常微分方程 第二章.

du( x, y) M ( x, y)dx N ( x, y)dy,
从而(1)为恰当方程。
这时, 取( x0 , y0 ) R, 则
u( x, y)
( x, y )
( x0 , y0 )
M ( x, y)dx N ( x, y)dy
y y0
M ( x, y0 )dx N ( x, y)dy,
---应熟记一些简单二元函数的全微分. 如
ydx xdy d ( xy),
ydx xdy x d ( ), 2 y y
ydx xdy y d ( ), 2 x x
ydx xdy x d (ln | |), xy y x ydx xdy d (arctan ), 2 2 y x y
§2.2
变量分离方程
一、 可分离变量的微分方程 一阶微分方程的形式： dy f ( x , y ) 或 y f ( x , y ) dx 可用分离变量法解的一阶方程的一般形式 dy (1) ( x ) ( y ) dx
具体解法
分离变量： 设 ( y ) 0
dy ( x )dx ( y)
0
(e x y)dx ( x 2 sin y)dy 0
是恰当方程,并求它的通解.
解: 这里M ( x, y) e y, N ( x, y) x 2sin y. N ( x, y ) M ( x, y) , 所以 1 x y 故所给方程是恰当方程.
x
由于所求函数 u( x, y)满足 u u x e y, x 2 sin y, x y
N ( x, y ) M ( x, y ) , 2 xy x y
故所给方程是恰当方程.
2
把方程重新“分项组合”得
2
cos x sin xdx ( xy dx x ydy) ydy 0,
即
1 2 d 1 x2 y2 d 1 y2 0, d sin x 2 2 2
dy 解 分离变量 sin xdx, sin y

csc y dy sin xdx
ln | csc y cot y | cos x C1 ,
y 1 cos y cos x C1 cos x C1 tan e 即 e 2 sin y y cos x tan Ce 是原方程的通解。 2
即应满足
(4)
u ( x, y ) M ( x, y )dx ( y ).
u u ( x, y ) M ( x, y )dx ( y ). N ( x, y), (6) y 这里 ( y)是y的任意可微函数 ,

d ( y ) N M ( x, y )dx 因此 dy y
下面选择 ( y),使u同时满足(6),即 u d ( y ) M ( x, y)dx N dy y y
(7 )
下面证明 (7)的右端与x无关, 即对x的偏导数常等于零 [ N M ( x, y )dx] 事实上 x y N [ M ( x, y )dx] x x y
( x, y )
u( x, y)
( 0, 0 )
x
M ( x, y)dx N ( x, y)dy
y
y
2 xdx 0 (sin x x 2e y 2)dy
M ( x,0)dx N ( x, y)dy
0 x 0
0 2
x y sin x x 2 (e y 1) 2 y. y sin x x 2e y 2 y. . 故通解为: y sin x x 2e y 2 y c, c为任常数
N ( x, y ) M ( x, y ) , 所以 12 xy x y
故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得
3x dx 4 y dy (6xy dx 6x ydy) 0
2 3 2 2
即
dx3 dy4 (3 y 2dx2 3x 2dy2 ) 0 d ( x y 3x y ) 0
第二章 初等积分法
§2.1 恰当方程
1 恰当方程的定义 u( x, y ), 使得 定义1 若有函数
du( x, y) M ( x, y)dx N ( x, y)dy
则称微分方程 M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0, 是恰当方程.
此时(1)的通解为 u( x, y ) c.
sin x x y y 4.
2 2 2 2
3 线积分法
定理1充分性的证明也可用如下方法: M ( x, y ) N ( x, y) 由于 , y x 由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:
M ( x, y)dx N ( x, y)dy为某函数u( x, y)的全微分，
即有函数u( x, y),使
故
M ( x, y ) N ( x, y) . y x
M ( x, y ) N ( x, y ) ， “充分性” 若 y x
则需构造函数 u( x, y),满足
du( x, y) M ( x, y)dx N ( x, y)dy,
u M ( x, y ), (5) x u N ( x, y), (6) y 从(5)出发, 把y看作参数, 解这个方程得
二、恰当方程的求解
1 不定积分法
10 判断M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0是否为恰当方程 , 若是进入下一步 .
20 求u ( x, y ) M ( x, y )dx ( y )，
u 3 由 N ( x, y )求 ( y ). y 例1 验证方程
x0
x
从而(1)的通解为

x
x0
M ( x, y0 )dx N ( x, y)dy c, c为任常数。
y0
y
例4 求解方程
( y cos x 2xe y )dx (sin x x 2e y 2)dy 0.
解: 由于M ( x, y) y cos x 2xey , N ( x, y) sin x x2e y 2,
1 2 1 2 2 1 2 d sin x d x y d y 0 2 2 2 或写成 d (sin2 x x 2 y 2 y 2 ) 0,
故通解为:
sin 2 x x 2 y 2 y 2 c,
由初始条件 y(0) 2, 得 c 4,
故所求的初值问题的解为:
由偏导数的定义 , 只要将y看作常数 , 将e x y对x积分得
u ( x, y ) (e y )dx ( y ) e yx ( y).
x
x
u( x, y) e yx ( y).
x
对u( x, y)关于y求偏导数, 得 ( y)应满足的方程为
两边同时关于 x 求不定积分：
dy( x ) ( y( x )) ( x )dx
写出通解：(结果含有一个任意常数)
( x) ( x) C
® 需要注意 ( y ) 的零点 y y0有可能
是方程的解，不可遗漏，见以下分析。
例1 解方程 y (sinx )(siny ) .
2 方程为恰当方程的充要条件 定理1 设函数M ( x, y)和N ( x, y)在一个矩形区
域R中连续且有连续的一阶 偏导数, 则方程
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0,
为恰当方程的充要条件是
(1)
(2).
M ( x, y ) N ( x, y ) , y x
证明 “必要性”设(1)是恰当方程, 则有函数u( x, y),使得
d ( y ) x x 2 sin y dy d ( y ) 2 sin y 即 dy
( y) 2 cos y, x 故 u( x, y) e yx 2 cos y.
积分后得: 从而方程的通解为
e yx 2 cos y c.
x
2 分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微 分的项分出来,再把余的项凑成全微分.
dy 1 y2 例2 求微分方程 的通解. 2 dx (1 x ) xy
解 分离变量 y dx 2 dy ( 1 y 0) 2 2 1 y x(1 x ) y dx dy 两边积分得 2 2 1 y x(1 x )
y 1 x x 1 y 2 dy x(1 x 2 ) dx
3 4 2 2
或写成
故通解为:
x y 3x y c, c为任常数 。
3 4 2 2
例3 验证方程
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(cosx sin x xy2 )dx y(1 x2 )dy 0,
是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.
解: 这里M ( x, y) cos x sin x xy2 , N ( x, y) y(1 x 2 ),
N N M [ M ( x, y )dx] 0. x y x x y
于是, (7)右端的确只含有 y, 积分之得
( y) [ N M ( x, y)dx]dy, y d ( y )
dy N M ( x, y )dx y
2 2
1 x y 1 y 2 dy x dx 1 x 2 dx
u u du( x, y ) dx dy M ( x, y)dx N ( x, y)dy x y u u N ( x, y ) M ( x, y ), 故有 y x 2 2 N u M u . 从而 , x xy y yx
2u 2u 2u 2u , 由于 和 都是连续的 , 从而有 yx xy yx xy
ydx xdy 1 x y d (ln ). 2 2 x y 2 x y
例2 求方程 (3x 2 6xy2 )dx (6x 2 y 4 y3 )dy 0 的通解. 解:
这里M ( x, y) 3x2 6xy 2 , N ( x, y) 6x2 y 4 y3 ,
N ( x, y ) M ( x, y ) y , cos x 2 xe x y
故所给方程是恰当方程.
由于M ( x, y), N ( x, y)在 全平面上连续 ,
故取( x0 , y0 ) (0,0),则
M ( x, y ) y cos x 2 xe
y
N ( x, y ) sin x x 2e y 2,
(1)
如 d ( xy) xdy ydx 0
d ( x 3 y xy2 ) (3x 2 y y 2 )dx ( x3 2xy)dy 0
d ( f ( x)d x g ( y )d y ) f ( x)dx g ( y)dy 0
是恰当方程.
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0, (1) 需考虑的问题 (1) 方程(1)是否为恰当方程? (2) 若(1)是恰当方程,怎样求解? (3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?
故
(7 )
u ( x, y ) M ( x, y )dx [ N M ( x, y)dx]dy, (8) y 即u( x, y)存在, 从而(1)为恰当方程 。
注:若(1)为恰当方程,则其通解为
M ( x, y)dx [ N y M ( x, y)dx]dy c, c为任常数