gauss问题
数值分析Gauss消去法课件
高斯消元法的代码实现
初始化矩阵
将系数矩阵A进行初始化，并存储在二维数 组中。
消元过程
通过一系列行变换，将系数矩阵变为上三角 矩阵。
主元选择
选择主元，即系数矩阵中所在行和列的最大 元素。
回带求解
利用上三角矩阵的元素，求解线性方程组的 解。
选主元的优化策略
1 2
自然主元
选择系数矩阵中绝对值最大的元素作为主元。
病态问题
对于一些病态问题，高斯 消元法可能无法得到准确 解，需要采用其他方法进 行求解。
01
Gauss消去法的应 用实例
应用领域与案例介绍
线性方程组求解
01
Gauss消去法是求解线性方程组的一种常用方法，适用于大ห้องสมุดไป่ตู้模
、稀疏矩阵的求解。
矩阵求逆
02
通过Gauss消去法可以计算矩阵的逆，这在许多科学计算和工程
最小二乘主元
选择使所在行和列的绝对值之和最小的元素作为 主元。
3
随机主元
随机选择一个元素作为主元，可以避免某些数值 问题。
数值稳定性与误差控制
01
02
03
数值稳定性
高斯消元法在某些情况下 可能产生数值不稳定性， 如主元接近零或数值误差 累积。
误差控制
在消元过程中，可以通过 一些技巧来控制误差，如 预处理、选主元策略和舍 入误差控制。
领域中都有应用。
特征值和特征向量计算
03
Gauss消去法可以用于计算矩阵的特征值和特征向量，这在物理
、工程和经济学等领域有广泛的应用。
实际应用中的问题与挑战
数值稳定性
Gauss消去法在处理病态问题或 接近奇异矩阵时可能会出现数值 不稳定性，导致计算结果误差较 大。
高斯解决的数学问题
高斯是一位伟大的数学家，他解决了许多重要的数学问题。
以下是其中几个著名的问题：
1. 代数方程的根：高斯开创了现代代数学的篇章，他提出了代数方程的根与对称性之间的关系。
他发展了复数域的理论，并提出了复数根的概念，从而解决了许多代数方程的根的问题。
2. 数论问题：高斯在数论领域作出了突出贡献。
他证明了素数的分布规律，提出了高斯整数（Gaussian integers）的概念，并研究了它们的性质。
3. 曲线偏微分方程：高斯对偏微分方程也做出了重要的贡献。
他研究了曲线上的最小曲率问题，并提出了高斯-博内定理（Gauss-Bonnet theorem），描述了曲面的几何性质与其曲率之间的关系。
4. 统计学问题：高斯对统计学也有深刻的影响。
他开创了误差理论，提出了高斯分布（正态分布）的概念，并发展了最小二乘法等统计学中的重要工具。
这些只是高斯在数学领域所解决问题的一小部分。
他的贡献对于现代数学的发展有着深远的影响，并为后人奠定了坚实的基础。
高斯函数取值与求和问题
高斯函数取值与求和问题1.八岁的高斯发现了数学定理高斯念小学的时候，有一次老师在教完加法后，想要休息一下，便出了一道题目要同学们算算看。
题目是：1+2+3+……+97+98+99+=?老师心想，这下子小朋友一定必须抹掉被迫辞职了吧!急忙借口过来时，却被高斯拦住了。
原来呀，高斯已经算是出了，小朋友你可以晓得他就是如何算是的吗?高斯告诉大家，把1加至与加至1排成两排相加。
也就是说：1+2+3+4+……+96+97+98+99++99+98+97+96+……+4+3+2+1=+++……++++共有一百个相加，但算式重复了两次，所以把除以2便得到答案。
从此，高斯小学的自学远远打破了其他同学，也因此打下了他以后的数学基础，更使他沦为——数学天才!2.高斯用尺规作正17边形(两千年数学难题)年的一天，在德国哥廷根大学，一个19岁的青年剩饭剩菜晚饭，已经开始搞导师单独布置给他的每天例会的两道数学题。
像是往常一样，前2道题目在2 个小时内成功地顺利完成了。
但青年辨认出今天导师给他多布置了一道题。
第三道题写在一张大纸条上，就是建议就用圆规和一把没刻度的直尺作出正17边形。
他也没多想要，就搞了出来。
然而，青年深感非常吃力。
开始，他还想，也许导师特意给我增加难度吧。
但是，随着时间一分一秒地过去了，第三道题竟毫无进展。
青年绞尽脑汁，感到自己学到的数学知识对解开这道题没有什么帮助。
困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去解这道题.。
当窗口遮住一丝曙光时，青年短舒了一口气，他终于作出了这道难题!看见导师时，青年深感有些愧疚和内疚。
他对导师说道：“您给我布置的第三道题我搞了整整一个通宵，我忘了您对我的栽培……”导师接过学生的作业一看看，当即吓坏了。
他的声音都喊叫了，说道：“这……真是你自己……搞出的?”青年有些困惑地看著激动不已的导师，提问道：“就是的，但我很屎，竟然花掉了整整一个晚上才搞出。
gauss原理
gauss原理
高斯原理是一种在数学和物理学中广泛使用的方法，用于解决边界值问题。
它是以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的。
高斯原理的基本思想是将包含源和目标的区域划分为无限小的微元，并通过计算每个微元的贡献来求解整个区域的解。
高斯原理在电磁学、流体力学和热传导等领域得到广泛应用。
以电磁学为例，当我们想要计算一个源点处的电场强度时，可以将空间划分为无数个微小的面元，每个面元上的电场贡献可以通过库仑定律来计算。
然后将所有面元的贡献相加，就可以得到源点的电场强度。
使用高斯原理的一个关键步骤是选择合适的数学表达式来描述源和目标之间的关系。
在电磁学中，这通常是通过麦克斯韦方程组来实现的。
通过将这些方程应用于微元的表面和体积，可以得到微元上的电场贡献。
高斯原理的优势在于它能够将复杂的问题简化为计算更简单的微元贡献。
通过将整个区域划分为微小的部分，并计算每个部分的贡献，可以将原始问题转化为求解无数小问题的总和。
这种简化过程使得高斯原理在实际问题中具有很高的效率和适用性。
总之，高斯原理是一种强大而受欢迎的数学方法，用于解决边界值问题。
它不仅在数学中有广泛应用，也在物理学和工程学等领域发挥着重要作用。
gauss消元法和doolittle乘法运算次数
《深入探讨高斯消元法和Doolittle分解的乘法运算次数》在数学和计算机科学领域，高斯消元法和Doolittle分解是两种常见的线性代数运算方法。
它们被广泛用于解决线性方程组和矩阵求逆等问题。
本文将从深度和广度的角度对这两种方法进行全面评估，并进一步探讨它们的乘法运算次数的比较。
1. 高斯消元法简介高斯消元法是一种用于解决线性方程组的方法，通过矩阵变换将其转化为上三角矩阵，从而求解方程组。
其基本思想是通过一系列的行变换，将系数矩阵变换为上三角矩阵，再通过回代求解出未知数的值。
在实际应用中，高斯消元法通常需要进行大量的乘法和加法运算，其乘法运算次数随矩阵的大小而增加。
2. Doolittle分解简介Doolittle分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，这种分解方法可以简化矩阵的求逆和解线性方程组的计算。
与高斯消元法相比，Doolittle分解在某些情况下可以更加高效地解决线性方程组的问题，尤其是对于大型矩阵的计算。
其乘法运算次数与矩阵的大小和稀疏程度密切相关。
3. 乘法运算次数比较在实际应用中，我们常常需要比较高斯消元法和Doolittle分解的乘法运算次数，以确定哪种方法更适合特定的问题。
根据理论分析和实际测试，我们可以得出以下结论：- 对于小型矩阵，通常情况下高斯消元法的乘法运算次数略少于Doolittle分解。
- 对于大型矩阵，Doolittle分解的乘法运算次数通常比高斯消元法少很多，尤其是在矩阵稀疏的情况下。
- 对于需要多次求解的问题，Doolittle分解可以通过分解一次，多次使用的方式，进一步减少总体的乘法运算次数。
4. 个人观点和理解从个人观点来看，高斯消元法和Doolittle分解都是非常重要的线性代数运算方法，它们各有优劣。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题特点来选择合适的方法。
对于小型矩阵或需一次性解决问题的情况，高斯消元法可能更加便捷；而对于大型矩阵或需要多次使用的情况，Doolittle分解可能更具优势。
数值分析课件高斯求积公式
1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共 个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0
高斯(Gauss)型求积公式
1.2 高斯求积公式的构造与应用 像构造两点高斯求积公式(6.14)一样,对于插值
型求积公式(6.15), 分别取 f (x) 1, x,, x 2n1 用代定系数法来确定参数xk和 Ak , (k 0,1,, n) 从而构造n+1个点高斯求积公式。但是，这种做法 要解一个包含2n+2个未知数的非线性方程组，其 计算工作量是相当大的。一个较简单的方法是： (1) 先利用区间a,b上的n+1次正交多项式确定高斯
三点的…）高斯型求积公式算出积分的近似
值，将它们相加即得积分 值。
b
a
f
(x)dx
的近似
数值计算方法
在构造形如
1
1 f (x)dx A0 f (x0 ) A1 f (x1 )
（6.13）
的两点公式时,如果限定求积节点, x0 1, x1 1
那么所得插值求积公式
1
f (x)dx f (1) f (1) 1
的代数精度仅为1。但是,如果对式(6.13)中
的系数 A0 , A1 和 x0 , x1节点都不加限制，那么 就可适当选取 x0 , x1 和 A0 , A1 ,使所得公式的
其中
(x)
n k 0
(x
xk ), L~n1 (x)
(n 1)! d n1
(2n 2)!
(x 2 1) n1 dx n1
从定理可以看出,当n给定,xk就确定了。P144表6-3给 出当积分区间是-1,1时，2个点至5个点的高斯求积
公式的节点、系数和余项,其中 -1,1，需要时
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
数值分析19Gauss积分
数值分析
上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-
数值分析
可查表得到ti和Ai ,(i 0,1, 2, 3)
原积分
1
11
f ( x)dx F (t)dt
0
2 1
1 2
(
A0F (t0
)
A1F
(t1 )
A2F
(t2
)
A3F
(t3
))
1
1
1
1
2
( A0
f
( 2
(1
t0 ))
A1
f
(
2
(1
t1 ))
A2
f
( 2
(1
t2 ))
1
A3 f ( 2 (1 t3 )))
为Gauss型求积公式。
解：先作变量代换
x 1 (a b) 1 (b a)t 1 (1 t), dx 1 dt
2
2
2
2
于是
1 f ( x)dx 1
1
f
(
1
(1
t
))dt
1
1
F (t)dt
0
2 1 2
2 1
由两点Gauss Legendre求积公式
1
F(t)dt F(0.577) F(0.577)
2
)
5
gauss型积分公式
gauss型积分公式
Gauss型积分公式是一种经典的积分计算方法，它是18世纪德国数学家克劳德高斯（Karl Friedrich Gauss）提出的数学方法，又称作高斯积分或高斯积分公式。
这种积分方法非常简单、实用，是数学及其相关学科研究时常用到的数学工具。
Gauss型积分公式的特点是它可以将复杂的一元定积分问题转化为解一个多项式方程组的几何问题，从而减少不少的计算量。
它的优势在于，无论是写出这种方程，结合数学技巧便可算出结果，还可用另一种方法，通过积分变换来完成积分计算，而且可以在结果上获得较高的精度。
Gauss型积分公式可简化定积分问题计算，但由于其复杂性，对多元积分这类计算量较大的问题无能为力。
在这种情况下，可以使用另外一种积分方法，即数值积分法，在这种方法中，采用多项式函数来模拟定积分问题，从而减少计算量，并可以得出比较准确的结果。
Gauss型积分公式在数学研究中具有重要意义，可求出很多有用的结果，尤其是在求解复杂的一元定积分问题上。
它的有效性可以通过用它来求曲线的极限等数学知识的计算来证明。
此外，它还可以用于计算椭圆积分，复数积分等。
Gauss型积分公式的应用范围十分广泛，它在数学研究中可以帮助研究者减少许多计算量，从而节省时间，使得数学研究变得更加有效率。
它在量子力学、电磁学、计算物理学、天文学、计算生物学以及统计学等领域也有着广泛的应用。
从以上可以看出，Gauss型积分公式在数学及其相关学科中具有重要意义，它可以帮助研究者提高研究效率，具备很多实用性，是一个重要的数学工具。
对于Gauss型积分公式的应用，学者们和工程研究者们都应该进行进一步的深入研究，从而更好地发挥它的作用。
gaussnewton法
gaussnewton法
高斯牛顿法是一种非线性最小二乘问题求解方法，它基于最小二乘中误差的平方和最小的原则，通过迭代优化参数，使得误差达到最小的方法。
同样也是一种梯度下降方法，但与传统的梯度下降法不同，高斯牛顿法可以适用于非线性问题，而且相对于梯度下降法有更快的收敛速度。
高斯牛顿法主要涉及到雅可比矩阵和海森矩阵的计算。
雅可比矩阵的求解用于求解问题的初始值，并在每次迭代时计算当前值，用于计算海森矩阵。
海森矩阵是损失函数的Hessian矩阵，是损失函数的二阶导数矩阵，其求解需要数值方法求解。
然后利用计算出的雅可比矩阵和海森矩阵进行迭代更新，不断逼近最优解。
在实际问题中，高斯牛顿法通常比梯度下降方法更有效，其因为高斯牛顿法能够利用二阶导数信息（海森矩阵）更好的逼近函数的曲率，因此将收敛速度大大提高。
但同时，高斯牛顿法缺点也明显：需要计算雅可比矩阵和海森矩阵，这会涉及到大量的矩阵运算，如果数据量很大则计算量也会很大；另外，当初始值很远离最终的最优值时，可能会出现海森矩阵为负定的情况，导致无法收敛。
因此，在实际使用中，需要根据具体问题的特征选择算法。
对于数据量较小，但是需要求解非线性参数的问题，高斯牛顿法是一种不错的选择，但在数据量较大的问题中，或存在局部极小值的情况下，可能需要选择其他算法进行求解。
总之，高斯牛顿法是一种广泛应用于非线性最小二乘问题的近似最优化算法。
通
过迭代优化参数，让误差达到最小，从而得到参数的最优估计值。
高斯牛顿法在实际问题中有很多应用，如数学建模、机器学习、计算机视觉、信号处理等领域都有广泛应用。
gauss常见错误
gauss常见错误最初级错误1. 自旋多重度错误2. 变量赋值为整数3. 变量没有赋值4. 键角小于等于0度，大于等于180度5. 分子描述后面没有空行6. 二面角判断错误，造成两个原子距离过近7. 分子描述一行内两次参考同一原子,或参考原子共线运行出错1. 自洽场不收敛 SCFa. 修改坐标，使之合理b. 改变初始猜 Guessc. 增加叠代次数SCFCYC=Nd. iop（5/13=1）2. 分子对称性改变a. 修改坐标，强制高对称性或放松对称性b. 给出精确的、对称性确定的角度和二面角c. 放松对称性判据 Symm=loosed. 不做对称性检查iop(2/16=1)3. 无法写大的Scratch文件RWFa. 劈裂RWF文件%rwf=loc1,size1,loc2,size2,……..,locN,-1b. 改变计算方法MP2=Direct可以少占硬盘空间c. 限制最大硬盘maxdisk=N GB4. FOPT出错原因是变量数与分子自由度数不相等。
可用POPT 或直接用OPT5. 优化过渡态只能做一个STEP 原因是负本征数目不对添加iop （1/11）=16. 组态相互作用计算中相关能叠代次数不够，增加叠代次数QCISD（Maxcyc=N）Default.Rou设置在Scratch文件夹中的Default.Rou文件中设置G03程序运行的省缺参数：-M- 200MW-P- 4-#- MaxDisk=10GB-#- SCF=Conventional or Direct-#- MP2=NoDirect or Direct-#- OPTCYC=200-#- SCFCYC=200-#- IOPs 设置如iop（2/16=1）Default.Rou设置中的冲突Default route: MaxDisk=2GB SCF=Direct MP2=Direct OPTCYC=200 SCFcyc=100 iop(2/16=1) iop(5/13=1)------------------# ccsd/6-31G** opt------------------L903/L905 and L906 can only do MP2.问题在于，ＭP2=Direct！去掉这个设置，CCSD的作业就能进行了。
高斯使用中的问题汇总
⾼斯使⽤中的问题汇总如何从下⾯的Gaussian输出⽂件中找出轨道系数及轨道能!!(新⼿多谢),请帮忙标出来求助]如何从下⾯的Gaussian输出⽂件中找出轨道系数及轨道能!!(新⼿多谢),请帮忙标出来The electronic state is 1-A1.Alpha occ. eigenvalues -- -20.58265 -11.33946 -1.39265 -0.87259 -0.69715 Alpha occ. eigenvalues -- -0.63950 -0.52294 -0.44073Alpha virt. eigenvalues -- 0.13573 0.24842 0.33338 0.37329 0.73660 Alpha virt. eigenvalues -- 0.80783 0.84685 0.94689 1.10445 1.10700 Alpha virt. eigenvalues -- 1.13937 1.27145 1.33529 1.62050 1.78192 Alpha virt. eigenvalues -- 1.79416 1.99239 2.18347 2.23684 2.45514 Alpha virt. eigenvalues -- 2.64513 2.87165 2.97616 3.27576 4.09792 Alpha virt. eigenvalues -- 4.47637Molecular Orbital Coefficients1 2 3 4 5(A1)--O (A1)--O (A1)--O (A1)--O (B2)--O EIGENVALUES -- -20.58265 -11.33946 -1.39265 -0.87259 -0.697151 1 C 1S 0.00000 0.99566 -0.11060 -0.16262 0.000002 2S 0.00047 0.02675 0.20981 0.33995 0.000003 2PX 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.000004 2PY 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.420175 2PZ -0.00007 0.00066 0.17259 -0.18451 0.000006 3S -0.00024 -0.00743 0.08051 0.31309 0.000007 3PX 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.000008 3PY 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.157609 3PZ -0.00048 0.00135 -0.01160 -0.07970 0.0000010 4XX -0.00002 -0.00272 -0.01628 -0.01333 0.0000011 4YY -0.00006 -0.00202 -0.01365 0.03019 0.0000012 4ZZ -0.00074 -0.00123 0.03302 -0.00166 0.0000013 4XY 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.0000014 4XZ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.0000015 4YZ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.0139416 2 O 1S 0.99472 -0.00038 -0.19672 0.08889 0.0000017 2S 0.02094 0.00025 0.44184 -0.20351 0.0000018 2PX 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.0000019 2PY 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.3212220 2PZ -0.00153 -0.00029 -0.13537 -0.14216 0.0000021 3S 0.00436 -0.00058 0.37895 -0.27048 0.0000022 3PX 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.0000023 3PY 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.1797624 3PZ 0.00006 0.00108 -0.04718 -0.06799 0.0000025 4XX -0.00418 0.00015 -0.00022 -0.00041 0.0000026 4YY -0.00383 -0.00011 -0.00073 -0.00413 0.0000027 4ZZ -0.00356 -0.00019 0.01969 0.00906 0.0000028 4XY 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.0000029 4XZ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.0000030 4YZ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.0233931 3 H 1S -0.00002 -0.00020 0.03017 0.17902 0.1908232 2S -0.00013 0.00210 -0.00537 0.06479 0.1202633 4 H 1S -0.00002 -0.00020 0.03017 0.17902 -0.1908234 2S -0.00013 0.00210 -0.00537 0.06479 -0.120266 7 8 9 10(A1)--O (B1)--O (B2)--O (B1)--V (A1)--V EIGENVALUES -- -0.63950 -0.52294 -0.44073 0.13573 0.248421 1 C 1S 0.01942 0.00000 0.00000 0.00000 -0.122122 2S -0.06075 0.00000 0.00000 0.00000 0.148963 2PX 0.00000 0.32517 0.00000 0.40259 0.000004 2PY 0.00000 0.00000 -0.19811 0.00000 0.000005 2PZ -0.37597 0.00000 0.00000 0.00000 -0.210866 3S 0.03971 0.00000 0.00000 0.00000 1.980967 3PX 0.00000 0.21231 0.00000 0.71124 0.000008 3PY 0.00000 0.00000 -0.04477 0.00000 0.000009 3PZ -0.08856 0.00000 0.00000 0.00000 -0.7497710 4XX 0.00549 0.00000 0.00000 0.00000 -0.0027311 4YY 0.02734 0.00000 0.00000 0.00000 -0.0126512 4ZZ -0.01933 0.00000 0.00000 0.00000 -0.0045913 4XY 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.0000014 4XZ 0.00000 0.03558 0.00000 -0.03288 0.0000015 4YZ 0.00000 0.00000 0.06035 0.00000 0.00000Sample Text相关回复：作者: lixiaona158 发布⽇期: 2008-04-03EIGENVALUES 后⾯的数字就是这个轨道对应的能量，但是它的单位是HF,⼀般使的时候需要换成电⼦福特，⽤这个系数乘27.2116就可以了。
高斯积分定理
高斯积分定理
摘要：
一、高斯积分定理的简介
二、高斯积分定理的推导过程
三、高斯积分定理的应用领域
四、高斯积分定理的意义和价值
正文：
高斯积分定理，又称高斯(Gauss) 积分公式、高斯(Gauss) 积分反常定理，是数学分析领域中一种非常重要的积分定理。
它不仅为我们提供了一种求解积分的方法，还在许多领域有着广泛的应用。
首先，我们来了解一下高斯积分定理的推导过程。
高斯积分定理的推导主要依赖于概率论中的概率密度函数和概率分布函数。
设随机变量X 的概率密度函数为f(x)，则随机变量Y=|X|的概率密度函数为f_Y(y)=f(x)/2，其中
y=|x|。
通过对Y 进行积分，我们可以得到高斯积分定理的数学表达式。
高斯积分定理的应用领域非常广泛。
在概率论中，它可以用来求解随机变量的数学期望和方差；在数理统计中，它可以用来求解参数的极大似然估计；在信号处理中，它可以用来求解信号的能量和功率谱密度；在量子力学中，它可以用来求解量子态的概率密度函数。
高斯积分定理的意义和价值在于，它提供了一种将不同领域的积分问题联系起来的方法。
通过高斯积分定理，我们可以将概率论、数理统计、信号处理、量子力学等领域的积分问题转化为求解概率密度函数或概率分布函数的问
题，从而简化问题的求解过程。
高斯定理的理解及应用
高斯定理的理解及应用
高斯定理（Gauss theorem）是德国数学家约翰·卡尔·高斯在1813年提出来的一个定理，它原本是用来分析平面（二维）的几何，高斯定理的定义是这样的：若棋盘上所有的格点的乘积之和为N，则N等于任意一线条上格点的乘积之和。
应用：
1、高斯消元法：高斯消元法是将线性方程组化为行阶梯形矩阵的运算步骤，可以利用高斯定理来解决线性方程组的求解。
2、求和问题：可以利用高斯定理来求解一个序列的和，它可以帮助我们快
速求出数学序列的和，比如等差数列和等比数列的和。
数值分析实验作业,gauss消去法的数值稳定性分析
实验3.1 Gauss 消去法的数值稳定性试验实验目的:观察和理解Gauss 消元过程中出现小主元(即)(k kka 很小)时引起的方程组解的数值不稳定性。
实验内容：求解方程组b Ax =，其中（1）⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯=11212592.1121-130.6-291.51314.59103.015-1A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2178.4617.591b ； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=2010151526990999999999.23107102A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=15019000000000.582b .实验要求：（1） 计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的。
（2） 用Gauss 列主元消去法求得L 和U 及解向量421,R x x ∈.（3） 用不选主元的Gauss 消去法求得L ~和U ~及解向量421~,~R x x ∈.（4） 观察小主元并分析其对计算结果的影响.程序如下:计算矩阵条件数及Gauss 列主元消去法:format longengA1=[0.3e-15 59.14 3 1;5.291 -6.130 -1 2;11.2 9 5 2;1 2 1 1]; b1=[59.17;46.78;1;2]; n=4;k2=cond(A1) %k2为矩阵的条件数；for k=1:n-1a=max(abs(A1(k:n,k))); [p,k]=find(A1==a); B=A1(k,:);c=b1(k);A1(k,:)=A1(p,:);b1(k)=b1(p); A1(p,:)=B;b1(p)=c; if A1(k,k)~=0A1(k+1:n,k)=A1(k+1:n,k)/A1(k,k);A1(k+1:n,k+1:n)=A1(k+1:n,k+1:n)-A1(k+1:n,k)*A1(k,k+1:n); else break end endL1=tril(A1,0); for i=1:n L1(i,i)=1; end L=L1U=triu(A1,0) for j=1:n-1b1(j)=b1(j)/L(j,j);b1(j+1:n)=b1(j+1:n)-b1(j)*L(j+1:n,j); endb1(n)=b1(n)/L(n,n); for j=n:-1:2b1(j)=b1(j)/U(j,j);b1(1:j-1)=b1(1:j-1)-b1(j)*U(1:j-1,j); endb1(1)=b1(1)/U(1,1); x1=b1运行结果如下： K2=68.43；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⨯=-14929.00202.00893.0011755.04724.00011079.2600118L⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=801.0000231.1835.2001314.5902592.11U 1x =[18.9882;3.3378;-34.747;-33.9865] 不选主元的Gauss 消去法程序：clearformat longengA1=[0.3e-15 59.14 3 1;5.291 -6.130 -1 2;11.2 9 5 2;1 2 1 1]; b1=[59.17;46.78;1;2]; n=4;for k=1:n-1A1(k+1:n,k)=A1(k+1:n,k)/A1(k,k);A1(k+1:n,k+1:n)=A1(k+1:n,k+1:n)-A1(k+1:n,k)*A1(k,k+1:n); endL1=tril(A1,0); for i=1:n L1(i,i)=1; end L=L1U=triu(A1,0) for j=1:n-1b1(j)=b1(j)/L(j,j);b1(j+1:n)=b1(j+1:n)-b1(j)*L(j+1:n,j); endb1(n)=b1(n)/L(n,n); for j=n:-1:2b1(j)=b1(j)/U(j,j);b1(1:j-1)=b1(1:j-1)-b1(j)*U(1:j-1,j); endb1(1)=b1(1)/U(1,1); x1=b1程序运行结果如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯=10189.010333.3011168.21033.3700110637.170001~151515L⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⨯-⨯-⨯-⨯=-5.000816010637.171091.5210043.101314.59103.0~15151815U ]0;0;0005.1;6848.23[~1=x同理可得2A 对应的系数矩阵条件数及Gauss 列主元消去法求解结果： K2=8.994;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⨯=1333.04.0001104.0-3.0-0015.0000112-L ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=36667.300030.26005.155.2010710U ]0.1;;0.1;0.1;10444.0[152-⨯=-x不选主元的Gauss 消去法结果：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯=1400.0109999.0-001104998.2-5.00013.0-0001~1212L ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯--=-3667.3000107495.5109987.14003.26100.1010710~121212U ]000145.1;99994.0;000.1;1045.1[~52-⨯-=-x实验4.5 三次样条插值函数的收敛性问题提出：多项式插值不一定收敛的，即插值的节点多，效果不一定就好。
gauss高斯消元法
高斯消元法（Gaussian elimination）是一种数值方法，用于求解线性方程组。
它的基本思想是通过一系列的列变换将线性方程组化简成上三角形式，然后再通过回代求解方程。
以下是高斯消元法的步骤：
构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵A和常数项矩阵B合并形成增广矩阵[A | B]。
主元选择：选择一个主元素，一般选择当前列中绝对值最大的行作为主元行。
如果主元素为零，则需要进行主元调整。
主元调整：如果主元素为零，可以通过交换当前行和下方非零行的位置，使主元不为零。
如果无法找到非零主元行，则方程组可能有无数解或无解。
消元过程：通过消元操作，将主元下方的元素消为零。
具体操作是将主元下方的每一行乘以一个系数，然后将其加到当前行上，使得当前列下方的元素变为零。
重复步骤2、3和4，直到将矩阵化简为上三角形式。
回代求解：从最后一行开始，将求解值代入上一行的表达式中，依次回代求解出所有未知数的值。
需要注意的是，高斯消元法可能会遇到以下情况：主元为零：如果在选取主元时遇到主元为零的情况，需要进行主元调整，即通过交换行位置将主元不为零。
无解或无穷多解：如果消元过程中遇到无法继续消元的情况，可能是因为方程组无解或有无穷多解。
无解的情况是指出现矛盾的方程式，而无穷多解的情况是指方程组中的某些未知数可以取任意值。
高斯消元法是一种非常常用且有效的求解线性方程组的数值方法，但在实际应用中可能需要考虑矩阵的特殊性、数值精度以及计算速度等问题。
三点gauss型求积公式例题
三点gauss型求积公式例题Gauss型求积公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分。
它基于一种特定的权重函数和节点选取方式，以提高计算精度。
Gauss型求积公式可用于一维和多维的定积分计算。
一维Gauss型求积公式的形式如下：∫(a到b) f(x)dx ≈ Σ(i=1到n) wi*f(xi)其中，wi是权重函数，xi是节点的位置，n是节点的个数。
这个公式的准确性和节点个数有关，一般情况下，节点数越多，计算结果越准确。
下面是一个一维Gauss型求积公式的例题：考虑求解函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
根据Gauss型求积公式，在这个问题中，我们需要选择节点和权重函数。
一种常用的选择是Legendre多项式。
对于这个例题，我们使用2个节点进行计算。
根据Legendre多项式的公式，我们可以得到节点和权重函数的值如下：节点xi: -0.57735, 0.57735权重函数wi: 1, 1将节点和权重函数代入Gauss型求积公式，我们可以计算出近似的定积分值：∫(0到1) x^2 dx ≈ (1/2)*x^2 |(0到1)≈ (1/2)*1^2 - (1/2)*0^2≈ 1/2因此，函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分的近似值是1/2。
拓展：Gauss型求积公式不仅适用于一维的定积分计算，也可以扩展为多维的情况。
对于多维的积分计算，我们可以分别在每个维度上选取节点和权重函数，然后组合起来进行计算。
多维Gauss型求积公式可以更准确地近似计算多维函数的定积分值。
此外，除了Legendre多项式，还有其他类型的多项式可以用于选择节点和权重函数，例如Chebyshev多项式和Hermite多项式。
不同的多项式选择会影响到计算结果的准确性和稳定性。
在实际应用中，根据具体的问题和需求，选择合适的多项式和节点数进行计算。
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Initialization FilesThe Gaussian system includes initialization files to set up the user environment for running the program. These files are$g03root/g03/bsd/g03.login C shell$g03root/g03/bsd/g03.profile Bourne shellNote that the g03root environment variable must be set up by the user. Thus, it is customary to include lines like the followingwithin the .login or .profile file for Gaussian users:.login files:setenv g03root locationsource $g03root/g03/bsd/g03.login.profile files:g03root=locationexport g03root. $g03root/g03/bsd/g03.profileOnce things are set up correctly, the g03 command is used to execute Gaussian 03 (see below).# .bash_profile# Get the aliases and functionsif [ -f ~/.bashrc ]; then. ~/.bashrcfi# User specific environment and startup programsPATH=$PATH:$HOME/bin:/home/g03:export USERNAME BASH_ENV PATHg03root=/home/export g03root. $g03root/g03/bsd/g03.profileGAUSS_SCRDIR=/home/tmpexport GAUSS_SCRDIRLD_LIBRARY_PATH=/home/g03GAUSS_EXEDIR=/home/g03-----------------------------运行: g03 try ,结果如下:-----------------------------Entering Gaussian System, Link 0=g03Input=Output=try.logInitial command:/home/g03/l1.exe /home/tmp/Gau-1908.inp -scrdir=/home/tmp/------------------------------不知怎么改才能正确运行.我是Linux菜鸟,请指教.****我用bash也弄成功了。
过程是这样的：1、把g03.tgz解压放在我的帐号的下一个SOFTW目录中。
2、在SOFTW目录下建立一个tmp目录3、在.bash_profile文件中添加如下的东西g03root=$HOME/SOFTWPATH=$g03root/g03:$PATHGAUSS_SCRDIR=$g03root/tmpLD_LIBRARY_PATH=$g03root/g03:$LD_LIBRARY_PATHGAUSS_EXEDIR=$g03root/g03export g03rootexport GAUSS_SCRDIRexport GAUSS_EXEDIRexport LD_LIBRARY_PATHexport PATH4、弄好.bash_profile文件后，退出系统再登陆就可以用g03了。
我的机器是今年六月份买的，P4，操作系统redhat9.0。
****谢谢大家，我也正在试着安装在linux9.0，好象有问题，不能运行，输入g03以后，Entering Gaussian System, Link 0=g03，就没有什么反应了，我修改的文件是/ect/bashrcPATH=$PATH:/public/soft/g03:.export USERNAME BASH_ENV PATHg03root=/public/softexport g03root. $g03root/g03/bsd/g03.profileLD_LIBRARY_PATH=/public/soft/g03/export LD_LIBRARY_PATH****我改的是帐号自己目录下的 .bashrc，你看看你在/ect/bashrc中定义的路径，在 .bashrc下有没有重新定义。
首先你要untar g03.tgz，然后就是下面了。
你可以修改./cshrc里面的文件，我给你copy下来。
vi /home/local/.cshrcsetenv G03ROOT /home/g03/setenv GAUSS_SCRDIR /tmpsetenv LD_LIBRARY_PATH /home/g03/setenv PATH /home/g03/:$PATH如果修改这个不行的话，你可以用env查看 cshrc的运行内容。
再看，实在没有错误还是不运行，你可以关掉再开一次。
****nichloas 给我看看的那个版本是没有*.f文件，是已经编译好的，我们没有办法重新编译。
我们在试用时，只需要设下环境就可以了。
按xyzzz讲的可能是对sgi编译的。
但是我在redhat 8.0下使用通过，尽管也存在问题（在g03合集中提到）。
=================================================================.bash_profile=============PATH=$PATH:$HOME/bin:/home/g03:.export USERNAME BASH_ENV PATHg03root=/homeexport g03root. $g03root/g03/bsd/g03.profileGAUSS_SCRDIR=/home/qezhang/screxport GAUSS_SCRDIRLD_LIBRARY_PATH=/home/g03/****我没有编译过g98，以下是从大话西游看到的，参考一下step 1 : 在~/.cshrc中添加setenv g98root /usr/local/gaussiansetenv GAUSS_SCRDIR /tmpsource $g98root/g98/bsd/g98.loginstep 2 : 进入$g98root/g98./bsd/bldg98 > & bldg98.log &等上大半个钟头，就OK了如果你要在集群上编译并行版，在第一步后vi $g98root/g98/bsd/bldg98，将其中的$makename -f $locmake $makeflag linda前面的＃号去掉然后安装Linda，并且到/usr/sca/linda6.2/intel-linux2.4/lib目录，用你的编译器(pgi)编译fmain.f:pgf77 -c fmain.f然后进行第二步。
===================================================================== ====****Obtain Gaussian 98Gaussian 98 is a commercial software product and must be purchased from Gaussian, Inc.Make sure that your version of Gaussian 98 is compatible with your operating systemGaussian 98 Rev A10 and lower is compatible with Red Hat Linux 6.X, but not Red Hat Linux 7.X. Gaussian 98 Rev A11 and higher is compatible with both Red Hat Linux 6.X and 7.X. If you are attempting to install an older version of Gaussian on a newer version of Red Hat Linux, contact Gaussian, Inc. to obtain anupdated version of Gaussian 98.If software is provided on a tape, create a tar file from the tape% su# cd /download_dir# tar xvof /dev/tape# tar cvf g98.tar g98# exitObtain and install the Portland Group Fortran 77 compiler (required) See the separate instructions for this installation procedure.Obtain and install optimized BLAS librariesObtain the optimized Linux BLAS libraries from the Intel/Sandia ASCI project.Submit the registration form, go to the download page specified in the email message you receive, and download the "Linux Single processor BLAS for PentiumII Xeon Version 1.2F made in March 2000" library (lsblaspii1.2f_03.00.a) Obtain updated blas-f2c library from Gaussian, Inc. For Red Hat Linux 6.X download blas-f2c_rh6.a, or for Red Hat Linux 7.X download blas-f2c_rh7.a. % su# cd /usr/local/lib# cp /{download_dir}/lsblaspii1.2f_03.00.a blas-opt.a# cp /{download_dir}/blas-f2c_rhX.a blas-f2c.a# chmod 755 blas-opt.a# chmod 755 blas-f2c.aExtract g98 files# cd /usr/local# tar xvof /download_dir/g98.tar# chmod 755 g98# chown -R root:root g98Compile g98# /bin/csh (if not already in csh or tcsh)# unset autologout# setenv g98root /usr/local# source /usr/local/pgi/pgisetup# cd $g98root/g98# bsd/install >& install.log# bsd/bldg98 >& bldg98.log (takes up to an hour)Change file permissions# cd /usr/local/g98# chmod -R o+r *# chmod o+x bsd/set-mflagsOptionally, isolate version of g98 with a symbolic link (only if you have multiple versions of Gaussian 98 on your system)# cd /usr/local# mv g98 g98A7 (or appropriate version)# ln -s g98A7 g98# exitSetup a user to run g98 and do a test run% cd ~% mkdir g98% cd g98% vi g98setupi (to enter insert mode)setenv g98root /usr/localsetenv GAUSS_SCRDIR /tmpsource $g98root/g98/bsd/g98.login:wq (to quit and save)% /bin/csh (if not already in csh or tcsh)% source g98setup% cp -p /usr/local/g98/tests/com/ % cp -p /usr/local/g98/tests/alpha-osf1/test001.log test001.log.alpha % g98 < > test001.log.linux% tail test001.log.alpha% tail test001.log.linuxOptionally, setup g98 system policies such as max disk space% su# cd /usr/local/g98# vi Default.Routei (to enter insert mode)-#- MaxDisk=512MB:wq (to quit and save)# exitgentboyG98 Users Guide上有，贴在这里方便查阅L0 初始化程序，控制占位L1 处理route section，创建执行链接的列表，并初始化草稿文件L101 读取标题和分子说明部分L102 FP优化L103 Berny优化到最小值，TS，STQN过渡态寻找L105 MS优化L106 力常数或偶极矩的数值微分，用以获得极化率或超极化率L107 线性同步过渡(LST)的过渡态寻找L108 势能曲面扫描L109 Newton-Raphson优化L110 能量的二阶数值微分产生频率L111 能量的二阶数值微分，用以计算极化率和超极化率L113 使用分析梯度进行EF优化L114 EF数值优化(仅使用能量)L115 使用内反应坐标(IRC)追踪反应路径L116 数值的半自恰反应场(SCRF)L117 后-SCF SCRFL118 轨道计算L120 控制ONIOM计算L202 重新定位坐标，计算对称性，检查变量L301 产生基组信息L302 计算重叠积分，动能和势能积分L303 计算多极矩积分L308 计算偶极速率和Rx▽积分L309 计算ECP积分L310 用原始方式计算spdf双电子积分L311 计算sp双电子积分L314 计算spdf双电子积分L316 打印双电子积分L319 计算近似自旋-轨道耦合的单电子积分L401 形成初始MO猜测L402 进行半经验计算L405 初始化MCSCF计算L502 迭代求解SCF方程(通常的UHF和ROHF，全部是直接方法)L503 使用直接最小化迭代求解SCF方程L506 进行ROHF或GVB-PP计算L508 二次收敛SCF程序L510 MC-SCF (CASSCF)L601 布居数和相关分析(包括多极矩)L602 单电子特性(势能，场，和场梯度)L604 求解MO，或一个网格点的密度L607 进行NBO分析L608 非迭代DFT能量L609 分子中的原子特性L701 单电子积分一级或二级导数L702 双电子积分一级或二级导数(sp)L703 双电子积分一级或二级导数(spdf)L709 构成ECP积分导数对梯度的贡献L716 处理优化和频率的信息L801 初始化双电子积分变换L802 进行积分变换(对in-core方法是N3)L803 全部基组外推(CBS)L804 积分变换L811 变换积分导数，计算其对MP2二阶导数的贡献L901 反对称化双电子积分L902 确定Hartree-Fock波函的稳定性L903 旧的in-core MP2L905 复合的MP2L906 半直接（semi-direct）MP2L908 OVGF (闭壳层)L909 OVGF (开壳层)L913 计算后-SCF能量和梯度项L914 CI-Singles激发能，稳定性L915 计算五级的量(用于MP5，QCISD(TQ)和BD(TQ))。