因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)

因式分解方法归纳总结
第一部分：方法介绍
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.
、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)
、运用公式法.
(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);
, 2 2, 2 2 , 2,2
(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);
(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);
2 2、3
3 3 3 2 2、
(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).
F面再补充两个常用的公式：
(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;
3,3 3 2,2 2
(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);
例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()
(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,
A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 2
2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca
(a b)2 2 2
(b c) (c a)
三、，分组分解法
例 2、分解因式：2ax 10ay 5by
解法一：第、二项为一组；
第三、四项为一组。

解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)
= 2a(x 5y) b(x 5y)
=(x 5y)(2a b)
bx
解法二：第一、四项为一组；第
二、三项为一组。

原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)
5y(2a b) =(2a b)(x 5y)
练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1
例3、分解因式：x2 y2 ax ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式= (x2
=(x
=(x
y2) (ax ay)
y)(x
y)(x
y) a(x y a) y)
例4、分解因式： 2 a 2ab b2 2 c
解：原式=
(a2
；2ab b2)
2 c =(a 2 2
b) c
=(a b c)(a b c)
练习：分解因式3、:x2 x 9y23y 2
4、x 2
y 2 z 2yz
综合练习：(1) 3 x 2 2
x y xy 3 y 2
(2) ax bx2bx ax a b
(3) x2 6xy 9y 216a28a 1 (4) a26ab 12b 9b24a
(5) a4 2a3 2 a 9 2
(6) 4a x 4a2>
y b2x b2y
2 (7) x 2xy xz 2
yz y 2
(8) a 2a b 2 , 2b 2ab 1
(9) y(y 2) (m 1)( m 1) (10) (a c)(a c) b(b 2 a) (11) a2 (b c) b2(a c) c2(a > b) 3
2abc (12)a b3 3 c 3abc
四、十字相乘法•
(一)二次项系数为1的二次三项式
2
直接利用公式x (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。

特点：(1)二次项系数是1 ；
(2)常数项是两个数的乘积；
(3)—次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知O v a < 5，且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.
解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c ,都要求b2 4ac >0而且是一个完全平方数。

于是9 8a为完全平方数，a 1
例8分解因式：a 2 8ab 128b 2
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相
乘法进行分解。

1 1
-16b
8b+(-16b)= -8b~
解：a 2 8ab 128b 2=a 2
[8b ( 16b)]a 8b ( 16b)
=(a 8b)(a
16b)
练习 8 分解因式(1) x 2 3xy 2y 2(2) m 2 6mn 8n 2(3) a 2 ab 6b 2
五、换元法。

例 13、分解因式(1)2005x 2 (20052 1)x 2005
2
(2)(x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x
2 2
解：(1 )设 2005= a ，则原式=ax (a 1)x a
=(ax 1)(x a) = (2005x 1)(x
2005)
(2)型如abcd e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

(3) (x y)2
3(x y)
10
(4)(a b)2 4a 4b 3
(5) 2 2
x y 5x 2 y 6x 2
(6) m 2 4mn
4n 2 3m
6n 2
(7)
2 x 4xy 4y 2 2x 4
y
3( 8) 5(a b)2
23(a 2 b 2) 1 I0(a b)2
(9) 4x 2
4xy 6x 3y
2
y
10( 10) 2
12(x y) 11(x 2 y 2) 2(x
y)2
思考: 分解1 因式： 2
abcx
(a 2b 2
c 2 )x abc
1 7x 3
2
11xy 15y
综合练习10、( 1)8x 6
2
(2) 12x (四)二次项系数不为
1 例 9、2x
2 7xy
1
创
2 ”^-3y (-3y)+(-4y)= -7y
解:原式=(x 2y)(2x
练习9、分解因式：(1)
的齐次多项式
6y 2
3y)
15x 2
7xy 例 10、x 2 y 2 3xy 2
把xy 看作一个整体
1-1
1^^" -2
(-1)+(-2)= -3 解:原式= (xy 1)(xy 2)
2 2
x 6ax 8
4y 2
(2) a
2 2 2
原式=(x 7x 6)(x 5x 6) x 设x25x 6 A,则x27x 6 A 2x
•原式:=(A 2x )A x2= A 2 2 Ax x2
=(A x)2=(x 2 6x 6)2
练习13、分解因式（1)(x2xy y2)2 4xy(x2y 2)
(2)(x23x 2)(4x2 8x 3) 90
(3)(a21)2(a25)24( 2 a 3)2
例14、分解因式（1）2x4 x3 6x2 x
观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1, 并且系数成“轴对称”。

这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解:
原式=x2(2x2x 6 -
1
2
)=x22(x2
1
2
) (x -)6
x x x x 设x 1 t,则x2
1
2
t2 2
x x
•原
式
2
=x 2(t22) t 6 2 =x 2t2t 10
2
2t - 2 -
2 1
2
=x 5 t 2 = x 2x 5 x
x x
=x ' •2x 2 5 x - x 1 2 = 2x25x 2 2 x 2x 1 x x
=(x 1)2(2x 1)(x 2)
(2) x 4 4x3x24x 1
解
:原式
2
=x (x24x
1 - \)-
2 =x 2 x
1
2
4 x丄1
x x x x
设x 1 y，则
x：
2 1
2
2
y 2
2
x x
2 2 2
•••原式=x (y 4y 3)= x (y 1)(y 3)
= x2(x -
x 1)( x 1 2 2
3)= x2 x 1 x2 3x 1 x
练习14、（1）
6x47x336x27x 6 (2) 4 x 2x3x2 1 2(x x2)
2
对比左右两边相同项的系数可得
m n 1
3n 2m 13，解得
六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1） x 3 3x 2
4
解法 1 — 拆项。

解法2 - 添项。

原式 =x 3 1 3x 2 3
原式=x
3x 2 4x
4x 4 = (x 1)( x 2 x
1)
3(x 1)(x 1)
=x(
x 2 3x 4) (4x 4)
= (x 1)(x 2 x 1 : 3x 3)
=x(x 1)(x 4) 4( x 1)
= (x
1)( x 2 4x :4)
=(x 1)( x 2 4x 4)
= (x 1)(x 2)2
=(x
1)(x 2)2
(2) 9 x
x 6 x 3 3
解:
原式= (x 9 1) (x 6
1) (x 3
1)
=
(x 3 1)(x 6 x 3 1) (x 3 1)(x 3
1) (x 3 1)
= (x 3 1)( x 6 x 3
1 x 3
1 1)
= (x
1)(x 2
x 1)(x 6
2x 3
3)
练习 15
、 分解因式
(1) 3 x
9x 8
(2) (x 1)4
(x 2 1)2 (x 1)
4
(3) x 4
7x 2 1
(4) x 4
x 2
2 ax 1 a 2
(5) 4 x 4 y (x
y)4
(6) 2a 2b 2
2a 2 c 2 2b 2c 2
a 4
b 4
c 4
七、待定系数法。

例16、分解因式X xy 6y 2 x 13y 6
分析：原式的前3项x 2 xy 6y 2可以分为(x 3y)(x 2y)，则原多项式
必定可分为(x 3y m)(x 2y n)
解：设 x 2 xy 6y 2 x 13y 6 = (x 3y m)(x 2y n)
••• (x 3y m)(x 2y n) = x xy 6y (m n)x (3n 2m) y mn
2
xy 6y (m n)x (3n 2m) y mn
2
x xy
2 2
6y x 13y 6 = x
例17、(1)当m为何值时，多项式x2 y2 mx 5y 6能分解因式，并分解此多项式。

(2)如果x3 ax2 bx 8有两个因式为x 1和x 2，求a b的值。

(1)分析：前两项可以分解为(x y)(x y)，故此多项式分解的形式必
为(x y a)(x y b)
解：设x2 2
y mx 5y 6 =(x y a)(x y b)
则x2 2
y mx 5y 6 2 =x 2
y (a b)x (b a) y ab
a b m a 2 a 2
比较对应的系数可得： b a 5 ,解得： b 3或 b 3
ab 6 m 1 m 1
.•.当m 1时，原多
项页式可以分解；
当m 1时，原式= (x y 2)(x y 3)；当m 1时，原式=(x y 2)(x y 3)
(2)分析：x3ax2 bx 8是一个二次
式，
所以它
丿
应该分成三个一次式相
乘，
因此第三个因式必为形「如x c的一次二项
式。

解：设x 3 2 .
ax bx 8 = (x 1)(x 2)
( :x c)
则x 3 2 .
ax bx 8=x3(3 c )x2(2 3c)x 2 c
a 3 c a 7
.b 2 3c 解得 b 14 ,
2c 8 c 4
.a b =21
练习 17、(1):分解因式x2；3xy 10y2x 9y 2
(2)分解因式x2 3xy 2y25x 7y 6
(3)已知：x22xy 3y2 6x 14y p能分解成两个一次因式
之积，求常数p并且分解因式。

(4) k为何值时，x2 2xy ky2 3x 5y 2能分解成两个一次因式的乘积，并
分解此多项式。

第二部分：习题大全
经典一:
1、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式。

（1） X21 x 1 x 1
⑵ X4 1 X2 1 X 1 X 1
⑶ X8 1 X4 1 X2 1 X 1 X 1
⑷ X161 X81 X41 X21 X 1 X 1
⑸__________________________________________________
经典一：
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幕的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首
先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的内容。

1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式x5x4x3x2X 1
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把
x5x4x3和x2x 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取
公因式后，再进一步分解；也可把x5x4，x3x2，x 1分别看成一组,
此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：原式(x5x4x3) (x2x 1)
3 2 2
x (x x 1) (x x 1)
3 2
(x 1)(x x 1)
(x 1)(x2x 1)(x2x 1)
解二：原式=(x5x4) (x3x2) (x 1)
x4(x 1) x2(x 1) (x 1)
(x 1)(x4x 1)
(x 1)[(x42x21) x2]
(x 1)(x2x 1)(x2x 1)
2. 通过变形达到分解的目的
例1.分解因式x33x2 4
解一：将3x2拆成2x2x2，则有
原式x32x2(x24)
2
x(x 2) (x 2)(x 2)
(x 2)(x2x 2) (x 1)(x 2)2
解二：将常数4拆成1 3，则有
原式x3 1 (3x23)
2
(x 1)(x2x 1) (x 1)(3x 3)
2
(x 1)(x 4x 4) (x 1)(x 2)2
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式(x24)(x210x 21) 100的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。

本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：(x24)(x210x 21) 100
(x 2)(x 2)(x 3)(x 7) 100
(x 2)(x 7)(x 2)( x 3) 100
(x25x 14)(x25x 6) 100
设y x25x ,则
原式(y 14)(y 6) 100 y28y 16 (y 4)2
无论y取何值都有(y 4)20
(x24)(x210x 21) 100的值一定是非负数
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：(a 2b c)3(a b)3(b c)3
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b, b+c与a+2b+c
的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：设a+b=A, b+c=B, a+2b+c=A+B
原式(A B)3A3B3
A33A2B 3AB2B3A B3
2 2
3A B 3AB
3AB (A B)
3( a b)(b c)(a 2b c)
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨
例1.在ABC中，三边a,b,c 满足a216b2
求证：a c 2b
证明：a216b2c26ab 10bc 0
a26ab 9 b2c210bc 25b20
即(a 3b)2(c 5b)20
(a 8b c)(a 2b c) 0 a b c
a 8
b c,即a 8b
c 0
于是有a 2b c 0
即 a c 2b
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

例2. 已知：x 1 2,则x3 1
~3
x x
解: 3
1
x 3 (x 1) <x2 1
1
)
x x x
c26ab 10bc 0
2 2
(a a 1)(x 1)[(x 丄)2 2 1] x x
2 1
2
1 1 o
说明：利用X2-- (x —)22等式化繁为易。

x2x
题型展示
1.若x为任意整数，求证：(7 x)(3 x)(4 x )的值不大于100。

解：(7 x)(3 x)(4 x2) 100
(x 7)(x 2)(x 3)(x 2) 100
(x25x 14)(x 25x 6) 100
[(x25x) 8(x2!5x) 16]
(x25x 4)20
(7 x)(3 x)(4 x2) 100
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。

一个多项式的值不大
于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形
成完全平方是一种常用的方法。

2. 将a2(a 1)2(a2a)2分解因式，并用分解结果计算6272422。

解:a2(a1)2(a2a)2
a2a22a 1 (a2a)2
2(a2a) 1 (a2a)2
6272422(36 6 1)24321849
说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟
1.分解因式：
（1）
3x 5 10x 4 8x 3 3x 2 10x 8 （2）
(a 2
3a 3)(a 2 3a 1) 5 （3
）
2 x 2xy 3y 2
3x 5y
2
（4）
3 x 7x 6
2.已知： x y 6,
xy
1，求： x 3 y 3的值。

3. 矩形的周长是28cm 两边x,y 使x 3 x 2y xy 2 积。

4.
求证：n 3 5n 是6的倍数。

（其中n 为整数）
5 已知： a 、 b 、 c 是非
2 2 2 1 1 1 1 1 1 亠 a
2
b 2
c 2
1, a( ) b( ) c( ) 3，求
be c a a b
3
y o ，求矩形的面
零实数，且 a+b+c 的值。

6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a3b2c2和4a2b2的大小。

经典三：因式分解练习题精选
一、填空：(30分)
m n / 2 2 2 4.
4、右x y =(x y )(x y )(x y )，贝U m= ________________ ，n= _______
2 3 5
5、在多项式3y ?5y 15y中，可以用平方差公式分解因式的
有__________________________ ，其结果是_________________________ 。

2
6、若x 2(m 3)x 16是完全平方式，则m= ____________。

7、x2( ____ )x 2 (x 2)(x ___________ )
&已知1 x x x x 0,则x _____________________ .
2
3
15、方程x 4x 0，的解是。

9、若16(a b) M 25是完全平方式M= _______________ 。

15、方程x 4x 0，的解是。

、选择题：（10分）
1、多项式a（a x）（x b) ab(a x）（b x）的公因式是（）
A、一a、
B、a（a x)(x b)
C
、
a(a x) D、a(x a)
2
2、若mx kx 9 (2x
2
3），则m， k的值分别是（）
A、m= 2, k=6 ,
B、m=2 , k=12 ,
C、m=—4，k= —
12、
D m=4，
k=12、
2 2
3、下列名式：x y , 2 2
x y , 2 x y2,( x)2( y) 2,x4 y4中能用平方差公
式分解因式的有（
）
A、1 个，
B、2 个，
C、 3 个，
D、 4个
1 1 4、计算(12)(1 3 )(1右)(1 1
2）的值是（
）
2 3 9 10
丄C丄2
20 10 20
三、分解因式：（30分）
4 3 2
1、X4 2x335x2
6^2
2 、 3x 3x
3、25(x 2y)24(2y x)2
2 2
4、x 4xy 1 4y
5
5、x x
6、x 3 1
7、 2 ax bx 2 bx ax b a
8、 4 x 18x 2 81
9、 9x 4 36 y 2
10、(
x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24
五、计算： (15) (1) 0.75 3.66 3 2.66 4 2001 2000 /、 1
1
（2） 2 2
2 (3) 2 56 8 56 2
22 2 44 六、试说明：（8分） 2 1、对于任意自然数 n , （n 7） （n 2 5）都能被动 、两个连续奇数的积加上其中较大的数， 所得的数就: 数之间的偶数与较大奇数的积。

24整除。

岂夹在这两个连续奇 七、利用分解因式计算（8分） 1、一种光盘的外 D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。

（结果 保留
两位有效数字）
一、
选择题
1、代数式 a 3b 2— -a 2b 3, 2
A 、a 3b 2
B 、a 2b 2
2、用提提公因式法分解因式 5a(x — y) — 10b • (x — y)，提出的公 因式应当为( )
A 、5a — 10b
B 、5a + 10b
C 、5(x — y)
D 、y — x 3、把一8m i + 12m i + 4m 分解因式，结果是(
)
2
2
A 、一 4m(2m — 3m)
B 、一 4m(2m + 3m — 1) 2
2
C 、一 4m(2m — 3m — 1)
D 、一 2m(4m — 6m + 2)
4、把多项式—2x 4— 4x 2分解因式，其结果是( )
A 、2( — x 4— 2x 2)
B 、— 2(x 4+ 2x 2)
C 、— x 2(2x 2+ 4)
D 、—
2 2
2x (x + 2)
6、把16— x 4分解因式，其结果是
4
A (2 — x)
B
2
C 、(4 + x)(2 + x)(2 — x) D
7、把a 4— 2a 2b 2 + b 4分解因式，结果是(
)
2
2
2
4
2
2 2
4
A a (a — 2b) + b
B 、(a — b)
C 、(a — b)
D 、(a + b)2(a — b)2 8、把多项式2x 2— 2x
+ f 分解因式，其结果是()
1 2 1 2 1 2 1
经典四: 因式分解
— ab + a b ,a b — a b 的公因式是( 2
2. 3
3-3
C 、a b
D 、a b
5、 A
(—2) 1998+(— 2) 1999 等于( 一 2伯98 B 2伯98 C 、 2伯99 1999
)
、(4 + x 2)( 4 — x 2)
3
、(2 + x) (2 — x)
A、(2x—)
B、2(x—)
C、(x—)
D、(x
2 2 2 2
—1)2
9、若9a2+ 6(k —3)a + 1是完全平方式，则k的值是( )
A、土4
B、土2
C、3
D、4 或2
10、— (2x —y) (2x + y)是下列哪个多项式分解因式的结果( )
A、4x2—y2
B、4x2+ y2
C、—4x2—y2
D、—4x2+ y2
11、多项式x2+ 3x —54
分解因式为( )
A (x + 6)(x —9)
B 、(x —6)(x + 9)
C、(x + 6)(x + 9) D 、(x —6)(x —9)
二、填空题
2
1、2x —4xy —2x = ____ (x —2y—1)
2、4a3b2—10a2b3 = 2a2b2( )
3、(1 —a)mn+ a—仁( )(mn —1)
2 2
4、m(m- n) —(n —m)=( )( )
5、x2—( ) + 16y2=( ) 2
2 2
6、x —( ) =(x + 5y)( x —5y)
7、a2—4(a —b)2=( ______ ) • ( ________ )
8、a(x + y —z) + b(x + y —z) —c(x + y —z)= (x + y —
z) • ( _______ )
9、16(x —y)2—9(x+ y)2=( ____ ) • ( __________ )
3
10、(a+ b) —(a + b)=(a +
b) • ( ) •( )
2
11、x + 3x + 2=( )( )
12、___________________________________________ 已知x + px+ 12=(x —2)(x —6)，则p= _____________________ .
三、解答题
1、把下列各式因式分解。

(1)x 2—2x3⑵ 3y 3—6y2+ 3y
(3)a 4 5(x — 2a)2— a(x — 2a)2 (4)(x — 2)2- x + 2
2 2 (5)25m — 10m + n (6)12a
x)
⑺(x — 1)2(3x — 2) + (2 — 3x)
(8)a
2
+ 5a + 6
4
o
0 0
3、已知：x + y= ,xy=1.求 x y + 2x y + xy 的值。

5
2
b(x — y) — 4ab(y —
A . a(x — y) + b(m + n) = ax + bm — ay + bn B. a 2 — 2ab + b 2 + 1=(a — b) 2+ 1 C . — 4a 2 + 9b 2 = ( — 2a + 3b)(2a + 3b)
经典五:
因式分解练习题
、选择题:
1 •下列各式的因式分解结果中，正确的是
A . a 2b + 7ab — b = b(a 2+ 7a) B. 3x 2y — 3xy — 6y=3y(x — 2)(x + 1)
C. 8xyz — 6x y = 2xyz(4 — 3xy)
—2a 2 + 4ab — 6ac = — 2a(a + 2b — 3c) 2. 多项式m(n — 2) — m?(2 — n)分解因式等于
A . —m 2)
(n — 2)(m + m) B . (n — 2)(m
C .
—1)
m( n — 2)(m + 1)
D . m(n — 2)(m
3. 在下列等式中，属于因式分解的是
D . x 2 — 7x — 8=x(x — 7) — 8
4 •下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
[ ]
A . a 2 + b 2 B.— a 2+ b 2
C. — a 2 — b 2
D.— ( — a 2)+
b 2
5 .若9x 2 + mxy + 16y 2是一个完全平方式，那么 m 的值是
[ ]
A . — 12 B. ± 24 C. 12 D. ± 12
6. 把多项式a n+4 — a n+1分解得
[ ]
A . a n (a 4— a) B. a n-1 (a 3— 1)
C. a n+1 (a — 1)(a 2 — a + 1) D . a n+1 (a —
1)(a 2+ a + 1)
7. 若 a 2 + a = — 1,贝U a 4 + 2a 3— 3a 2 — 4a + 3 的值为
[ ]
B . 7 D . 12
A . 8 C . 10
8. 已知x2 + y2 + 2x —6y + 10=0，那么x, y的值分别为
xe)
Q
xe)
・8
一
x)(g ——x)
(A CXI +
X)(A
寸——
(A CXI ——
X)(A
寸+xe)
(CXI +
x)(
寸—
—
(CXI ——
X)
(寸 +
x e
e r w g l <
O J 8——A X cxl ——e x e ffi
•=
(CXI L + (O CXI —— x )o +
X)
(CXI L
——
(9+
X)(OL
——
X) •<
e
rwgl<0
09
——
x'——ex
ffi ・
0L
CM
(CXI —
—
lue+
2L U )2(CXI
+LU)2(L
+lu)
Q
2(L ——lu)2(
寸
+
L u )o
(cxl -^e
+
2lu)2(cxl ——lu)2(L ——lu)
m
2(0+
Lu)
寸(L
+LU) •<
e w K <
o 9L +2E C +
塔
)8——x E e
+
塔)ffi
・6
E
——
H A
Q E
〈
L ——H X O
〈m E 「
[ ]
A . (a + 11)(a —3)
B . (a —11b)(a —3b)
C. (a + 11b)(a —3b)
D. (a —11b)(a + 3b)
13. 把X4 —3X2 + 2分解因式，得
[ ]
A . (x 2—2)(x 2 —1)
B . (x 2
—2)(x + 1)(x —1)
C . (x 2 + 2)(x 2+ 1)
D . (X2
+ 2)(x + 1)(x —1)
14. 多项式x2 —ax —bx+ ab可分解因式为
[ ]
A . —(x + a)(x + b)
B . (x —a)(x + b)
C . (x —a)(x —b)
D . (x + a)(x + b)
15 . 一个关于x的二次三项式，其X2项的系数是1,常数项是-12,且能分解因式，这样的二次三项式是
[ ]
A . X2—11x—12 或X2+ 11x —12
B . X2 —x—12或X2+x —12
C . X2 —4x—12 或X2 + 4x—12
[ ]
D •以上都可以 16.下列各式 X 3 — X 2— x + 1, X 2 + y — xy — x , x 2-2x — y 2 + 1,
(
X
2+ 3x
)2 — (2x + 1)2中，不含有(X — 1)因式的有
[ ]
A . 1个
B. 2个
C . 3个
D. 4个
17 .
把9 — X 2+ 12xy — 36y 2分解因式为
[
]
A . (x — 6y + 3)(x — 6x — 3)
B. — (x — 6y + 3)(x — 6y — 3)
C. — (x — 6y + 3)(x + 6y — 3) D . — (x — 6y + 3)(x — 6y + 3) 18.下列因式分解错误的是
[ ]
A . a 2 — bc + ac — ab=(a — b)(a + c) B. ab — 5a + 3b — 15=(b — 5)(a + 3) C. x 2 + 3xy — 2x — 6y=(x + 3y)(x — 2)
D . X 2 — 6xy — 1 + 9y 2=(x + 3y + 1)(x + 3y — 1)
19 .已知a 2X 2 ± 2x + b 2是完全平方式，且a , b 都不为零， 则a 与b 的关系为
C .相等的数 意有理数
20. 对X 4+ 4进行因式分解，所得的正确结论是
A .不能分解因式 式 x 2+ 2x + 2
C . (xy + 2)(xy — 8) -2)(xy — 8)
21. 把 a 4 + 2a 2b 2 + b 4 — a 2b 2 分解因式为
[ ]
A . (a 2+ b 2 + ab)2 B. (a 2+ b 2 + ab)(a 2
+ b 2 — ab)
C . (a 2 — b 2 + ab)(a 2 — b 2 — ab)
D . (a 2 + b 2 —
ab)2
22. — (3x — 1)(x + 2y)是下列哪个多项式的分解结果
[ ]
A . 3x 2 + 6xy — x — 2y
B . 3x 2 —
6xy + x — 2y
C . x + 2y + 3x 2 + 6xy
D . x + 2y
—3x 2 — 6xy
23 . 64a s — b 2因式分解为
A .互为倒数或互为负倒数
B .互为相反数
D .任
[ ]
B .有因
D . (xy
2(q ——eo
m
CM
(q + e o •<
w K a o
2
(。

——
e )s + (0 +
q)
(。

——
e )q e cxl
——2(。

+
q)*
ffi l<cxl
2(q
+
ee)
d
2(e+qe)
m
2(e
——
qe)
2(q ——
ee)
•<
^w K a o CM
(q
——
e)
寸+ (
S ——2
e)
寸——2
(q + e)
ffi .90 2(L ——xe ——
A CXI )Q
2(L +A CXI +
xe)
m
2(L+ A CXI ——X C )
2(L ——A CXI ——
xe)
•<
^a o w K L
+ (A CXI —— x e )cxl ——2
(xe
I A CXI ) .g cxl
——
xg)
Q
2(A+xg)
m
g
o
2e9L)
・8
(A CXI + x e )(A cxl ——
xe)
2(A ——xg)
•<
^a o w K CM
(A +
X)
寸+
(2
A
——2
X
)
CXI L
+2(A ——X )6
•寸
C XI
(q +
寸
e8)(q
——
(q +
寸 e8)(q ——
寸 e 8)o
(q +
2@(q
——
(
q +寸e)(q ——
寸e
寸9
)・
<
[ ]
A . 2(a + b — 2c)
B . 2(a
+ b + c)(a + b — c)
C . (2a + b +4c)(2a + b — 4c)
D . 2(a + b +
2c)(a + b — 2c)
三、因式分解： 1. n^(p — q) — p + q ； 2. a(ab + bc + ac) — abc ；
28. 右4xy — 4x 2 — y 2 — k 有一个因式为—2x + y), 则k 的 值为
[
]
A . 0
B. 1
C . —1
D. 4
29.
分解因式 3a 2x — 4b 2y — 3b 2x + 4a 2y ,
正确的是
[
]
A . —(a 2 + b 2)(3x + 4y) B
.(a
— b)(a + b )(3x + 4y)
C . (a 2 + b 2)(3x — 4y)
D . (a
C . C 2(a +
b )2
D. C 2(a — b) —b)(a + b)(3x — 4y)
30.分解因式2a 2 + 4ab + 2b 2 — 8c 2，正确的是
3. x4 —2y4 —2x3y + xy3；
4. abc(a2 + b2 + c2) —a3bc+ 2ab2c2；
5. a2(b —c) + b2(c —a) + C2(a —b);
6. (x2 —2x) 2 + 2x(x —2) + 1;
7. (x —y) 2+ 12(y —x)z + 36z2；
8. x2 —4ax+ 8ab—4b2；
9. (ax + by)2 + (ay —bx)2 + 2(ax + by)(ay —bx)；
10. (1 —a2)(1 —b2) —(a2 —1)2(b2 —1)2；
11. (x + 1)2 —9(x —1)2；
12. 4a2b2 —(a2+ b2 —c2)2；
13. ab2 —ac2 + 4ac—4a；
14. X3n+y3n;
15. (x + y) 3 + 125；
16. (3m—2n)3+ (3m+ 2n)3；
17. X6(x2 —y2) + y6(y2 —x2)；
18. 8(x + y) 3 + 1 ；
19. (a + b + c) 3 —a3 —b3 —c3；
20. X2+4xy+3y2；
21. x2 + 18x—144；
22. x4 + 2x2 —8；
23. —m4 + 18m2 —17;
24. x5 —2x3 —8x;
25. X8 + 19x5 —216x2；
26. (x 2 —7x) 2 + 10(x2 —7x) —24;
27. 5+ 7(a + 1) —6(a + 1)2;
28. (x 2+ x)(x 2 + x —1) —2;
29. x2 + y2 —x2y2 —4xy—1;
30. (x —1)(x —2)(x —3)(x —4) —48;
31. X2 —y2 —x—y;
32. ax2 —bx2 —bx+ ax—3a+ 3b;
33. m4 + m r+ 1;
34. a2 —b2 + 2ac+ C2；
35. a3 —ab2 + a—b;
36. 625b4 —(a —b)4;
37. x6 —y6+ 3x2y4 —3x4y2;
38. x2 + 4xy + 4y2 —2x—4y—35;
39. m2 —a2 + 4ab—4b2;
40. 5m—5n—m2 + 2mr—n2 .
四、证明(求值)：
1 .已知a+ b=0,求a3 —2b3 + a2b—2ab
2 的值.
2•求证：四个连续自然数的积再加上1, 一定是一个完全平方数.
3. 证明:(ac - bd)2+ (be + ad)2=(a2+ b2)(c 2+ d2).
4. 已知a=k+ 3, b=2k+ 2, e=3k- 1,求a2 + b2 + e2 + 2ab- 2be- 2ae 的值.
5 .若x2+ m>+ n=(x —3)(x + 4)，求(m+ n)2的值.
2 2
6. 当a为何值时，多项式x + 7xy + ay—5x+ 43y-24可以
分解为两个一次因式的乘积.
7. 若x, y为任意有理数，比较6xy与x2+ 9y2的大小.
8. 两个连续偶数的平方差是4的倍数.。