线性表示与线性相关

是实线性空间 一个基
1} 是
事实上，对任意的实数 x1, x2
x1 1 x2 i 0 x1 x2 0
即{1 ， i
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1} 线性无关
第2讲 线性表示及基与坐标
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二、基与维数
另外对
a bi，a，b 上任意向量：
1} 是
一个基，即 是2维的线性空间.
第2讲 线性表示及基与坐标
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内容提纲
一. 线性表示 二. 基与维数
三. 向量的坐标
四. 过渡矩阵
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第2讲 线性表示及基与坐标
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一、线性表示 定义1(线性表示) 设 是线性空间V 中的向量，若存在V 中一 组向量{1， 2， ， n }，及一组数 k1，k2， ，kn F ，
注：
一、线性表示
， 2， ， n }线性无关，则其部分向量组成的 4) 若 {1
向量组也是线性无关；
5) 若向量组{1， 2， ， n } 中部分向量组成的向量组
{i1，i2， ，im }
线性相关，则原向量组
{1， 2， ， n }
也线性相关
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第2讲 线性表示及基与坐标
所以向量 1，2，3 线性无关.
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第2讲 线性表示及Baidu Nhomakorabea与坐标
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二、基与维数 定义4(基) 设 {1 ， 2， ， n }是线性空间V 中的一组线性
无关向量组，若对V 中任意向量 ，存在一组数：
x1，x2， ，xn
使得
x11 x22
xn n
a2 V 的充要条件是满足下方程组： a4
a1 a2 a3 a4 0
a1 a 2 0 1 1 1 1 a3 a4
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第2讲 线性表示及基与坐标 其系数矩阵的秩为1，求得其基础解系为
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1 1 0 1 1 1 A1 ，A2 ，A3 0 0 1 0 1 1
所以V的维数为3，一个基为
1 1 0 1 1 1 = A1 ，A2 ，A3 0 0 1 0 1 1
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1 3) 设 4
3 在基 下的坐标为 x1，x2，x3，则有 2 1 3 4 2 x1 A1 x2 A2 x3 A3
( x1 x2 x3 )1 ( x2 x3 )2 x33 ，x2 1 ，x3 3 即有 x1 1
1 1 x 所求坐标为 3
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第2讲 线性表示及基与坐标 例 5 记
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a1 V a3
下的坐标，设为
n
P i [ pi1
写成向量形式:
i =
pi 2
Pi
pin ] F
T
，i = 1，2，…，n.
记
P [P 1
P 2
P n]
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四、过渡矩阵
由此得到
{1 , 2 ,
, n } {1 , 2 ,
所以对Vn 中任意向量 ，由基的定义知，向量能被 线性表示
1，2， ，n
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三、向量的坐标
下证唯一性：
，y2， ，yn ，x2， ，xn 与 y1 若存在两组数： x1
使得 x11 x2 2
xn n yn n
a2 a4
22
a1 a2 a3 a4 0
1) 证明V是线性空间； 2) 求V 的维数与一个基 ；
1 3) 求向量 4
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3 在基 下的坐标. 2
第2讲 线性表示及基与坐标 1) 易验证V是一线性空间.
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a1 2) 因为 a3
写成矩阵形式:

P
p11 p 21 ,n} pn1
p12 p22 pn 2
p1n p2 n pnn
=
的过渡矩阵(变换矩阵).
称矩阵P为基
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到基
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四、过渡矩阵
过渡矩阵的性质： 1) 过渡矩阵 P 是满秩矩阵； 2) 若P 是基
三、向量的坐标
例 4 设线性空间V 的基
{1，2，3 }
2 1 2 ， 3 1 2 3 令 1 1，
求向量 1 22 33 在基 {1，2，3 }下的坐标. 解 设向量 1 22 33 在基 {1，2，3 }下的坐标为
2
2 p ( t ) 2 t t 1在基 下的坐标 求多项式
解
设 p(t ) 2t t 1在基
2
{t 1 ，t 2，t } 下的坐标为
2
x1 ，x2，x3
则有
2t t 1 x1(t 1) x2 (t 2) x3t
2
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2
第2讲 线性表示及基与坐标
使得
k11 k22
knn
， 2， ， n } 则称向量 能被向量组{1
线性表示，或线性表出.
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一、线性表示 定义2(线性相关) 设 {1 ， 2， ， n }是线性空间V 中的
一组向量，若存在一组不全为0的数：
x1，x2， ，xn
使得
x11 x22
xnn O
， 2， ， n } 则称向量组 {1
线性相关.
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一、线性表示 定义3(线性无关) 设 {1 ， 2， ， n }是线性空间V 中的
一组向量，若对任意一组不全为0的数：
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一、线性表示
则有
x11 x2 (1 2 ) x3 (1 2 3 ) O
即有
( x1 x2 x3 )1 ( x2 x3 )2 x33 O
由 {1， 2，3} 是线性无关向量组，得到
x1 x2 x3 0
x11 x22
记
xn n
T
x [ x1 ，x2， ，xn ]
称 x 为向量 在基 {1 ， 2， ， n } 下的坐标 .
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证明
三、向量的坐标 ， 2， ， n } 是线性空间Vn 中的基 因为{1
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一、线性表示
例 1 设 {1，2，3 } 是线性空间 V 中的线性无关向量组
2 1 2 ， 3 1 2 3 令 1 1，
3 线性无关. 证明向量 1，2，
证明 设数 x1，x2，x3 使得
x11 x2 2 x3 3 O
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均能被向量 1，i 线性表示
所以 {1 ， i
2) 当数域 F 为复数域，则 易知 ， {1}是 一个基
是复线性空间
即
是1维的.
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三、向量的坐标 定理1 设 {1，2， ，n } 是线性空间Vn 中的基，则对Vn 中
任意向量 ，有唯一的线性表示：
下的坐标为x，
那么向量在基
下的坐标是多少?
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四、过渡矩阵
设 , {1 , 2 , , n }
中每个向量 n 的两个基. { , , , } 是 V 1 2 n
对基
i，可以求出其在基
到基 的过渡矩阵，则
P -1 是基
x，
到基
的过渡矩阵；
3) 若向量 在基 则向量在基
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下的坐标为x，即
-1x 下的坐标是 : y P
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四、过渡矩阵
1 即有 4
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3 2
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存在 V ( F ) F 的一一映射
n n
x1 n n V ( F ) x F xn
若
n
x，
n
y ，则有
k kx
x y
证明向量线性无 关的主要方法
x11 x22
xn 0
， 2， ， n } 线性相关的充要条件是： 2) {1 {1 ， 2， ， n }中某个向量能被其余的向量线性表示；
3) 单个零向量线性相关， 单个非零向量线性无关；
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称 V ( F ) 与 F (线性)同构
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四、过渡矩阵
设 , {1 , 2 , , n }
n 的两个基. { , , , } 是 V 1 2 n
1) 这两个基之间有什么关系? 2) 若已知向量 在基
x1，x2， ，xn
均有
x11 x22
线性无关.
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xn n O
， 2， ， n } 则称向量组 {1
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注：
一、线性表示
xnn O
， 2， ， n } 线性无关的充要条件是： 1) {1
x1 x2
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三、向量的坐标
由此解得
1 2 x1 ，x2 ，x3 2 3 3
所以多项式 p(t ) 2t t 1在基
2
下的坐标是
1 / 3 x 2 / 3 2
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x [ x1，x2， ，xn ]
记 则有
T
{1， 2， ， n }
按矩阵和向量 乘法运算法则
x11 x22
xnn
x
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三、向量的坐标
例 3 取 P2 (t ) 的基
{t 1 ，t 2，t }
由此得到方程组： 1 x1
3 x x x 1 2 3 x2 x3 4 x3 2
x3
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1 解得 4
1 3 2 在基 下的坐标 2 2 1 2 2
， 2， ， n }为V的 则称向量组 {1
基，称V 为n 维线性空间，记为Vn，线性 空间V 的维数记为 dim(V) n .
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二、基与维数
例 2 证明: 1) 当数域 F 为实数域，线性空间 2) 当数域 F 为复数域，线性空间 证明 1) 当数域 F 为实数域，则 可知 ， {1 ， i 是2维的； 是1维的.
x1 ，x2， x3
则有
1 22 33 x 1 1 x 2 2 x 3 3
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三、向量的坐标
由此有
1 22 33 x11 x2 (1 2 ) x3 (1 2 3 )
( xn yn )n O
y11 y2 2
则有
( x1 y1)1 ( x2 y2 )2
故有
x1 y1，x2 y2， ，xn yn
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三、向量的坐标
{1，2， ，n } 下的坐标为 设 Vn 在基