南京工业大学 高数B(B)试卷含答案

南京工业大学 高等数学B 试题（B ）卷（闭）

2011--2012学年第一学期 使用班级 浦生工等 班级 学号 姓名

一、填空题（共18分，每小题3分）

1. 1．设()()则,12x

x x f += ()=∞

→x f x lim

2．设()x f 在1=x 处可导，且 ()21='f ，则 ()()=-+→h

f h f h 121lim

3．设函数()x y 是由方程 3=+xy e y

所确定，则 ='|y

4．如 ()422

++=x x x f ，则适合等式 ()()()()0202-'=-ξf f f 的=ξ

5．如

()()=+=⎰x f C e

dx x xf x

则,

6．

()⎰-=+1

1

3

cos

dx x x x

二、选择题（共12分，每小题2分）

1．当0→x 时，下列无穷小中与 x cos 1-等价的是（ ）

A.x

B. x 2

1 C. 2x D 221

x .

2.设 ()()⎩⎨⎧>+<+=0

,0

,1ln x a e x x x f x

，是连续函数，则 ,a 满足:（ ）

A.a 为任意实数，

B.1-=a

C. ,0=a

D.1=a

3.若()()(),R x x f x f ∈--= ，且在 ()∞,0内()(),0,0>''>'x f x f 则()x f 在()0,∞-内必

有：（ ） A.()()0,0<''<'x f x f B.()()0,0>''<'x f x f C.()()0,0<''>'x f x f D.()()0,0>''>'x f x f

4.在下列极限中，正确的是:( )

A.22sin lim 0=→x x x

B.1arctan lim =+∞→x

x x C .e x x

x =+→0lim D.∞=--→24lim

22x x x 5.定积分 =⎰dx x π

20

sin （ ）

A. 0

B. 4

C. 2

D. 1

6.直线L 与x 轴平行，且与曲线 x

e x y -=相切，则切点坐标是（ ）

A.()1,1

B.()1,1-

C.()1,0-

D.()1,0

三、计算题（共48分，每小题6分）

1.x

e x x 1lim 20-→ 2.设 2

222++=x x y ,求 y '

3.设有参数方程()0sin 3

22>⎩⎨

⎧=++=t t

t y t t x ，求 dx dy

4.()

dx x x ⎰

+121

5.

dx x

x ⎰

+1

31

6.设 ()()⎰+=1

3

sin dx x f x x x f ，求()x f 的表达式。

7.xdx e x

cos 1

⎰

8. 设 ()⎩⎨⎧<>=0,0

,22x xe x x x f x ， 计算 ()⎰-2

1dx x f

四、应用题（共16分，每小题8分）

1 . 求函数 ()718622

3

---=x x x x f 的单调区间，凹凸区间，极值和拐点

2. 求曲线2

x y =，直线1=x 和x 轴所围平面区域绕下列指定轴旋转一周所得立体体积

（1）x 轴 （2）y 轴 （3）直线 1=x

五、证明题（6

分）

设函数()x f 在闭区间[]π,0上具有连续的导数，试证明:在开区间()π,0内至少 存在一点ξ，使 ()()0cos sin =+'ξξξξf f

答案

一、填空题()8136'='⨯

1.2

e 2.4 3.y

e

x y

+- 4.1 5.x e x 6.1 二、选择题()2126'=⨯

1.D

2.B

3.C

4.A

5.B

6.C

三、计算题()8468'=⨯

1.21

2lim

0==→x

x e I 2.x x y x ln 22+=' 3.12cos sin ++=

=t t t t dx

dy dt

dx

dt dy 4.()C x x dx x x I ++-=⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=⎰21ln ln 2121

5.设,6,,536dt t dx t x x t ===则

⎪⎭⎫

⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-+-=+=⎰⎰2ln 6561116161

021

03dt t t t dt t t I

6.记()dx x f a ⎰=10

，则()()3

1cos 144

1cos 1sin 1

3-=

⇒+-=+=⎰a a

dx ax x a 。

()()3

3

1cos 14sin x x x f -+

= 7.[][]I x e e xdx e x e xdx e I x x x

x

-+=-==⎰⎰1

01

1

01

cos 1sin sin sin cos

()1cos 1sin 2

21++-

=e

I 8.记()()()()dx x f dx x f dx x f dt t f I x t ⎰⎰⎰⎰+===-=---1

1

1

1

1

1

,1

()3

1121

1

20

1

2

+-=

+=⎰⎰-e dx x dx xe x 四、应用题()6182'=⨯ 1.()()()()3163262-+=--='x x x x x f ，令()0='x f ，得驻点

()()()3,0,31,0,1,0,3,1>>'<<-<'-<>'-=x x f x x f x x f x

从而()x f 在区间()()∞-∞-,3,1,内单调上升，在区间

()3,1-内单调下降。在1-=x 处取得极大值()31=-f ，

在3=x 处取的极小值()613-=f

()()()()1,0;1,0,16<<''>>''-=''x x f x x f x x f 。