线性表示与线性相关
线性代数 第三章 线性方程组与向量的线性相关性
例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求
出全部解.
x1 3 x 2 3 x 3 2 （） 3 x1 x 2 2 x 3 3 1 4x 2x x 2 2 3 1 x1 x 2 x 3 3 x 4 2 （ ） x1 x 2 x 3 5 x4 4 2 4 x 4 x x 1 1 2 3
（c1 、c 2 为 任 意 常 数 ）
例2 解线性方程组
解：
1 1 3 2 1 2 1 2 1 1 6 3 1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 2 3 1 1 1 0 2
x1 x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 3 x1 x2 6 x3 3 2 x 2 x 3x 0 1 2 3
行 有解 B ( A b ) 行 阶 梯 形 矩 阵 行 最 简 形 矩 阵 行
行最简形矩阵非零行（r 行）的第一非零元取为固定未知量，剩余的未知量 取为自由未知量，令为 c1 , c 2 , c n r ，代回行最简形矩阵所表示的方程组 求出固定未知量，从而得到通解）
R ( 1 , 2 , n ) ( ) R ( 1 , 2 , n , )
例7
判 断 能 否 由 余 下 向 量 线 性 表 ？ 若 能 ， 给 出 表 示 式 出 .
T T T T
(1) (1,1,1) , 1 (0,1,1) , 2 (1,1,0) , 3 (1,0,2) ( 2) ( 2,2,0) , 1 ( 1,1,1) , 2 (1,1,2)
x1 1 1 x2 1 0 c1 c2 c11 c2 2 x 0 4 3 0 1 x 4 （c1 、c2为任意常数）
线性代数向量组的线性相关性习题课讲解
否则，称向量组α1 , α2 ,, αs线性无关（即只有k1 k2 ks 0才能使得上式成立）。
判断n维向量组 α1 , α2 ,, αs线性相关性的方法：
1、 比较矩阵A α1, α2 ,, αs 秩与向量个数s。 求出α1, α2 ,, αs 的秩 r,
（1）若 r s ，则向量组α1, α2 ,, αs线性相关。 （2）若 r s ，则向量组α1, α2 ,, αs线性无关。
Ax 0的一组基础解系，则Ax b的通解可表示为
定 理 ：向量组α1 , α2 ,, α（s s 2）线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个可由 其余向量线性表示。
定 理 ：设向量组α1 , α2 ,, αs线性无关，而向量组α1 , α2 ,, αs , β线性相关，则向量β可由 向量组α1 , α2 ,, αs表示，且表示式唯一。
定 理 ：若向量组α1 , α2 ,, αs线性相关，则向量组α1 , α2 ,, αs , αs1 ,, αt 线性相关； 反之，若向量组α1 , α2 ,, αs , αs1 ,, αt 线性无关，则向量组α1 , α2 ,, αs线性无关。
α a1, a2 ,, an ，β b1,b2,,bn ，k R
α β a1 b1, a2 b2 ,, an bn ， 负向量 α a1,a2,,an ， α β α ( β) a1 b1, a2 b2 ,, an bn ，
kα ka1, ka2,, kan 。
则称ξ1, ξ2 ,, ξs是Ax 0的一组基础解系。
定 理 ：如果n元齐次线性方程组Ax 0的系数矩阵A的秩R( A) r，
（1）若 r n，则Ax 0只有零解；
（2）若
r
n，则Ax
0有非零解，基础解系由n
《线性相关关系》课件
04
CATALOGUE
多元线性回归分析
多元线性回归模型
定义
多元线性回归模型是用来 描述因变量与两个或两个 以上的自变量之间的线性 关系的模型。
公式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
假设
误差项 ε 满足独立同分布 ，且均值为0，方差恒定。
最小二乘法估计参数
线性相关关系强调的是变量之间的关 联程度和变化趋势，而不是确定性的 数学关系；函数关系则强调变量之间 的确定性和规律性。在线性相关关系 中，两个变量的值可以相互影响，而 在函数关系中，一个变量的值是由另 一个变量的值确定的。
在某些情况下，线性相关关系可以转 化为函数关系，例如通过最小二乘法 拟合直线。但是，线性相关关系更广 泛，它可以包括非线性的情况，即两 个变量之间存在曲线或其他非线性关 系。
模型检验
在建立回归模型后，需要对模型进行检验，以确保其有效 性。常见的检验包括残差分析、回归系数检验和整体模型 显著性检验等。
预测
使用回归模型可以对未来的数据进行预测。通过将自变量 代入模型中，可以计算出对应的因变量的预测值。
注意事项
在使用回归模型进行预测时，需要考虑模型的适用范围和 局限性，以及数据的变化趋势和异常值对预测结果的影响 。
变量进行变换等。
05
CATALOGUE
线性相关关系的应用实例
经济学中的线性相关关系分析
总结词
在经济学中，线性相关关系被广泛应用于市场分析、经济预测和政策制定等方面。
详细描述
经济学家通过研究不同经济指标之间的线性相关关系，可以深入了解经济运行规律，预测未来经济趋势，为政策 制定提供科学依据。例如，研究国内生产总值（GDP）与失业率之间的关系，可以分析经济周期和政策效果。
空间向量的线性相关性
空间向量的线性相关性在线性代数中，空间向量的线性相关性是一个基本概念，它描述了多个向量之间是否存在线性关系。
了解空间向量的线性相关性对于理解向量空间的性质以及相关问题的研究具有重要意义。
本文将从理论和实际应用两个方面来探讨空间向量的线性相关性。
一、空间向量的线性相关性的定义和表示空间向量的线性相关性是指在一个向量集合中，是否存在不全为零的系数，使得这些向量的线性组合等于零向量。
如果存在这样的非零系数，那么这些向量就被称为线性相关的，否则它们被称为线性无关的。
在向量集合中，假设有n个向量，分别为其中，向量是维向量，是维向量。
若存在一组不全为零的实数使得向量方程组有解，那么向量组是线性相关的；否则，向量组是线性无关的。
线性相关与线性无关的概念可用矩阵的行列式来形式化表示。
设向量组中的向量均为维向量，可以将这些向量按列排成一个矩阵，则矩阵为若行列式等于零，则向量组线性相关；否则，向量组线性无关。
二、线性相关性的几何意义在几何空间中，空间向量的线性相关性也有一定的几何意义。
具体而言，假设向量集合中的向量个数为，若向量组中至少存在一个向量可以表示为其他向量的线性组合，则这些向量是线性相关的。
换言之，可以找到一条直线或一个平面将这些向量围起来。
相反，如果向量组中的所有向量都不能表示为其他向量的线性组合，那么这些向量就是线性无关的。
这意味着在几何空间中，这些向量没有共线或共面的关系，它们是空间中独立的。
三、空间向量的线性相关性与线性无关性之间的关系线性相关与线性无关是两个相对的概念，它们之间存在着明确的关系。
具体而言，对于一个向量组，如果它们是线性无关的，那么它们一定是线性相关的。
但是反过来不一定成立，即线性相关的向量组不一定是线性无关的。
在线性代数中，我们可以通过计算向量组的秩来确定它们的线性相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，那么向量组是线性无关的；若秩小于，则向量组是线性相关的。
四、空间向量的线性相关性的应用空间向量的线性相关性在实际问题中有广泛的应用。
第20节线性相关与线性表示关系
k1α1 + k2α2 + ⋯ + krαr = 0 成立.因而存在一组不全为0的数 k1, k2 ,⋯, kr , 0,0,⋯, 0
判别向量线性相关、线性无关的方法 (1) 定义法 令 k1α1 + k2α2 + ⋯ + ksαs = 0, 解出 k1 , k2 ,⋯, ks . 1) 如果 k1 = k2 = ⋯ = ks = 0,
则α1,α2 ,⋯,αs是线性无关的. 2) 如果k1, k2 ,⋯, ks至少有一个不为0(不全为0),
—— 线性相关与线性无关
对于向量组 α1,α2 ,⋯,αs，如果存在一组不 全为零的数 k1, k2 ,⋯, ks 使关系式
k1α1 + k2α2 + ⋯ + ksαs = 0 成立，则称向量组 α1,α2 ,⋯,αs 线性相关； 如果当且仅当 k1 = k2 = ⋯ = ks = 0时，才能使关 系式 k1α1 + k2α2 + ⋯ + ksαs = 0 成立，则称向量组 α1,α2 ,⋯,αs 线性无关；
则α1,α2 ,⋯,αs是线性相关的.
(2) 求秩法
<定理1> 对于 m维列向量组 α1,α2,⋯,αn，其中
a1 j
α
j
=
a2 j ⋮
,(
j
=
1, 2,⋯, n),
amj
则α1,α2,⋯,αn 线性相关的充分必要条件是：以
α1,α2,⋯,αn 为列向量的矩阵的秩小于向量的个 数 n.
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化.知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54：二次型及其矩阵表示知识点55：矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57：二次型的标准形知识点58：用正交变换化二次型为标准形知识点59：用配方法化二次型为标准形知识点60：正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
3.3 线性相关性
m维列向量线性无关的充要条件是，以 α 1 , α 2 , ⋯ , α n 维列向量线性无关 充要条件是 维列向量线性无关的 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数n。 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数 。 对于行向量组显然也成立。 对于行向量组显然也成立。
推论1 推论 设n 个n 维向量α j = ( a1 j , a 2 j , ⋯ , a nj )( j = 1,2, ⋯ , n)， 则向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n a11 a12 ⋯ a1n
例2
零向量是任何一组向量的线性组合。 零向量是任何一组向量的线性组合。 因为 0 = 0α1 + 0α2 +…+ 0αs.
例3
向量组α 中的任一向量α 向量组 1,α2,…,αs中的任一向量 j (1≤j≤s) 都是此向量组的线性组合。 都是此向量组的线性组合。 因为α 因为 j = 0α1 + 0α2 +…+1αj + … + 0αs.
判断向量β 例4 判断向量 1=(4,3,-1,11)与β2=(4,3,0,11) 与 是否各为向量组α 与 是否各为向量组 1=(1,2,-1,5)与 α2=(2,-1,1,1)的线性组合，若是，写出表达式。 的线性组合， 的线性组合 若是，写出表达式。 对矩阵(α 解：设k1α1+k2α2=β1，对矩阵 1T, α2T, β1 T) 施以初等行变换
2 4 1 2 4 1 1 2 − 1 3 0 − 5 − 5 0 → − 1 1 − 1 → 0 3 3 0 5 0 − 9 − 9 0 1 11 0 2 1 1 0 0 0 0
除零解x 除零解 1=x2=0外，还有非零解，如x1=2, x2=3。 外 还有非零解， 。
《线性代数》向量组的线性相关与线性无关
a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明： 再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
向量组的线性表示
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的维度必须与被表示向量的维度相同。
向量组线性表示的必要不充分条件
向量组长度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的长度（即向量的个数）必须大于等于向量的维数。
1
线性表示在数学、物理、工程等领域有广泛应用， 是解决实际问题的关键工具之一。
2
通过线性表示，我们可以更好地理解向量之间的 关系，进一步研究向量组的性质和特征。
3
在信号处理、图像处理、机器学习等领域，线性 表示被广泛应用于数据的分析和处理。
向量组线性表示的重要性
1
线性表示在数学、物理、工程等领域有广泛应用， 是解决实际问题的关键工具之一。
线性无关
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线 性无关，则该向量组不能线性表示一 个非零向量$mathbf{a}$。
向量组线性表示的必要不充分条件
向量组长度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的长度（即向量的个数）必须大于等于向量的维数。
向量与矩阵的定义
要点一
向量
一个n维向量是一个有序的n个实数的集合，通常表示为 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$。
要点二
矩阵
3线性代数线性相关性判定定理
01 2 2 3 0
所以线性相关
但 1 不能写成其余向量的线性组合
例3 假定 能用 1 , 2 , , m 表示为 k11 k2 2 km m
问向量组 1 , 2 , , m , 是否线性相关？
由定理1知 1 , 2 , , m , 线性相关
例8 设向量组 1 , 2 , 3 线性相关，向量组 2 , 3 , 4 线性无关，问
1能否由 2 , 3 线性表示？证明你的结论
解 能
因为 2 , 3 , 4 线性无关， 整体无关则部分无关
所以 2 , 3 线性无关 而 1 , 2 , 3 线性相关 由定理2， 1可唯一的由 2 , 3 线性表示
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1 即 1 能由其余向量线性表示.
定理1的逆否命题 向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性无关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m中任何一个向 量都不能由其余 m 1个向量线性表示．
两式相减有 1 1 1 2 2 2 r r r 0 ∵Ａ线性无关， 1 1 0, 2 2 0,r r 0
1 1 , 2 2 ,r r 即表达式唯一.
定理2的逆否命题 设向量组A： 1 , 2 , , r 线性无关，而向量β不能 由向量组A线性表示，则向量组B：1 , 2 , , r , 线性无关。
推论4 如果在m × n型矩阵A中有一个r阶子式
D0
，则含有D的r个行向量和r个列向量都线
性无关；如果A中所有r阶子式全等于零，则A的 任意r个行向量及任意r个列向量都线性相关。
第3章 线性方程组解法 第1节 向量与矩阵基础
A = (α1 ,α2 ,L,αm )
m 个n维行向量所组成 的向量组 β 1 , β 2 ,L β m ,
T T T
构成一个 m × n矩阵
β1T T β2 B= M T β m
线性方程组的向量表示
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 , LLLLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm .
3 5 3 例3 : 设向量组 α 1 = 2 ,α 2 = 4 ,α 3 = 1 , 0 − 1 t 问t取何值时 ,向量组线性无关 ; t取何值时 , 向量组线性相关 .
3
解：因为
5 4
3
α1 α 2 α 3 = 2
Ch4 向量空间
第一节 向量组的线性相关 与线性无关
一、向量、向量组与矩 阵 向量、 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定
四、向量组的线性相关 性质
五、线性表示、线性相 关以及 线性表示、 线性无关三者的关系
六、小节、思考题 小节、
一、向量、向量组与矩阵 向量、
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 维向量写成一行，称为行向量 行向量， 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 aT , bT ,αT , β T 等表示，如：
b11 b12 L b1n b21 b22 L b2 n （ c1 , c2 , L , cn ) = α 1 ,α 2 ,L ,α s ) （ M M M b bs 2 L bsn s1
线性代数__2[1].2向量组的线性相关性
![线性代数__2[1].2向量组的线性相关性](https://img.taocdn.com/s3/m/b9fe1714a2161479171128c3.png)
k 3 0 1 , 2 , 3 线性无关.
例3：设向量组1 , 2 ,, m 线性无关，且
1 2 m 证明向量组 1 , 2 ,， m 线性无关(m 1). 证 : 设k1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) k m ( m ) O
a , a , , a b , b , , a
m 1m 2m 1 2 n
nm
可由 ， ， ， 线性表示
1 2 m
存在一组实数k1 , k 2 , k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m
a1 m b1 a11 a12 a b a a 2 k 21 k 22 k 2 m 1 2 m bn a n1 a n 2 a nm a11k1 a12k 2 ...... a1m k m b1
问题： 零向量是任何向量组的线性组合，为什么？
1 0 0 0 5 0 1 0 0 , 1 , 2 , 3 , 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 有 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 即 =2 1 5 2 3 3 0 4 所以，称 是 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合， 或 可以由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示。
任一向量都可表示成单位坐标向量的线性组合
线性代数中的线性无关与线性相关
线性代数中的线性无关与线性相关线性代数是数学中一门重要的学科，它研究了向量空间和线性变换等概念。
而线性无关与线性相关则是线性代数中的基本概念之一，它们对于理解矩阵和向量的性质以及解决线性方程组等问题具有重要的作用。
一、线性无关线性无关是指若一个向量组中的向量不能用其他向量线性表示，则称该向量组线性无关。
具体来说，如果对于给定的向量组{v1, v2, ..., vn}，只有当线性组合a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0时，所有系数都为零才能使等式成立，那么这个向量组就是线性无关的。
判断一个向量组是否线性无关的充要条件是，该向量组的任意有限子集都是线性无关的。
线性无关的向量组具有以下重要性质：1. 构成向量组的向量个数不超过向量空间维数；2. 向量组的秩等于其向量的个数。
二、线性相关线性相关是指若一个向量组中的向量可以表示为其他向量的线性组合，则称该向量组线性相关。
换句话说，如果存在不全为零的系数a1, a2, ..., an，使得a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0成立，那么这个向量组就是线性相关的。
线性相关的向量组具有以下重要性质：1. 一个线性相关的向量组中至少存在一个向量可以通过其他向量的线性组合得到；2. 线性相关的向量组的秩小于其向量的个数。
三、线性无关与线性相关的关系线性无关和线性相关是线性代数中两个相对的概念。
它们之间具有以下关系：1. 若一个向量组是线性相关的，则这个向量组中的任意一个向量都可以被其他向量线性表示；2. 若一个向量组是线性无关的，则这个向量组中的任意一个向量都不能被其他向量线性表示。
通过判断一个向量组是线性相关还是线性无关，可以帮助我们理解多元线性方程组的性质和解的情况。
在研究线性代数问题时，我们通常要确定向量组的线性无关性，以决定方程组的解的唯一性和完备性。
四、线性无关与线性相关的应用线性无关与线性相关的概念在线性代数中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 解决线性方程组：通过判断系数矩阵的秩是否满秩，可以判断线性方程组是否有解以及解的唯一性；2. 确定向量空间的基：一个向量空间的基就是线性无关的最大向量组，在计算中常常需要确定向量空间的基来进行问题的求解；3. 特征值和特征向量的计算：计算特征值和特征向量涉及到矩阵的可逆性和对角化，而线性无关与线性相关的概念可以帮助我们理解和计算特征值和特征向量。
线性相关性的结论极大线性无关组
假设1,2 ,
,
线性相关.
m
则存在不全为零的数 k1, k2 , , km
使k11 k22 kmm 0. (1)
向量 可由 1,2 , ,m 线性表示.
有l11 l22 lmm , (2)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
(1) (2)
(k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m
2
0
0
( 3)
(1 2
2
)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
所以
1. 1and 3, R(1,2,3, ) R(1,2,3 ) 3,
向量 可由 1,2,3 唯一线性表示.
2. 0, R(1,2,3, ) R(1,2,3 ) 1 3; 向量 可由1,2 ,3 线性表示，但不唯一.
一、线性相关性的结论 二、极大线性无关组 三、向量组的线性表示与等价
一、线性相关性的结论
定理1 若向量组1,2 , ,m线性无关，而向量组
1,2, ,m , 线性相关，则 可由向量组
1,2 , ,m 唯一线性表示.
证明： 1,2 , ,m线性无关，则秩(1,2 , ,m )=m;
又 1,2 , ,m , 线性相关， 则秩(1,2 , ,m , )<m 1; 于是有 m=秩(1,2 , ,m ) 秩(1,2 , ,m , )<m 1; 秩(1,2 , ,m , )=m 秩(1,2 , ,m );
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
解：
1 1 1 0
因为
(1
,
2
பைடு நூலகம்
,
3
,
)
1 1
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研究生MOOC课程
第2讲 线性表示及基与坐标
工程应用数学基础
二、基与维数 定义4(基) 设 {1 ， 2， ， n }是线性空间V 中的一组线性
无关向量组，若对V 中任意向量 ，存在一组数：
x1，x2， ，xn
使得
x11 x22
xn n
称 V ( F ) 与 F (线性)同构
研究生MOOC课程
第2讲 线性表示及基与坐标
工程应用数学基础
四、过渡矩阵
设 , {1 , 2 , , n }
n 的两个基. { , , , } 是 V 1 2 n
1) 这两个基之间有什么关系? 2) 若已知向量 在基
第2讲 线性表示及基与坐标
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内容提纲
一. 线性表示 二. 基与维数
三. 向量的坐标
四. 过渡矩阵
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第2讲 线性表示及基与坐标
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一、线性表示 定义1(线性表示) 设 是线性空间V 中的向量，若存在V 中一 组向量{1， 2， ， n }，及一组数 k1，k2， ，kn F ，
x11 x22
记
xn n
T
x [ x1 ，x2， ，xn ]
称 x 为向量 在基 {1 ， 2， ， n } 下的坐标 .
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证明
三、向量的坐标 ， 2， ， n } 是线性空间Vn 中的基 因为{1
所以对Vn 中任意向量 ，由基的定义知，向量能被 线性表示
1，2， ，n
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三、向量的坐标
下证唯一性：
，y2， ，yn ，x2， ，xn 与 y1 若存在两组数： x1
使得 x11 x2 2
xn n yn n
a2 a4
22
a1 a2 a3 a4 0
1) 证明V是线性空间； 2) 求V 的维数与一个基 ；
1 3) 求向量 4
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3 在基 下的坐标. 2
第2讲 线性表示及基与坐标 1) 易验证V是一线性空间.
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a1 2) 因为 a3
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三、向量的坐标
由此解得
1 2 x1 ，x2 ，x3 2 3 3
所以多项式 p(t ) 2t t 1在基
2
下的坐标是
1 / 3 x 2 / 3 2
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写成矩阵形式:
P
p11 p 21 ,n} pn1
p12 p22 pn 2
p1n p2 n pnn
=
的过渡矩阵(变换矩阵).
称矩阵P为基
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到基
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四、过渡矩阵
过渡矩阵的性质： 1) 过渡矩阵 P 是满秩矩阵； 2) 若P 是基
由此得到方程组： 1 x1
3 x x x 1 2 3 x2 x3 4 x3 2
x3
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1 解得 4
1 3 2 在基 下的坐标 2 2 1 2 2
， 2， ， n }为V的 则称向量组 {1
基，称V 为n 维线性空间，记为Vn，线性 空间V 的维数记为 dim(V) n .
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二、基与维数
例 2 证明: 1) 当数域 F 为实数域，线性空间 2) 当数域 F 为复数域，线性空间 证明 1) 当数域 F 为实数域，则 可知 ， {1 ， i 是2维的； 是1维的.
证明向量线性无 关的主要方法
x11 x22
xn 0
， 2， ， n } 线性相关的充要条件是： 2) {1 {1 ， 2， ， n }中某个向量能被其余的向量线性表示；
3) 单个零向量线性相关， 单个非零向量线性无关；
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x1，x2， ，xn
使得
x11 x22
xnn O
， 2， ， n } 则称向量组 {1
线性相关.
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一、线性表示 定义3(线性无关) 设 {1 ， 2， ， n }是线性空间V 中的
一组向量，若对任意一组不全为0的数：
( xn yn )n O
y11 y2 2
则有
( x1 y1)1 ( x2 y2 )2
故有
x1 y1，x2 y2， ，xn yn
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三、向量的坐标
{1，2， ，n } 下的坐标为 设 Vn 在基
下的坐标为x，
那么向量在基
下的坐标是多少?
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四、过渡矩阵
设 , {1 , 2 , , n }
中每个向量 n 的两个基. { , , , } 是 V 1 2 n
对基
i，可以求出其在基
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一、线性表示
则有
x11 x2 (1 2 ) x3 (1 2 3 ) O
即有
( x1 x2 x3 )1 ( x2 x3 )2 x33 O
由 {1， 2，3} 是线性无关向量组，得到
x1 x2 x3 0
下的坐标，设为
n
P i [ pi1
写成向量形式:
i =
pi 2
Pi
pin ] F
T
，i = 1，2，…，n.
记
P [P 1
P 2
P n]
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四、过渡矩阵
由此得到
{1 , 2 ,
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, n } {1 , 2 ,
1 即有 4
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3 2
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存在 V ( F ) F 的一一映射
n n
x1 n n V ( F ) x F xn
若
n
x，
n
y ，则有
k kx
x y
注：
一、线性表示
， 2， ， n }线性无关，则其部分向量组成的 4) 若 {1
向量组也是线性无关；
5) 若向量组{1， 2， ， n } 中部分向量组成的向量组
{i1，i2， ，im }
线性相关，则原向量组
{1， 2， ， n }
也线性相关
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使得
k11 k22
knn
， 2， ， n } 则称向量 能被向量组{1
线性表示，或线性表出.
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一、线性表示 定义2(线性相关) 设 {1 ， 2， ， n }是线性空间V 中的
一组向量，若存在一组不全为0的数：
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一、线性表示
例 1 设 {1，2，3 } 是线性空间 V 中的线性无关向量组
2 1 2 ， 3 1 2 3 令 1 1，
3 线性无关. 证明向量 1，2，
证明 设数 x1，x2，x3 使得
x11 x2 2 x3 3 O
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a2 V 的充要条件是满足下方程组： a4
a1 a2 a3 a4 0
a1 a 2 0 1 1 1 1 a3 a4
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第2讲 线性表示及基与坐标 其系数矩阵的秩为1，求得其基础解系为
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1 1 0 1 1 1 A1 ，A2 ，A3 0 0 1 0 1 1
( x1 x2 x3 )1 ( x2 x3 )2 x33 ，x2 1 ，x3 3 即有 x1 1
1 1 x 所求坐标为 3
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第2讲 线性表示及基与坐标 例 5 记
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a1 V a3
到基 的过渡矩阵，则
P -1 是基
x，
到基
的过渡矩阵；
3) 若向量 在基 则向量在基
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下的坐标为x，即
-1x 下的坐标是 : y P
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四、过渡矩阵
x1，x2， ，xn
均有
x11 x22
线性无关.
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xn n O
， 2， ， n } 则称向量组 {1
第2讲 线性表示及基与坐标
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注：
一、线性表示
xnn O
， 2， ， n } 线性无关的充要条件是： 1) {1
x1 x2