第十一章 压杆稳定详解
压杆稳定解析课件
查表13-1,得 0.276， 与 0.289 相差不大
故可选28a工字钢,校核其稳定性
F 45.1MPa [ ] 46.92MPa
A
例6： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为14号
工字钢，BC杆为 d＝20mm的圆杆。已知： F=25kN，
l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。
二﹑欧拉公式应用中的几个问题
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有 关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是 通过长度系数μ来实现的。要根据实 际情况选择适当的μ 。
（3）当压杆在两个形心主惯性平面内 的杆端约束情况相同时，则失稳一定 发生在最小刚度平面，即I 最小的纵 向平面。
y z x
轴销
y z
x
轴销
解：xy面内，两端视作铰支，μ = 1，iz = 4.14 cm
z
l
iz
1 2 4.14 102
48.3
y z
x
轴销
xz面内，两端视作固定端，μ = 0.5，查表iy= 1.52cm
y
l
iy
0.5 2 1.52 102
65.8
显然 z y
压杆将在xz平面内失稳 而 p 100，u s 60
lw
x
O
y
M(x) Fcr=F
w
w = Asinkx +Bcoskx （d）
Fcr
k2=Fcr / EI 两个边界条件:
w = Asinkx +Bcoskx
工程力学压杆稳定
MA=MA =0 相当长为2l旳两端简支杆
Fcr
EI 2
(2l ) 2
l
F
0.5l
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
图形比拟：失稳时挠曲线 上拐点处旳弯矩为0，故可设想 此处有一铰，而将压杆在挠曲 线上两个拐点间旳一段看成为 两端铰支旳杆，利用两端铰支 旳临界压力公式，就可得到原 支承条件下旳临界压力公式。
两端铰支
= 1
一端固定，一端自由 = 2
一端固定，一端铰支 = 0.7
两端固定
= 0.5
§11-4中小揉度杆旳临界压力
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
对细长杆
cr
2 EI (l)2 A
2 Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
记 l
i
i
cr
2E 2
––– 欧拉公式
：柔度，长细比
[cr] = [] < 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
根据稳定条件
F Fcr nst
F A
Fcr Anst
cr
nst
[ cr ： 工作压力
： 折减系数
A： 横截面面积
[]：材料抗压许用值
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示
下端固定，上端自由旳压杆。
＝2
F
l=0.375m
i I d A4
l l 2 0.375 75
i d 0.04 / 4 4
查表， = 0.72
F
A
80 103
0.72 0.042
88.5106 88.5MPa [ ] 160MPa
4
故此千斤顶稳定性足够。
第11章 压杆稳定
y — 挠曲线方程，y'— 转角方程， 3) dM ( x ) EIy " M ( x )，EIy "' FQ dx
4)代入位移与静力边界条件，求出压杆稳定的特征方 程，得到Fcr。
§11-2
2．例题
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
例11-1 一端固定、另一端自由的细长压杆如图所示，试导出其临界力的 欧拉公式。 x F 解：1)边界条件 B d M A Fd 2 x 0 ： y 0 ， y ' 0 ， y " k d 失 EI EI 稳 x l：y d，y" M ( l ) 0 模 EI l 式 2)将边界条件代入统一微分方程的通解为 如 0 1 0 1 0 C 1 图 y k 0 1 0 0 C 2 A 2 2 C 0 k 0 0 k 3 0 MA=Fd F coskl l 1 1 C 4 sinkl 2 2 k sinkl k coskl 0 0 0 d
两端铰支
一端固定，另一端自由
m =1
m =2
m =0.7 m =0.5
一端固定，另一端铰支
两端固定
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
例11-4 图示钢架ABCD的A端为固定铰支，B、C点为滑动铰支，CD部分 上端受压力F，求该结构的稳定特征方程及临界力。 F D l A l C l x
d
y
2 9 200 10 p 100 6 20010
4)用柔度表示的临界压力 2 F EA
cr
2
§11-3
欧拉公式的使用范围 临界应力总图
二、中、小柔度杆的临界应力
压杆稳定
178第二十三章 压杆稳定一、 内容提要1、稳定的概念压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。
压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。
临界载荷：保持压杆稳定平衡时杆件所能承受的最大外力。
2、临界应力的计算大柔度杆（ ）中柔度杆（ ）小柔度杆（ ） 说明：(1)压杆的临界应力在稳定问题中相当于强度问题中的极限应力，是确定稳定许用应力的依据。
(2)一种材料的极限应力是由材料本身的性质决定的。
压杆的临界应力除决定于材料外，还与杆的柔度有关，(3)根据 的值判断压杆的类别（大柔度杆、中柔度杆或小柔度杆），选用相应的计算临界力的公式。
3、压杆的稳定计算压杆的稳定性条件其中 安全系数法折减系数法说明(1)与强度问题类似，稳定计算也存在三方面的问题：稳定校核、截面设计、计算许可载荷。
（2）杆件丧失稳定是一种整体性行为，横截面的局部削弱对稳定的临界应力影响不大，因此在稳定计算时采用横截面的毛面积。
二、 基本要求1. 明确稳定平衡、不稳定平衡和临界载荷的概念，理解两端铰支压杆临界载荷公式的推导过程。
2. 理解长度系数的力学意义，熟练掌握四种常见的约束形式下细长压杆的临界载荷的计算。
p s λλλ≤≤p λλ>s λλ<22λπσE cr =λσb a cr -=scr σσ=λ[]crA N σσ≤=[]w crcr n σσ=[][]σϕσ=cr1793. 明确压杆柔度、临界应力和临界应力总图的概念，熟练掌握大柔度、中柔度和小柔度三类压杆的判别方法及其临界载荷的计算和稳定性的校核方法。
4. 了解根据压杆稳定性条件设计杆件截面的折减系数法。
5. 了解提高压杆稳定性的主要措施。
三、 典型例题分析例1 三根圆截面压杆直径均为 ，材料为 钢， MPa b 12.1=)， ， ， , 两端均为铰支，长度分别为 且 , 试计算各杆的临界力。
解 （1）有关数据（2）计算各杆的临界力1杆 属大柔度杆2杆 属中柔度杆3杆属小柔度杆mm d 160=MPa E5102⨯=MPa p 200=σMPa s 240=σ,,,321l l l m l l l 542321===,304(MPa a =3A 2222210202.016.044mm d A -⨯==⨯==ππ45441022.316.06464md I -⨯=⨯==ππm d i 04.0416.04===1=μ10010200102611=⨯⨯==πσπλpp E5712.1240304=-=-=ba ss σλ10012504.05111=>=⨯==p il λμλKNl EIP cr 2540)(212==μπ5.6204.05.2122=⨯==il μλMPab a cr 2342=-=λσKNA P cr cr 46801021023426=⨯⨯⨯=⋅=-σ2.3104.025.1133=⨯==il μλ180例2 截面为 的矩形木柱，长 ， 。
第十一章 压杆稳定
第十一章压杆稳定本章主要介绍压杆稳定的概念、压杆的临界力与临界应力的计算及适用条件，并简介中长杆的临界应力计算的经验公式和临界应力总图以及提高压杆稳定的措施。
第一节压杆稳定的概念在前面讨论受压直杆的强度问题时，认为只要满足杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。
然而，在事实上，这个结论只适用于短粗压杆。
而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式却呈现出与强度问题截然不同的现象。
例如，一根长300mm的钢制直杆，其横截面的宽度和厚度分别为20mm和1mm，材料的抗压许用应力等于140MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为2800N。
但是实际上，在压力尚不到40N时，杆件就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。
显然，这不属于强度性质的问题，而属于下面即将讨论的压杆稳定的范畴。
为了说明问题，取如图11—1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。
当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图11—1a、b所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图11—1c、d所示，则原有的直线平衡状态为不稳定的平衡。
如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破获。
上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。
显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡，具有临界的性质，此时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示。
材料力学压杆稳定
材料力学压杆稳定材料力学是研究物质在外力作用下的形变和破坏规律的学科。
在材料力学中，压杆是一种常见的结构元素，它能够承受压缩力，用来支撑、传递和稳定结构的荷载。
压杆的稳定性是指在外力作用下，压杆不会发生失稳或破坏。
稳定性的分析对于设计和使用压杆结构具有重要意义，可以保证结构的安全可靠性。
本文将从材料的稳定性理论出发，探讨压杆稳定的原理和影响因素。
压杆的稳定性主要受到两种力的影响：压缩力和弯曲力。
压缩力使得杆件在长轴方向上缩短，而弯曲力使得杆件发生侧向的弯曲变形。
这两种力的作用会引起杆件在截面上的应力分布，当这些应力达到一定的极限时，杆件就会发生失稳或破坏。
为了保证压杆的稳定性，需要考虑以下几个因素：1.杆件的形状和尺寸：杆件的形状和尺寸是影响压杆稳定性的重要因素。
一般来说，杆件的截面形状应当是圆形或类圆形，这样能够均匀地分配应力，在承受压力时能够更好地抵抗失稳。
此外，杆件的直径或截面积也应当足够大，以提高材料的稳定性。
2.材料的性质：材料的性质对杆件的稳定性有着重要的影响。
一般来说，杆件所使用的材料应当具有足够的强度和刚度。
强度可以提供杆件抵抗失稳的能力，而刚度可以减小失稳时的弯曲变形。
此外，材料应当具有足够的韧性，以防止杆件发生断裂。
3.杆件的支撑条件：杆件的支撑条件也会对稳定性产生影响。
一般来说，杆件的两端应当进行良好的支撑，以减小弯曲变形和失稳的发生。
支撑条件可以通过适当的连接方式、支撑点的设置和钢结构的设计来实现。
4.外力的作用：外力的作用是导致杆件发生失稳的主要原因。
外力可以包括静力荷载、动力荷载和温度荷载等。
在设计和使用压杆结构时，需要对外力进行充分的分析和计算，确保结构在外力作用下能够稳定运行。
总之，压杆的稳定性是确保结构安全可靠性的重要因素。
在材料力学中，通过对压杆受力和形变规律的分析，可以找到保证压杆稳定的途径和措施。
合理选择杆件的形状和尺寸，使用适当的材料，提供良好的支撑条件，并进行准确的外力分析和计算，可以有效地提高压杆的稳定性，确保结构的安全运行。
工程力学压杆稳定ppt课件
解 （1）圆形截面
直径 惯性半径
D 4 A 4 90 3 0 .8 3 m 5 m 3.8 3 5 1 3 0 m
iI A
D D 4 2 //6 4 4 D 4 3.8 3 4 1 5 3 0 8 .4 1 6 3 0 m
柔度
l 11.2 142
i 8.461 03
P
E P
200190 9.93
200160
因为 14 2 P9.3 9，所以属细长压杆，用欧拉公式计算临界力
F cr 2 lE 2 I 2 20 1精0 9 选1 0 p6 p1 t课.2 件4 2 23 021.8 3 5 1 3 0 48.3 8 KN 35
（2） 正方形截面
截面边长 aA 90 3 0 0 1 3 0 m
p, crp cr22Ep.
2E p
p
2E p
cr
无效
（细长压杆临界柔度）
p
欧拉公式的适用围: p，
有效
cr
2E 2
称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢，E20G0P ,p a20M o 0.Pa p
l i
p
2 E 2200103 99 .35100
p
20精0选ppt课件2021
kln （n = 0、1、2、3……）
由 k2 Fcr 可 得 EI
Fcr
n2 2EI
l2
精选ppt课件2021
17
临界载荷:
Fcr
n2 2EI
l2
屈曲位移函数 :y(x)Asinnx
l
临界力 F c r 是微弯下的最小压 力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小
的轴弯曲。
最小临界载荷:
建筑力学 第11章 压杆稳定
第11章压杆稳定[内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。
本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。
11.1 压杆稳定的概念工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。
前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。
但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。
杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。
我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。
所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。
为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。
图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。
当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。
因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。
P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值crP时，杆件虽位置上保持平衡。
但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P=cr然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。
因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。
P=cr(a) (b) (c)图11-1 图11-2继续增大压力P ，当轴向压力P 略大于cr P 时，由于外界不可避免地给予压杆侧向的干扰作用（例如轻微的振动，初偏心存在，材料的不均匀性，杆件制作的误差等），该杆件将立即发生弯曲，甚至折断，从而杆件失去承载能力。
材料力学09(第十一章 压杆稳定问题)
2E E P P P
λP仅与材料有关。 对于Q235钢λP＝100。
可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：
P
当：i） p
cr 2 E 2
2E , P
细长杆，大柔度杆
a s , ii） p o b
中长杆，中柔度杆
l
l 2 x
x
B y
B y (b)
w A sin kx 0
失稳!!!
(a)
失稳的条件是： sin kl 0
kl n
Fcr l n EI
n 2 2 EI Fcr 2 l
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
F
F（较小） F（较小）
F（特殊值） F（特殊值）
Q Q
轴压 直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
稳定：
例2、L=1.5m (两端铰支)，d=55mm，A3钢（1=102，2 =56） E=210GPa，P=80KN，n=5，试校核此连杆稳定性。
2、计算Pcr（cr） 2E P A cr 2
解： 1、计算 I d i 13.75mm A 4 L 11.5 103 109 i 13.75 属大柔度杆。
不安全！
讨论： 2）、 若：
0.7 1.5 10 76.4 1 13.75
11压杆稳定
（2）若在x-z平面内 失稳，μ=0.5，柔度为：
y
L i
L Iz / A L Iy / A
1 700 73.7 6.5104 / 720
0.5 580 39.9 3.8 104 / 720
所以连杆将在x—y平面内失稳，其许用压力应由lz决定。
x
P
x
P
580700
580 L
y
y z
P
zP
(2)确定许用压力：
由表查得硅钢：a=578MPa，b=3.744MPa， s=353MPa，计算有关的p和s为：
p
2E
p
2 2.1105
93 240
s
a s
b
578 353 60 3.744
可见连杆为中柔度杆。其临界载荷为：
Pcr A(a b) 218 kN
由此得连杆的许用压力为：
[Pcr
]
Pcr [nw
w
Fyl Fcr
sin kx 4.49
coskx 1
x l
利用此方程还可以进一步求得该
压杆在上列临界力作用下挠曲线
上的拐点在 x = 0.3l 处(图b)。
(b)
试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆
的临界力公式。
P
P
M0
x
解：挠曲线近似微分方程为：
EIw'' M (x) Pw M 0
w Asin kx Bcoskx (b)
利用的边界条件：x=0，w=0 和 x=l，w=0。
即:
A A
0 sin
B kl
0 B cosk
l
0
0
1
0
sin kl coskl
eAAA压杆稳定
用这种方法进行压杆稳定计算时，必须计算压杆的临界荷载， 而合中为适查了的到计公。算式计Fcr算应。首其先中计稳算定压安杆全的系柔统度n，st可再在按设不计同手的册范或围规选范用
s P
(11-16)
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第二节压杆的临界力与临界应力
计算时，一般把柔度值介于 s 与 P之间的压杆称为中长杆或 中对柔于度柔杆度，小而 于把 s 柔的度短小粗于杆或s 的小压柔杆度称杆为，短其破粗坏杆则或是小因柔为度材杆料。 的抗压强度不足，如果将这类压杆也按照稳定问题进行处理， 则对塑性材料制成的压杆来说，可取临界应力 cr 。s
(二)其他支承形式细长压杆的临界力
以上讨论的是两端铰支的细长压杆的临界力计算。对于其 他支承形式的压杆，也可用同样方法导出其临界力的计算公 式。经验表明，具有相同挠曲线形状的压杆，其临界力计算 公式也相同。
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第二节压杆的临界力与临界应力
因此可将两端铰支约束压杆的挠曲线形状取为基本情况，而 将其他杆端约束条件下压杆的挠曲线形状与之进行对比，从
第十一章压杆稳定
第一节压杆稳定与压杆失稳破坏 第二节压杆的临界力与临界应力 第三节压杆的稳定计算 第四节提高压杆稳定性的措施
第一节压杆稳定与压杆失稳破坏
(2)当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到某一数值Fcr时，即 使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有 的直线平衡状态，如图11-1 (c) , (d)所示，则原有的直线平衡 状态为不稳定的平衡。如果力F继续增大，则杆继续弯曲， 产生显著的变形，甚至发生突然破坏。
(一)两端铰支细长杆的临界力
持设微两弯端平铰衡支状长态度，为如l图的1细1-长4所杆示，。在杆轴在向小压变力形F时cr的其作挠用曲下线保近 似微分方程为:
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（2）等边角钢∟45×6
z
y
45 6
y
z 45
(b)
28
Imin,2 38I z 3.89cm4 3.89104 mm4
(c)
图11.4
Fcr,2
2EI
l2
2 200103 MPa (3.89104 mm4 ) /1 0002 mm2
F cr
l/2
O
y 0
O
y
0
(a)
(b)
(b)
图11.2
§ 11—1 压杆稳定的概念
二、分叉点失稳和极值点失稳
2、极值点失稳
➢ FJ ——极值点荷载（GJK曲线顶 点所对应的荷载）
F
F
F
不稳定
FQ y
0
l/2
B'
B
A
稳定
D
C
E
A
JK
FD F cr FJ
F cr
l/2
G
O
y 0
O
y
0
(a)
(b)
(b)
第十一章
压杆稳定
内容提要
§ 11-1 § 11-2 § 11-3 § 11-4 § 11-5 § 11-6
压杆稳定的概念 两端铰支细长压杆的临界力 杆端约束的影响 临界应力曲线 压杆的稳定计算 提高压杆稳定性的措施
§ 11—1 压杆稳定的概念 一、理想压杆的稳定性
理想压杆——满足“轴心受压、均质、等截面直杆”假定 的一种抽象化的理想模型。
3、两端铰支压杆临界平衡时的挠曲线为一半波正 弦曲线
例11.1 用三号钢制成的细长杆件，长1m，截面是 8mm×20mm的矩形，两端为铰支座。材料的屈服极限 为 s 240 MPa，弹性模量E 210GPa ，试按强度观点和 稳定性观点分别计算其屈服荷载FS及临界荷载FCR，并 加以比较。
Fs As 820 mm2240MPa 38.4kN
代入方程得：
B=0
0 Asin kl
因为A不等于零（否则与微弯状态 相矛盾）
l
sin kl 0
kl n n 0,1,2,, n
k 2 n2 2
l2
n 0,1,2,, n
x
F cr
A
mm y x
B
F y cr
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导
F cr 2 k EI
k2
的位移为 y (x) 该截面的弯矩为
M (x) F cr yx
F cr
M (x) F cr yx
m
m
x
B
F cr
y
杆的挠曲线近似微分方程为
EIy" M (x) F cr yx
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 y
一、公式推导
F EIy" M (x) y cr
F cr
F M (x) y cr
是临界平衡或中性平衡，此时压杆上所作用的外力称为压杆的 临界力或临界荷载，用Fcr表示。
§ 11—1 压杆稳定的概念
二、分叉点失稳和极值点失稳
1、分叉点失稳
F
➢A点称为分叉点，Fcr又称为分叉点 荷载。OAC曲线所描写的失稳模型也 称为分叉点失稳。
F
F
不稳定
l/2
FQ y
0
B'
B
A
稳定
D
C
E
A
FD F cr
➢在无扰动（如微小横向干扰力）时，
F
理想压杆将只产生轴向压缩变形，而
且保持直线状态的平衡；
➢有微小横向干扰力时，理想压杆将
产生弯曲变形
FQ
FQ
l
➢其平衡状态有稳定和不稳定之分。
F FQ
F较小
F
(a)
F较小
(b)
当 F较小时，撤去横向干扰力FQ后，杆的轴线 将恢复其原来的直线平衡状态（图 b），则压杆在
m
m
F 令
cr 2
k EI
则有二阶常系数线性微分方程
x
B
F cr
y
y" k2 y 0
其通解为
y Asin kx B cos kx
A，B为待定常数，由该挠曲线的边界条件确定。
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导
y Asin kx B cos kx
边界条件： x = 0，y = 0 x = l ，y = 0
10
45 6
6
y z
z y
y
50 28
y
z 45
38
(a)
(b)
(c)
图11.4
例11.2 两端铰支的中心受压细长压杆，长1m，材料的 弹性模量E＝200GPa，考虑采用三种不同截面，如图 11.4所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。
解 （1）矩形截面
10
45 6
y
6
I min,1 I z
z
1 50 mm103 12
I min
1 2083 12
mm 4
853.3 mm 4
Fcr
2EI
l2
2 210 103 MPa853.3 mm 4
1 0002 mm 2
1.768 kN
Fcr : Fs 1.768 : 38.4 1: 21.72
例11.2 两端铰支的中心受压细长压杆，长1m，材料的 弹性模量E＝200GPa，考虑采用三种不同截面，如图 11.4所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。
n2 2
l2
n 0,1,2,, n
所以
Fcr
k 2 EI
n2 2 EI
l2
n 0,1,2,, n
n=0时Fcr＝0，矛盾，所以n取使Fcr不为零的最小值，即
n=1
Fcr
2 EI
l2
——欧拉公式
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导
Fcr
2 EI
l2
——欧拉公式
注意：
1、此公式是两端铰支压杆的临界力计算公式； 2、当压杆端部各个方向的约束相同时，I取为压杆 横截面的最小形心主惯性矩。
图11.2
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导
长为 l 的理想细长压杆，两端球形绞支，在临界力作用下处于 微弯平衡状态时
x
F cr
y(x)
A
F cr
l
mm
M (x) F cr yx
m
m
y x
B
x
B
F y cr
F cr
y
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 y(x)
一、公式推导 压杆任一 x 截面沿 y 方向
mm 3
z
4 166.6 mm 4y
y
50
Fcr,1
2Ey I l2
z 45
28 38
(a)
2
200
10
3(Mb) Pa
4
166.6
mm
4
Hale Waihona Puke /1(c)
000
2
mm
2
图11.4
8.255kN
例11.2 两端铰支的中心受压细长压杆，长1m，材料的 弹性模量E＝200GPa，考虑采用三种不同截面，如图 11.4所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。
直线形态下的平衡是 稳定平衡。
F FQ
F较小
F较大
F
F较小
F较大
(a)
(b)
(c)
当 F较大时，撤去横向力FQ后，压杆继续弯曲到 一个变形更显著的位置而平衡，则压杆在直线状态的
平衡是不稳定的。
F FQ
F较小
F较大
F Fcr
F
F较小
F较大
F Fcr
(a)
(b)
(c)
(d)
临界状态：当轴力F达到一定数值时，施加干扰力FQ后压杆将 在一个微弯状态保持平衡，而FQ去除后压杆既不能回到原来的 直线平衡状态，弯曲变形也不增大。则压杆在直线状态的平衡