第二章 光学谐振腔
第二章 光学谐振腔基本理论
第二章光学谐振腔基本概念 (1)2.1光学谐振腔 (1)2.2非稳定谐振腔及特点 (1)2.3光学谐振腔的损耗 (2)2.4减小无源稳定腔损耗的途径 (2)反射镜面的种类对损耗的影响 (2)腔的结构不同，损耗不同 (2)第二章光学谐振腔基本概念2.1光学谐振腔光学谐振腔是激光器的基本组成部分之一，是用来加强输出激光的亮度，调节和选定激光的波长和方向的装置。
光线在两镜间来回不断反射的腔叫光学谐振腔。
由平面镜、凹面镜、凸面镜的任何两块镜的组合，构成各类型光学谐振腔。
光学谐振腔的分类方式很多。
按照工作物质的状态可分为有源腔和无源腔。
虽有工作物质，但未被激发从而无放大作用的谐振腔称之为无源谐振腔；而有源腔则是指经过激发有放大作用的谐振腔。
2.2非稳定谐振腔及特点非稳定谐振腔的反射镜可以由两个球面镜构成也可由一个球面镜和一个平面镜组合而成。
若R1和R2为两反射镜曲率半径，L为两镜间距离，对于非稳腔则g1，g2：满足g1*g2<O或g1*g2>l 非稳腔中光在谐振腔内经有限次往返后就会逸出腔外，也就是存在着固有的光能量可以横向逸出而损耗掉，所以腔的损耗很大。
在高功率激光器中，为了获得尽可能大的模体积和好的横模鉴别能力，以实现高功率单模运转，稳定腔不能满足这些要求，而非稳腔是最合适的。
与稳定腔相比，非稳腔有如下几个突出优点：1．大的可控模体积在非稳腔中，基模在反射镜上的振幅分布式均匀的，它不仅充满反射镜，而且不可避免地要向外扩展。
非稳腔的损耗与镜的大小无关，这一点是重要的，因此，只要把反射镜扩大到所需的尺寸，总能使模大致充满激光工作物质。
这样即使在腔长很短时也可得到足够大的模体积，故特别适用于高功率激光器的腔型。
2．可控的衍射耦合输出一般稳定球面腔是用部分透射镜作为输出耦合镜使用的，但对非稳腔来说，以反射镜面边缘射出去的部分可作为有用损耗，即从腔中提取有用衍射输出。
3．容易鉴别和控制横模对于非稳腔系统，在几何光学近似下，腔内只存在一组球面波型或球面一平面波型，故可在腔的一端获得单一球面波型或单一平面波型(即基模)，从而可提高输出光束的定向性和亮度。
光学谐振腔理论
二、腔的模式
腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态 谐振腔所约束的一定空间内存在的电磁场，只能存在于一 系列分立的本征态 腔内电磁场的本征态 因此： 腔的具体结构 腔内可能存在的模式（电磁场本征态） 麦克斯韦方程组
腔的边界条件
4
模的基本特征主要包括： 1、每一个模的电磁场分布 E(x,y,z)，腔的横截面内的场分布 （横模）和纵向场分布（纵模）； 2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗 ； 3、每一个模的激光束发散角 。 腔的参数唯一确定模的基本特征。
19
f2
薄透镜与球面反射镜等效
f1
r0 , 0
1
f2
2
f1
3 r1 , 1
f2
f1
f2
f1
L 往返周期 单位
R1 f1 2
R2 f2 2
r0 r1 11 0 1 L 11 0 1 L r0 A B r0 C D T 1 0 1 1 0 1 f2 0 0 1 f1 0
开腔 傍轴 传播模式的纵模特征 傍轴光线 ：光传播方向与腔轴线夹角 非常小，此时可认为 sin tan
5
开腔 傍轴 传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波)
E0 E1 E2
E0-
:光波在腔内往返一次的相位 滞后 2kL :光波在腔内往返一次的电场变 化率（=12）
第二章 光学谐振腔理论
第一节 光腔理论的一般问题
一、光学谐振腔 最简单的光学谐振腔：激活物质+反射镜片 平行平面腔：法布里-珀罗干涉仪（F-P腔） 共轴球面腔：具有公共轴线的球面镜组成 i.开放式光学谐振腔（开腔） ：在理论处理时，可以认为没有 侧面边界 （气体激光器）
第2章 光学谐振腔理论
/
I (z) I I1 I
0
0
e
z
e
2 l
吸 l
2.2.2、光子在腔内的平均寿命 • 光在腔内通过单位距离后光强衰减的百分数
dI Idz I1 I 0 I0 2L
/
L
/
• 在谐振腔内
dI Idt
dz c dt
/
c
L
/
c
L
/
⑵衍射损耗
a
2
L
取决于腔的菲涅耳数、腔的几何参数和横模阶次
⑶输出腔镜的透射损耗
取决于输出镜的透过率
⑷非激活吸收、散射等其他损耗
描述 单程损耗因子 • 定义:光在腔内单程渡越时光强的平均衰减百分数
2 I 0 I1 I0
I 0 I1 2I0
指数定义形式
I1 I 0e
0
I 1 I 0 r1 r2
/
1 2
ln
I
0
I1
r
1 2
ln r1 r2
当 r 1=1,T <<1(r2= r ≈1)
r
1 2 ln r 1 2 (1 r ) T 2
四、吸收损耗
介质对光的吸收作用
通过单位长度介质后光强衰减的百分数
dI
I I dI Idz
2
D D
2L 1 2m
L
2D
二、衍射损耗
平腔内的往返传播,等效孔阑传输线中的单向传播 当光波穿过第一个圆孔向第2个圆孔传播时,由于衍 射的作用一部分光将偏离原来的传播方向,射到第2 个圆孔之外,造成光能的损失 假设中央亮斑内的光强是均匀的 孔外面积与中央亮斑总面积的比
2 光学谐振腔理论
光线能在腔内往返无限多次而不会从侧面横向逸出。
• 反之，若φ值不是实数，由于有虚部，必然导致An、
Bn、Cn、Dn以及rn+1与θn+1的值都随n增大而增大。这
样一来，傍轴光线在腔内往返有限次后便可逸出腔外。
• 由上述分析可知，φ值为实数且不等于0或π时，
谐振腔为稳定腔。φ值有虚部时，谐振腔为非稳 腔。φ等于0或π时，谐振腔是临界腔。由φ的计 算公式(2.2.4)不难得出上述结论的数学描述：
I1 I 0r1r2e
因此：
2a
I 0e
2
(2.2.12)
(2.2.13)
1 当r11,r2 1时有： a 2 1 r1 1 r2
1 a ln r1r2 2
2. 腔内光子平均寿命 R
I (t ) I 0e
t R
N (t )hv
D sin n sinn 1
B sin n
n次往返后的光 线坐标有
1 arccos A D 2
(2.2.4)
rn1 An r1 Bn1
n1 Cn r1 Dn1
(2.2.2)
2 .2.2 光学谐振腔的 稳定性条件
• 如果光线在共轴球面谐振腔内能够往返任意次而
(2.2.1)
• 如果光线在球面谐振腔内往返n次，则它的光学变 换短阵就应该是往返矩阵T的n次方，按照矩阵理 论 • n次往返矩阵
An Tn Cn
Bn Dn
(2.2.3)
1 A sin n sinn 1 C sin n sin
1 I0 i r d t ln 2 I1
第二章光学谐振腔
实际情况下，谐振腔的截面是受腔中的其他光阑限制的， 67页的图2-2-5给出了孔阑传输线的自再现模的形成
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23
激光模式的测量方法
横模的测量方法：在光路中放置一个光屏；拍照；
小孔或刀口扫描方法获得激光束的强度分布，确定激 光横模的分布形状
纵模的测量方法：法卜里－珀洛F-P扫描干涉仪
1.5803106
q 1.5 10 9 Hz 5 310 8 Hz
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28
例：相邻纵模的波长差异
已知：He-Ne激光器谐振腔长50 [cm]，若模式m的波长 为 632.8 [nm]；计算：纵模 m+1 的波长；
解答： 纵模的频率间隔为：
由：m = 0.6328000*10-6 [m] 可以得到：
2L/ 2L
2 • 2L q • 2
光腔中的驻波
驻波条件(光波波长和平行平面腔腔长)：
L
q
•
2
q•
q
2
谐振频率(频率和平行平面腔腔长)：
q
q•
C
2L
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9
纵模-纵向的稳定场分布
激光的纵模(轴模)：由整数q所表征的腔内纵向稳定场分布 整数q称为纵模的序数，驻波系统在腔的轴线上零场强度的数目
3
稳定腔和非稳定腔
看在腔内是否存在稳定振荡的高斯光束
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4
R1+R2=L
双凹球面镜腔：由两 块相距为L，曲率半 径分别为R1和R2的凹 球面反射镜构成
R1=R2=L
由两块相距09
由两个以上的 反射镜构成 平凹腔和凹凸 与双凸腔图22-1书中58页
第二章 光学谐振腔理论
单程损耗的计算
3、透射损耗
如图所示，初始光强 I 0在腔内往返一周，经两 个镜子 反射后的光强为： I1 I 0r1r2 I 0e 1 r ln r1r2 2
2 r
I0
r1
I1
r2
当 r1 1，r2 r 1时 1 1 T r ln r 1 r 2 2 2 式中， T是输出镜透过率
t
R
式中，n0 表示 t 0 时刻的光子数密度 L' 当t R 时： c n0 n( R ) e
光子在腔内的平均寿命
在 t ~ t dt 时间内减少的光子数密 度为 : dn n0 e
t
R
R
dt
这 dn 个光子在 0 ~ t 时间内它们存在于腔内 , 再经过 dt 时间后 , 它们就不再腔内 ,因此它们的寿命为 t
当损耗由多种因素引起 时，总损耗为 δ δi δ1 δ2
i
单程损耗的计算
1、谐振腔失调时的几何损耗
当平面腔的两个镜 面构成 角时 设腔镜的直径为 D，且光在腔内往返 m次后逸出腔外，则有 L 2 L 6 ... L 2(2m 1) D 2 L[1 3 ... (2m 1)] D 2 Lm2算
吸收损耗
设由于吸收, 光通过长dz的介质, 衰减量为: dI I I' dI 定义吸 收 系 数 ： I z I 0 e z dz I
若腔内介质的吸收系数是均匀的， 介质的长度为 l 则光在腔内往返一次后 光强为： I1 I 0e 2 αl 因此，介质吸收引起的 单程损耗为 : 吸 l
I0 I1 L’
I 0－I1 ＝ 2I0
第二章 谐振腔理论
L' δ = cτ R 4、设无源腔中光子寿命为τR，则光腔对光的损耗因子为________, − t /τ R I ( t ) = I e 0 光在腔中传输时光强随时间的变化函数为____________
α =δ L 5、损耗系数α与单程损耗因子δ之间的关系为_________ a2 Lλ 6、腔镜的菲涅耳数 N= _________
光腔的损耗（二）
平均单程损耗因子 δ (α= δ/L) 定义（1）：单程渡越时光强的平均衰减指数。设初始光强为I0，在 无源腔（无激光介质）内往返一次后，光强衰减为I1，将光强写成 指数衰减形式 1 I0 −δ −δ − 2δ
I 1 = ( I 0e )e
= I0e
⇒ δ =
2
In
I1
定义（2）：单程渡越时光强的平均衰减百分数
光学谐振腔内的多纵模振荡
在谐振腔中，满足模的谐振条件的纵模数有无数个（q可取任 意整数）。但实际上只有那些既满足谐振的相位条件又满足自 激振荡的增益阈值条件（ g 0 ≥ α )的模式才能起振。 ΔνT:增益曲线中满足增益 阈值条件的频带宽度。 在谐振 DL β
L' η L βL δβ = = = 2D τ Rc τ Rc
结论：腔镜倾斜角越大，腔长越长，腔镜横向尺寸越小，几何 偏折损耗越大。
光腔的损耗（九）
开腔模的形成过程
3）衍射损耗 考察均匀平面波通过圆孔时由衍射产生的能量变化，开孔处对 应的是腔反射镜，则衍射到孔外的光损失掉了（越过腔反射镜 跑到腔外）。 均匀平面波入射到半径为 a 的 L 第一个圆孔上，穿过孔径时将 Lθ 发生衍射，其衍射角（第一极 θ 小值处对光轴的张角）为 I’ 2a I0
λ0 q L' = q ⋅ 2
光学谐振腔
闭腔
（第二章）
物理与光电信息科技学院
《激光原理与技术》
气体波导腔 （半封闭腔）
另一类光腔为气体波导激光谐振腔，其典型结构是一段 空心介质波导管两端适当位置放置反射镜。这样，在空 心介质波导管内，场服从波导中的传播规律，而在波导 管与腔镜之间的空间中，场按与开腔中类似的规律传播。
（第二章）
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《激光原理与技术》
谐振条件和驻波条件
在腔内要形成稳定的振 荡，要求光波要因干涉 而得到加强。 相长干涉条件：
2
2L q 2
平行平面腔中平面 波的往返传播
（第二章）
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腔的纵模在频率尺度上是等距离排列的
激光器谐振腔内可能存在的纵模示意图
（第二章）
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《激光原理与技术》
形成激光振荡的条件：
C q q 2L
1. 满足谐振条件
2. 满足阈值条件
G
3. 落在工作物质原子荧光线宽范围内的频率成分
' R
腔损耗 越大，则 R 越小，腔内光强衰减越快。
无源腔的Q值
品质因数Q的定义： Q 2v
腔内储藏的能量(W ) 单位时间损耗的能量 (dW / dt )
W We
0
2 vt / Q
Q 2v
R
L' Q 2v R 2v C
（第二章）
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《激光原理与技术》
谐振频率:
q q
C 2L
光腔中的驻波
驻波条件:
q L q q 2 2
（第二章）
第二章光学谐振腔理论
(2n1)((G0 )l / 2ikl )
02 2 12
n0
n0
e(G0 )l / 2ikl E0t1t2 1 r1r2e(G0 )l2ikl
2.1 光学谐振腔概论
FP腔输出光场：E
e(G0 )l / 2ikl E0t1t2 1 r1r2e(G0 )l 2ikl
1
r1r2e(G0
q
q
c 2L
q
c 2L
2 2L q 2 L q q
q
2
L'一定的谐振腔只对一定频率的光波才能提供正反馈，使之谐 振； F-P腔的谐振频率是分立的
2.1 光学谐振腔概论
腔光学长度为半波长的整数倍 L l q q （驻波条件）
2
2.1 光学谐振腔概论
L l q q
2
达到谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍。满足此 条件的平面驻波场称为平行平面腔的本征模式
2.1 光学谐振腔概论
麦克斯韦方程的本征解的电场分量
Ex
(
x,
y,
z,
t
)
E0
sin
m
a
x
sin
n
b
y
cos
p
l
z
e
im
,n
,
p
t
E y ( x,
y,
z,
t)
E0
cos
m
a
x
sin
n
b
y
sin
p
l
z e im,n,pt
Ez
(
x,
y,
z,
t
)
E0
sin
m
a
x
第二章 光学谐振腔
§2.1 闭合腔中的振荡模
1、敞开腔:比如太空中，电磁波以任意波长 、敞开腔 比如太空中 比如太空中， 传播→ 传播→单色性差 良导体（如金属）闭合空腔： 2、良导体（如金属）闭合空腔：电磁波碰到 腔壁时受到反射， 腔壁时受到反射，和入射的波相互干涉而 形成为驻波。稳定驻波的腔壁是波节。 形成为驻波。稳定驻波的腔壁是波节。 3、闭合谐振腔中的每一个稳定的驻波就是腔 、 的一个振荡模。 的一个振荡模。 模的特征：一定的传播方向, 一定的频 模的特征：
M1 A
M2
Relative intensity m=1 1 m=2
υf
R ~ 0.8 R ~ 0.4
δυm
B L
(a)
m=8
(b)
υm - 1
υm
(c)
υm + 1
υ
Schematic illustration of the Fabry-Perot optical cavity and its properties. (a) Reflected waves interfere. (b) Only standing EM waves, modes, of certain wavelengths are allowed in the cavity. (c) Intensity vs. frequency for various modes. R is mirror reflectance and lower R means higher loss from the cavity.
Pm 即单位体积与单位频率间隔内
的振荡模数目为： 的振荡模数目为：
dN 模 8πν 2 1 = 3 Pm = V dν c
光学谐振腔原理
光学谐振腔原理引言光学谐振腔是光学研究中的重要实验装置，其原理基于光的干涉现象。
通过将光束限制在一个封闭的空间中来增强干涉效应，可以实现光的长程传输和增强。
光学谐振腔的基本原理1.光学谐振腔是由两个或多个反射镜构成的封闭空间。
其中一个镜子是半透明的，允许部分光线通过。
2.光从半透明镜子进入谐振腔后，会在镜子之间来回多次反射，形成驻波模式。
3.反射次数越多，光在腔内的传播距离越长，干涉效应越强。
谐振腔的性质1. 良好的光束模式光学谐振腔可以选择特定的模式，如基本模式、高斯光束等。
这些模式具有良好的光束质量和光强分布。
2. 谐振频率选择性谐振腔只对特定频率的光具有选择性透过性，对其他频率的光具有反射性。
这种频率选择性可以用来实现光的滤波功能。
3. 谐振增益在谐振腔中，光线多次来回反射，与介质发生交互作用。
如果在腔中加入带有激发能级的介质，可以实现光增益，即光信号的放大。
4. 谐振腔的失谐当谐振腔的频率与输入光的频率不完全匹配时，会出现失谐现象。
失谐会影响光的输出强度和相位。
典型谐振腔结构1. Fabry-Perot腔Fabry-Perot腔是最简单的谐振腔结构，由两个平行的反射镜构成。
光从一个反射镜进入，经过多次来回反射后透过另一个反射镜出射。
2. 球面腔球面腔是两个曲面反射镜构成的谐振腔。
曲面反射镜可以使光具有更高的反射效率和光束质量。
3. 圆柱腔圆柱腔是两个平行平面和一个曲面反射镜构成的谐振腔。
圆柱腔常用于气体激光器和光纤激光器。
谐振腔中的光学效应1. 空腔增强谐振腔可以将光束在腔内进行多次来回反射，使干涉效应加强。
这种空腔增强效应可以增加光的传播距离和光程。
2. 良好的相干性谐振腔中的光在多次反射后，相位关系得到保持，具有良好的相干性。
3. 良好的波长选择性谐振腔对特定波长的光具有选择透过性，可以实现波长选择性的光学元件。
应用领域1. 激光器光学谐振腔是激光器的核心部件，可以实现激光放大和模式选择。
激光原理 第二章光学谐振腔理论
光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面 也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量 的一个重要指标,决定了激光振荡的阈值和激光的 输出能量。本节将分析无源开腔的损耗,并讨论表 征无源腔质量的品质因数Q值及线宽。
一、损耗及其描述 (1)几何偏折损耗: 光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面 偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损 耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺 寸。
概述
3.波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发,可以建立 一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。 利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式,从而得到场的 振幅、相位分布,谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。 虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性,但只有在 腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下,该积分方程的解析求解 才是可能的。 对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了 解析解。 多数情况下,需要使用近似方法求数值解。虽然衍射积分方 程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性,但与 其他理论相比,仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。
第一节 光学谐振腔的基本知识
本节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用,以及 腔模的概念
光学谐振腔的构成和分类
根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同 的分类方式。
按能否忽略侧面边界,可将其分为
开腔、 闭腔 气体波导腔
第一节 光学谐振腔的基本知识
开腔而言： 1. 根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低,又可分为 稳定腔、非稳腔及临界腔; 2. 按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔和非球面腔; 3. 就腔内是否插入透镜之类的光学元件,或者是否考 虑腔镜以外的反射表面,可分为简单腔和复合腔; 4. 根据腔中辐射场的特点,可分为驻波腔和行波腔; 5. 从反馈机理的不同,可分为端面反馈腔和分布反馈 腔; 6. 根据构成谐振腔反射镜的个数,可分为两镜腔和多 镜腔等。
(完整版)2光学谐振腔
光学谐振腔光学谐振腔是常用激光器的三个主要组成部分之一。
组成：在简单情况下，它是在激活物质两端适当地放置两个反射镜。
目的：就是通过了解谐振腔的特性，来正确设计和使用激光器的谐振腔，使激光器的输出光束特性达到应用的要求。
光学谐振腔的理论：近轴光线处理方法的几何光学理论、波动光学的衍射理论无源腔：又称为非激活腔或被动腔，即无激活介质存在的腔。
有源腔(激活腔或主动胺)：当腔内充有工作介质并设有能源装置后。
一、构成、分类及作用1、谐振腔的构成和分类构成：最简单的光学谐振腔是在激光工作物质两端适当位置放置两个镀高反射膜的反射镜。
与微波腔相比光频腔的主要特点是：侧面敞开没有光学边界，以抑制振荡模式，并且它的轴向尺寸(腔长)远大于振荡波长：L》λ，一般也远大于横向尺寸即反射镜的线度。
因此，这类腔为开放式光学谐振腔，简称开腔。
开式谐振腔是最重要的结构形式----气体激光器、部分固体激光器谐振腔2、激光器中常见的谐振腔的形式1)平行平面镜腔。
由两块相距上、平行放置的平面反射镜构成2)双凹球面镜腔。
由两块相距为L，曲率半径分别为R1和R2的凹球面反射镜构成当R1＝R2＝L时，两凹面镜焦点在腔中心处重合，称为对称共焦球面镜腔；当R1+R2＝L表示两凹面镜曲率中心在腔内重合，称为共心腔。
3)平面—凹面镜腔。
相距为L的一块平面反射镜和一块曲率半径为R的凹面反射镜构成。
当R＝2L时，这种特殊的平凹腔称为半共焦腔4)特殊腔。
如由凸面反射镜构成的双凸腔、平凸腔、凹凸腔等，在某些特殊激光器中，需使用这类谐振腔5)其他形状的3、谐振腔的作用(1) 提供光学正反馈作用谐振腔为腔内光线提供反馈，使光多次通过腔工作物质，不断地被放大，形成往复持续的光频振荡；取决因素：组成腔的两个反射镜面的反射率，反射率越高，反馈能力越强；反射镜的几何形状以及它们之间的组合方式。
上述因素的变化会引起光学反馈作用大小的变化，即引起腔内光束能量损耗的变化。
(2) 对振荡光束的控制作用主要在方向和频率的限制，其功能为：①有效地控制腔内实际振荡的模式数目，使大量的光子集结在少数几个沿轴向、且满足往返一次位相变化为2π的整数倍的光子状态中，提高了光子简并度，从而获得单色性好、方向性好及相干性强的优异辐射光。
新激光第二章 光学谐振腔理论(2)
自由空间的光线变换矩阵：
r2
r1 L1 2 1
TL
1 0
L 1
θ2
r1 θ1
r2
z
L
球面反射镜的光线变换矩阵：
2
r2 r1
2
r1 R
1
凹R>0 凸R<0
TR
1 2
0 1
R
薄透镜的光线变换矩阵：
2
r2 r1
r1 f
1
(r1θ1) (r2θ2)
Tf
1 1
f
0 1
dI I1 I0
Idz I0 2L L dz cdt
ct
I(t)I0e L
I0etR
式中：
R
L c
就为腔的寿命，也叫腔的时间常数。
2. 物理意义：
3.腔内光子的平均寿命就等于腔的时间常数：
证明：
I(t)n(t)hv,I(t)I0etR
t
n(t) n0e R
平均寿命：
1 n0
t(dn)1
腔的具体结构
振荡模的特征
3.模的基本特征
电磁场分布(特别是在腔的横截面内的场分布)；
谐振频率； 在腔内往返一次经受的相对功率损耗； 激光束的发散角
4.纵模和横模
腔内电磁场的空间分布
沿传播方向(腔轴方向)的分布
垂直于传播方向的横截面内的分布 (1)纵模 ➢ 谐振条件:
以ΔΦ表示均匀平面波在腔内往返 一周时的相位滞后，则
二、共轴球面腔的稳定性条件 1.稳定腔条件
光线在腔内往 返多次不逸出
An、Bn、Cn、Dn 对任意ｎ有限
Φ为实数 且φ≠kπ
引人g参数则得稳定性条件
2.非稳腔条件
第一节开放光学谐振腔
第二章 开放光学谐振腔光学谐振腔是激光器不可缺少的组成部分。
它的作用是提供激光振荡所必需的负反馈，选择振荡模式，并且为激光输出腔外提供一定的耦合。
本章主要研究开放式光腔。
这类光学谐振腔通常由线度有限的两面光学反射镜相距一段距离共轴放置而形成。
与微波波段的封闭式谐振腔相比较，光学开腔敞开了侧面边界，以降低振荡的本征模式数目。
两面反射镜之间的轴向距离，称为腔长。
腔长远大于波长，也远大于反射镜的线度，一般为厘米或米的量级。
一面反射镜的反射率尽量接近１，以减小能量的损失，另一方面反射镜具有适当的透过率，以便能够输出一定的能量。
开腔式光腔的处理方法是建立在衍射理论基础上的，本章介绍开放光学谐振腔的衍射理论及其处理结果。
第一节 开放光学谐振腔构成如图2－1所示，考虑一个长、宽、高分别为l b a ,,矩形谐振腔中的本征模式，麦克斯韦方程的本征解的电场分量为：t i z t i y t i x p n m p n m p n m e z l p y b n x a m E t z y x E e z l p y b n x a m E t z y x E e z lp y b n x a m E t z y x E ,,,,,,sin cos sin ),,,(sin sin cos ),,,(cos sin sin ),,,(000ωωωπππππππππ---⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛= （2.1－1） 其中波矢z z y y x x e k e k e k k ++=，lp k b n k a m k z y x /,/,/πππ===（ ,3,2,1,0,,=p n m ），谐振角频率： ()()()222,,////l p b n a m ck c p n m πππω++== （2.2－2）（2.1-1）式表明在x ，y ，z 三个方向上，在腔壁上，电场的平行分量为0.每一个本征模式的空间分布都是稳定的驻波分布，任意（m ，n ，p ）表征一种空间驻波分布。
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激光谐振腔内低阶纵模分布示意图
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激光纵模分布示意图
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横模-横向X-Y面内的稳定场分布
激光的模式用符号： TEMmnq
q为纵模的序数(纵向驻波波节数)，m,n (p,l)为横模的序数。 对于方形镜，M表示X方向的节线数， N表示Y方向的节线数； 对于圆形镜， p 表示径向节线数，即暗环数，l表示角向节线数，即暗直径数
这是激光技术历史上最早提 出的平行平面腔（F-P腔）。 后来又广泛采用了由两块具 有公共轴线的球面镜构成的 谐振腔。从理论上分析这些 腔时，通常认为侧面没有光 学边界，因此将这类谐振腔 称为开放式光学谐振腔，简 称开腔
闭腔
固体激光器的工作物质通 常具有比较高的折射率， 因此在侧壁上将发生大量 的全反射。如果腔的反射 镜紧贴激光棒的两端，则 在理论上分析这类腔时， 应作为介质腔来处理。半 导体激光器是一种真正的 介质波导腔。这类光学谐 振腔称为闭腔 2009
示波器的锯齿波扫描电压，对激光允许通过的频率作周期性的扫描
光电探测器：接收扫描到的激光频率
双凸薄透镜：待测的激光光束变换为无源腔的高斯光束。使待测激 光束的全部能量耦合到无源腔的基模中去。
偏振器和1/4波片组成光学隔离器，防止光重新回到待测激光器中去
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小结：光学谐振腔的构成、分类、作用和模式
C q阶纵模频率可以表达为： q q 2L C 基纵模的频率可以表达为： 1 2L
谐振腔内q阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍(q倍） 纵模的频率间隔：
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q q 1 q
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C 2L
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腔的纵模在频率尺度上是等距离排列的
激光器谐振腔内可能存在的纵模示意图
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光学谐振腔的构成
光学谐振腔的种类
谐振腔的开放程度，闭腔、开腔、气体波导腔 开放式光学谐振腔(开腔)通常可以分为稳定腔、 非稳定腔 反射镜形状，球面腔与非球面腔，端面反射腔 与分布反馈腔 反射镜的多少，两镜腔与多镜腔，简单腔与复 合腔
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闭腔、开腔、气体波导腔
第二章 光学谐振腔
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
9. 10.
光学谐振腔的构成和作用 光学谐振腔的模式 光学谐振腔的损耗，Q值及线宽 光学谐振腔的几何光学分析 光学谐振腔的衍射理论分析 平行平面腔的Fox-Li数值迭代法 稳定球面镜共焦腔 一般稳定球面镜腔及等价共焦腔 非稳定谐振腔 选模技术
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q 0.5 109 Hz
单频激光器和多模激光器
L=10厘米和L=30厘米的He-Ne气体激光器
q 1.5109 Hz
L=10厘米的He-Ne气体激光器
L=30厘米的He-Ne气体激光器 Ne原子的中心频率： Ne原子的中心波长： 荧光光谱线宽：
q阶纵模频率可以表达为：
C q q 2L
纵模的频率间隔：
C q q 1 q 2L
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例
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He-Ne 激光器谐振腔长50 cm，激射波长 632.8nm，荧光光谱线宽为： q 1.5 109 Hz 求：纵模频率间隔，谐振腔内的纵模序数及形成激 光振荡的纵模数；
(c) TEM20
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激光谐振腔内电场横模分布示意图
TEM00
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激光谐振腔内电场横模分布示意图
TEM11
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激光多横模振荡示意图
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横模(自再现模)的形成
理想开腔：两块反射镜的 直径为2a，间距为L
由：
则有：
故：m = 632.8000 [nm] , m+1 = 632.7996 [nm]
相邻纵模的波长差：m - m+1 =4*10-13 [m]
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基模(横向单模)： m=n=0, 其它的横模称为高阶 横模 方形反射镜和圆形反射镜的横模图形
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(a) TEM00
(b) TEM10
(c) TEM02
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(d) TEM03
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横模电场分布及强度示意图
(a) TEM00
(b) TEM10
q 0.5109 Hz
4.74 1014 / s
6328À
q 1.5 109 Hz
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激光器中出现的纵模数
工作原子自发辐射 的荧光线宽越大， 可能出现的纵模数 越多。 激光器腔长越大， 相邻纵模的频率间 隔越小，同样的荧 光谱线线宽内可以 容纳的纵模数越多。
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研究光学谐振腔的目的
通过了解谐振腔的特性，来正确设计和使用激 光器的谐振腔，使激光器的输出光束特性达到 应用的要求
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第二节 光学谐振腔的模式(波型)
在具有一定边界条件的腔内，电磁场只能存在于一系列分 立的本征态之中，场的每种本征态将具有一定的振荡频率 和空间分布。
2
平行平面腔中平面波的往返传播
q 驻波条件(光波波长和平行平面腔腔长)： L q 2 q 2
谐振频率(频率和平行平面腔腔长)：
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2L q 2
光腔中的驻波
C q q 2L
10
纵模-纵向的稳定场分布
激光的纵模(轴模)：由整数q所表征的腔内纵向稳定场分布 整数q称为纵模的序数，驻波系统在腔的轴线上零场强度的数目
1. 提供光学正反馈作用 ：
使得振荡光束在腔内行进一次 时，除了由腔内损耗和通过反 射镜输出激光束等因素引起的 光束能量减少外，还能保证有 足够能量的光束在腔内多次往 返经受激活介质的受激辐射放 大而维持继续振荡。
2. 产生对振荡光束的控制作用
改变腔的参数如：反射镜、几何形状、 曲率半径、镜面反射率及配置
气体波导腔
另一类光腔为气体波导激光谐 振腔，其典型结构是一段空心 介质波导管两端适当位置放置 反射镜。这样，在空心介质波 导管内，场服从波导中的传播 规律，而在波导管与腔镜之间 的空间中，场按与开腔中类似 的规律传播。 4
开腔
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稳定腔和非稳定腔
看在腔内是否存在稳定振荡的高斯光束
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例：相邻纵模的波长差异
已知：He-Ne激光器谐振腔长50 [cm]，若模式m的波长 为 632.8 [nm]；计算：纵模 m+1 的波长； 解答： 纵模的频率间隔为：
由：m = 0.6328000*10-6 [m] 可以得到：
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例：相邻纵模的波长差异
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双凹球面镜腔：由两 块相距为L，曲率半 径分别为R1和R2的凹 球面反射镜构成
R1+R2=L R1=R2=L
由两块相距为L、 平行放置的平面反 射镜构成
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由两个以上的 反射镜构成 平凹腔和凹凸 与双凸腔图22-1书中58页
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一般球面腔 R<L<2R
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第一节 光学谐振腔的作用
u1 u3
…
u2 u4
…
横模(自再现模): 在腔反射镜面上经过一次往返传播 后能“自再现”的稳定场分布 实际情况下，谐振腔的截面是受腔中的其他光阑限制的， 67页的图2-2-5给出了孔阑传输线的自再现模的形成
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激光模式的测量方法
横模的测量方法：在光路中放置一个光屏；拍照；
解:
c 3 108 m sec 8 3 10 Hz 0.3GHz 1 2nL 2 5 10 m
2 5 101 m 6 q 1 . 5803 10 q 6.328107 m 2L
q 1.5 109 Hz 5 8 3 10 Hz
1.
影响谐振腔的光学反馈 作用的两个因素：
组成腔的两个反射镜面的反射 率；反射镜的几何形状以及它 们之间的组合方式。
2.
3.
有效地控制腔内实际振荡的模式数 目，获得单色性好、方向性强的相 干光 可以直接控制激光束的横向分布特 性、光斑大小、谐振频率及光束发 散角 可以控制腔内光束的损耗，在增益 一定的情况下能控制激光束的输出 功率
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第一节 光学谐振腔的构成
最简单的光学谐振腔是在激活介质两端恰当地放置两个镀有高反射率的反射 镜构成。
常用的基本概念： 光轴：光学谐振腔中间垂直与镜面的轴线 孔径：光学谐振腔中起着限制光束大小、形状的元件，大多数情况下，孔径是激活物质的两个 端面，但一些激光器中会另外放置元件以限制光束为理想的形状。
光学谐振腔的模式: 谐振腔内可能存在的电磁场本征态。
模式与腔的结构之间具有依赖关系 光学谐振腔的模式分为：纵模和横模
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谐振条件和驻波条件
驻波的定义：二振幅相同的相干波，在同一 直线上反向传播时迭加的结果称为驻波。
相位差：