第四章随机变量的数字特征试题答案

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第四章随机变量的数字特征课外习题

{
。
15. 设两个随机变量 X , Y 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 1 的正态分布，
2
则随机变量 | X − Y | 的方差 =（
）
(a ) 1 + 2
π
( b) 1 − 2
π
(c) 2 + 2
π
(d )
2−2
):
π
16. 如果 ξ 与 η 满足 D (ξ + η ) = D (ξ − η ) , 则必有 ( ( A) ξ 与 η 独立
( B ) ξ 与 η 不相关
(C ) Dη = 0
( D)
Dξ ⋅ Dη = 0
17 .设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U = X − Y , V = X + Y 则随机变量 U 与 V 必然是（） (A)．不独立
(B)．独立
(C) 相关系数不为零
(D). 相关系数为零）
18． X ~ B ( n , p ) ， E ( X ) = 2.4 , D ( X ) = 1.44 ，则 n , p （ (A)． n = 4 , p = 0.6 (C) n = 6 , p = 0.4 (B). n = 8 , p = 0.3 (D). n = 24 , p = 0.1
11. 0 18 . C
12. 1 19.
13. 0.975 D 20. C
14. 1
2
15.
B;
16 . B ;
二. 计算证明
N −1 kn 3 6 2 2 1. a = , b = , Dξ = ； 2. Eξ = a, Dξ = a + a ；3. EX = N − ∑ n ； 5 5 25 k =1 N

新教材高中数学第四章随机变量的数字特征课时作业含解析新人教B版选择性必修第二册

新教材高中数学：课时作业(十四) 随机变量的数字特征一、选择题1．设二项分布B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.12．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( ) A ．6 B ．9C ．3D ．43．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)＝( ) A.158 B.154C.52D ．5 4．设ξ的分布列为又设η＝2A.76 B.176 C.173 D.323二、填空题5．已知X 的分布列为则D (X )等于________．6．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．7．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________．三、解答题8．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ)．9．海关大楼顶端镶有A ，B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列如下：[尖子生题库]10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值．课时作业(十四) 随机变量的数字特征1．解析：由题意得，np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，∴1－p ＝0.6，∴p ＝0.4，n ＝6.答案：B2．解析：E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6. D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6. 答案：A3．解析：两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，14，因此D (ξ)＝10×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝158.故选A. 答案：A4．解析：E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所以E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323. 答案：D5．解析：E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D (X )＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.答案：0.616．解析：因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定．答案：乙7．解析：由题意知X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝89. 答案：898．解析：ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了．则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12； ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P (ξ＝3)＝1A 33＝16. 所以，ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P 13 12 16E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1； D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1. 9．解析：∵E (X 1)＝0，E (X 2)＝0，∴E (X 1)＝E (X 2)．∵D (X 1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；D (X 2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D (X 1)<D (X 2)．由上可知，A 面大钟的质量较好．10．解析：(1)X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5. D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2.又∵E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴{ a ＝2，b ＝－2或{ a ＝－2，b ＝4即为所求．。

第四章、随机变量的数字特征解答

第四章、随机变量的数字特征1．解：由题设可得222222()01()()()(0)(1)()i i ii i iEX x P x q p pDX E X EX x EX P x p q p p p q pq pq p q pq==⨯+⨯==-=-⋅=-⨯+-⨯=+=+=∑∑2．解：由题设可得0111[(1)(1)]111[(1)(1)]11(1)()!!()!!(1)!()!(1)!(1)![(1)(1)]!()nk k n ki i n ik nk n kk nk n kk nk n k k n k k n k n k n EX x P x k C p qn k p q k n k n p q k n k n np p q k n k np C pq np p q np-=-=-=----=------=-==⋅=⋅-=---=----==+=∑∑∑∑∑∑2201111111111111111[(1)1][(1)][(1)1]()nk k n k n k n k k n kn k nk k n k n k n nk k n kk k n kn n k k EX k C p q np C k pq np k C pq np k Cp qC p q np n p np np q -=----=----=--------===⋅==-+=-+=-+=+∑∑∑∑∑故222()()()DX EX EX np np q np npq=-=+-= 3．解：由题设可得11!(1)!kk k k EX k e k ek e e λλλλλλλλλ∞-=-∞-=-=⋅=-=⋅=∑∑220111121212!(1)![(1)1](1)![](2)!(1)![]kk k k k k k k k k EX k e k ek k ek k e k k e e e λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ∞-=-∞-=-∞-=--∞∞-==-=⋅=⋅-=-+⋅-=+--=+=+∑∑∑∑∑2222()DX EX EX λλλλ=-=+-= 4．解：由题设可得111122111(1)k k k k EX k pqp kq p p q p p∞∞--===⋅==⋅=⋅=-∑∑2211112121322[(1)](1)21(1)(1)2k k k k k k k k EX k pq k k k pq pq k k qp kq pqpq q q p p ∞-=∞-=∞∞--===⋅=-+=-+=+--+=∑∑∑∑2222221()()q p qDX EX EX p p p+=-=-= 5．解：由题设可得 1()2baa bEX x f x dx x dx b a +∞-∞+=⋅=⋅=-⎰⎰222221()3baa ab b EX x f x dx x dx b a +∞-∞++=⋅=⋅=-⎰⎰222222()()()3212a ab b a b b a DX EX EX +++-=-=-=6．解：由题设可得0222222222()1()()()2()211()()x x x x xEX x f x dx x e dxx de x e e d x EX x f x dx x e dx DX EX EX λλλλλλλλλλλλ+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-+∞+∞--∞=⋅=⋅=-=---==⋅=⋅==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7．解：由题设可得2()2()x EX x f x dx x dx μδ--+∞+∞-∞-∞=⋅=⎰⎰令x t μδ-= 则有222222()0t t t EX t dtte dtEX e dt δμδδμ+∞--∞+∞+∞---∞-∞=+==⎰2222()22()()()()x DX E X EX x f x dxx dxμδμμ+∞-∞--+∞-∞=-=-⋅=-⎰⎰令x t μδ-= 则有222222222222222222())]tt tt tDX t dtt e dt t det e e dtδδδ+∞--∞+∞+∞---∞-∞+∞---∞===-+∞=-+-∞=+=⎰⎰8．解：由题设可得11()EX x f x dxx+∞-∞-=⋅==⎰⎰1222112()122EX x f x dx xx dx+∞-∞-=⋅===⎰⎰⎰2211()022DX EX EX=-=-=9．解：由题设可得()12xEX x f x dxx e dx+∞-∞+∞--∞=⋅=⋅=⎰⎰22222002200001()2()()()022()22xx xx xx xxEX x f x dx x e dxx e dx x dex e e d xxe dx x dee dx+∞+∞--∞-∞+∞+∞--+∞-+∞-+∞+∞--+∞-=⋅=⋅=⋅=-=---=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22()202DX EX EX=-=-= 10．解：由题设可得222030()()()()14133X x x x xxE X e x e f x dxx e e dxxe dx e dx+∞---∞+∞--+∞+∞--+=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰11．解：由题设可得101!(1)!kk k k EX k e ee e k k λλλλλλλλλ-∞∞---===⋅==⋅=-∑∑2220!kk EX k e k λλλλ∞-==⋅=+∑22[(1)(2)]32()322E X X EX EX λλλ--=-+=+++=220λλ-=故 2λ= （0λ=舍去） 12．解：（1）记以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域为D ，则区域D 的面积为12D S =，从而（X ，Y ）的联合概率密度为 12,(,)(,)0,(,)Dx y DS f x y x y D ⎧=∈⎪=⎨⎪∉⎩（2）111120()()(,)2()2()142()23xDE X Y x y f x y dxdyx y dxdy dx x y dy x x +∞+∞-∞-∞-+=+=⋅+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．解：（1）根据数学期望的性质，有()000E X Y EX EY +=+=+=（2）根据方差与协方差及相关系数的性质，有(,)0.5(,)20.51()2(,)22216R X Y cov X Y D X Y DX DY cov X Y ====⨯=+=++=++⨯=14．解：（1）根据 ()(,)X i i j jp x p x y =∑与 ()()Y j i j ip y p x y =∑ 得X 与Y 的边缘分布分别为故 55315,88864E X E Y D X D Y ====⨯=(,)111110001101148822i j i j ijEXY x y P x y ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∑∑故 1557(,)28864c o vX Y E X Y E X E Y =-=-⨯=77(,)15R X Y === 15．解：由于 221(1,3),(0,4),(,)2X N Y N R X Y =- 故有 221,3,0,4EX DX EY DY ====(,)(,)1,(,)6122R X Y cov X Y cov X Y ====-=-从而11111()103232323X Y EZ E EX EY =+=+=⨯+⨯=22()()()2cov(,)32323211112cov(,)94321111342(6)39432X Y X Y X Y DZ D D D DX DY X Y =+=++=++⋅⋅⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯-= 16．解：由题设，有2221(1)12,62211(1)(),22242X E EX EX X X D D DX DX -=-==-====从而2222()6()2()4,2DX EX EX EX EX EX =-=-===17．解：由()1f x dx +∞-∞=⎰得11()12ax b dx a b +=+=⎰ 又由题设条件 118DX = 得1011()32EX x ax b dx a b=+=+⎰122011()43EX x ax b dx a b =+=+⎰222221111()()()43321111114393418DX EX EX a b a b a b a ab b =-=+-+=+---=由上解得：2,0a b == 从而 11220323EX =⨯+⨯= 18．解：由于2~(,)X N μσ且EX = 3，DX = 1，故 23,1,1~(3,1)EX DX X N μσσ=====故{11}(1)(1)1313()()11(2)(4)[1(2)][1(4)](4)(2)0.9999680.97720.022768P X F F -≤<=-----=Φ-Φ=Φ--Φ-=-Φ--Φ=Φ-Φ=-=19．解：由于~(,)X B n p ，故2.4(1) 1.44EX np DX np p ==⎧⎨=-=⎩从而 6,0.4,~(6,0n p XB ==00611566{1}{0}{1}0.40.60.40.60.023328P X P X P X C C ≤==+==⨯⨯+⨯⨯=20．解：（1）根据数学期望的性质，有()231E X Y EX EY -=-=-=-（2）根据方差与协方差及相关系数的性质，有222()20216D XE X E X =-=-= 222()34325DY EY EY =-=-=(,)0.5R X Y ===(,)10()2(,)162521021cov X Y D X Y DX DY cov X Y =-=+-=+-⨯=五、证明题：1．证：由题设，有222222()[()()][()()][()()2()()]()()2[()()]2(,)D X YE X Y E X Y E X EX Y EY E X EX Y EY X EX Y EY E X EX E Y EY E X EX Y EY DX DY Cov X Y +=+-+=-+-=-+-+--=-+-+--=++2．证：由题设，有*[]0EX E E X EX ==-=22***2*222()()[]11()1DX EX EX EX X EX E E DX E X EX DX DX DX=-=-===-=⋅=。

概率论与数理统计学习指导及习题解析第4章随机变量的数字特征

（3）设X和Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)；（4）设X和Y是两个相互独立的随机变量，则有 E(XY)=E(X)E(Y)。
第 4 章随机变量的数字特征
2. 1) 定义：设X是一个随机变量，若E{［X－E(X)］2}存在，则称E{［X－E(X)］2}为X的方差，记为D(X)或Var(X)，
π
求E(X)与D(X)。
第 4 章随机变量的数字特征
解方法一：由数学期望与方差的定义知
E X xf xdx 1 xex12 dx
π
1 ex12 dx 1 x 1 ex12 dx
π
π
1 ex12 dx 1
π
第 4 章随机变量的数字特征
D
X
E
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
第 4 章随机变量的数字特征
3. 1) 定义1：若E{［X－E(X)］［Y－E(Y)］}存在，则称其为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X，Y)，
Cov(X，Y)=E{［X－E(X)］［Y－E(Y)］}
第 4 章随机变量的数字特征
2) 定义：若随机变量X与Y的相关系数ρXY=0，则称X与Y不
X
EX
2
x
12
f
xdx
x 1 2 1 ex12 dx
π
1 t 2et2 dt分部积分 1 et2 dt 1
π
2 π
2
第 4 章随机变量的数字特征
方法二：
由于期望为μ，方差为σ2的正态分布的概率密度为
1
x 2
e 2 2
x
2π
所以把f(x)变形为

概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答

习题4-11、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，求()E X 。

解：据题意知，X 的分布律为根据期望的定义，得()0(1)1E X p p p =⋅-+⋅=。

2、袋中有n 张卡片，记有号码1,2,,n 。

现从中有放回地抽出k 张卡片，求号码之和X 的数学期望。

解：设i X 表示第i 次取到的卡片的号码（1,2,,i k =），则12k X X X X =+++。

因为是有放回地抽出卡片，所以i X 之间相互独立。

所以第i 次抽到号码为m 的卡片的概率为1{},(1,2,,;1,2,,)i P X m m n i k n====，即i X 的分布律为1{},(1,2,,)i P X m m n n===，所以11()(12)2i n E X n n+=+++=，所以，1(1)()()2k k n E X E X X +=++=。

注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。

3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。

每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。

（设诸产品是否是次品是相互独立的。

）解：令Y 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知，~(10,0.1)Y b ，00101191010{1}1{0}{1}10.10.90.10.90.2639p P Y P Y P Y C C =>=-=-==--=，因此，~(4,0.2639)X b ，从而()40.2639 1.0556E X np ==⋅=。

注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。

即p 值。

4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p （01p <<，p 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为1p -。

保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费a 元（a 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿b 元（b a >）。

概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征练习题与答案详解

概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征练习题与答案详解（答案在最后）1.假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的人数的平均．2.100个产品中有5个次品，任取10个，求次品个数的数学期望与方差．3.设随机变量X 的概率密度为)(,e 21)(∞<<-∞=-x x p x试求数学期望EX 及方差DX .4.已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤=，，，，，，4140400)(x x x x x F 试求X 的数学期望EX 方差DX .5.对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[]b a ,内，求圆面积的数学期望．6.设随机变量X 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，，020cos )(πx x x f X试求随机变量DY X Y 的方差2=.7.设随机变量ξ只取非负整数值，其概率为{}0)1(1>+==+a a a k P k k，ξ是常数，试求ξE 及ξD .8.设独立试验序列中，首次成功所需要的次数ξ服从的分布列为：其中q =9.若事件A 在第i 次试验中出现的概率为，i p 设μ是事件A 在起初n 次独立试验中的出现次数，试求μE 及μD .10.随机变量n ξξξ,,,21 独立，并服从同一分布，数学期望为,μ方差为2σ，求这些随机变量的算术平均值∑==ni i n 11ξξ的数学期望与方差．11.设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中,)(p A P =再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD .12.设随机变数ξ之概率分布如下：求: (1) ； ]]1[2[2+ξE (2) ])[(2ξξE E -.13.随机变量，)(~x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=其它，，，，，，021210)(x x x x x f试计算n EX n (为正整数)．14.随机变量aX Y p n B X e ),,(~=，求随机变量Y 的期望和方差. 15.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有8.0个疵点．规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值为8元，4个以上者为废品，求：)1( 产品的废品率；)2( 产品的平均价值．16.一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为25,20,15,10,5厘米，假定射击时弹着点的位置为Z Y Z ，),(为弹着点到靶心的距离，且),(Y Z 服从二维正态分布，其密度为200222001),(y x ey x f +-=π，现规定弹着点落入最小的圆域为5分，落入其他各圆域（从小到大）的得分依次为4分，3分，2分，1分，求：)1( 一次射击的平均得分；)2( 弹着点到靶心的平均距离．17.若ξ的密度函数是偶函数，且∞<2ξE ，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立．18.若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立．答案详解1．每个生日在第一季度的概率是41=p ．设X 表示三个人中生日在第一季度的人数，则X 服从二项分布，，⎪⎭⎫⎝⎛B 413从而X 的平均为43413)(=⨯=X E2．5.0=EX ，11045=DX3．x -e 21为偶函数，⋅x x-e 21为奇函数，所以，由积分性质知0d e 21=⋅=-∞∞-⎰x x EX x（奇函数在对称区间上的积分值为零）=DX x x P X E x X d )()]([2⎰∞∞--=⨯=-∞∞-⎰x x xd e 212x x x d e 02-∞⎰)(d )(202x x x x --∞-=-=⎰ x x x d e 200⎰∞-+∞2d e 20==⎰∞-x x x 4．342==DX EX ，5．设圆的直径为随机变量X ，圆的面积为随机变量，Y 则24)(X X f Y π==，随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，01)(b x a ab x p X ，于是)(12112 d 14d )()())(()(2232b ab a a b x ab x ab x x x p x f X f E Y E b aX ++=⋅-⋅=-⋅===⎰⎰∞∞-πππ6．2220π-=DY7．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⋅=∑∑∞=∞=+101)1(11)1(k k k k k a a k a a a k E ξ，令，且，则10)1(<<=+p p a a ，211)1()1()(p p p p p p p kp k k kk -='-='=∑∑∞=∞= 故a aa a aaE =+-+⋅+=2)11(111ξ．采用同样的方法并利用a E =ξ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∞=k k a a k a E )1(11122ξ[]k k p k k a ∑∞=+-+=11)1(11 ∑∑∞=∞=-+++=11)1(1111k k k k p k k a kp a ，2322122)1(21)1(1)(1a a p a p a p p a p a p a p a k k +=-⋅++="⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=''++=∑∞=故)1()2()(2222a a a a a D +=-+=E -E =ξξξ 8．21pqD pE ==ξξ，9．设,21n μμμμ+++= 其中⎩⎨⎧=出现次试验若第出现次试验若第A i A i i ,0,1μ，则∑∑===E =ni i ni i p E 11μμ，由试验独立得诸i μ相互独立，从而知=μD )1(11i ni i ni i p p D -=∑∑==μ10．nD E 2,σξμξ== 11．事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则．，++=++=---3331122200n n n n n n n n q p C pq C b q p C q p C a 利用，，n n p q b a q p b a )(1)(-=-=+=+可解得事件A 出现奇数次的概率为 n n p p q b )21(2121])(1[21--=--=，顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2121-+=．η服从两点分布，由此得，{}{}===出现奇数次事件A P P 1ηn p )21(2121--， {}{}===出现偶数次事件A P P 0ηn p )21(2121-+，所以，=ηE n p )21(2121--，=ηD ][)21(2121[n p --])21(2121n p -+n p 2)21(4141--=．12．(1) 117； (2) 46513．x x f x EX n n d )(⎰∞∞-=x x x x x x n n d )2(d 2110-⋅+⋅=⎰⎰12)212(012212+-+⋅++=+++n x n x n x n n n)21122212(2122+++-+-+++=++n n n n n n n )2)(1(222++-=+n n n 14．n a n a n a p q p q DY p q EY 22)e ()e ()e (+-+=+=， 15．(1) 0.0014； (2) 9.616．(1) 007.3； (2) π2517．设)(x f 是ξ的密度函数，则)()(x f x f =-，由)(x xf 是奇函数可得，0=ξE 从而0=ξξE E ．又由于)(x f x x 是奇函数及,2∞<ξE 得ξξξξE E x x f x x E ===⎰∞∞-0d )(，故ξ与ξ不相关．由于ξ的密度函数是偶函数，故可选0>c 使得当{}10<<P <c ξ时，也有{}10<<P <c ξ，从而可得 {}{}{}{}c c P c P c P c P <<=<≠<<ξξξξξ,，其中等式成立是由于{}{}c c <⊂<ξξ，由此得不独立与ξξ．18．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2,1, , 1q p d c p b a q ：，：ηξ．作两个随机变量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=**2211,0, ,0, q p d c d q p b a b ：，：ηηξξ，由ξ与η不相关即ηξξηE E E ⋅=得)(bd d b E E +--=**ξηξηηξbd dE bE E E +--=ξηηξ**=--=ηξηξE E d E b E ))((，而，，，}{)(}{)(} {))((d c P d c b a P b a E E d c b a P d c b a E -=-⋅-=-=-=-=--=********ηξηξηξηξ由上两式值相等，再由0))((≠--d c b a 得，，}{}{}{d c P b a P d c b a P -=-==-=-=****ηξηξ 即}{}{}{c P a P c a P =⋅====ηξηξ，．同理可证}{}{}{d P a P d a P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{c P b P c b P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{d P b P d b P =⋅====ηξηξ，，从而ξ与η独立．。

第4章随机变量数字特征习题解答

+∞ −∞
4 16 4 − = 5 15 25
1 2(1− x ) 0 0
∫
+∞
−∞
xyp ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫
6 x 2 y 2 dy =
4 15
且 E ( X ) = E (Y ) = 0 ，D ( X ) = D (Y ) = 1 ，令U = X ， 32．已知随机变量 X 与 Y 不相关，
Y=
X 1 + X 2 + L + X 10 ( X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅, X 10 与 X 同分布)，则 E (Y ) = 10
a
．
25．对目标进行独立射击每次命中率均为 p = 0.25 ，重复进行射击直至命中目标为止，设 X 表示射击次数，则 E ( X ) = _____4______．
D (2 X − 3Y ) = ___11_____．
21．若 D ( X ) = 4 ， D (Y ) = 1 ， ρ XY =
1 ，则 D ( X − Y ) = ___3____． 2
22．若 ( X , Y ) 的相关系数 ρ XY 存在，则 | ρ XY | 的可能的最大值等于_____1______． 23 ．若随机变量 ( X , Y ) 的相关系数
1 b p ( x)dx = ∫ (12 x 2 − bx + 3)dx = 6 − 得， b = 12 0 2 1 1 E ( X ) = ∫ x(12 x 2 − 12 x + 3)dx = 0 2 1 2 E ( X 2 ) = ∫ x 2 (12 x 2 − 12 x + 3)dx = 0 5
ρ XY 存在，则 | ρ XY |= 1 的充要条件是

【高等数学】概率论与数理统计-随机变量的数字特征专项试卷及答案解析

CA)P{Y=-2X-1} = 1.
+ (C)P{Y =-ZX 1} = 1.
(B)P{Y = 2X-1} = 1. (D)P{Y = 2X+l} = 1.
(5）将长度为lm的木棒随机地截成两段，则两；段长度的相关系数为
CA)l.
ω÷
(C）一 ÷
CD) -1.
ω 已知随机变量 X,Y 均服从分布BCl,f），且仰＝ ÷，则P{X+Y ζl｝等于
P(B) + P(AB)
= 4P(AB) -2P(A) -2P(B）十1.
因此 E(XY) - EXEY = 4P(AB) -2P(A) - 2PCB) + 1 一［2P(A) -1][2PCB) - l]
= 4P(AB) - 4P(A)P(B),
所以X与Y不相关等价子 P(AB) = P(A)P(B），即 A,B 相互独立．
专 =1-d＝
（旧，Y均服从B(2，÷）分布
Cov(X,Y) E(XY)-EX • EY
ρXl' = ft5X" ./f5V =
� ./f5V
。XY
1
试验只重复2次， XY 的分布为 p
7 9
2 9
f f EX= EY= ,DX=DY= t,E(XY)= ,1.!iJ.pxy ＝一 ÷
【 i平注】本题也可用对称性求解：
I I (3)£Y =
E[max(I
X
1,1)]
=
J IXl>l
Ix I
f(x)dx+ J
1
IXI运l
•
f(x)dx
＞. 士 = 2f
dx+
[1 1

随机变量的数字特征试题答案

第四章随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=0.5，D （X ）=0.5? B. E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=22、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D（Z ）=? （??C?） A. 1 ?B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. 0.04? C. 0.4? D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X -C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 ?B ． 21 C ．23?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34 ?B ． 37C ． 323 ?D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13 ?B ． 15C ． 19 ?D ． 238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ． 31 ?B ． 1C ． 310 ?D ． 1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1?B. D （X ）=3?C. P （X=1）=0?D. P （X<1）=0.5 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ）A ．)(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X ?D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)21,10(~B X，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ）A ． -0.8 ?B ． -0.16C ． 0.16 ?D ． 0.8 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1?，则常数x =( B)A ． 2 ?B ． 4C ． 6 ?D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（?D ） A ．4)(,2)(==X D X E ?B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16则)(XY E =（B ） A ．91- ?B ． 0 C ． 91 ?D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A ． 2- ?B ． 0 C ．0.5 ?D 218、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，0.5)，则E(X-Y)=( A)A ．5.2- ?B ． 0.5 C ． 2 ?D ． 519、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XYρ为（?B ） A ．2161 ?B ． 361 C ． 61 ?D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N?(0，9)，Y ～N?(0，1)，令Z=X-2Y ，则D?(Z)=（D ） A ． 5 ?B ． 7 C ． 11 ?D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D?(X)>0，D?(Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = ? B ．)()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ ?D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ）A ． {}22εσεμn n X P ≥<- ?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ． {}221εσεμn X P -≤≥- ?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 98?D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 94 ?D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 ?B ．2 C ．3 ?D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =5 2、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=1 3、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为且X ，Y 相互独立，则E （XY ）=2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =94 8、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=09、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2, 则E?(?Y?)=-0.5 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=0.813、已知E （X ）= -1?，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 （附：Φ（2）=0.9772）17、设随机变量X?~?B （100，0.2），应用中心极限定理计算P{16?X ?24}=0.6826 附：Φ（1）=0.841318、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E?(X?)=2，方差D?(X?)=4，随机变量Y 的期望E?(Y)=4, D?(Y?)=9, 又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。

第4章随机变量的数字特征习题解答

+∞ −∞
x
λ π (λ+x
2
)
dx =
λ
2π
+∞ ln( λ + x 2 ) | 0 = +∞
| x | f ( x ) dx 不收敛，因此 E ( X ) 不存在。
5、解
（1） E ( X ) = ∫
+∞ −∞
+∞ −∞
xf ( x )dx = ∫ x ⋅xdx + ∫ x ⋅ ( 2 − x ) dx = 1
P { X = ( −1 ) k +1 3k 2 ,k =1, 2 , }= k 3k
说明 X 的数学期望不存在。 4、设随机变量 X 的概率密度为
f (x)=
λ π (λ+x2 )
, −∞ < x < ∞
说明 X 的数学期望不存在。 5、设随机变量 X 的概率密度为
⎧ x , 0 ≤ x ≤1 ⎪ （1） f ( x ) = ⎨ 2 − x , 1 < x ≤ 2 ⎪ ⎩ 0 , 其它
1 ⎧ ,| x | <1 ⎪ （2） f ( x ) = ⎨ π 1 − x 2 ⎪ 0, 其它 ⎩ 1 ⎧ x, 0 ≤ x ≤ 1500 ⎪ 2 ( 1500 ) ⎪ ⎪ −1 ⎪ ( x − 3000 ), 1500 < x ≤ 3000 （3） f ( x ) = ⎨ ⎪ ( 1500 ) 2 ⎪ 0, 其它 ⎪ ⎪ ⎩
XY
=−
1 X Y ，设 Z = + 2 3 2
（1）求 X 的数学期望 E（X）和方差 D（X）；（2）求 X 与 X 的相关系数 P XZ ；（3）问 X 与 X 是否相互独立？（二）解答 1、解因 E ( X ) = 0 × 0 .4 + 1 × 0 .3 + 2 × 0 .2 + 3 × 0 .1 = 1

题解第4章随机变量的数字特征

习题 4.11.设随机变量X 的分布列为试求22(),(),(31).E X E X E X +解根据随机变量期望的定义()(3)0.410.230.40.2E X =-⨯+⨯+⨯=，根据随机变量函数的期望的计算公式2222()(3)0.410.230.47.4E X =-⨯+⨯+⨯=，根据随机变量期望的性质22(31)3()137.4123.2E X E X +=+=⨯+=.2.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布列为试求232(),()E X Y E X Y +.解根据随机变量函数的期望的计算公式22222()100.2110.3200.1210.4 1.9E X Y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=3232323232()(10)0.2(11)0.3(20)0.1(21)0.4 5.2E X Y +=+⨯++⨯++⨯++⨯=.3.设有n 个人N 个房间，若每个人住到每个房间是等可能，且每个房间住的人数不受限制，求有人住的房间数的平均值.解令X 表示有人住的房间数，且按如下方式引入随机变量(1,2,,)i X i n =：1,0,i X ⎧=⎨⎩第i 个房间有人住；第i 个房间没人住.易知，12n X X X X =+++，且i X 的分布列为因此121()()()()[1(1)]nn E X E X E X E X n N=+++=--.4.据以往的资料，某人打一次电话的持续时间X (单位：分)的密度函数为3,02;44(),2;0,xx p x x x⎧<≤⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪⎪⎩其它.求此人打一次电话的平均持续时间.解由题意，此人打一次电话的平均持续时间为23248()()43xE X xf x dx x dx xdx x +∞+∞-∞==+=⎰⎰⎰分钟. 5.设在某一规定的时间间隔里，某电器设备用于最大负荷的时间X (单位：分)的密度函数为22,01500;15003000(),15003000;15000,xx x p x x ⎧<≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它. 求该电器用于最大负荷的平均时间.解由题意，该电器用于最大负荷的平均时间为1500300022015003000()()150015001500x x E X xf x dx x dx x dx +∞-∞-==+=⎰⎰⎰分钟. 6.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行.假设一游客从早晨八点的第X 分钟到达底层侯电梯，且X 服从区间[0,60]上的均匀分布.求该游客的平均等候时间.解由题意，X 的密度函数为1,060;()600,.x p x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它令Y 表示游客的等候时间，则Y 是X 的如下函数：5,05;25,525;()55,2555;65,5560.X X X X Y g X X X X X -<≤⎧⎪-<≤⎪==⎨-<≤⎪⎪-<≤⎩故该游客的平均等候时间为5250511()[()]()()(5)(25)6060E Y E g X g x f x dx x dx x dx +∞-∞===-+-⎰⎰⎰5560255511(55)(65)6060x dx x dx +-+-⎰⎰11.67=分钟.7. 设某种商品的每周需求量X 是服从区间[10,30]上的均匀分布的随机变量，而经销商的进货数量为[10,30]中的某一整数.经销商每销售一单位的商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元.为使商品所获平均利润达到最大，试确定进货量. 解设进货量为a ，则利润为 500300()300200,;(,)500100()600100,.a X a X a X a Q Q a X X a X X a X a +-+>⎧⎧===⎨⎨---≤⎩⎩ 由题意，X 的密度函数为1,1030;()200,.x p x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它且该商品的平均利润为301011()(,)()(600100)(300200)2020a aE Q Q a x p x dx x a dx x a dx +∞-∞==-++⎰⎰⎰27.53505250a a =-++，由于a 取整数，结合一元二次函数求最值的方法知:当23a =时，平均利润达到最大，此时的利润为9332.5元.8.一商店经销某种商品，每周的进货量X 与顾客对该商品的需求量Y 是两个随机变量，且相互独立，都服从区间[10,20]上的均匀分布，商店每销售一件商品盈利1000元；若供不应求可从外部调剂供应，这时每销售一件商品盈利500元；若供大于求则削价处理，每处理一件商品亏损200元.试求此商店经销该种商品的平均周利润.解设此商店经销该种商品的周利润为Q ，则1000500()500500,;(,)1000200()1200200,.X Y X Y X X Y Q Q X Y Y X Y Y X X Y +-+≤⎧⎧===⎨⎨--->⎩⎩ 由题意，(,)X Y 的联合密度函数为1,10,20;(,)1000,.x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它则此商店经销该种商品的平均周利润为()((,))(,)(,)E Q E Q X Y Q x y p x y dxdy +∞+∞-∞-∞==⎰⎰20202010101011[(500500)][(1200200)]100100xx y x dy dx y x dy dx =++-⎰⎰⎰⎰36500121673=≈元. 7166.67？9.气体分子的运动速度X 服从马克斯威尔分布，其密度函数为23,0;()0,0.x a x p x x -⎧>=≤⎩设气体分子的质量为m ，试求气体分子的平均动能. 解设气体分子的动能为Q ，则212Q mX =.从而，气体分子的平均动能为 21()()2E Q mx p x dx +∞-∞=⎰2232012x a mx dx +∞-=⎰22/t x a =3320tt edt +∞-==⎰.10.保险公司开出的保险单规定:如果某个事件A 在一年内发生了，保险公司必须付出一笔钱m .如果保险公司估计事件A 在一年内发生的概率为p ，保险公司向顾客收多少保费才能使得他们的平均收益达到m 的10%.解设收取的保费为x ，收益记为随机变量Y ，则Y 的分布列为从而，平均收益为()(1)()E Y x p x m p =-+-,令 ()10%E Y m =，可得公司需向客户收取的保费为(10%)x m p =+.11.某人参加面试，一共有问题1和问题2两个问题，他可以自行决定回答的顺序.如果他先回答问题i ，那么只有回答正确，他才被允许回答问题()j j i ≠，否则就没有机会回答另一问题.如果他能正确回答问题i 将得i V 分,且他能正确回答问题i 的概率为i p (1,2)i =.试问他先回答哪个问题才能使平均得分达到最大？解设i Y 表示先回答问题i 时的得分（1,2i =），则1Y 和2Y 的分布列分别为从而有11211212()(1)()E Y p p V p p V V =-++， 22121212()(1)()E Y p p V p p V V =-++,当12()()E Y E Y ≥即11221211p V p Vp p ≥--时，先回答问题1使得平均得分达到最大. 当12()()E Y E Y <即11221211p V p Vp p <--时，先回答问题2使得平均得分达到最大. 12.设某省内有三条高速公路，每天在高速公路上发生的事故数是服从泊松分布的随机变量，其参数分别为0.3,0.5和0.7.试求今天在高速公路上发生的事故总数的平均值. 解令X 表示今天高速公路上发生的事故总数，i X 表示第i 条公路上发生的事故数（1,2,3i =），由题意知123X X X X =++，且今天在高速公路上发生的事故总数的平均值为123()()()()E X E X E X E X =++0.30.50.7 1.5=++=.13.某人从家到公司相继要乘两条线路的公共汽车，乘各辆车的候车时间（单位：分）都服从区间[0,5]上的均匀分布，求他从家到公司用在候车上的平均时间.解令X 表示某人从家到公司用在候车上时间，1X 和2X 表示某人从家到公司在相继两条线路上的候车时间，由题意知12X X X =+，且他从家到公司用在候车上的平均时间为1255()()()522E X E X E X =+=+=分钟. 习题4.21.某公司准备投资生产新产品，有两个产品：普通凉鞋和防雨制品，其年利润与气候是多雨或少雨有关.根据气象部门预报，当年气候多雨和少雨的概率分别为60%和40%.通过调查，该公司认为若气候多雨，生产普通凉鞋和防雨制品的年利润分别是42万元和100万元；若气候少雨，前者的年利润为37万元，而后者则亏损50万元.请问：该公司如何投资为好？解设投资生产普通凉鞋、防雨制品的年利润分别为X 、Y ，其分布列分别为两个投资方案的平均收益分别为()420.6370.440E X =⨯+⨯=，()1000.6(50)0.440E Y =⨯+-⨯=, 而每个决策方案的方差分别为22()(4240)0.6(3740)0.46Var X =-⨯+-⨯=， 22()(10040)0.6(5040)0.45400Var X =-⨯+--⨯=，由上面的计算结果知，两种投资方案的平均收益是一样的，而投资生产普通凉鞋所承担的风险要小的多，故应投资生产普通凉鞋.2.一个人有N 把钥匙，每次开门时，他随机地拿出一把（只有一把钥匙能打开这道门），直到门打开为止.以X 记到此时为止用的钥匙数（包括最后拿对的那一把）.按以下两种情况分别计算X 的期望和方差：(1)试过打不开不再放回，(2)试过打不开仍然放回. 解（1）该问题相当于抽签问题，每次打开门的概率都是1N，因此X 的分布列为1()P X i N==，1,2,,.i N =从而11111()()2NN i i N E X i i N N ==+=⨯==∑∑， 2221111(1)(21)()()6NN i i N N E X i i N N ==++=⨯==∑∑，故 2221()()[()]12N Var X E X E X -=-=.（2）由题意，X 的分布列为111()()i N P X i N N--==，1,2,,,i N =,从而1111111()()()i i i i i N N E X i n NN N N ∞∞--==--===∑∑，22121211111()()()2i i i i i N N E X i n n NN N N ∞∞--==--===-∑∑，故 22()()[()](1)V X E X E X N N =-=-.3.从英文句子“The girl put on her beautiful red hat ”中任意挑出一个单词，用X 表示单词所包含的字母个数，求()E X ，()D X .解由题意，X 的分布列为从而151115()234988884E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，22222151173()234988884E X =⨯+⨯+⨯+⨯=故 2267()()[()]16Var X E X E X =-=.4.设随机变量X 满足()()E X Var X λ==，已知[(1)(2)]1E X X --=，试求λ. 解由题意，221[(1)(2)]()3()2()[()]3()2E X X E X E X Var X E X E X =--=-+=+-+，即 2321λλλ+-+=，解上述方程可得1λ=.5. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布，试求()E X ，2(1)E X +，()Var X ，(2)Var X -.解由题意，X 的密度函数为1,0;()0,.xe x p x λλ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它从而0001()()()x xxE X xp x dx x edx x e edx λλλλλ+∞+∞+∞+∞--∞===-+=⎰⎰⎰，2222201()()()22xxxE X x p x dx xe dx x e xe dx λλλλλ+∞+∞+∞+∞--∞===-+=⎰⎰⎰，故 222(1)()2()1221E X E X E X λλ+=++=++，222()()[()]Var X E X E X λ=-=，2(2)4()4Var X Var X λ-==.6.设随机变量X 的分布函数为0,0;,01;2()1,1 1.5;21, 1.5,x x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩试求()k k E X μ=与(())k k v E X E X =-. 解由题意，X 的密度函数为1,01;2()1,1 1.5;0,.x p x x ⎧≤<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其它从而 1 1.511111()()1(32)22(1)kkkkk kk k E X x p x dx x dx x dx k μ+∞++-∞===+=-+⎰⎰⎰.特别的， 17()16E X μ==. 故 (())kk v E X E X =-=11.5017717()()()()11616216k k k x p x dx x dx x dx +∞-∞-=-+-=⎰⎰⎰12(1)1451[2.173(7)]2(1)k k k k k ++++=---+. 7.设随机变量X 的密度函数为,12;3()3,23;0,xx f x x x ⎧<≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪⎩其它，试求(23)Var X +. 解由题意，231235()()(3)318x E X xp x dx x dx x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰，23222212()()(3)43xE X x p x dx x dx x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰，故 2271(23)4()4()4[()]81Var X Var X E X E X +==-=. 8.求参数为λ的泊松分布的三阶原点矩和三阶中心矩.解设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则()()E X Var X λ==，22()E X λλ=+且其分布列为()!kP X k e k λλ-==，0,1,k =.故参数为λ的泊松分布的三阶原点矩和三阶中心矩分别为33()E X μ==321!(1)!kkk k keke k k λλλλ∞∞--===-∑∑=2(1)!kk k e k λλλ∞-=+∑222(1)[()2()1](31)E X E X E X λλλλλ=+=++=++，332233()()3()3()v E X E X E X E X λλλλ=-=-+-2233(31)3()3λλλλλλλλλ=++-++-=.9.对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为123,,p p p ，设X 表示产生故障的仪器的台数，试求X 的期望和方差.解引入如下随机变量1,0,.i i X i ⎧=⎨⎩第台机器发生故障；第台机器没发生故障 1,2,3.i = 由题意，i X （1,2,3i =）的分布列为且123X X X X =++，从而有123123()()()()E X E X E X E X p p p =++=++123112233()()()()(1)(1)(1)Var X Var X Var X Var X p p p p p p =++=-+-+-.10.某保险公司的人寿保险单持有者死亡将获得的保险金为随机变量X （单位：万元），它服从区间[1,5]上的均匀分布.在该公司购买人寿保险的人在一年内的死亡人数为随机变量Y ，它服从参数为8的泊松分布.每个人获得的保险金额相互独立且与X 同分布，X 与Y 也是相互独立的.试求该保险公司在一年内需要支付的总保险金额的期望和方差. 解令Z 表示该保险公司在一年内需要支付的总保险金额，由题意，()3E X =，2222(51)31()()[()]3123E X Var X E X -=+=+=， ()8E Y =，222()()[()]8872E Y Var Y E Y =+=+=.且Z XY =，由于X 和Y 是独立的，从而有()()()()24E Z E XY E X E Y ===，2222222()()()[()]()()[()][()]68Var Z Var XY E X Y E XY E X E Y E X E Y ==-=-=.11.某工程队完成某项工程的时间X （单位：天）服从正态分布(100,16)N ，甲方规定：若工程在100天内完成，发奖金10000元；若在112天内完成，只发奖金1000元；若完成时间超过112天，则罚款5000元.求该工程队完成此工程时获得奖金的期望和方差.解令Y 表示该工程队完成此工程时获得奖金，由题意Y 所有可能的取值为10000、100 -5000，对应的概率分别为(10000)(100)(0)0.5P Y P X ==≤=Φ=，(1000)(100112)(0.75)(0)0.27P Y P X ==<≤=Φ-Φ≈，(5000)(112)1(0.75)0.23P Y P X =-=<=-Φ≈，从而()100000.510000.2750000.234120E Y =⨯+⨯-⨯=，22227()100000.510000.27(5000)0.23 5.60210E Y =⨯+⨯+-⨯=⨯，故 227()()[()] 3.910Var Y E Y E Y =-≈⨯.12.设随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，求X 的偏度和峰度. 解由题意X 的密度函数为1,;()0,.a xb p x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它且()2a bE X +=.从而有 22221()(())()212baa b b a v E X E X x dx b a +-=-=-=-⎰， 3331(())()02ba ab v E X E X x dx b a+=-=-=-⎰， 44441()(())()280b aa b b a v E X E X x dx b a +-=-=-=-⎰，故偏度和峰度分别为313/220()v v β==，42223 1.2()v v β=-=-. 13.试证随机变量X 的偏度与峰度对位移和改变比例尺是不变的，即对任意的实数(0)a a ≠和b ，Y aX b =+与X 有相同的偏度和峰度.解由题意知，22222(())(())(())(())E Y E Y E aX b E aX b E aX aE X a E X E X -=+-+=-=-， 33333(())(())(())(())E Y E Y E aX b E aX b E aX aE X a E X E X -=+-+=-=-， 44444(())(())(())(())E Y E Y E aX b E aX b E aX aE X a E X E X -=+-+=-=-，从而有333323/2223/223/2(())(())(())[(())][(())][(())]E Y E Y a E X E X E X E X E Y E Y a E X E X E X E X ---==---， 44442222222(())(())(())[(())][(())][(())]E Y E Y a E X E X E X E X E Y E Y a E X E X E X E X ---==--- 故对任意的实数(0)a a ≠和b ，Y aX b =+与X 有相同的偏度和峰度.习题4.31.已知二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如表所示：求(),(),(),(),cov(,),XY E X E Y D X D Y X Y ρ.解 23301555EX =⨯+⨯= 235EX = 625DX = 32201555EY =⨯+⨯= 235EY = 625DY =3cov(,)()50X Y E XY EXEY =-=14XY ρ== 2.设随机变量(,)X Y 具有概率密度,011(,)0y x x f x y <<<⎧=⎨⎩其它试求(),(),cov(,)E X E Y X Y .解102(,)3xxEX xf x y dxdy xdx dy +∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰ 10(,)0xxEY yf x y dxdy dx ydy +∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰ (奇函数在对称区间上积分为零)10()(,)0xxE XY xyf x y dxdy xdx ydy +∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰cov(,)()0X Y E XY EXEY =-=3.设随机变量(,)X Y 具有概率密度20,20),(81),(≤≤≤≤+=y x y x y x f求(),(),cov(,),XY E X E Y X Y ρ.解 220017()86EX dx x x y dy =+=⎰⎰ 220017()86EY dx y x y dy =+=⎰⎰220014()83EXY dx xy x y dy =+=⎰⎰22220015()83EX dx x x y dy =+=⎰⎰ 1136DX =22220015()83EY dx y x y dy =+=⎰⎰ 1136DY =1cov(,)()36X Y E XY EXEY =-=-111XY ρ==- 4.对随机变量X Y 和，已知()23Cov ,1,D X D Y X Y ===-（），（），计算：Cov(32143)X Y X Y -++-，解 Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=- (因常数与任一随机变量独立，故()()Cov X,3Cov Y,30==,其余类似).5.两随机变量,X Y 的方差分别为25及36，相关系数为0.4，求(),()D X Y D X Y +-.解 ()2cov(,)D X Y DX DY X Y ±=+±cov(,)12XY X Y ρ==()85D X Y ∴+= ()37D X Y ∴-=6.设随机变量~(0,1)X N ，且令2Y X =，求证,X Y 不相关. 解 222cov(,)cov(,)[()()]X Y X X E X EX X EX ==--~(0,1)X N 0EX = 22()1DX EX EX =-= 21EX =22332cov(,)[(1)]0x X Y E X X EX EX x edx +∞--∞=-=-==⎰(奇函数)所以,X Y 不相关.7.设随机变量,X Y 的联合分布律如表所示验证：X 和Y 不相关，但和不是相互独立的.解 33(1)1088EX EY ==-⨯+⨯=11111(1)08888i j ij i j EXY x y p ==-⨯-⨯--+=∑∑cov(,)0X Y EXY EXEY =-= ,X Y 不相关但(0,0)0P X Y === 而0161)0()0(≠===ηξP P 所以,X Y 不相互独立.8.设二维随机变量X Y （，）的概率密度为221,1,π0,.x x y y f ⎧+≤⎨=⎪⎪⎩（，）其他试验证X Y 和是不相关的，但X Y 和不是相互独立的.解设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰同理()0E Y =. 而 C o v (,)[()][()](,X Y x E x y E Y f x y x y+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当1x ≤时，1()X f x y 当1y ≤时，1()Y f y x 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠ 故X 和Y 不是相互独立的.9.设二维随机变量X Y （，）在以0001,10（，）,(，）(，）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求XY Cov(X Y ρ，），.解如图，12D S =，故X Y （，）的概率密度为题9图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他. ()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3xx x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰112001d 2d 6x x x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y == 而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而112)()XY D Y ρ-===-10.设X Y （，）的概率密度为1ππsin(),0,0,2220.x y x f y ,x y ⎧+≤≤≤⎨=≤⎪⎪⎩（，其他）求协方差Cov(X Y)，和相关系数XY ρ. 解 π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x xx y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4C o v (,)()()()1.2444X Y E X Y E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32)()2162XY D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+- 11.已知随机变量,X Y 服从二维正态分布，()()0,()16,()25,E X E Y D X D Y ====cov(,)12X Y =，求(,)X Y 的概率密度.解 5,4,02121====σσμμ 35XY ρ==]}2550316[3216exp{321),(22y xy x y x f +--=π 32.已知随机变量X Y 和分别服从正态分布N(132，）和N(042，），且X Y 与的相关系数XY 12ρ=，设Z 32X Y=+. （1）求Z 的数学期望E(Z)和方差D(Z)；（2）求X 与Z 的相关系数XZ ρ；（3）问X 与Z 是否相互独立，为什么？解 (1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ ()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯ 而1Cov(,)()3462XY X Y D Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭所以 1()146 3.3D Z =+-⨯= (2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119()(6)3=0,323D X =+⨯-=-所以0.)()XZ D Z ρ==(3) 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 与Z 也相互独立.习题4.41．设X 为随机变量，()E X μ=，2()D X σ=，试估计{}3P X μσ-<．解:由切比雪夫不等式,有{}2()18311(3)99D X P X μσσ-<≥-=-= 2. 一台设备由10个独立工作的元件组成，每一个元件在时间T 发生故障的概率为0.05，设在时间T 发生故障的元件数为随机变量X 。

《概率论与数理统计》习题四参考答案随机变量的数字特征(熊万民、杨波版)

所以Y X N 1, 42 ，从而 Y X 1 N 0,1 4
于是
Px
y
Py
x
0
P
y
x 4
1
1 4
1 4
1
1 4
0.4013
19.解：
设 X Bn, p, Y n,q,q 1 p ，则
EX np, DX npq, EY nq, DY nqp npq
XY
E X
E X Y E Y
为求 P{X=1}，考虑 {X=1} 的对立事件：{1 号盒中没有球}，其概率为
33 ，因此 43
PX
=1
1
33 43
4 3 3 43
3
{X=2} 表示 {1 号盒中没有球，而 2 号盒中至少有一个球}，类似地得到：
PX =2
33
23 43
于是
PX
=3
23 13 43
PX
=
4
13 43
E（X）=1
0
1
0 (ax b)dx 1 1.2,b 0.4
EX 2 1 x2 (ax b)dx 13
0
30
DX EX 2 (EX )2 13 0.62 11
30
150
14.
E[(X Y )2 ] E( X 2 2XY Y 2 ) EX 2 2E( XY ) E(Y )2 DX (EX )2 DY (EY )2 2EXEY 10
XY
Cov X, Y
DX DY
0
因此 X 与 Y 不相关
2）fX x
f x, ydy
x 1, fX x 0
x 1, fX
1 x2
1 1 x2
1

第4章随机变量的数字特征

1. 袋中有 20 个同样的球，其中 12 个标上数字 1，8 个标上数字 2，现在从袋中任取一球并记住球上的数字后再放回，这样一共进行了 4 次，记 X 为数字 1 出现的次数，则 E(X) = （）． (A) 1.6 (B) 0.4 (C) 2.4 (D) 9.6
⎧ax + b, 0 ≤ x ≤ 1 2. 设随机变量 X 的密度函数 f ( x ) = ⎨ ，且 E ( X ) = 7 / 12 ，则（其它 ⎩ 0,
9. 二维随机向量 ( X , Y ) 满足 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) ，则（ (A) D ( XY ) = D ( X ) D (Y ) (C) X 与 Y 独立
）．
(B) D ( X + Y ) = D ( X − Y ) (D) X 与 Y 不独立
）．
10. 设 X ~ N(3,2),Y ~ U(2,8) ，且 X 与 Y 相 5 (C) 11 (D) 1
）．
(A) -1 (B) 4 (C) 2 (D) 7 ． 4. 如果随机变量 X 存在二阶原点矩，则下列表达式正确的是（） (A) E ( X 2 ) < [ E ( X )] 2 (C) E ( X 2 ) ≥ E ( X ) (B) E ( X 2 ) ≥ [ E ( X )] 2 (D) E ( X 2 ) < E ( X )
Y=
1 n ∑ X i ，则（ n i =1
(A) Cov( X 1 , Y ) =
）．
σ2
n
(B) Cov( X 1 , Y ) = σ 2
(C) D( X 1 + Y ) =
n+2 2 σ n
(D) D( X 1 − Y ) =

概率论与数理统计（理工类_第四版）吴赣昌主编课后习题答案第四章.pdf

第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-p p由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z), 得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2 +1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1] +(-1)2×0.3+12×0.3 =5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). 解答：如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx ⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy ⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy ⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615. 习题13设X 和Y 相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY). 解答：解法一由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx∫0+∞ye -(y-5)dy=23×6=4.解法二令z=y-5, 则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx ⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X 服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2), 求E(X),D(X). 解答：由题设知，X 的分布律为P{X=k}=λkk!e -λ(λ>0)λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ; Array (C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,⋯,于是由已知条件得3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ,\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2 (Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy=E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X 3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200, D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225 .(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-12001225≤y-12001225=Φ(y-12001225)>0.99.查标准正态分布表得y-12001225=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。

概率论习题

第四章、随机变量的数字特征检测题一、单项选择题,在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在表格中。

错选、多选或未选均无分。

1.设离散随机变量X 的分布列为，则D （X ）＝（）A.0.21B.0.6C.0.84D.1.22．设随机变量X ～B （30，61），则E （X ）＝( ) A.61B. 65C. 625 D.53.已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)=（） A. 3B. 6C. 10D. 124.设二维随机向量（X,Y ）~N(μ1，μ2，ρσσ,,2221)，则下列结论中错误．．的是（） A.X~N （21,1σμ），Y~N （222,σμ）B.X 与Y 相互独立的充分必要条件是ρ=0C.E （X+Y ）=21μ+μD.D （X+Y ）=2221σ+σ5.设随机变量X ，Y 都服从区间[0，1]上的均匀分布，则E （X+Y ）=（） A.61B.21 C.1D.26.设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（）A.D(X+c)=D(X)B.D(X+c)=D(X)+cC.D(X-c)=D(X)-cD.D(cX)=cD(X)7.设E （X ）=E （Y ）=2，Cov(X,Y)=，61-则E （XY ）=（） A.61-B.623C.4D.625 8.设随机变量X ～U(0，2)，又设Y=e -2X ，则E(Y)=( ). A. 21(1-e -4) B.41(1-e -4) C.41D. -41e -4 9．设（X ，Y ）为二维连续随机向量，则X 与Y 不相关．．．的充分必要条件是（） A ．X 与Y 相互独立B ．E （X ＋Y ）＝E （X ）＋E （Y ）C ．E （XY ）＝E （X ）E （Y ）D ．（X ，Y ）～N （μ1，μ2，21σ，22σ，0）10．设二维随机向量（X ，Y ）～N （1，1，4，9，21），则Cov （X ，Y ）＝（） A ．21 B ．3 C ．18D ．3611．已知二维随机向量（X ，Y ）的联合分布列为（）则E （X ）＝ A ．0.6 B ．0.9 C ．1D ．1.612.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（）A.1B.2C.3D.413.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4D.E （X ）=2，D （X ）=214.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则E （Z 2）=（）A.1B.4C.5D.615.已知D （X ）=4，D （Y ）=25，Cov （X ，Y ）=4，则ρXY =（）A.0.004B.0.04C.0.4D.416．设随机变量X~N （1,22），Y~N （1，2），已知X 与Y 相互独立，则3X-2Y 的方差为（） A ．8 B ．16 C ．28D ．44二、填空题,不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

第四章随机变量的数字特征(有答案)

第四章随机变量的数字特征1. (2016)设随机变量X 的概率密度函数2,01(),0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他则2()E X =0.5 .2. (2016)设随机变量X 与Y 满足()1,()2,()4,()9,0.5XY E X E Y D X D Y ρ=====, 则()E XY = 5 .3. (2016)设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为(1) 求,X Y 的边缘分布律; (2) 求,X Y 的相关系数XY ρ; (3) 判断,X Y 是否相关、是否独立？解答: （1）X 与Y分分（2）2()()3E X E Y ==, 4()()9D X D Y ==, 2()9E XY =, 因此故 1.2XY ρ===- …...................................4分（3）X 与Y 相关, 不独立. ...............................................................................2分4.(2016)设A 与B 是两个随机事件, 随机变量1,,0,A X A ⎧=⎨⎩出现不出现 1,,0,B Y B ⎧=⎨⎩出现不出现证明: 随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立.证明: X故 ()()E X P A =, 同理, ()()E Y P B =.XY故 ()()E XY P AB =. ...........................................................................................3分XY ρ==因此 X 与Y 不相关0XY ρ⇔=()()()E XY E X E Y ⇔=()()()P AB P A P B ⇔= 即 X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立. ..................................2分 5. (2015)设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则期望2[(1)]E X +=11 . 6. (2015)设随机变量X 服从正态分布2(1,3)N , Y 服从正态分布2(0,4)N , X 与Y的相关系数12XY ρ=-, 设32X YZ =+, 求:(1) Z 数学期望()E Z 及方差()D Z ;(2) X 与Z 的协方差cov(,)X Z 及相关系数XZ ρ. 解答：（1）111()()()323E Z E X E Y =+=;()()32X YD Z D =+1111()()29432XY D X D Y ρ=++⋅⋅2211111342()34394322=⋅+⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅=. …...................................…6分（2）cov(,)cov(,)32X YX Z X =+ 11cov(,)cov(,)32X X X Y =+11()32XY D X ρ=+21113(0322=⋅+-=. 故 0XZ ρ=. ............................................................................................……...4分 7. (2014)对球的半径做近似测量, 设测量值均匀分布在区间(2,3)上, 则球的体积的数学期望为653π . 8. (2014)设随机变量X 与Y 的方差均为4, 相关系数12XY ρ=, 2Z X Y =+, 则协方差cov(,)X Z = 8 .9. (2014)设X ,Y 为随机变量, 下列选项中, 不是()()()E XY E X E Y =的充要条件的是 D . (A) cov(,)0X Y = (B) ()D X Y DX DY -=+ (C) X 与Y 不相关(D) X 与Y 独立10. (2014)设连续型随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩，其他. （1）求常数A ;（2）设随机变量2Y X =, 求Y 的概率密度函数()Y f y ;（3）设随机变量11,,210,.2X Z X ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩, 求()E Z .解答：（1）+-()d 1f x x ∞∞=⎰，即+d 1Ax x ∞-∞=⎰，得2A =. ……………………3分（2）法1：2y x =的反函数为x =(01,()0,X XYf f yf y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.0,01,0,y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.1,01,0,y<<⎧=⎨⎩其它.…………………4分法2：2(){}{}YF y P Y y P X y=≤=≤当0y≤时：()0YF y=，当01y<<时：(){dYF y P X x x y=≤≤==⎰，当1y≥时：()1YF y=.因此1,01,()()0,Y Yyf y F y<<⎧'==⎨⎩其它.……………………………………4分（3）11213{1}{}2d24P Z P X x x==≥==⎰，故3()4E Z=. ………………………3分11.(2014)设某厂生产的某种设备的寿命（单位: 年）X服从指数分布, 其概率密度函数为141e, 0,()40,0.xxf xx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩工厂规定: 若出售的设备在一年内损坏, 则可予以调换. 工厂售出一台设备后, 若在一年内未损坏, 厂方可获利100元, 若在一年内损坏, 厂方则亏损200元.试求厂方售出一台设备的平均利润.解答：设Y为厂方售出一台设备的利润，有114411{1}e d1e4xP X x--<==-⎰，……………………3分则Y平均利润111444()100e200(1e)300e200E Y---=--=-. (3)分。

第四章随机变量的数字特征作业册习题解答

~43~
+32 0.1+ 22 0.0 +12 0.1+ 42 0.0 + 32 0.3+ 22 0.1 = 5
+ +
六、解 EX =
xf (x, y)dxdy =
x 12 y2dxdy = 12
1
xdx
x y2dy = 4
− −
0 yx1
0
0
5
+ +
EY =
yf (x, y)dxdy =
2
2
= E{1 [(X + Y )2 − ( X −Y )2 ]} = E(XY ) = EX EY 4
故选（A）。
（5）解应选（D）。由于
E(X − C)2 = E[(X − ) + ( − C)]2
= E(X − )2 + ( − C)2 + 2E[(X − )( − C)]
= E(X − )2 + ( −C)2
0, FU (u) = [F (u)]n = un ,
1,
u0 0u 1 u 1
从而U
的概率密度为
fU
(u)
=
FU (u)
=
nu n−1 , 0,
0 u 1 ，故其他
EU =
+
− ufU (u)du =
1
u
nu n−1du
=
n
1undu =
n
0
0
n +1
（2）由于 X1, X2 , , X n 相互独立，因此V = min{X1, X2 , , Xn}的分布函数为
D( X
+Y)