅,白重炙让夜轻舞陪着三人,也没有过多の解释.而是直接移形换位去了寒心阁将月倾城和夜轻语也带来了. "砰！" 在白重炙の示意上,四人齐齐跪在三老面前,行了一些大陆最隆重の三拜九叩大 礼,把三老搞得莫名其妙,而夜轻舞更是哭得一塌糊涂,把夜青牛急得差点暴走了. "三位爷爷,等会轻寒就会带着她们远离雾霭城,这一去…也不知什么时候才能回来给你呀们三人尽孝了.你呀们先不要着急着问,等俺把话说完…这是俺和老祖宗共同决定の事情,至于原因,老祖宗会告诉你呀们.今日一 别,也不知何时再能见面,希望三位爷爷好好珍重！当然,如果三位爷爷,有时候你呀们可以来紫岛一见,俺也会尽俺最大努力,争取早日重返雾霭城の." 白重炙眼角也是微含热泪,虽然他这辈子の前十五年很少见过三老,但是醉心园之后,三老算是一直对他很不错,尤其是自己陷入落神山之前,夜青牛 和夜天龙の那声怒吼,让他感受到他们对自己真诚の爱.当然这或许和自己实力暴涨有关系,但是至少那一刻开始,他开始接受了这三人. "这是一枚天神巅峰の神晶,你呀们三人可以选择一人炼化.这…算是临行前,俺送给你呀们の礼物！" 说完,白重炙掏出一些青色玉盒递给夜天龙,带着三人再次重 重の叩下.最后带着哭得稀里糊涂の夜轻舞,强忍住内心の悲伤,毅然转身离去.白重炙知道这时候只能快刀斩乱麻,否则恐怕好几天都走不了了. "这…族长,这是怎么回事?"夜青牛本想追去,但是却给夜天龙拦住了,一双牛眼鼓の大大の,重重在地上跺了一脚,满脸の暴躁,乱吼起来. "急什么青牛,你 呀没听到不咋大的寒子说俺们日后可以去紫岛见她们吗?俺已经传讯给老祖宗了,等他来了在问清楚吧.哎…发生了什么事情?竟然严重到要去紫岛避难の地步了?" 夜天龙狠狠瞪了夜青牛一眼,似乎在责怪他轻重不分.夜白虎此刻却还震撼在白重炙送给白家の天神巅峰神晶.两人被夜天龙一说都惊醒 过来,白重炙刚刚实力大进,为破仙府破解了一些大危机,现在却要匆匆离去.并且三人同时也想到了白重炙斩杀异族の时候,那奇怪の打扮以及刻意改变の声音,莫非他遇到了什么大麻烦,连白家都不能保他? "因为…他杀了屠千军,所以他必须走！否则白家都会完蛋！" 这时夜若水突然瞬移过来了, 沉沉一叹,有些无奈の说道："传令下去,将那天雾霭城外の事在**一遍,族中子弟凡是谈论此事,全部逐出白家,严重者就地格杀！" 片刻之后,一辆没有任何标志の豪华大马车,悄然の从雾霭城东门朝远方绝尘而去. 当前 第叁玖壹章 夜剑出手了 文章阅读 破仙府这段时候很发生了一件很奇怪の事 情,奇怪到大家都有些微微恐惧起来了.看书 前几日在雾霭城参加过那场大战,劫后余生の所有强者,都不约而同再次接到了一些来自破仙府最高级别の命令.同样の意思,就是严禁谈论传播那场大战の那张巨脸,以及那个黑袍人.并且这次似乎更严重,破仙府直接下了一些破仙血令,说此事关系到破仙 府の存亡,凡谈论传播此事者,杀无赦！ 上次在雾霭城,或许所有の强者会感到惊疑,但是这次却明显都惶恐了.这事情显然看起来非常严重,都严重到破仙府の存亡了,谁还敢在谈论?不少人已经偷偷和别人谈起过の,连忙开始擦屁股补救起来,而不少人则打算把这事烂在了肚子里. 很明显,夜若水の 两次禁言起了很大作用.大陆所有の神级强者虽然在那一日大战の时候,都有用神识过来偶尔查探.但是因为怕触怒金麒却没敢将神识散发在战场中央,而后来那张巨脸出现之后,更是连远远查探都不敢了. 直到战事完毕之后,那张巨脸和异族全部消失之后,他们才敢慢慢将神识辐散过来.却发现异族 已经全部消失了.但是那一刻很明显,他们都以为是因为噬大人出手了,把异族杀の杀,赶の赶,这才平息了这场灭世危机. 蛮神府隐岛,在庆幸暗喜同时,开始纷纷打探起事情の经过.而妖神府神城在暗骂の同时,也开始四处打探起那日发生の事情. 夜若水の第一条传音起了作用,当夜虽然有无数の神 识锁定了雾霭城广场の帝王境练家子.但是后面却无人在谈论.他们只是隐隐听到,似乎有个黑袍强者,拯救了破仙府? 这半懂不懂の,更加让他们奇怪,于是两府一城一岛潜伏收买の破仙府探子,开始四处打探起来,要将那天の事情完全搞清楚,否则感觉一件事被吊着,感觉总是不舒服. 只是在破仙府 第二道禁口令下,都没有查探出什么确切の情报.这下更是了不得了,几番势力本来还没太大注意,现在破仙府几次禁口令,将这事悟得那么紧,一点风声不透.这…里面没有隐藏什么天大の秘密,谁也不相信了.于是乎整个破仙府表面一片风平浪静,暗地里却是暗潮汹涌起来… …… 虽然禁口令下了两 道,但是明显还是有人敢冒整个破仙府之不为,悄悄谈论の.比如夜剑就有这个胆子. 夜剑一直是个势利心很重の人,年轻の时候他天赋一样,被夜刀压了几十年,但是他一直隐忍着.那次夜刀固执の去了落神山,他认为是个机会,于是他果断出手了,结果他赢了,夜刀死了. 大房在他の静心经营之下,在 白家,在破仙府北方一手遮天.只是六年前夜刀の儿子,突然之间变得无比强势起来了,醉心园一战,夜天龙被引了出来,结果夜轻狂被废,他被囚禁,二房再次力压大房. 他没有放弃,继续隐忍,在后山,因为没有俗事缠身,他
对数运算法则高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
lo g 7
(2)log3√27+lg 25+lg 4+7
解
3
原式=log332 +lg
2
=3+2lg 10=3+2×1=5.
+(-9.8)0.
1
3
+2+1=2+2lg
2
5 +lg 2
1
2
5+2lg
3
2+2=3+2(lg
5+lg 2)
探究点二
对数换底公式的应用
2.换底公式的意义在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问
题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要
由已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
lg
3.任何对数均可用常用对数表示,即 logab=
lg
(a>0且a≠1,b>0).
ln
(a>0且a≠1,b>0).
2
2
2
2
lg3
lg3 lg2
lg2
5lg3
3lg2
②原式=(
+
)( +
)=
×
2lg2
3lg2 lg3
2lg3 6lg2
2lg3
=
5
.
4
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.
解 ∵18b=5,∴log18 5=b.
log18 45
于是 log3645=
log18 36
=
log18 (9×5)
高一数学必修一对数知识点
高一数学必修一对数知识点一、什么是对数对数是数学中一个很重要的概念，它与指数运算密切相关。
对数通常用来表示通过指数运算得到的结果。
在数学中，我们以log为符号，表示对数。
这里的底数通常是10，因此常用的对数就是以10为底的对数，简称为常用对数。
常用对数的符号是lg。
例如，如果我们有一个等式10^2=100，我们可以用对数来表达为：lg100=2。
这里的2就是这个数的对数。
二、对数的特性对数有一些特性，掌握这些特性可以更好地理解和应用对数。
1. 对数相加等于两个数相乘的对数：log(ab)=loga+logb。
这个特性称为对数的乘法法则。
2. 对数相减等于两个数相除的对数：log(a/b)=loga-logb。
这个特性称为对数的除法法则。
3. 底数为10的对数称为常用对数，它的特点是对数值与所表示的数的数量级相等。
4. 任何数的对数都必须大于0，即对数的底数必须大于1。
三、对数的应用1. 对数在科学计算中经常使用，尤其是当数据的数量级很大或很小时。
例如，天文学家用对数来表示星星的亮度等级，地震学家用对数来表示地震的震级等。
2. 对数在解决指数方程和指数不等式时非常有用。
通过运用对数的性质，我们可以将指数方程转化为对数方程，进而求解。
3. 对数还可以用于解决百分数和利率的问题。
当我们需要计算复利时，可以使用对数来简化计算过程。
四、对数的计算方法1. 利用对数的乘法法则和除法法则，我们可以将任意一个数转化为以某个底数为底的对数。
2. 计算对数时，可以利用科学计算器上的对数函数。
通常，对数函数的按键上标有log或lg的符号。
3. 当底数不是10时，我们可以利用换底公式来计算对数。
换底公式是loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中c可以是任意不等于1的数。
五、对数的常见错误1. 计算对数时，一定要记得给出底数，否则对数没有意义。
2. 在使用对数进行计算时，一定要保证输入的数值大于0，否则计算结果将出错。
对数的运算法则-对数加减法法则
用口诀法记忆对数的运算法则
（1）乘除变加减，指数提到前：
log a M·N＝log a M＋log a N
log a M/N ＝log a M－log a N
log a Mn＝nlog a M
（2）底真倒变，对数不变；
底真互换，对数倒变；
底真同方，对数一样。
（3）底是正数不为1（在log a N ＝b中，a＞0，a≠1），底的对数等于1（log a a＝1），
1的对数等于零（log a 1＝0），
零和负数无对数（在log a N＝b中，Ｎ＞０）。
【附】
１．用口诀法记忆实数的绝对值
“正”本身，“负”相反，“０”为圈。
２.用口诀法记忆有理数的加减运算规则
同号相加一边倒；
异号相加“大”减“小”，
符号跟着“大”的跑。
3.用口诀法记忆因式分解的常用方法
首先提取公因式，
其次考虑用公式，
十字相乘排第三，
分组分解排第四，
几法若都行不通，
拆项添项试一试。
4.用口诀法记忆数学中三角函数的诱导公式
奇变偶不变，
符号看象限。
5.用口诀法记忆负指数幂的运算法则
底倒指反幂不变：a-p ＝1/ap （a≠0，p为正整数）。
对数的运算法则高一上学期数学湘教版(2019)必修一
要点二 对数换底公式
log
logab＝
(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0).
log
1
特别地：logab·logba＝________(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1).
状元随笔 对数换底公式常见的两种变形
1
(1)logab·logba ＝1，即
＝logba ，此公式表示真数与底数互换，
＝log93 ＝ .
log2 9
2
跟踪训练1 求值：
1
1
(1)
+
log4 6
log9 6
(2)(log23＋log43) (log32＋log274)
解析：(1)原式＝log64＋log69＝log636＝2.
1
2
(2)原式＝(log23＋ log23)×(log 3 2 + log 3 2)
3
2
第2课时 对数的运算法则(2)
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
教材要点
要点一 常用对数与自然对数
(1)常用对数：以10为底的对数，叫作常用对数，并且把log10N记为
lg N.
(2)自然对数：以e(e＝2.718 28…)为底的对数，叫作自然对数，并且
把logeN 记为ln N .
例1 计算下列各式的值．
(1)(log43＋log83)log32；
log5 2 × log7 9
(2).
1
3
log5 × log7 4
3
方法归纳
(1)利用对数的换底公式可以将不同底对数的问题化为同底对数的问
题．
(2)换底时要注意与题中条件结合，所取的底数要便于计算．
对数运算法则
故12y=1z-1x.
解法二3x=4y=6z=m，
则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，
③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.
∴1z-1x=12y.
9
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
难点疑点突破
对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?
理由如下：
①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28
②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数
③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数
(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.
(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.
(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.
解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,
∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.
∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数
高中数学第七节 对数与对数函数
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第七节
对数与对数函数
结束
[类题通法]
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数 幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用 对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点：
(1)函数的定义域；
(2)对数底数的取值范围．
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第七节
对数与对数函数
结束
[试一试] 1． (2013· 苏中三市、 连云港、 淮安二调)“M>N”是“log2M>log2N”
成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充 分”“充要”或“既不充分又不必要”)． 解析：当 M，N 为负数时，不能得到 log2M>log2N，而根据函
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第七节
对数与对数函数
结束
1．对数值的大小比较的基本方法
(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0 或 1)；(4)化同真数后利用图像比较．
2．明确对数函数图像的基本点
(1)当 a>1 时，对数函数的图像“上升”；
当 0<a<1 时，对数函数的图像“下降”．
(2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)∵f(1)＝1， ∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1， 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数f(x)的定义域为(－1，3)．
高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式
高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式数学是一门具有广泛应用的学科，不论是在学术研究还是实际生活中，数学公式都扮演着重要的角色。
在高中数学中，指数与对数是两个重要的概念，它们的公式在解题过程中经常被用到。
本文将为您提供高中数学公式大全，重点介绍指数与对数的幂运算与对数运算公式。
1. 指数与幂运算公式指数与幂运算是指数函数的基本运算法则，它包括以下几个公式：1.1 指数幂运算法则（1）指数相同，底数相乘：a^m × a^n = a^(m+n)。
例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
（2）幂相同，底数相乘：a^m × b^m = (a × b)^m。
例子：2^3 × 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3。
（3）指数的乘方：(a^m)^n = a^(m×n)。
例子：(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12。
（4）幂的乘方：(a × b)^m = a^m × b^m。
例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。
1.2 指数的乘法法则（1）指数相加：a^m × a^n = a^(m+n)。
例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
（2）底数相乘：(a × b)^m = a^m × b^m。
例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。
2. 对数运算公式对数是指数的逆运算，它有以下几个重要的运算公式：2.1 对数幂运算法则（1）底数相同，幂相加：loga(x × y) = loga(x) + loga(y)。
例子：log2(4 × 8) = log2(4) + log2(8)。
（2）幂的乘方：loga(x^m) = m × loga(x)。
高一数学课件-对数的运算法则ppt.ppt
(1) log2 0.6
(2) log 2 30
43 (3) log 2 125
课堂小结
1．运算法则的内容 2．运算法则的推导与证明 3．运算法则的使用
由指数运算法则得：
ap aq
a pq
M N
∴
log a
M N
p q loga
M
loga
N
例2：计算
(1) lg 10 100
(2) lg 20 lg 2
新问题： log a M n ? (a 0, a 1, M 0)
证明： 设 log a M p, 则 a p M ,
M n (a p )n a pn log a M n n log a M
巩固练习
1．计算
(1) log9 3 log9 27 (3) lg 1 2lg 5
4 (5) lg100000
lg 100
(2) lg 5 100 (4) log2 (4 4) (6) log 2 (47 25 )
2．已知 log2 3 a, log2 5 b，用 a, b 的式子表示
教学目标
1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则 解题．
2．通过法则的探究与推导，培养从特殊到一般的概括思想，渗透化归 思想及逻辑思维能力．
3．通过法则探究，激发学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科 学精神．
教学重点难点
重点是对数的运算法则及推导和应用； 难点是法则的探究与证明．
引入
问题：如果看到 log a N b 这个式子会有何联想?
答： （1）a 0 （2）a 1 （3）N 0 （4）ab N
新授：对数的运算法则
先回顾一下指数的运算法则：
对数的运算法则及公式换底
对数的运算法则及公式换底
对数是数学中常用的一种运算方式，它可以将一个较大的数转化为较小的数，从而使计算更方便。
对数的运算法则和公式换底是对数运算中最基本的内容之一，下面我们来详细了解一下。
一、对数的运算法则
1、乘法法则
若a>0,b>0，则有loga (b×c) =loga b +loga c
2、除法法则
若a>0,b>0，则有loga (b/c) =loga b -loga c
3、幂次法则
若a>0,b>0，则有loga (b^n) =nloga b
二、对数的公式换底
在对数运算中，有时候需要将一个对数的底数换成另一个底数，这就是对数的公式换底。
公式换底有两种常用的方式，分别是常用对数和自然对数。
1、常用对数
常用对数的底数是10，因此我们可以将任意一个对数转化为以10为底数的对数。
公式如下：
loga b =log10 b/log10 a
其中a和b都是正数，且a≠1。
2、自然对数
自然对数的底数是e，因此我们可以将任意一个对数转化为以e
为底数的对数。
公式如下：
loga b =ln b/ln a
其中a和b都是正数，且a≠1。
总之，掌握对数的运算法则和公式换底对于学习高等数学、物理等学科是非常重要的。
高一数学对数的运算法则
证明：设 loga M p, loga N q 则 由指数运算法则得：
a p M , aq N
ap M p q a q N a
M p q log a M log a N ∴ log a N
例2：计算
(1) lg 10 100(2) lg 20 lg 2
新问题： loga M n ? (a 0, a 1, M 0)
lqu24hmo
耿家小学堂”办学之初，耿老爹的大妻侄儿郭栋的年龄虽然还可以勉强划入到适龄学童班里，但他当时已经是郭家饭店里爹娘离不开的得力助 手了，因此只能上了姑父执教的夜校班读书。坚持学习到结业时，聪明好学的郭栋已经增长了不少知识，为他以后成功继承祖业并且继续发扬 光大奠定了很好的基础。相比之下，妹妹郭美妞儿和弟弟郭梁就幸运多了。郭美妞儿当时正好是入学的最佳年龄，加之天姿聪慧又特别好学， 深得表哥表姐们的赏识。学满五年毕业之后，她也成了“耿家小学堂”里一名漂亮的女先生。而且，郭美妞儿的文采极佳，后来还成为耿英编 制乡镇土戏的好助手。她和表姐一起，先后编制出了很多脍炙人口的佳剧流传后世。只是，这位特别受人们尊重的漂亮女先生终身未嫁，她将 自己的毕生精力，全都倾注在了培养故乡小学童和编写大众化课本的事业中了„„至于当时还年幼的二妻侄儿郭梁则更是了得。这个聪明好学 的幸运儿在成长至适龄时入学，并且从“耿家小学堂”毕业以后，又经乡试被选送至郡学学习。后来，又通过逐级国子监科举考试中了前30名 进士，官至巡抚。为官几十年期间，郭梁一直廉洁勤奋，始终致力于为一方民众造福。告老还乡以后，他还在“耿家小学堂”里做了多年白胡 子老先生，成为乡民后人的一段美谈。除了郭梁之外，从“耿家小学堂”走出去的人才还有很多，很多„„在紧张有序的办学生涯中，耿家兄 妹们全都家庭和睦，人丁兴旺。极其良好的手足之情，使“耿家小学堂”在办学之初的摸索发展中少走了很多弯路；而兄弟姐妹们齐心协力总 结汇聚起来的办学经验，更使小学堂以后的发展越来越顺利，越来越卓见成效。耿正和秀儿育有两男一女；耿英和大壮在那一对龙凤胎之后又 生了一个女儿；耿直和王巧妞儿育有两男两女；耿兰和李尚武带着李远和李思回到“三六九镇”之后，又先后生了次子李望和次女李念。由于 耿直和王巧妞儿，耿兰和李尚武都是夫妻教书先生，他们的娃儿们都是郭氏帮着带大的；而耿正和秀儿，耿英和大壮的娃儿们，裴氏和刘氏也 帮了很大的忙。可以说，在“耿家小学堂”办学之初，这三位朴实无华的农家妇人都做出了不可磨灭的贡献。由于在历次乡试中成绩斐然， “耿家小学堂”的名气越来越大，附近村庄的乡民们送自家娃儿来这里学习的人家也越来越多。加之“三六九镇”上的人口增长速度也比周围 村庄里快得多，所以，“耿家小学堂”的办学规模一直在逐年增大。原先修建的十个三通间授课学习室不够用了，耿正就又组织人马在正面的 东头接着加建了五个同样结构的授课学习室。耿正、耿英、耿直和耿兰的儿女们，大多终生从事于“耿家小学堂”教书育人的事业。并且在教 书育人之余，还都特别热衷于为“三六九镇”大戏
必修一对数计算公式
必修一对数计算公式在数学中，对数是一种非常重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在高中数学中，学生们通常会学习到对数的概念和相关的计算公式。
其中，必修一对数计算公式是学生们需要掌握的重要知识之一。
本文将重点介绍必修一对数计算公式，并对其应用进行详细的解析。
首先，让我们来回顾一下对数的基本定义。
对数的定义是，如果a的x次方等于b，那么数x叫做以a为底b的对数，记作loga(b) = x。
其中，a被称为对数的底，b被称为真数，x被称为对数。
对数的定义可以帮助我们更好地理解对数的概念和运算规则。
在必修一对数计算公式中，最常用的是换底公式。
换底公式是用来将对数的底从a转换为b的公式，其表达式为，logb(x) = loga(x) / loga(b)。
换底公式的应用可以帮助我们简化对数的计算，并且在解决实际问题时具有重要的作用。
另外，必修一对数计算公式中还包括了对数的运算法则。
对数的运算法则包括了对数的加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
这些运算法则在对数的计算过程中起着至关重要的作用，可以帮助我们简化对数的计算，并且在解决实际问题时具有重要的应用价值。
接下来，让我们通过一些具体的例子来详细解析必修一对数计算公式的应用。
首先，我们来看一个简单的例子，计算log2(8)。
根据换底公式，我们可以将对数的底从2转换为10，得到，log2(8) = log10(8) / log10(2)。
然后，我们可以利用对数的运算法则，将log10(8)和log10(2)进行计算，最终得到log2(8)的值。
通过这个例子，我们可以看到必修一对数计算公式的应用是非常灵活和方便的。
除了换底公式和对数的运算法则，必修一对数计算公式还包括了对数方程的解法。
对数方程是指方程中含有对数的方程，解决对数方程可以利用对数的性质和运算规则。
例如，我们可以通过对数的定义和运算法则，解决类似于log2(x) = 3的方程，从而得到方程的解。
对数函数加减运算法则
对数函数加减运算法则对数函数是数学中常见的几个特殊函数之一，具有独特的运算法则。
在进行对数函数的加减运算时，可以依据一些特定的规则进行运算，以简化计算和推导过程。
下面将详细介绍对数函数的加减运算法则。
1.对数函数的加减法则：（1）加法法则log_a (x·y) = log_a x + log_a y这个法则描述了对数函数过程中的乘法关系。
当对数函数的底数a不变时，对数函数的乘法运算可以转化为对数函数的加法运算。
也就是说，若两个数x和y的乘积等于n，则它们的对数之和等于对数函数n的结果。
（2）减法法则log_a (x/y) = log_a x - log_a y这个法则描述了对数函数过程中的除法关系。
当对数函数的底数a不变时，对数函数的除法运算可以转化为对数函数的减法运算。
也就是说，若两个数x和y的比值等于n，则它们的对数之差等于对数函数n的结果。
2.混合运算法则：混合运算法则指同时涉及加法和减法运算的对数函数。
在这种情况下，我们需要通过一定的步骤将对数函数的加减关系转化为简单的加法或减法运算，以便简化计算。
（1）如何将对数函数的减法转化为加法？对于任意两个数x和y，我们可以使用加法法则将对数函数的减法转化为加法：log_a (x/y) = log_a x + log_a (1/y)= log_a x + (-log_a y)= log_a x - log_a y（2）如何将对数函数的加法转化为减法？对于任意两个数x和y，我们可以使用减法法则将对数函数的加法转化为减法：log_a (x·y) = log_a x + log_a y= log_a x + [-log_a (1/y)]= log_a x - log_a (1/y)= log_a x - [-log_a y]= log_a x + log_a y3.运算法则的应用：（1）三角函数的应用：在三角函数的求解过程中，经常涉及到对数函数的运算。
对数函数的运算法则
对数函数的运算法则对数函数是数学中常用的一种函数，它在计算和分析复杂问题时具有重要的作用。
对数函数的运算法则是指对数函数在运算中满足的一些基本规律和性质，下面将详细介绍这些运算法则。
一、对数函数的定义对数函数是指以一个固定底数为基，将一个正数作为函数的自变量，得到的函数值为其对数的函数。
通常我们使用以e为底的自然对数函数ln(x)，以及以10为底的常用对数函数logx。
二、对数函数的基本性质1.对数函数的定义域：对数函数的自变量必须是正数，所以其定义域为正实数集合。
(0,+∞)2.对数函数的值域：对数函数的函数值可为任何实数。
3.对数函数的奇偶性：对数函数是无论基数是正数还是负数，都是奇函数，即具有对称中心点(1,0)。
4. 对数函数的单调性：对数函数以底数大于1时是递增函数；以底数小于1时是递减函数。
即logx(loga(x))的值在[0,+∞)区间上递增；在(0,1]区间上递减。
这也是由定义可得。
三、对数函数的运算性质1. 对数的对数：loga(logb(x)) = logb(a)logb(x)这个性质是对数函数运算中的一个重要性质，可以帮助我们将一个对数函数转化为另一个对数函数来简化问题。
2. 对数的乘方：loga(x^k) = kloga(x)这个性质可以帮助我们简化对数函数中的乘方运算，将其转化为对数与乘法的关系。
3. 底数的换底公式：loga(x) = logb(x)/logb(a)当我们需要将一个对数函数以底数a的形式表示为以底数b的对数函数时，可以使用换底公式将其转化为以底数b的对数函数来表示。
4. 对数与指数的关系：loga(x) = y 与 a^y = x 互为逆运算这是对数函数和指数函数之间的基本关系，对数和指数运算可以互相转化，相互补充。
5. 对数的乘法公式：loga(x×y) = loga(x) + loga(y)这个公式可以帮助我们将对数函数的乘法运算转化为加法运算。
高一数学对数与对数函数
§2.6对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(2)对数的性质①负数和零没有对数；②log a 1＝0，log a a ＝1(a >0，且a ≠1)；③log a Na＝N (a >0，a ≠1，且N >0)；④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0；(5)当x >1时，y <0；当0<x <1时，y <0当0<x <1时，y >0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？②化简log m na b .提示①log a b ·log b a ＝1；②logm na b ＝n mlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示0<c <d <1<a <b .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．(√)(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)一、四象限．(√)题组二教材改编2．log 29·log 34·log 45·log 52＝________.答案23．已知a ＝1-32，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案c >a >b解析∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1.∴c >a >b .4．函数y的定义域是______．答案1解析由23log (21)x -≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1.∴函数y1.题组三易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是()A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c答案B6．(多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1答案BC解析由图象可知函数为减函数，所以0<a <1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c .由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案(1，＋∞)解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a (1，＋∞).对数式的运算1．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．答案3解析由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.2．设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝________.答案6解析∵函数f (x )＝3x ＋9x ，∴f (log 32)＝339log 2log 2log 43929＋＝＋＝2＋4＝6.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案A解析两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7，lgE 1E 2＝25·(m 2－m 1)＝25(－1.45＋26.7)＝10.1，E 1E 2＝1010.1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1答案A解析由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)方程4x＝log a x ，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．答案，22解析若方程4x ＝log a x ，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x ，12上有交点，a<1，a12≤2，解得0<a≤22.4x<log a x，12上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案解析当0<x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方．又当x＝12时，124＝2，即函数y＝4x y＝log a x，得a＝22.若函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方，则需22<a<1(如图所示)．当a>1时，不符合题意，舍去．所以实数a思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1(1)(2019·河北冀州中学月考)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()答案B解析由函数值域为R，可以排除C，D，当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A，选B.(2)若不等式x 2－log a x <0对xa 的取值范围是________．答案116，解析只需f 1(x )＝x 2f 2(x )＝log a x图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<loga x 在x只需ff所以有≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是116，对数函数的性质及应用命题点1解对数方程、不等式例2(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．答案x ＝5解析原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝5.(2)设f (x )2x ，x >0，12(－x )，x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．答案{－1,1}解析当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝121log a ⎛⎫⎪⎝⎭＝f (－a )＝12log a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝12log ()a-＝logf (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1.∴方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}．本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．答案(－1,0)∪(1，＋∞)解析>0，log 2a >12a<0，12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.命题点2对数函数性质的综合应用例3(2020·湛江质检)已知函数f (x )＝12log (x 2－2ax ＋3)．(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解(1)由f (－1)＝－3，得12log (4＋2a )＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2.则f (x )＝12log (x 2－4x ＋3)，由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令μ＝x 2－4x ＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．又y ＝12log μ在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.≥2，(2)≥0，即≥2，－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2(1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为()A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1](1)>0，≥1，－a >0，≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴a >4，且a<4，故不存在．综上可知，实数a比较指数式、对数式的大小例4(1)(2019·天津市河西区模拟)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则()A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a .又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则()A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(3)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝fc ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案c <a <b解析易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f |log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f f (4)，所以c <a <b .思维升华(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.跟踪训练3(1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案B解析因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(2)(2019·天津市滨海新区模拟)已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f b ＝f c ＝f (2－1)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <c <bB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案A解析ln 32<ln e ＝12，log 23>12，∴log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴ff f (log 23)＝f ∴a <c <b .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c <b <a <1.故选C.1．(2019·泸州诊断)2lg 2－lg 125的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析2lg 2－lg 125＝2lg 100＝2，故选B.2．设0<a <1，则()A ．log 2a >B ．>C ．log 2a <D ．log 2a <答案B解析∵0<a <1，∴0<a 2<a <a <1，∴在A 中，log 2a ＝，故A 错误；在B 中，>，故B 正确；在C 中，log 2a >，故C 错误；在D 中，log 2a >，故D 错误．3．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为()答案A解析易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，所以选A.4．(2019·衡水中学调研卷)若0<a <1，则不等式1log a x >1的解是()A ．x >aB ．a <x <1C ．x >1D ．0<x <a答案B解析易得0<log a x <1，∴a <x <1.5．函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间为()A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案D解析函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝12log t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝12log t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．6．(2020·长沙期末)已知函数f (x )2x ，x >0，x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围为()A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(0，＋∞)答案A解析作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，欲使y ＝f (x )和直线y ＝a 有两个交点，则0<a ≤1.7．(多选)关于函数f (x )＝ln1－x1＋x，下列说法中正确的有()A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f 答案BD解析函数f (x )＝ln 1－x1＋x＝其定义域满足(1－x )(1＋x )＞0，解得－1＜x ＜1，∴定义域为{x |－1＜x ＜1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x1－x＝1＝－ln1－x1＋x＝－f (x )，是奇函数，∴B 对．函数y ＝21＋x －1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对．f (x 1)＋f (x 2)＝ln1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2＝f ∴D 对．8．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的说法为()A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1,1)上单调递增答案BC解析函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，∴f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数，∴A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；∵1－|x |≤1，∴h (x )≤log 21＝0，故C 正确．9．函数f (x )＝log 2x ·(2x )的最小值为________．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x 2x －14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.10．(2020·深圳月考)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案(0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点(如图)，∴ab＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间0，32上的最大值．解(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.＋x >0，－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12．是否存在实数a ，使得f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解设t＝ax2－x＝－1 4a.若f(x)在[2,4]上是增函数，<1，4，－4>0，2，2>0，解得a>1.∴存在实数a满足题意，即当a∈(1，＋∞)时，f(x)在[2,4]上是增函数．13．已知函数f(x)＝ln e xe－x，若fff1010(a＋b)，则a2＋b2的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵f(x)＋f(e－x)＝2，∴ff…＋f2020，∴1010(a＋b)＝2020，∴a＋b＝2.∴a2＋b2≥(a＋b)22＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．14．若函数f(x)＝log a(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.答案2解析令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝74.当a>1时，y＝log a u是增函数，f(x)max＝log a4＝2，得a＝2；当0<a<1时，y＝log a u是减函数，f(x)max＝log a74＝2，得a＝72(舍去)．故a＝2. 15．(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝log a(2x－a)在区间12，23上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是()B.13，D.23，答案A解析当0<a <1时，函数f (x )在区间12，23上是减函数，所以log ，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 16．已知函数f (x )＝lgx －1x ＋1.(1)计算：f (2020)＋f (－2020)；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m(x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1.∴函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝0，∴f (x )为奇函数．∴f (2020)＋f (－2020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lgm (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m(x ＋1)(7－x )恒成立．即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9.∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9.即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。
高一数学《对数的运算法则》学案
江苏省宿迁中学高一数学《对数的运算法则》学案【三维目标】1. 知识与技能① 理解并掌握对数的运算性质，能较熟练的运用对数的运算性质解决有关对数式的化简求值问题。
② 掌握换底公式，会用公式将一般的对数化为常用或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明。
③ 能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答。
2. 过程和方法① 通过师生之间，学生之间互相交流，培养学生做一个会与别人共同学习的人。
② 结合实例引导学生探究换底公式，。
过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想。
③ 通过探究、思考、培养学生理性思维能力，观察能力以及判断能力。
3. 情感、态度价值观① 通过学习对数运算法则，探究换底公式，使学生明确知识之间的联系，感受数学的整体性激发学生的学习兴趣。
② 在教学过程中通过学生的相互交流，加深对运算性质的理解增强学生的数学交流能力和数学的分析问题的能力。
③ 通过计算机来探索对数的运算性质，使学生认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具，激发学生学习数学的热情。
【教学重难点】1. 对数的运算性质，换底公式的本质和作用。
2. 对数的运算性质，换底公式的灵活运用。
【教具准备】多媒体课件、投影仪、打印好的作业【教学过程】一. 预习填空:1. 对数的运算性质：010,0,a a M N >≠>>如果且，那么 ____________log log log ______________________________log .a a aa M M N Nn M =+==①②③ 注意公式的逆用，及左右两边运算结构的差异.2. 换底公式： 1log _________(01,01,0)log ______,log log ______.log ,log log log ______,log _____.n a am a b a a b c a N a a c N a b a b b c a b =>≠>≠>=====g 其中且且c二、新授内容例1已知lg 20.3010,lg30.4771≈≈求下列各式的值:(1) 352log (24)⨯ （2）log 5125 (3)lg12 （4）27lg16练习:课本P60 2,4例2.计算（1）21lg 500lg1.6lg 6450(lg 2lg 5)2+-++ (2)3335322log 2log log 83log 59-+-（3）33(lg 2)(lg5)3lg 2lg5++g (4)2221log log 12log 422-例3. 设lg3,lg5m n ==，用m , n 表示下列各式（1）lg 45 （2）5lg24 （3）3log 5练习:课本P60 3, 1例4.计算83log 9log 32⨯ = ________ 3484log 4log 8log log 2,________m m ==g g 若则 练习:课本P62 1, 2,3例5. 2000年我国国内生产总值（GDP ）为89442亿元.如果我国GDP 年均增长7.8%左右，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？三.基础练习 1. 52lg 4lg _________8+=. 2. 235111log log log ______2589⨯⨯=. 3. 在b = log (a – 2)(5 — a)中，实数a 的取值范围是__________________.4. 已知log 23 = m ，log 37 = n ，则log 4256=5.(2log 2______=.6. 若ln2 =a ，ln3 = b ，ln10 = c ，则5ln6 = 7. 如果方程2(lg )(lg 2lg3)lg lg 2lg30x x +++=g 的两根为x 1，x 2，那么x 1x 2的值为_____.思考：已知正数a 、b 、c 满足22a = 33b = 66c ，求321a b c+-的值..四．总结：①本节课学习的知识点有：②本节课所用的思想方法有：五：课堂作业: 课本P64 习题2.3(1) 3 （5），（6），5，6，7，8作业 对数(2)1. 已知ab > 0，下面三个等式中：①lg(ab) = lga + lgb ②lglg lg a a b b =-③21lg()lg 2a a b b = 其中错误命题的序号是________________. 2 51lg12.5lg lg _________82-+=. 3.求值：266122log 181(1)(log 3)(2)2,log 3______log 6a a-==+=_____若则. 4.已知(0,0,1)log ,log _____M M ab M a b M b x a =>>≠==，且则.5.若5()lg f x x =，则f(2) = _______________..6.7. 设241()2(log ),.5x f x f x x -==且求8 2log (2)log log ,.a a a M M N M N N-=+求的值.242(log 3log 9log 3)n n +++⋅计算…9.35a b ==11a b +的值.10.已知定义在R 上的函数f(x)满足2(log )a f x x x=+，a 为常数. （1）求函数f(x) 的表达式；（2）当f(x)时偶函数时，讨论f(x)的单调性.。
高一数学对数的知识点归纳
高一数学对数的知识点归纳我们学习函数时，总会运用到对数，对数也是许多同学的短板，下面就是我给大家带来的高一数学对数的学问点归纳，盼望大家喜爱！高一数学上册关于对数的学问点归纳一、对数的概念(1)对数的定义：假如ax=N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.当a=10时叫常用对数.记作x=lg_N，当a=e时叫自然对数，记作x=ln_N.(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：①loga1=0.②logaa=1.③对数恒等式：alogaN=N.二、解题方法1.在运用性质logaMn=nlogaM时，要特殊留意条件，在无M0的条件下应为logaMn=nloga|M|(n∈N，且n为偶数).2.对数值取正、负值的规律：当a1且b1，或00;3.对数函数的.定义域及单调性：在对数式中，真数必需大于0，所以对数函数y=logax的定义域应为{x|x0}.对数函数的单调性和a的值有关，因此，在讨论对数函数的单调性时，要按01进行分类商量.4.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交高一数学对数的学问点归纳点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.3、函数零点的求法：○1 (代数法)求方程的实数根;○2 (几何法)对于不能用求根公式的.方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数(1)△0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2)△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)△0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.。
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证明： 设 loga M p, 则
a M,
p
M n (a p ) n a pn
loga M n n loga M
巩固练习
1．计算
(1) log9 3 log9 27
1 (3) lg 2 lg 5 4
(2) lg 5 100
(4) log2 (4 4)
lg100000 (5) lg100
引入
问题：如果看到 loga N b 这个式子会有何联想? 答： （1）a
0
（2）a 1
（3）对数的运算法则
先回顾一下指数的运算法则：
a a a
m
m
n
m n
a mn a n a
(a ) a
m n mn
问题： 若 a 0, a 1, M 0, N 0,
课题：对数的运算法则
教学目标
1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对 数的性质和运算法则解题． 2．通过法则的探究与推导，培养从特殊到一般的概 括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力． 3．通过法则探究，激发学习的积极性．培养大胆探 索，实事求是的科学精神．
教学重点难点
重点是对数的运算法则及推导和应用； 难点是法则的探究与证明．
证明：设 loga M p, loga N q 则 由指数运算法则得：
a p M , aq N
ap M p q a q N a
M p q log a M log a N ∴ log a N
例2：计算
(1) lg 10 100
(2) lg 20 lg 2
新问题： loga M n ? (a 0, a 1, M 0)
(6) log2 (47 25 )
2．已知 log2 3 a, log2 5 b， 用 a , b 的式子表示
(1) log2 0.6
(2) log2 30
3 (3) log2 125
4
课堂小结
1．运算法则的内容
2．运算法则的推导与证明
3．运算法则的使用
； /hskjr/ 黄生看金融 ；
loga M loga N log(M N ) 是否成立?
证明 loga M loga N loga MN 成立
p q 证明：设 loga M p, loga N q 则 a M , a N，
由指数运算法则得：
a a a
p q
pq
M N
∴ loga (MN ) p q
即： loga (MN ) loga M loga N
例1：计算
(1) log2 (32 64)
1 ( 2) log 3 5 log 3 5
(3) log6 2 log6 3
新问题： log a
M ? (a 0, a 1, M , N 0) N
得： log a
M log a M log a N N
子孙后代在这里定居了超过百年了,若是这太子生变,到时可能会连累到他の陆家.不过现在根汉还是没告诉陆震,两人壹边喝酒,壹边聊天,直到傍晚时分根汉才坐上陆震の私人飞船,飞往陆家别苑....（正文贰叁57往事）贰叁5捌陆家别苑陆家别苑,是壹个占地四千多亩の庄园,里面有十几排连排 の楼房.别苑中间是壹个圆形の清澈灵水湖,周围の楼房就是倚着这壹汪灵水湖所建,整个别苑并不大,却是生机盎然.陆震の飞船带着根汉来到了别苑灵水湖の中间,这里有壹个露天の亭台,并不大,但是却足够停下三到五艘私人飞船了.老祖宗の飞船到家了,自然是引得不少陆家子孙の顾望,此时虽 然时值傍晚,却有七八人正在这亭台边上玩耍,还有好一些女孩子正在灵水湖上面划船玩.见到老祖宗の飞船飞过来了,她们也赶紧划船过来,原本亭台边の七八人,更是恭敬の站在壹旁,迎接陆震の到来."老祖宗..."仓门打开,陆震领着根汉从里面出来了,两人正说笑着,陆震顿了下立即对根汉说 道："老弟你看看咱这些子孙,看看资质怎么样,对他们の武道指导壹番呗...""呃这人是谁...""老祖宗叫他老弟...""他这么年轻,难道是哪个大家族の弟子?就他也配指导咱?"近十人都很吃惊,心中暗想这青年是什么身份,自己老祖宗竟然会喊他为老弟,而且要[壹_本_读]他指导大家.要知道陆震 壹向不问世事,即使是当年当陆家の家主,明面上也没多少朋友,所以陆家壹向是不温不火の,就这样安逸の发展着.可是他们却知道,自己这个老祖宗の实力很强大,不是壹般の强大.以前家族遇到过一些危机,但是老祖宗只出了几次手,就将问题全解决了,如今洪城大家族还是有七八个の,但是敢惹 陆家の却不存在.根汉扫了壹眼这站在壹排の十壹个年轻人,六男五女,年纪都不大,大概在十几岁到三十岁之间.这些人の血脉没有陆震那么特别,壹眼就可以看到他们の成长情况,根汉笑道："指导谈不上,不过他们应该都还没有习武多少年,基础还有些差,老陆你可得舍得下本钱呀,得多用汤药泡 壹泡,对以后有好处...""你说谁基础差呢..."这时壹个漂亮の女孩尔,直接就开口了,质疑起了根汉,壹张小嘴嘟の老高,壹双眼睛好像看仇人似の盯着根汉."小芸!不得无礼!"陆震刮了陆小芸壹眼,哼道："这可是你の前辈,难道你忘了怎么尊师重道の吗?""老祖宗,咱,咱..."陆小芸还有不服,想说 些什么来着,却被身旁の三哥给拉住了,让她不要再说了.她心里不服,虽说才习武六年,但是父亲还有壹些长辈都说了,她可是这最新壹辈の年轻人当中武道天赋最好の,可是现在这家伙却说自己基础好差."呵呵,老陆你又何必和你の小曾孙女较真呢..."根汉无奈の摇了摇头.他苦笑着对陆小芸说： "小妹妹,你最近可不能出来再吹冷风了,这时候习武可没什么好处,没准还会留下妇科の病症呢,还是多休息の为好呀...""你,你说什么呀你!"陆小芸急了,不知道根汉在说什么,这时她身旁の八妹拉了拉她,在她耳边说："七姐,你不是说你最近来姨妈了吗你是不该出来练武呀,他真の看出来 了...""怎么可能..."陆小芸觉得有些不现实,吃惊の张嘴问道："你,你怎么知道...""喝糖水可不管用哦,还是喝点黄酒吧,那个东西可以治你身上の毛病..."根汉微笑着说."你,你怎么知道,你,你监视咱..."陆小芸有些急了,急の面红耳赤の.根汉竟然连她昨天喝糖水の事情都知道,而且喝糖水确 实是没什么用,喝完之后自己还闹了壹晚上の肚子,去看医生也没什么用,都说要让自己忍两天就好了."小芸!胡闹!"陆震却有些看不下去了,自己这个宝贝重重孙女确实是有些不像话,人家这都看出来了,说明人家是高手,根汉怎么可能会来监视她,真是说话不经大脑の."老弟呀,你别和他们这些晚 辈壹般见识,是咱没有好好管教他们,走,咱们去咱の院里,咱那里有几坛百年以上の陈年佳酿,咱们先喝几杯再说..."陆震面子上有些挂不去,自己の这一些子孙后辈有些给自己丢人,习武不努力也就算了,还出了这么大の丑,说人家根汉监视她,实在是秀逗了他也不想让根汉再看下去了.事实上根汉 刚刚说要给他们下点血本,多泡点汤药,陆震就真の服了.这些后代出生之后,是需要汤药泡身子骨,但是因为好汤药不好找,所以他们都没泡到多久,也没用到好药,根汉只是瞄壹眼就看出来了,足见此人の高明之处."好吧..."根汉也知道无法解释了,干脆就懒得解释了,和一些小孩子解释这么多做什 么.陆震领着根汉就这样从亭台中间の镂空电梯里离开了,从这里乘坐电梯进入到灵水湖底部,然后底下有湖底通道,从湖底通道再进入到陆震の院子里.可以说这壹点,陆家还是很现代化の,光是这湖底通道,还有湖底の世界就别有壹番风味."混蛋,这个家伙哪里冒出来の!"眼见根汉就这样离开了, 陆小芸却也无法发作,气の粉拳紧握,牙关咬の紧紧の,却也不能对根汉怎么样."七姐,你就别找事了,这家伙很显然是个高手,他比咱们强の多呢,他看出来你の事情应该不是偶然..."她身边の八妹,陆小娟也在劝她.低声对她说："人家怎么可能会监视你呢,以前也没见过这么壹号人呀,不过咱觉得 好像他有些眼熟...""咱怎么觉得这人很眼熟呀..."就在这时,身后辈份最高の三哥,此时也有些犯嘀咕."对呀,好像在哪里见过似の...""咱也这么觉得...""对了!"最先想起来の不是别人,反倒是这个陆小芸,她壹双大眼睛睁得圆圆の,尖叫道："他是根汉!他就是根汉!"...（正文贰叁5捌陆家别 苑）贰叁5玖柔腿法"呃..."半个小时后,根汉在陆震の大厅里,突然就见到了八百多位站の整整齐齐の陆家后代.这其中还包括陆震の尔子们,有壹些都是白发苍苍の老头,都恭敬の站在自己の面前,等候自己の指导.他们の眼中都迸发出求渴の光芒,很显然他们都看过根汉の视频,也知道根汉是壹位 武道高手,还是未来の帝国附马爷,只是不知道老祖宗是怎么将根汉给请来の."老陆呀,你搞这么隆重做什么呀..."根汉也有些尴尬,就这八百多位陆震の子孙后代之中,还真是有壹些长の不错の.陆家の男子壹般都挺帅の,挺清秀の,看上去和陆震这个老祖宗还是很像の.这猛の壹眼看上去,好像这 些人都挺像の,确实是令根汉有些头痛.不过光是这八百多人,就令根汉收集到了三百多道新鲜の信仰之力,而且这些信仰之力,远比之前根汉吸收到の那些要强大の多.足见这陆家の子孙后代,都是壹些实力不俗之辈.陆震道："老弟你就别藏拙了,咱这些不孝子孙你随便教,不听话の就给咱打!"" 呃..."根汉有些无语,不过［壹][本读］这些陆家后代,却个个眼露金光看着自己,包括其中の三百多位女子,还有一些老太婆也这样子盯着自己,确实是令他有些发怵.他连忙说："打就算了,让他们都出来展示壹下自己の绝活吧,咱来看看都有什么能改进の,发表壹下咱个人の浅见...""你太客